Phương pháp tính Phuong phap tinh

Phương pháp tính Phuong phap tinh tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩn...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ CƢƠNG MÔN THI CƠ SỞ TUYỂN SINH SĐH NĂM 2016 Ban hành theo QĐ số:3466/QĐ-ĐHBK-ĐTSĐH ngày 08 – 12 – 2015 Hiệu Trưởng Trường Đại Học Bách Khoa Tên môn thi: PHƢƠNG PHÁP TÍNH Ngành đào tạo Thạc sĩ: KHOA HỌC TÍNH TOÁN (60 46 01 36) Chƣơng Sai số 1.1 Khái niệm sai số 1.2 Cách biểu diễn sai số (sai số tuyệt đối, sai số tương đối, sai số hàm) 1.3 Biểu diễn số thập phân (chữ số có nghĩa, chữ số đáng tin, cách làm tròn số) Chƣơng Giải gần phƣơng trình phi tuyến 2.1 Nghiệm khoảng cách ly nghiệm 2.2 Giải gần phương trình phi tuyến (Công thức sai số tổng quát, Các phương pháp giải gần đúng, Phương pháp chia đôi, Phương pháp lặp đơn, Phương pháp Newton, Phương pháp dây cung) Chƣơng Hệ phƣơng trình phi tuyến 3.1 Đặt toán 3.2 Phương pháp giải xác (Định thức Cramer, Phương pháp Gauss, Phương pháp nhân tử LU, Phương pháp Cholesky) 3.3 Phương pháp giải gần (Chuẩn vectơ, ma trận, Phương pháp lặp Jacobi, Phương pháp lặp Gauss-Seidel) 3.4 Bài toán giá trị riêng vector riêng Chƣơng Nội suy xấp xỉ hàm 4.1 Đặt toán 4.2 Nội suy Lagrange 4.3 Nội suy Newton 4.4 Nội suy Spline bậc 4.5 Xấp xỉ thực nghiệm theo phương pháp bình phương cực tiểu Chƣơng Tính gần đạo hàm tích phân 5.1 Tính gần đạo hàm (Đạo hàm bậc I, Đạo hàm cấp cao) 5.2 Tính gần tích phân (Công thức hình thang, Công thức Simpson, Công thức cầu phương Gauss) Chƣơng Giải gần phƣơng trình vi phân thƣờng 6.1 Công thức Euler 6.2 Công thức Euler cải tiến 6.3 Công thức Runge Kutta bậc Tài liệu tham khảo chính: [1] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính (Đà Nẵng, 2007, https://thunhan.files.wordpress.com/2008/08/giao_trinh_pptinh.pdf) [2] Lê Thái Thanh, Lê Ngọc Lăng, Nguyễn Quốc Lân, Phương pháp tính (NXB ĐHQG TPHCM, 2003) [3] Nguyễn Hoài Sơn, Phương pháp tính ứng dụng tính toán kỹ thuật (NXB ĐHQG TPHCM, 2008) Bài tập phương pháp tính Giảng viên: Lê Văn Lai 1 BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải các phương trình sau bằng phương pháp chia đôi và đánh giá sai số với độ chính xác là 310.    1/ sin 1.125 ; 1.5, 1x x x   2 / 2 0 ; 0,1x cos x x     3/ 0.25 0 ; 1.5,2x tg x x   24 / ( 1) ; 0,1tg x x x    35 / 2 0 ; 3,4x x x   26/ 4 0 ; 1,3x sinx x    7 / 3 2 0 ; 0.1,0.7lnx xsinx x    28/ 4 5 0 ; 2,3x sinx x      9/ 1 3 1 0 ; 1.1,2xln x xsin x x      10/ 1 3 2 0 ; 1,2xxln x xcose x       82111/ 15 20 0 ; 1.5, 13xx x xx    1.1252112 / 2 0 ; 0.6,11 logsinxxxx sửa lại ( 0,55 ; 0,6)      2172313 / 4 0 ; 1,1.51.1ln xxxsin x      25221314 / 1 1.9 0 ; 1,1.153ln xxxxx     21023515 / 70 0 ; 1.5,1.7521xxxxcos x Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Lặp đơn và đánh giá sai số với độ chính xác là 510.    31/ 1 0 ; 1,2x x x    422/ 3 3 0 ; 1,2x x x    433/ 2 4 0 ; 2,3x x x Bài tập phương pháp tính Giảng viên: Lê Văn Lai 2   4 / 0 ; 0.2,1x tgx x   5 / 0.5 ; 0,22xsin x x   26/ 3 0 ; 0,1xx e x     27 / 1.75 3 ; 1, 0.5xxx    8/ 2 4 0 ; 2,3x ln x x    39 / 1 0 ; 1,2x x x    410/ 3 0 ; 1,2sinxe x x      2211/ log 2 1 10 0 ; 3,4x x x    2 2 112/ 10 ; 3,42xxtg x e x    213/ 3cos 4 0 ; 1,2x x x    14 / 2 3 0 ; 2,3x cosx x      315/ 1 3 2 0 ; 2,3x lnx x    216/ arc 4 3 0 ; 0,0.9sinx x x    217 / arc 3 1 0 ; 0,0.9cosx x x     218/ 1 arc 2 0 ; 0,1cosx x x     419/ 1 4 0 ; 1,23xarcsin x x         2220/ 1 2 2 2.92 0 ; 0.8,1.3xln x cos x x Bài 3: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Newton(Tiếp tuyến) và đánh giá sai số với độ chính xác là 510.    531/ 2 5 0 ; 1,2x x x      322/ 3 1 0 ; 3, 2.5x x x   3 / 0 ; 0,2x cosx x    4 / 0.8 0.2 0 ; 0,2x sinx x     5/ 2 2 6 0 ; 1,2xxe cosx x     26 / 2 2 2 0 ; 3,4xcos x x x Bài tập phương pháp tính Giảng viên: Lê Văn Lai 3   27 / 0 ; 1,2lnx x x     28 / 2 0 ; ,4x lnx x e    9/ 2 0.5 1 0 ; 0.2,1lnx x x    310/ 5 6 0 ; 2,3xln x x x    2211/ 2 0 ; 1; 1.51 (1 )xxxln x    2212/ log ( 1) 0 ; 0; 1sinx cosx x      2213/ log (2 1) 2 0 ; 0.4; 0x sinx x        14 / 2 2 0 ; 2, 12xcos x x x            315/ 5 ( 2) 1.1 0 ; 1,0x sin lmn x x     316/ 3 ( 2) 1.12 0 ; 2.15; 3cosx ln x x      217 / (1.5 ) ( 1) 0 ; 1; 2ln tgx cos x e x     18/ ( 1) 1,045 0 ; 0;1x arcsin x x      219/ (2 1) 1 0 ; 0.5; 0x arccos x x 20/. Tìm nghiệm dương lớn nhất của các phương trình sau : 2/ 2 0xa e x    4 3 2/ 2 7 3 0b x x x /0xc sinx e 21/. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của các phương trình sau : 2/ 2 0xa e x / 4 0xb e x /0xc sinx e 22/. Tìm nghiệm của các phương trình sau : 2/ cos 0a x x 2/0b x sin x /4 5 5c x lnx 2/ 10 3d x lnx GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Lặp 3 bước và đánh giá sai số khi nhận được giá trò ẩn ở bước lặp thứ 3 là nghiệm gần đúng của hệ. Bộ môn Toán Ứng Dụng Btập n PPTính – Trang 1 Ngày 19/12/06 Câu 1: Cho phương trình ()02cos2.114.272=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=xxxxfπ có khoảng cách ly nghiệm . Dùng phương pháp lặp Newton, chọn theo điều kiện Fourier, tính nghiệm gần đúng và đánh giá sai số []1,00x1x1xΔ theo công thức đánh giá sai số tổng quát Kết quả: ------------------------ =1x1xΔ = -------------------------- Câu 2: Cho hệ phương trình . Với ⎩⎨⎧=+−=+−131753252121xxxx( )[ ]Tx 0,00=, hãy tìm vectơ bằng phương pháp Gauss – Seidel ()3xKết quả: ------------------------ ()=31x( )32x = -------------------------- Câu 3: Cho . Tìm A, B, C, D để là hàm nội suy spline bậc 3 tự nhiên trên ()()() ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−+−+−+≤≤+−=32,22220,2.26.15.3323xxDxCxBAxxxxg()xg[ ]3,0 Kết quả: A = ----------; B = ---------------; C = --------------; D = ---- Câu 4: Cho hàm spline bậc ba ( )xg nội suy bảng số và thỏa điều kiện . Tính giá trò của hàm () ()11'0' == gg( )xg và đạo hàm tại điểm ()xg'5.0=x xy0 11.4 2.8 Kết quả: ------------------------ ()=5.0g( )5.0'g = -------------------------- Câu 5: Hàm cho bởi bảng ()xf Dùng công thức Simpson mở rộng tính gần đúng tích phân I = ()∫102dxxxf2.71.0 3.6 0.753.3 0.50 2.2 0.25 1.7 0 f(x) x Kết quả: I = ------------------------ Câu 6: Xét bài toán Cauchy . Sử dụng công thức Runge – Kutta cấp 4, hãy xấp xỉ giá trò của hàm ()⎩⎨⎧=≥+−=5.011,1cos'2yxxyxy( )xy tại 25.1=xvới bước 25.0=hKết quả: ------------------------ =1k( )25.1y = -------------------------- Câu 7: Xét bài toán Cauchy ( )() ()⎩⎨⎧==≥+−+=25.01',5.011,1'''22xxttxxtx. Thực hiện phép đổi biến và sử dụng công thức Euler, hãy xấp xỉ giá trò của hàm và đạo hàm tại với bước () ()txty '=()tx()tx'25.1=t 25.0=h Kết quả: ------------------------ ()=25.1x( )25.1'x = -------------------------- Bộ môn Toán Ứng Dụng Btập n PPTính – Trang 2 Ngày 19/12/06 Câu 8: Xét bài toán biên: () ( )⎩⎨⎧==≤≤=−+2.12,7.2121,44'''yyxxyxyyBằng phương pháp sai phân hữu hạn, hãy xấp xỉ giá trò của hàm ( )xy trong đoạn [ ]2,1 với bước 25.0=hKết quả: = ----------; (25.1y)( )5.1y = ---------------; ( )75.1y = ------------; Câu 9: Xét phương trình Laplace: () ()1,,222222++=∂∂+∂∂yyxyxyuyxxu đối với hàm ẩn 2 biến trong miền chữ nhật D = (yxu ,){ }63,41 ≤≤≤≤ yx thỏa các điều kiện biên: . Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, hãy xấp xỉ giá trò của hàm trong miền D với bước () ( )() ()⎩⎨⎧+=+===8.46.96,,4.28.43,2.7,4,4.2,1xxuxxuyyuyyu(yxu ,)1==Δ=Δ hyx Kết quả: = -----------------------; (4,2u) ( )5,2u = -----------------------; ) = ----------------------; ( )5,3u = -----------------------; (4,3uCâu 10: Xét phương trình parabolic () ()txtxxutxtu2.13.2,12,222+=∂∂−∂∂ đối với hàm ẩn 2 biến trong miền D = (txu ,){ }0,21 >≤≤ tx thỏa các điều kiện: ( ) ( )()⎩⎨⎧+−===230,0,2,0,12xxxututu Sử dụng sơ đồ ẩn, hãy xấp xỉ giá trò của hàm ( )txu , tại thời điểm 1.0=t với bước không gian và bước thời gian 25.0=Δx1.0=Δt Kết quả: = ----; (1.0,25.1u)( )1.0,5.1u = -----; ( )1.0,75.1u = -------; Bộ môn Toán Ứng Dụng Btập n PPTính – Trang 1 Ngày 16/08/06 ĐỀ 1 Câu 1: Cho phương trình ( ) ( )022cos22=−−= xxxxf trong khoảng cách ly nghiệm [ ]4,3. Chọn 5.30=x , hãy tính 1x và 2x bằng phương pháp Newton. Tính giá trò [ ]( )xfmx'min4,3∈= . Dùng công thức đánh giá sai số tổng quát, hãy tính sai số của nghiệm gần đúng 2x. Câu 2: Xây dựng spline bậc ba tự nhiên ( )xg nội suy bảng số Sử dụng các giá trò của ( )xg tại các điểm nút 00=x , 5.01=x, 12=x, 5.13=x , 24=x và công thức Simpson mở rộng, hãy tính gần đúng tích phân ( )∫20dxxg Câu 3: Tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Cauchy yxy costg' +=, 5.0>x, ( )6.15.0 =y trên đoạn [ ]1,5.0 bằng phương pháp Euler cải tiến với bước 25.0=h Câu 4: Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, giải bài toán biên: ( ) ( )==<<+=−02121,1ln''2yyxxyxy trong đoạn [ ]2,1 với bước 25.0=h Câu 5: Xấp xỉ giá trò hàm ( )yxu , trong miền { }10,10 <<<<= yxD với ( )yxu , thoả: ( )( ) ( )( ) ( )+==+==∈=∆5,1,,0151,,50,,,1022yyuyyuxxuxxuDyxxyu với bước chia 31=∆=∆ yx Câu 6: Xấp xỉ giá trò hàm ( )txu , trong miền { }4.00,10 <<<<= txD với ( )txu , thoả: ( )( )( ) ( )≤≤==≤≤=∈=∂∂−∂∂4.00,0,1,010,sin0,,,0522ttutuxxxuDtxxutuπ với bước chia25.0=∆x, 2.0=∆t. Sử dụng sơ đồ hiện ĐỀ 2 Câu 1: Cho phương trình ( )848121−−−=+xxexx trong khoảng cách ly nghiệm [ ]0,1−. Chọn 5.00−=x, hãy tính 1x bằng phương pháp lặp đơn và đánh giá sai số của 1x theo công thức sai số hậu nghiệm Câu 2: Cho bảng số x y 0 1 1.5 2 1 1 x y 0 0.2 1 0.4 1 –1 0.6 4 Bộ môn Toán Ứng Dụng Btập n PPTính – Trang 2 Ngày 16/08/06 Ký hiệu ( )xN1, ( )xN2, ( )xN3 lần lượt là đa thức nội suy tiến áp dụng cho 2 nút đầu, 3 nút đầu và 4 nút của bảng số trên. Biết ( )01.01=N, tính ( )1.02N, ( )1.03N. Câu 3: Cho ( )( )( ) ( ) ( )≤≤−−−+−+≤≤−+−=42,2222321,1234323xxxbxaxxxxf. Tìm a và b để f(x) là hàm nội suy spline bậc 3 tự nhiên. Câu 4: Bằng cách đổi biến thích hợp để đưa về hệ phương trình vi phân cấp một và áp dụng phương pháp Euler với bước chia 25.0=h, hãy tính xấp xỉ các giá trò ( )25.0y, ( )25.0'y với ( )xyy = là nghiệm: ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )==∈−++=10',1025.0,0,12'''yyxxxxyxyxy Câu 5: Xét hệ phương trình =+=−11040262121xxxx với phương pháp lặp Jacobi. Tính chuẩn vô cùng của ma trận lặp jT. Cho ( )[ ]Tx 1,10−=, tính ( )1x. Câu 6: Dùng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia 25.0=h, tìm nghiệm ( )xy của bài toán biên trong [ ]1,0: [ ]==∈−=+−−0)1(,1)0(1,0,1)()1()(')(''yyxxxyxxyxy. Câu 7: Giải gần đúng bài toán Cauchy: [ ]( )=∈++=212,1,12)()('yxxxxyxy bằng phương pháp Euler với bước chia 5.0=h Câu 8: Cho bảng số Dùng công thức Simpson với bước chia 25.0=h, tính gần đúng tích phân I = ∫102)( dxxy Câu 9: Với bước chia 25.0=∆=∆ yx, hãy xấp xỉ nghiệm ( )yxu , của bài toán elliptic sau tại các điểm chia (0.75, 1.5) và (0.75, 1.75): ( ) ( )( ) ( )<<+=+=<<+=+=<<<<+=∂∂+∂∂225.1,24,1,14,5.015.0,822,,5225.1,225.1,15.0,12222yyyuyyuxxxuxxuyxxyuxu Câu 10: Dùng sơ đồ hiện với bước chia ∆ 25.0=x, ∆ 1.0=t, xấp xỉ nghiệm ( )txu , của bài toán truyền nhiệt sau tại các điểm (0.25, 1.1) và (0.25, 1.2) ( )( )( )≤≤+=>+=>−=>≤≤+=∂∂−∂∂25.00,41,1,25.1,5.01,1,01,25.00,53222xxxxutttutttutxtxxutu x y 1 1.25 4 1.5 2 1 1.75 –1 2 0 Bộ môn Toán Ứng Dụng Btập n PPTính – Trang 3 Ngày 16/08/06 ĐỀ 3 Câu 1: Cho hệ phương trình bAx = với −−−−=201212012120A , =141312b , =321xxxx . Sử dụng phương pháp lặp Gauss – Seidel, hãy xác đònh ma trận lặp gT và vectơ gc. Cho ( )[ ]Tx 0,0,00=, tính vectơ ( )2x Câu 2: Xây dựng hàm nội suy spline bậc ba tự nhiên ( )xg nội suy 1 Phương Phương pháp tính pháp tính 2 Chương 1: Một số phương Chương 1: Một số phương pháp tính toán trong đại số pháp tính toán trong đại số tuyến tính tuyến tính 1.1. Ma trận và định thức 1. Định thức của một ma trận Ma trận A= (1.1) det A= , với j bất kỳ, 1 ≤ j ≤ n (1.2a) det A= , với i bất kỳ, 1 ≤ i ≤ n (1.2b)             mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 ∑ = n i ijij Aa 1 ∑ = n j ijij Aa 1 3 • Định lý: nhân 1 hàng hoặc 1 cột của ma trận A với 1 số khác 0, sau đó đem cộng các thành phần tương ứng vào một hàng hoặc một cột khác của ma trận đó thì giá trị của định thức không thay đổi B = (1.3) Áp dụng CT (1.2a) với j = 1 ta được det A = det Tiếp tuc ⇒ det A = det = det =             nn n n b bb bbb 00 0 222 11211 11 b             nn n n b bb bbb 00 0 333 22322 11 b 22 b 2,211 −− nn bb             nn n n b bb bbb 00 0 444 33433       −−− nn nnnn b bb , ,11,1 0 nn bb ,11 4 Các bước chuyển từ ma trận A về ma trận B - Xét 2 hàng đầu của ma trận A : - Nhân hàng đầu với 1 số rồi cộng kết quả đó vào hàng thứ 2 sao cho b21= 0 ( ≠ 0) ⇒ số đó là – • Các thành phần còn lại của hàng thứ 2 sẽ là: , j = 1,2,…n • Tiếp tục với hàng thứ 3, 4, …cho đến hàng thứ i , j = 1,2,…n (1.4) 11 a n n aaa aaa 22221 11211 0 11 1121 2121 =−= a aa ab 11 121 22 a aa ab j jj −= 11 11 a aa ab ji ijij −= 1121 / aa 5 • Theo (1.2), với j = 1 det A = ⇒ det A = det Lặp lại với ⇒ det A = ở hàng thứ i: Thay cho ký hiệu và công thức (1.4) ta dùng (1.5)             nnnn n n bbb bbb bbb 32 33332 22322             nn n n b bb aaa 00 0 222 11211             nnnn n n bbb bbb bbb 32 33332 22322 11 a             nnn n n cc cc bbb a 0 0 det 3 333 22322 11 nj b bb bc ji ijij , ,2, 22 22 =−= ijij cb , ( ) nijlinl aa a aa aa jj l ll l lj l il l ij l ij , ,1;, ,1;, ,2,1 , 1 )0( 1 )1( )1()1( )1( +=+== =−= − −− − 6 ⇒ det A = det )1()1( 22 )0( 11 )1( )1( 2 )1( 22 11211 00 0 − − ×××=             n nn n nn n n aaa a aa aaa 7 2. Ma trận nghich đảo là ma trận nghich đảo của ma trận A ⇔ Cách tìm mt nghich đảo C1: tính giá trị phần bù đại số , i,j=1,2,…,n (1.6) C2: Viết thêm mt I vào bên phải ma trận A (1.7) 1− A 1 11 == −− AAAA ij A             = − nnnn n n AAA AAA AAA A A det 1 21 22212 12111 1 [ ]             = 1 00 0 10 0 01 , 21 2 2221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa IA 8 Sau khi biến đổi (1.8) Cách tìm ta áp dụng công thức (1.5) B1: chia hàng đầu của (1.7) cho [ ]             = ++ ++ ++ nnnnnn nnn nnn ccc ccc ccc IA 2,2,1, 2,22,21,2 2,12,11,1 1 00 0 10 0 01 ,             = ++ ++ ++ − nnnnnn nnn nnn ccc ccc ccc A 2,2,1, 2,22,21,2 2,11,11,1 1 ij c 11 a [ ]             = 1 00 0 10 0 0/1/ /1 , 21 2 2221 111111112 nnnn n n aaa aaa aaaaa IA 9 B2: nhân hàng 1 với rồi cộng vào hàng 2 ⇒ j=2,3,…,n+1 Tiếp tục áp dụng với hàng thứ l Vậy có 2 bước tìm mt nghich đảo - Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả cho ,j=l,…,n+l - Với mỗi i=1,2,…,n; i ≠ l ta thay bằng ⇒ Tìm trở thành tìm (1.9) 21 a− 11212 )1( 2 / aaaa j j −= )1( −l lj a )1( −l ll a )1( −l ij a ( ) lnll a aa aa l ll l lj l il l ij l ij +=−= − −− − , ,, )1( )1()1( )1( 1− A )1()1()( / −− = l ll l lj l lj aaa 10 1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính Công thức Kramer Công thức Kramer Cho hệ pt sau: (1.10) Hệ pt này có thể viết dưới dạng: A= x= b= det A ≠ 0 thi (1.10) có nghiệm tính theo CT nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa =+++ =+++ =+++ 2211 22222121 11212111             nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211             n x x x . 2 1             n b b b . 2 1 bAx 1− = A