Sở giáo dục đào tạo Nam định đáp án - biểu điểm đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh Năm học 2007 - 2008 Môn: Toán - Lớp 12 BT THPT Đáp án gồm 05 trang A. Phần trắc nghiệm Câu 1. B Câu 2. C Câu 3. D Câu 4. B B. Phần tự luận (18,0 điểm) Câu1. (4.0 điểm) y = 2 2 )1( 42 x mxx ++ 0,25 Để hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y (2) = 0 và đổi dấu khi x đi qua giá trị x = 2 0,25 y (2) = 0 -(2) 2 + 2.2 + m - 4 = 0 m = 4 0,25 Vậy với m = 4 , y (2) = 0 ; y đổi dấu khi x đi qua giá trị x = 2, thật vậy x - 0 1 2 + y - 0 + + 0 - nên hàm số có cực trị tại x = 2 0,25 Với m = 4 y = x1 4x4x 2 + Tập xác định D = R \ { } 1 0,25 y = 2 2 )x1( x2x + = 0 = = 2 0 x x 0,25 Xét dấu y x - 0 1 2 + y - 0 + + 0 - Hàm số y đồng biến với những x (0;1) (1;2) Hàm số y nghich biến với những x (- ;0) (2;+ ) 0,25 Điểm cực đại, cực tiểu Tại x = 0 hàm số đạt cực tiểu y ct = 4 Tại x = 2 hàm số đạt cực đại y cđ = 0 0,25 += ylim 1x ; = + y x 1 lim đồ thị có tiện cận đứng là đờng thẳng x = 1 0,25 ( ) [ ] 0 x1 1 lim3xylim xx = =+ đờng thẳng y = -x+3 là tiện cận xiên của đồ thị hàm số. 0,25 Đề 1 Bảng biến thiên x - 0 1 2 + y - 0 + + 0 - y + + 0 4 - - 0,25 Đồ thị Giao với trục tung khi x = 0 y = 4 Giao với trục hoành khi y = 0 x = 2 0,25 Đờng thẳng d đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc k có phơng trình: y = kx + k; Hoành độ giao điểm của d với c là nghiệm của phơng trình: x1 4x4x 2 + = kx + k với x 1 0,25 (1+k)x 2 - 4x + 4 - k = 0 có = k 2 - 3 k = k(k-3) Xét dấu > 0 <0 > 0 0 3 k 0,25 Với < 1k 0k hoặc k >3 d và (c ) có 2 giao điểm. 0,5 −= = = 1k 3k 0k d vµ (c) cã 1 giao ®iÓm. 0 < k < 3 d vµ (c ) kh«ng cã giao ®iÓm. C©u 2 ( 4 ®iÓm ) I = ∫ Π e 1 dx).xcos(ln §Æt u = cos(lnx) du = x 1 − sin(lnx).dx dv = dx v = x 0,5 I = [x.cos(lnx)] π e 1 + ∫ π e 1 dx).xsin(ln §Æt ∫ π e 1 dx).xsin(ln = J ⇒ I = π e cos π - 1 + J = - π e - 1 + J 0,25 TÝnh J = ∫ π e 1 dx).xsin(ln §Æt u = sin(lnx) du = x 1 cos(lnx).dx dv = dx v = x 0,5 J = [x.sin(lnx)] π e 1 - ∫ π e 1 dx).xcos(ln 0,25 J = π e sin π - I = -I 0,25 I = - π e - 1 - I ⇔ I = 2 1e −− π 0,25 2 V× 1xsin ≤ ; x1xcos ∀≤ nªn ∀ x cã sin 3 x ≤ sin 2 x cos 3 x ≤ cos 2 x 0,5 ⇒ sin 3 x + cos 3 x ≤ cos 2 x+ sin 2 x = 1 ∀ x 0,25 MÆt kh¸c 2 - sin 4 x ≥ 1 ∀ x 0,25 V× vËy sin 3 x + cos 3 x = 2 - sin 4 x ⇔ = =+ 1xsin-2 1 x cos x sin 4 33 0,5 ⇔ sin x = 1 0,25 x = 2 π + 2k π víi k ∈ Z 0,25 ⇒ ⇒ Câu 3. (4,0 điểm). 1 Mặt phẳng (P) có một véc tơ pháp tuyến P n ( 2; -1; 2) 0,25 Mặt phẳng (Q) có một véc tơ pháp tuyến Q n (1; 6; 2) 0,25 P n . Q n = 2 - 6 + 4 = 0 P n Q n Vậy mặt phẳng (P) (Q) 0, 5 Mặt phẳng ( ) đi qua giao tuyến của 2 mp (P) và (Q) nên thuộc chùm mặt phẳng trục ( ) có phơng trình ( ): ( 2x - y + 2z - 1) + à( x + 6y + 2z + 5) = 0 với 2 + à 2 0 0,5 Mp ( ) đi qua gốc O (0;0;0) thì phơng trình trên phải có x = y = z = 0 0,25 thay vào phơng trình mặt phẳng ( ) có : - + 5 à = 0 0,25 chọn à = 1 = 5 0,25 thay vào phơng trình mặt phẳng () có: 5 (2x - y + 2z - 1) + (x + 6y + 2z + 5) = 0 Vậy ( ) : 11x+y+12z=0 0,5 2 Mặt phẳng (P) có P n (2; -1; 2) Mặt phẳng (Q) có Q n ( 1; 6 ; 2) 0,25 [ ] QP n,n = 61 12 , 12 22 , 26 21 = (-14;-2;13) 0,5 Đờng thẳng d song song với cả 2 mặt phẳng (P) và (Q) d u = (14; 2; -13) 0,25 vì d đi qua A (1; 2; -3) nên phơng trình của đờng thẳng: d: 13 3z 2 2y 14 1x + = = 0,25 Câu 4 (4,0 điểm) Từ phơng trình elip: 16x 2 + 25y 2 = 100 1 4 y 4 25 x 22 =+ 0,25 a = 2 5 ; b = 2 0,25 Toạ độ đỉnh A ( 2 5 ; 0) Toạ độ đỉnh A (- 2 5 ; 0) 0,5 Toạ độ đỉnh B (0; 2) Toạ độ đỉnh B (0; -2) 0,5 c 2 = a 2 - b 2 = 2 2 5 - 2 2 = 2 2 3 0,25 Toạ độ tiêu điểm F 1 ( 2 3 ; 0) ; F 2 ( 2 3 ; 0) 0,5 Tâm sai e = 5 3 a c = 0,25 Đờng thẳng y = x + b có điểm chung với elip 16x 2 + 25y 2 = 100 phơng trình hoành độ giao điểm: 16x 2 +25 (x + b) 2 = 100 có nghiệm 0,25 41x 2 + 50bx + 25b 2 - 100 = 0 có nghiệm 0,25 = 25 2 . b 2 - 41( 25b 2 - 100) 0 0,25 - 4b 2 + 41 0 0,25 b 2 4 41 2 41 b 2 41 0,25 Vậy 2 41 b 2 41 thì đờng thẳng có điểm chung với elip đã cho. 0,25 . Câu 5 (2,0 điểm) áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số không âm ta có: x 2 + y 2 2xy y 2 + z 2 2yz z 2 + x 2 2 zx 0,5 x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx 0,25 Mặt khác: (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) (x + y + z) 2 xy + yz + zx + 2(xy + yz + zx) = 3(xy + yz + zx) 0,5 A = xy + yz + zx 3 1 Dấu = khi và chỉ khi x=y=z= 3 1 0,5 max A = 3 1 x = y = z = 3 1 0,25 . Sở giáo dục đào tạo Nam định đáp án - biểu điểm đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh Năm học 2007 - 2008 Môn: Toán - Lớp 12 BT THPT Đáp án gồm