Sở g d và đt Quảng ninh đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Trờng thpt yên hng lớp 12 thpt năm học 2008 - 2009 .*. Môn : toán Thời gian: 180 phút (đề số 11) ( Đề thi có 01 trang) Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x + ) 7 1(4 2 11 2 x x ++ với x > 0 Bài 2 : Cho dáy số {u n } xác định nh sau: u o =u 1 = 1 và u n+1 = 1 + nn uu Chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên. Tìm giới hạn của dãy số đã cho Bài 3 : Tìm a, b để hệ =++ =+++ 0 0465 22 abyax yxyx có 2 nghiệm phân biệt Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự K, L, M, N. Chứng minh rằng: a) V S.ABC = V S.ACD = V S.ABD = V S.BCD ; b) SN SD SL SB SM SC SK SA +=+ . Bài 5: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ sáu trong khai triển nhị thức: 7 )13(log 5 1 79log )22( 1 2 1 2 + + + x x bằng 84 Hết . Họ và tên .,Số báo danh. GV: Hoàng Lợi Đáp an và thang điểm Bài Nội dung Điểm 1 ( 4 điểm) Đặt t = sinx + cosx ( - 2 t 2 ) . Có PT: lg 2 )1( 7 62 2 2 = + + t t t Suy ra lg 0 7 62 2 + + t t . Do tính đơn điệu của hàm số y = lgx( cơ số 10) nên có 1 7 62 2 + + t t 012 2 + tt suy ra t = 1. Suy ra: x = k2 ; x = 2 + k2 ( k Z ) 2đ 1 đ 1đ 2(4 điểm) a) Theo giả thiết có u n+1 = n u + 2008 với mọi n = 1, 2, 3, Bằng pp quy nạp C/m đợc u n < 1 + 2008 với mọi n = 1, 2, 3, b) Theo a thì dãy bị chặn trên và Chứng minh đợc ( Quy nạp) u 1 < u 2 < u 3 < suy ra dãy đơn điệu tăng Suy ra dãy có giớ hạn hữu hạn. Đặt x = Lim n u . Có u n+1 = n u + 2008 (u n+1 ) 2 = 2008 + u n Lim (u n+1 ) 2 = Lim(2008 + u n ) Lim n u = 2 80331 + ( giải phơng trình x 2 x 2008 = 0, lấy x > 0 ) 0,5đ 1,5đ 1 đ 1đ 3. ( 4 điểm) Vì M thuộc đờng tròn nên G/s M ( cos ; sin ) , [ 0; 2 ]. Đờng thẳng d vuông góc với AM tại M có pt: (cos - 2 )(x- cos ) + (sin )(y - sin ) = 0 . Hay (cos - 2 )x + (sin )y + 2 cos - 1 = 0 (*) G/s (x; y) là toạ độ những điểm không thuộc đờng thẳng (d) nào . (*) ẩn vô nghiệm. 3x 2 y 2 > 3 x 2 - 3 2 y > 1 Xét Hypebol: x 2 - 3 2 y = 1. ( dự đoán) C/m đợc họ ( * ) luôn tiếp xúc với Hypebol này. 0,5đ 1,5đ 1 đ 1đ 4 ( 4 điểm) SA (ABC) SA CM, SH CM CM ( SAH), Do đó CH AH hay góc AHC = 90 o . Điểm H nhìn AC dới một góc vuông, đồng thời nằm trên (ABC) cố định nên nó thuộc đờng tròn (C) đờng kính AC. Mặt khác M chạy trên đoạn AB nên điểm H chỉ chạy trêncung AH 1 ( H 1 là trung điểm của đoạn BC) Đảo lại ( có C/m) 1đ 1đ GV: Hoàng Lợi Có V SAHC = 3 1 SA. S AHC . Vì S AHC = 2 1 AH.HC 444 2222 aACHCAH == + Nên V SAHC 12 3 a . Đẳng thức xảy ra khi HA = HC hay góc ACM bằng 45 o . Từ đó suy ra kết quả 1đ 1đ 5 ( 4 điểm) +) TH: y = 0 A = 2. +) TH: y 0 đặt t = y x . Ta có 1 32 2 2 2 ++ + = tt ttA ( Khảo sát hàm số hoặc dùng tam thức bậc 2) Tìm đợc MaxA = 19738 19476 + ; MinA = 19738 19476 + 0,5đ 1,5đ 2đ GV: Hoàng Lợi