Mật mã và an toàn thông tin Mật mã cổ điển

MẬT MÃ CỔ ĐIỂN 1.1 MỘT SỐ HỆ MẬT MÃ ĐƠN GIẢN 1.1.1 MẬT MÃ DỊCH CHUYỂN - SHIFT CIPHER 1.1.2 MẬT MÃ THAY THẾ - SUBSTITUTION CIPHER 1.1.3 MẬT MÃ TUYẾN TÍNH - AFFINE CIPHER 1.1.4 MẬT MÃ VIGENÈRE 1.1.5 MẬT MÃ HILL 1.1.6 MẬT MÃ HOÁN VỊ 1.1.7 MẬT MÃ DÒNG MỞ ĐẦU: Mục đích hệ mật mã cho phép hai người, Alice Bob, truyền thông tin qua kênh không bảo mật theo cách cho đối thủ, Oscar, hiểu thông tin nhắc đến Kênh đường điện thoại mạng máy tính Thông điệp mà Alice muốn gửi tới Bob, gọi “ văn gốc ” “ rõ ” ( “ Plaintext ”), xây dựng hoàn toàn tuỳ ý, ký tự tiếng Anh, liệu số… Sơ đồ minh hoạ Alice x Mã hoá K Tập khoá y Giải mã K x Bob Mô tả hình thức ký hiệu toán học 1.1.1 Hệ mã dịch chuyển Hệ mã dựa sở phép biến đổi ký tự văn gốc thành ký tự khác mã Trong trường hợp K=3 , hệ mật mã gọi mật mã Caesar , thừa nhận Julius Caesar Trong hệ mật mã Caesar , ký tự thay ký tự đứng sau ba vị trí bảng chữ Alphabet) Để thực theo phương pháp này, trước hết ta cần định nghĩa bảng mã để số hoá văn gốc: A B C D E F G H I J K 10 11 12 N O P Q R S T U V W X L Y M Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Xét ví dụ Giả sử khoá K = 11, văn gốc ban đầu wewillmeetatmidnight Đầu tiên ta biến đổi văn gốc thành dãy số nguyên , kết nhận sau: 22 22 19 12 11 11 12 13 19 19 Tiếp theo, ta cộng 11 vào giá trị , sau quy giá trị sang modulo 26 15 19 22 22 23 15 15 11 23 19 14 24 19 17 18 Cuối cùng, ta biến đổi dãy số nguyên sang ký tự Aphabet tương ứng , nhận mã HPHTWWXPPELEXTOYTRSE Để giải mã mã , Bob biến đổi tương ứng mã sang dãy số nguyên , trừ giá trị dãy cho 11 ( sau quy đổi sang modulo 26), cuối biến đổi dãy số nguyên vừa nhận sang ký tự Alphabe.Ta thu văn gốc ban đầu Wewillmeetatmidnight Nhận xét: Ta sử dụng ký tự hoa cho mã ký tự thường cho văn gốc NHẬN XÉT Ta nhận xét hệ mã dịch chuyển tính bảo mật không cao , với 26 khoá, dễ dàng để thử quy tắc giải mã dK nhận văn có “ ý nghĩa ” Xem minh hoạ : Ví dụ 1.2 Cho văn dạng mật mã xâu sau : JBCRCLQRWCRVNBJENBWRWN Ta thử hàm giải mã d0 ,d1,… Kết nhận : Số nguyên ƯCLN Integer GCD Ví dụ Example Tìm ước chung lớn 123 456 456 = 3.123 + 87 123 = 1.87 + 36 T.T Euclid 87 = 2.36 + 15 36 = 2.15 + 15 = 2.6 + = 2.3 + ƯCLN(123, 456) = Số nguyên ƯCLN Integer GCD Ví dụ Example Tìm ước chung lớn 123 456 ƯCLN(123, 456) = ƯCLN(456 ƯCLN(87, 123) mod 123, 123) ƯCLN(12387) mod 87, 87) = ƯCLN(36, ƯCLN(87 mod = ƯCLN(15, 36) 36, 36) T.T Euclid = ƯCLN(6, ƯCLN(3615) mod 15, 15) = ƯCLN(15 ƯCLN(3, 6) mod 6, 6) ƯCLN(0,mod 3) 3, 3) = ƯCLN(6 =3 Số nguyên Integer Định Định lílí ƯCLN GCD Theorem Theorem Cho Chohai haisố sốnguyên nguyêndương dươngaavà vàb, b,với vớiaa≥≥ b b.Khi Khiđó đóđộ độ phức phứctạp tạpcủa củathuật thuậttoán toánEuclid Euclidtheo theosố sốphép phépchia chialà T.T Euclid O(logb) O(logb) Đồng dư Đồng dư Congruence ĐỊNH NGHĨA DEFINITION Định Định nghĩa nghĩa Definition Definition Cho Choaavà vàbblà làhai haisố sốnguyên nguyênvà vàm mlàlàmột mộtsố sốnguyên nguyên dương dương.Ta Tanói nóiaađồng đồngdư dưvới vớibbtheo theomôđun môđunm mvà vàkí kí hiệu hiệulàlàaa≡≡ bb(mod (modm) m)nếu nếuaa––bbchia chiahết hếtcho chom, m,nếu trái tráilại lạithì thìkíkíhiệu hiệulà làaa≡≡ bb(mod (modm) m) Như Nhưvậy: vậy: aa≡≡ bb(mod (modm) m)⇔ ⇔m|a m|a––bb ⇔ ⇔aamod modm m==bbmod modm m Tập tất số nguyên thu gọn m “số” theo mod m “số” lớp đồng dư Đồng dư Đồng dư Congruence Định Địnhnghĩa nghĩa ĐỊNH NGHĨA DEFINITION Definition Definition Tập Tậphợp hợpgồm gồmm msố sốnguyên nguyênđôi đôimột mộtkhông khôngđồng đồngdư dưtheo theo mod modm mgọi gọilà làmột mộthệ hệthặng thặngdư dưđầy đầyđủ đủtheo theomod modm m Một Mộtsố sốnguyên nguyênbất bấtkìkìsẽ sẽđồng đồngdư dưvới vớimột mộtvà vàchỉ chỉmột mộtsố số trongmột mộthệ hệthặng thặngdư dưđầy đầyđủ đủ Ví dụ Example {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} hệ thặng dư đầy đủ theo mod {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} không hệ thặng dư đầy đủ theo mod … ≡ (mod 7) {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26} có hệ thặng dư đầy đủ theo mod không? Không Đồng dư Đồng dư ĐỊNH NGHĨA Congruence DEFINITION Định Địnhlílí Theorem Theorem Cho Chom mlàlàsố sốnguyên nguyêndương dương.Khi Khiđó ••aa≡≡ bb(mod (modm) m)⇔ ⇔∃∃k, k,aa==bb++km km ••Nếu Nếuaa≡≡ bb(mod (modm) m)và vàcc≡≡ dd(mod (modm) m)thì aa++cc≡≡ bb+d +d(mod (modm); m);a.c a.c≡≡ b.d b.d(mod (modm) m) Có mối liên hệ phép tính số học thông thường phép tính số học theo môđun m dấu “=” liên hệ với dấu đồng dư “≡ ” +, –, *, / liên hệ với +, –, *, / lấy đồng dư Đồng dư Đồng dư Congruence ĐỊNH NGHĨA DEFINITION Vẫn có tính chất số học không số học đồng dư a.b = ⇒ a = b = … a.b ≡ (mod m) ⇒ a ≡ b ≡ Ví dụ Example 4.3 ≡ (mod 6) … ≡ (mod 6) ≡ (mod 6) Đồng dư Congruence Hệ Hệquả Nghịch đảo NGHỊCH ĐẢO INVERSE lemma lemma Cho Chohai haisố sốaavà vàm mnguyên nguyêntố tốcùng cùngnhau nhauvà vàm m>>11thì tồn tồntại tạisố sốnguyên nguyênss(duy (duynhất nhấttheo theomod modm) m)để đểsa sa≡≡ 11 (mod (modm) m) Định Địnhnghĩa nghĩa Definition Definition Cho Chohai haisố sốaavà vàm mnguyên nguyêntố tốcùng cùngnhau nhauvà vàm m>>11thì thìaa gọi gọilà làkhả khảnghịch nghịchtheo theomod modm, m,nghịch nghịchđảo đảosscủa củaaathỏa thỏa mãn mãnsa sa≡≡ 11(mod (modm) m)duy duynhất nhất(theo (theomod modm) m) Tập Tậpcon concủa củamột mộthệ hệthặng thặngdư dưđầy đầyđủ đủmod modm mgồm gồmtất tấtcả cácphần phầntử tửkhả khảnghịch nghịchmod modm mgọi gọilà làmột mộthệ hệthặng thặngdư dư thu thugọn gọnmod modm m Chú ý: a phần tử khả nghịch theo mod m a.b ≡ (mod m) b ≡ (mod m) Đồng dư Nghịch đảo NGHỊCH ĐẢO Congruence Ví dụ INVERSE Example Một hệ thăng dư đầy đủ mod 12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Một hệ thăng dư thu gọn mod 12 1, 5, 7, 11 Cho p số nguyên tố, hệ thăng dư thu gọn mod p {1, 2, …, p–1} Định Định lílí Theorem Theorem Số Sốphần phầntử tửcủa củamọi mọihệ hệthặng thặngdư dưthu thugọn gọnmod modm mlàlà nhưnhau nhauvà vàbằng bằngφφ(m), (m),hàm hàmEuler Eulercủa củam m 1.1.3 Hệ mã tuyến tính Vì gcd(a,26)=1 nên a nhận giá trị sau đây: a= 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25 a a-1 9 21 15 11 15 17 19 21 23 25 19 23 11 17 25 Ta xem xét ví dụ sau : Giả sử K= ( 7,3) Hàm mã hoá eK (x) = 7x+3mod 26 Để minh hoạ , ta mã hoá văn hot Đầu tiên ta biến đổi ký tự h, o, t quy chiếu sang modulo 26 Thu giá trị 7,14,19 Bây ta mã hoá, ba ký tự mã có giá trị tương ứng với số , 23 , , số tương ứng với xâu ký tự AXG Để giải mã mã , ta sử dụng hàm giải mã d K ( y ) = a −1 (y-b) mod 26 Trong ví dụ với K = ( 7,3) ta có a= −1 nên a =15 Do d K ( y ) = (15y-19) mod 26 Khi ta giải mã, thu số 7, 14, 19 Các số tương ứng với ký tự h, o, t Do ta có văn gốc hot 1.1.4 Hệ mã Vigenère Cả hai hệ mật mã Shift Cipher Substitution Cipher, chọn khoá K, ký tự Alphabe ánh xạ đến ký tự Alphabe Vì lý , hệ mật mã gọi đơn ký tự ( monoalphabetic ) Đến , ta giới thiệu hệ mật mã monoalphabetic , biết đến Vigenère Cipher, mang tên Blaise de Vigenère, kỷ 16 Sử dụng tương ứng A ↔ 0, B ↔ 1, C ↔ 2, , Z ↔ 25 , ta kết hợp với khoá K vào xâu ký tự Alphabe có độ dài m, gọi từ khoá Mật mã Vigenère Cipher mã hoá theo khối m ký tự văn gốc Ví dụ : Giả sử m = từ khoá C I P H E R Tương ứng với số K = ( 2, 8,15,7,4,17 ) Giả sử văn gốc :thiscryptosystemisnotsecure Ta biến đổi phần tử văn gốc quy đổi sang modulo 26 , viết chúng thành nhóm sáu số , cộng thêm vào từ khoá ( modulo 26 ) , giống sau : 19 21 15 15 23 18 25 17 24 17 15 23 19 15 14 21 18 22 24 17 15 18 20 19 12 18 13 14 19 18 20 17 15 17 15 17 15 19 19 12 15 22 25 19 22 25 19 Kết văn mã hoá xâu VPXZGIAXIVWPUBTTMJPWIZITWZT Để giải mã , ta cần sử dụng từ khoá tương tự , phải trừ khoá modulo 26 ... MẬT MÃ ĐƠN GIẢN 1.1.1 MẬT MÃ DỊCH CHUYỂN - SHIFT CIPHER 1.1.2 MẬT MÃ THAY THẾ - SUBSTITUTION CIPHER 1.1.3 MẬT MÃ TUYẾN TÍNH - AFFINE CIPHER 1.1.4 MẬT MÃ VIGENÈRE 1.1.5 MẬT MÃ HILL 1.1.6 MẬT MÃ... Xóabỏ bỏ2 2và vàcác cácbội bộicủa c an nóra rakhỏi khỏidanh danhsách sáchA A 4 Số Sốxxđầu đầutiên tiêntrong trongdanh danhsách sáchAAmới mớilà làsố sốnguyên nguyêntố tố vàviết viếtvào vàoB B 5... học 1.1.1 Hệ mã dịch chuyển Hệ mã dựa sở phép biến đổi ký tự văn gốc thành ký tự khác mã Trong trường hợp K=3 , hệ mật mã gọi mật mã Caesar , thừa nhận Julius Caesar Trong hệ mật mã Caesar , ký