Công phá đề thi THPT QG môn Toán bằng kỹ thuật Casio - Lâm Hữu Minh

Luyende.com CÔNG PHÁ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN BẰNG KỸ THUẬT CASIO www.luyende.com Luyende.com Luyende.com NHẬP MÔN KỸ THUẬT CASIO Kỹ thuật CASIO luyện thi THPT Quốc gia tập hợp thao tác sử dụng MTBT CASIO theo cách khác bình thường mà chí người thi Học sinh giỏi giải toán máy tính CASIO chưa thực Bởi Kỹ thuật CASIO sáng tạo hình thức luyện thi THPT Quốc gia, mà toán đề thi Học sinh giỏi giải toán máy tính CASIO lại thuộc dạng khác hẳn Kỹ thuật CASIO hướng đến mục tiêu: + Thứ nhất: luyện cho bạn dẻo tay bấm máy tính trình giải toán Sau thời gian luyện tập khiến bạn nhanh nhạy cầm máy trước vấn đề dù nhỏ, dẫn đến tăng tốc độ “CÔNG PHÁ” trước giới hạn thời gian + Thứ hai: đưa cho bạn phương pháp bấm máy hiệu để tránh thao tác thuộc loại “trâu bò” mà lâu nhiều bạn bấm, xử lí đẹp số liệu xấu, tìm hướng giải ngắn cho toán Dù đề thi ngày hướng đến tư duy, suy luận cao tìm cách hạn chế việc bấm máy, học Kỹ thuật CASIO lâu Bộ hạn chế bạn sử dụng máy tính, miễn mang máy vào phòng thi!  + Thứ ba: luyện cho bạn linh hoạt sử dụng máy tính Đó niềm đam mê nghiên cứu khám phá tính mới, lối tư toán kết hợp hài hòa việc giải tay giải máy, óc sáng tạo để tìm phương pháp ngày ngắn gọn, nhắm đến tối ưu hóa trình giải toán Và từ đó, bạn tự nghiên cứu mở rộng Kỹ thuật CASIO sang môn học tự nhiên khác + Thứ tư: thành thục Kỹ thuật CASIO kết hợp với vốn kiến thức Toán học bạn, tạo nên tâm lý vững vàng bước vào kì thi (tất nhiên không phép chủ quan đâu đấy! ) Để đạt điều đó, phải suy nghĩ nhiều viết sách này: Luyende.com + Thứ phải sử dụng cách truyền đạt để bạn dễ tiếp thu mà lại kích thích óc sáng tạo bạn tính ỷ lại! Muốn vậy, chắt lọc lượng VD vừa đủ đưa vào, phân tích toán mức độ đủ dài để bạn tiếp thu Dù có số chuẩn bị đầy đủ trước viết vào, hầu hết tự bịa lúc viết, phân tích theo tư người vừa bắt đầu tiếp xúc vấn đề chuẩn bị để nói lại Do đó, hướng làm đưa có dài có ngắn, có hay có dở, chí tắc có!  Trong trình phân tích thường xuyên hỏi bạn câu hỏi để tìm công việc phải làm, để rèn luyện tư bạn nên thử suy nghĩ trước đọc tiếp + Thứ hai: phân tích dễ hiểu, mà phải có thêm chút hương vị hài hước để tạo hứng thú cho bạn đam mê khám phá!  Vậy bám sát Kỹ thuật CASIO liệu có làm bạn “suy giảm trí tuệ” không nhỉ? Câu hỏi đáng phải trả lời đấy!  Các bạn tư phép tính đơn giản 45 ÷ 32; 665 − 23; … lôi máy bấm Những bạn cố gắng nhẩm trình học, tập nhẩm tính thường xuyên giúp cho đầu óc nhanh nhạy đấy, không dạy Nếu muốn bạn search Google tìm 30 kỹ thuật tính nhẩm nhanh mà luyện tập ngày Những kỹ thuật tối ưu hóa phần nhiều giúp bạn loại bỏ công việc đơn giản lại thời gian, không cần thiết, VD khai triển đa thức bậc cao, nhẩm nghiệm PT,… Những không làm cho bạn bị dốt  Tuy nhiên kỹ thuật cao phân tích PT, hệ PT, khai số phức hay chứng minh BĐT đối xứng kỹ thuật mà lạm dụng mức bạn dốt Do đó, luyện tập giải tay cho ổn tính đến máy tính Và vậy, Kỹ thuật CASIO phù hợp với HS lớp 12 nói riêng luyện thi THPT Quốc gia nói chung HS lớp 10; 11 Nhưng dù học bạn phải nhớ tinh thần học xuyên suốt chúng ta, là: không ngừng sáng tạo vươn xa! Mình thiết nghĩ đưa việc sáng tạo kỹ thuật CASIO vào làm môn học chương trình THPT khó môn Tin học đấy! (Thuận miệng nói vui!!! ) Bằng cách cố gắng xây dựng cầu nối toán chưa tìm cách giải với vấn đề tương đồng mà máy tính làm được, kết hợp với việc áp dụng kỹ thuật có sẵn để xử lí thử, bạn nghiên cứu kỹ thuật CASIO cho toán Từ mở rộng phạm vi áp dụng để kỹ thuật trở nên hoàn chỉnh hữu ích  Đấy phương pháp nghiên cứu mà áp dụng, nói sơ qua chút cho bạn có thêm ý chí khám phá!  Loại máy tính sử dụng thông dụng: CASIO fx-570ES, loại khác cần có hình hiển thị tương tự áp dụng (tự điều chỉnh làm theo chứ?), chí có nhiều chức chờ bạn khai thác Tất sách hoàn toàn nghiên cứu ra, nhiều Kỹ thuật sưu tầm từ nhiều nguồn khác nhau, tiêu biểu tác giả: + Bạn Bùi Thế Việt: admin Fb group: Thủ Thuật Giải Toán Bằng CASIO Link group: https://www.facebook.com/thuthuatcasio + Thầy Đoàn Trí Dũng: admin Fb group: VIDEO BÀI GIẢNG CASIO MAN Link group: https://www.facebook.com/groups/141497249516023 + Anh Nguyễn Thế Lực: fanpage: Bí Kíp Thế Lực Link fanpage: https://www.facebook.com/bikiptheluc.com.No1 Nếu bạn muốn giỏi Kỹ thuật CASIO, bạn cần phải tìm tòi học hỏi thật nhiều thế! Lời cuối muốn nói, trang sách phép chép hình thức, có điều, ghi rõ nguồn tác giả chép!  Chúc bạn học tốt!  Luyende.com I Một số kỹ thuật đơn giản quan trọng Hẳn nhiều người có chút thắc mắc việc chia phần làm kỹ thuật đơn giản kỹ thuật phức tạp làm cho công, theo họ cần xếp kỹ thuật từ dễ đến khó Mình nghĩ qua vấn đề Mình thấy làm hợp lí, song lí khác mà tách riêng làm phần thêm cụm từ “nhưng quan trọng” vào, nghe đớ chút lại đánh dấu “lí khác”  Lí là: kỹ thuật phần kỹ thuật xuất hầu hết kỹ thuật phần thứ hai, nghĩa chúng dùng xuyên suốt kỹ thuật phức tạp sau thao tác phụ trợ cho kỹ thuật Nói cách khác, chúng mang tính kết nối, điểm chung kỹ thuật phức tạp, kỹ thuật phức tạp kia, nội dung liên quan đến Vì lẽ bọn chúng “ở nhà riêng”!  Và mà kỹ thuật nhỏ “quan trọng”, chúng thao tác góp phần tăng nhanh tốc độ giải toán mà bạn cần nắm kỹ trước lĩnh hội kỹ thuật phía sau Bây bắt đầu!  Nhập phương trình hiệu Cái chắn nhiều người lờ đi, tiếc thay người chưa biết cách nhập PT (phương trình) phù hợp, thuận tiện tính toán Đơn giản bạn nghĩ PT nhập vào thế, nhập thêm kí hiệu “ = ” vào việc kết hợp với kỹ thuật cao cấp khác phần sau bất tiện, gây Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com chậm chạp, bạn không nên nhập kí hiệu “= 0” mà chuyển hết đại lượng sang vế trái nhập vế trái vào thôi!  VD Ta nhập PT 2( x + 2) = x3 +1 vào máy hình sau: 2(x + 2) − x3 +1 Khi nhập này, bạn sẽ: + Thứ nhất: tối ưu hóa việc giải nghiệm PT kĩ xảo phía + Thứ hai: tính giá trị biểu thức 2(x + 2) − x3 +1 với giá trị x khác nhanh mà cần nhấn CALC không cần quay lại xóa kí tự “= 0” (nhất PT cồng kềnh), sửa PT thành biểu thức để tính với CALC nhanh Tối ưu hóa việc giải nghiệm PT Chúng ta xét PT trên: 2( x + 2) = x3 +1 Sau nhập PT theo kỹ thuật 1, bạn nhấn = , kết kệ ta cần giữ lại PT để giải nhiều lần Cái kết chẳng qua giá trị X có sẵn từ trước mà Khởi đầu bạn nên gán X theo điều kiện (ĐK) x, không tìm (hoặc ngại tìm) ĐK bạn gán X = (nếu X chưa 0), gọi giá trị khởi đầu việc dò nghiệm Bài sau gán X = 0, máy cho ta X ≈ 5,541381265 , bạn lưu vào biến A Ở có thao tác phải nhắc lại nhiều người làm sao, để lưu nghiệm biến (cụ thể X, ban đầu ta dùng biến X để giải) sang biến khác Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com (ở biến A) bạn nhấn: ALPHA X SHIFT RCL (STO ) (−) ( A) , hình X → A Bây bạn nhấn ∆ để quay lên PT lưu, nhấn trỏ nằm đầu Tiếp tục nhấn ( SHIFT DEL , lúc trỏ chuyển thành hình tam giác, chức chèn biểu thức xuất vào biểu thức khác Cụ thể hình: ( 2( X Tiếp tục bấm + 2) − X +1 , biểu thức xuất chèn lên tử số phân thức Tiếp tục thao tác chỉnh sửa ta thu được: 2( X + 2) − X +1 ( X − A) (chú ý phải có dấu ngoặc đơn mẫu!) Bây bạn tiếp tục cho máy giải PT đừng có thay đổi, mà = 2( X + 2) − X +1 (X − A) , máy hỏi giá trị X hay A = cho giải thôi!  Do ta đưa ( X − A) xuống mẫu nên máy hiển thị lại nghiệm tìm (đã lưu vào A), buộc phải tìm nghiệm khác (nếu có) Và ta tối đa hóa việc vét nghiệm PT Nghiệm ta thu là: X ≈ − 5,541381265 Trước lưu vào B bạn lại quay lại PT 2( X + 2) − X +1 ấn = ( X − A) để lưu lại (kết mặc kệ! ) Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com Bây giờ, thực thao tác tương tự bạn sửa PT thành 2( X + 2) − X +1 ( X − A)( X − B) sau lại cho máy giải, không cần quan tâm giá trị X, A, B làm gì… Vâng, lần máy báo Can’t Solve, nghĩa PT 2( X + 2) − X +1 vô nghiệm, nói ( X − A)(X − B) cách khác, PT cho không nghiệm khác nghiệm A, B  Vậy với PT có vô số nghiệm PT lượng giác sao? Khi học kỹ thuật, bạn tiếp thu tốt biết đặt băn khoăn, thắc mắc vấn đề nói đến  Với PT lượng giác, nghiệm có dạng x = aπ + kbπ (k ∈ ) , a ∈(−2;2) , để việc vét nghiệm PT lượng giác mà chúng có ích cho việc giải PT, ta cần vét hết giá trị a được, phần kbπ không cần quan tâm Và cách vét đó, hoàn toàn giống với loại PT khác nói trên, với giá trị ban đầu X = Khi đọc đến phần phía sau liên quan đến việc giải PT lượng giác, bạn hiểu rõ thao tác sử dụng để vét nghiệm nào…  Nguyên tắc thử giá trị tốt Nguyên tắc đơn giản nghĩ ra, từ trước đến chưa thấy tài liệu MTBT có đề cập đến nó, nên bạn xem lần đưa vậy!  Như nói, nguyên tắc đơn giản, muốn kiểm tra máy tính xem f (x ) = g ( x) hay không, ta nhập khoảng 1; giá trị X phù hợp để tính giá trị biểu thức f ( X ) − g ( X ) , kết chứng tỏ f (x ) = g ( x) !  Nói buồn cười, thực bạn thử giá trị X kết luận f (x ) = g ( x) đâu! Thời gian không cho phép, kĩ thuật tối ưu hóa phải tối ưu thời gian kết Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com x + y + z = 4000  Vứt PT đi, t = 1000, ta hệ mới:  y − z = 1003   x + y + 4z = x= 7089 7t + 89 = =  2363 3  y = 330 990 t −10  = = Giải hệ ta thu được:   3  2019 2t +19 z Thế vào PT hệ gốc:  = − = − 673 = −  3  7t + 89  t −10     − 2t +19  − 5t = ⇔ t + 2 − =  3   49 x = 521  29   ⇒ y =   68  z = − Cái chỗ thấy lo chỗ xấp xỉ x = 7t + 89 , nhìn không chắn y với z, cuối cùng, thử xác, không sửa lại  Cái việc để xấp xỉ cho đúng, việc học kỹ thuật linh hoạt ra, phải tập nhiều dày dạn kinh nghiệm Còn số lưu ý để xấp xỉ xác cho bạn thấy lần sử dụng trước đó, nên chẳng cần thêm VD3 làm  Như thêm ẩn giải phương pháp trên, ấn từ ẩn xuống ẩn cách ẩn 1000 1000000 (!), 100 10000, xấp xỉ  Có điều ẩn Nhưng ẩn rồi, kết thúc luôn! Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com Chứng minh bất đẳng thức đối xứng Đây vấn đề nhỏ mà không chịu học, biết thế, ước mơ 9đ có lẽ nhiều bạn học khá, chí giỏi Toán Bởi thế, không khuyến khích bạn học nhiều làm gì, kỹ thuật không giúp nhiều gì, bạn cần phải học lấy kiến thức túy (không có máy tính) Việc học BĐT đề thi THPT Quốc gia khó không vô tận kinh khủng chất toàn vẹn BĐT Toán học, có phương pháp ứng dụng BĐT (Cauchy, Bunhia), đưa biến đạo hàm, người ta khủng Có người thầy nói: phương pháp tốt để học tốt tích phân học công thức đọc thật nhiều giải sẵn Theo để bạn có khả làm BĐT đề thi này, áp dụng tốt BĐT phải đọc thêm nhiều giải sẵn Bây ta vào vấn đề chính, sử dụng phương pháp tiếp tuyến c/m BĐT đối xứng  Dạng toán thường áp dụng tiếp tuyến sau: cho x1 + x2 + + xn = k , chứng minh P = f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ m (hoặc bắt tìm P ) Chiều ngược lại c/m tương tự Với BĐT đối xứng, thông thường điểm rơi (là giá trị biến để dấu "=" xảy ra) giá trị tất biến nhau, cụ thể dạng ta dự đoán điểm rơi x = i k (i = 1;n) n Và phương pháp tiếp tuyến áp dụng theo bước sau: + Bước 1: lập PT tiếp tuyến y = pxi + q hàm số y = f ( xi ) điểm có hoành độ x = k (trong i = 1;n ) i n Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com k + Bước 2: c/m f ( xi ) ≥ pxi + q với dấu "=" xảy xi = n + Bước 3: cộng vế kết luận: P ≥ p ( x1 + x2 + + xn ) + nq = pk + nq VD1 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: + + ≥ a + b + c2 a2 Ta viết lại BĐT: b2 c2 − a + − b + − c2 ≥ , dạng áp dụng tiếp tuyến a2 b2 c2 chúng ta: P = f ( a ) + f (b ) + f ( c) ≥ Dự đoán điểm rơi: a = b = c = Ở giấy nháp, ta giả sử f ( a ) ≥ pa + q , sử dụng máy tính để tìm p với q đây?  p = f '(1) Đơn giản, y = pa + q PT tiếp tuyến đồ thị y = f ( a) a = 1, nên  q = f (1) − p Cầm máy tính lên sử dụng chức tính đạo hàm điểm: nhấn SHIFT ∫ hình d ( ) |x= , không? dx d −X Muốn tính f '(1) , ta nhập biểu thức hoàn chỉnh  dx  X 2 Bây trình bày làm: ta chứng minh a2  x= 1 thu p = − , từ q = f (1) − p = −a = , nhấn ta  ≥ −4 a + Phần việc máy tính đến hết rồi, lại bạn tự c/m tiếp Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com Tương tự ta có − b ≥ − 4b + 4; − c ≥ − c + b2 c2 Cộng vế BĐT lại ta được: − a + − b + −c a2 b2 ≥ − 4(a + b + c) + 12 = − 4.3 + 12 = (dpcm)  c2 VD2 Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Chứng minh rằng: 6(a + b + c + d ) ≥ a + b + c + d + Trước hết xác định hàm số cần lấy tiếp tuyến: f ( a ) = 6a − a2 Thứ hai xác định điểm rơi: a = b = c = d =    Thứ xác định tiếp tuyến y = pa + q điểm a = , ta có:   q  Sử dụng máy tính tính biểu thức d (6X − X ) dx x = 1  4  1 p= f = f ' − p  4 p ta = , từ suy q = − 8 Vậy bạn chứng minh BĐT nhỏ: 6a − a ≥ a − 8 Sau cộng vế bọn chúng lại nhận lấy kết quả: 6(a + b + c + d ) − (a + b + c + d ) ≥ (a + b + c + d) − = − = (dpcm)  8 VD3 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com (2 a + b + c ) (2b + c + a ) (2 c + a + b)2 ≤ + + 2 2 a + (b + c ) 2b + ( c + a ) 2c + ( a + b) Trong đề thi chuyện "chuẩn hóa", tính đối xứng BĐT nên giấy nháp ta có quyền "chuẩn hóa" a + b + c = để dự đoán điểm rơi a = b = c = 1, tìm hướng giải cho trường hợp a + b + c = 3, bưng vào đề việc giải theo cách tương tự Nhìn qua BĐT này, chắn nhiều người thấy bất lực với tiếp tuyến, chuẩn hóa a + b + c = sửa đổi tí hàm biến ngay, cụ thể sau: (2a + b + c ) (2b + c + a ) (2c + a + b)2 + + 2a + (b + c ) 2b + ( c + a ) 2c + ( a + b)2 (a + 3)2 (b + 3)2 (c + 3)2 = 2a + (3 −a ) + 2b + (3 −b)2 + 2c + (3 − c)2 2 = a + 6a + + b + 6b + + c + 6c + 2 3a − 6a + 3b − 6b + 3c − 6c + 2 Vậy ta cần c/m: a + 6a + + b + 6b + + c + 6c + ≤ 24 a − 2a + b − 2b + c −2c + Chú ý điều kiện a, b, c dương nên a , b , c ∈(0;3) ≤ 4a + + 6a + a Đến dễ rồi, tìm tiếp tuyến y = 4a + ta c/m a −2a + BĐT tương tự Vậy bê vào đề thi phải trình bày nào? Đơn giản, cần chuyển toán giải giấy nháp Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com VIETMATHS.NET Luyende.com Tức là: đặt a = kx; b = ky ; c = kz ( k > 0) cho x + y + z = , ta có x , y , z ∈(0;3) (2z + x + y)2 ≤ + +  BĐT cần c/m trở thành: 2 y + ( z + x ) 2z + (x + y)2 2x + ( y + z ) (2x + y + z ) (2 y + z + x ) Chúng ta sang VD4, tổng quát chút VD4 cho bạn tiếp xúc với dạng tổng quát phương pháp tiếp tuyến phương pháp hệ số bất định (UCT), phương pháp cực dễ nắm bắt VD4 ta làm có dạng: cho x1 , x2 , , xn ≥ thỏa mãn g ( x1 ) + g ( x2 ) + + g(xn ) = k , chứng minh P = f ( x1 ) + f ( x2 ) + + f ( xn ) ≥ m Đây BĐT đối xứng nên điểm rơi dự đoán xi = x0 (i = 1;n) f (t ) ≥ Ta giả sử BĐT phụ cần c/m có dạng: α   g (t) − k + m , dấu "=" xảy t = x   n n Vấn đề cần tìm xem α  Theo ta có hàm số h (t ) = f (t ) − α g(t) − k  − m đạt cực trị t = x , nói cách   n  f '(x0 ) khác: h '(x0 ) = ⇔ f '(x0 ) − α g '(x0 ) = ⇔ α =  g (t) g '(x0 )  Như ta có f (xi )≥ f '(x0 )   g(x i g '(x0 )  Cộng BĐT phụ lại ta được: P ≥ )− n g '(x0 ) f '(x0 )  f (t ) ≥ Vậy BĐT phụ ta cần c/m là: f '(x0 ) k m + n n k m + n − i = 1;n n [g ( x1 ) + g ( x2 ) + + g ( xn ) −k ] + m = m ( dpcm) g '(x0 ) Đấy phương pháp UCT  Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com VIETMATHS.NET Luyende.com Trong phương pháp này, bạn cần phải nắm thêm mẹo điều kiện, đề mà cho (hoặc ta chuẩn hóa) g ( x1 )g ( x2 ) g(xn ) = k thay tổng trên, để áp dụng phương pháp này, bạn cần chuyển dạng tổng cách lấy logarit vế: ln[ g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xn )] = ln k ⇔ ln g ( x1 ) + ln g ( x2 ) + ln g ( xn ) = ln k Vậy câu hỏi đặt BĐT phụ có hay không? Đáp: đúng, hầu hết loại mà bạn thi Nếu nhỡ may không đúng, ta phải chia trường hợp theo điều kiện xét đổi dấu, để giải tiếp  Được rồi, áp dụng làm VD4 VD4 Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c2 = Tìm GTNN biểu thức: P = 3(a + b + c) +  1   + +  a b c 2 Viết lại P = 3a + + 3b + + 3c + a b c  ⇒  f (t ) = 3t +   g (t ) = t t BĐT phụ ta cần c/m có dạng: f (t ) ≥ pt + q Vì điểm rơi a = b = c = 1, theo công thức chứng minh, ta bấm máy d p =  3X dx  + d (X2) dx 2  X  x= 1 = , từ suy q = f (1) − = 2 x= Vậy nói chung điểm quan trọng toán ta phải c/m BĐT: 3a + ≥ a2 + a22 biến, khó cả, bạn tự làm tiếp nhé!  Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com c ( c −ab) ≥ VD5 Cho a, b, c > Chứng minh: + + 2a + bc 2b2 + ca 2c + ab a ( a − bc) b (b − ca ) Bài lại khó VD3 nữa, ta chuẩn hóa, tội không chuẩn hóa phát nhỉ!  Nhìn theo cụm ta nhận thấy BĐT cần c/m chứa số hạng a bc, mặt khác phải f ( a ) + f (b ) + f ( c) ≥ , ta chuẩn hóa abc = chuẩn hóa cho có dạng   1  1 1  bb −  cc −  a +  b +  c ≥  2 2a + 2b + 2c + aa Khi đó, BĐT trở thành: − a b c c ( c3 −1) ≥ + + Viết gọn lại 2a + 2b + 2c3 +1 a ( a − 1) b(b − 1) Điều kiện abc = chưa dạng ta cần, ta áp dụng logarit hóa: ln(abc ) = ln1 ⇔ ln a + ln b + ln c = ⇒ điểm rơi a = b = c = Vậy theo UCT, ta phải c/m BĐT phụ: p = a ( a3 −1) ≥ p ln a + q , đó: 2a3 +1 d  X −X    +1  x= dx  2X d (ln( X )) dx a ( a3 −1) BĐT 2a3 +1 = 1⇒ q = f (1) − ln1 = x= ≥ ln a bạn có c/m không? Vì chứa ln a hàm khác loại thao tác khó so với hàm đa thức nên lúc có đạo hàm c/m dễ thôi!  Mục đưa VD với phương pháp phổ biến thôi, phương pháp dễ sử dụng nên thêm tí nữa, bạn search Google để tìm thêm tập dạng muốn luyện tập khám phá!  Tìm tài liệu Toán Tải tài liệu miễn phí www.luyende.com Luyende.com LỜI KẾT Dự liệu sách mắt vào năm 2014 để bạn tuổi (sinh năm 1997) có tài liệu luyện thi năm 2015, số việc quan trọng khác khiến hoãn lại đến tận 23/8/2015 hoàn thành Và bây giờ, trở thành tài liệu luyện thi cho 98er trở sau nguồn tham khảo cho muốn nghiên cứu kỹ thuật CASIO để phục vụ cho việc học tập Cuốn sách tâm huyết thời gian gần năm rưỡi, sách tổng hợp sáng tạo chiêu thức sử dụng máy tính CASIO học tập quý giá Mình soạn không đam mê nghiên cứu Toán học mà hướng đến mục tiêu góp phần vào việc tối ưu hóa điểm số môn Toán hệ học sinh phía sau Do đó, hi vọng bạn sau học xong, dùng phục vụ tích cực cho việc học tập, mà dùng truyền cảm hứng sáng tạo cho hệ sau Một ước mơ nhỏ nhoi, có thôi!  ...Luyende.com NHẬP MÔN KỸ THUẬT CASIO Kỹ thuật CASIO luyện thi THPT Quốc gia tập hợp thao tác sử dụng MTBT CASIO theo cách khác bình thường mà chí người thi Học sinh giỏi giải toán máy tính CASIO chưa... tính CASIO chưa thực Bởi Kỹ thuật CASIO sáng tạo hình thức luyện thi THPT Quốc gia, mà toán đề thi Học sinh giỏi giải toán máy tính CASIO lại thuộc dạng khác hẳn Kỹ thuật CASIO hướng đến mục tiêu:... kỹ thuật phần kỹ thuật xuất hầu hết kỹ thuật phần thứ hai, nghĩa chúng dùng xuyên suốt kỹ thuật phức tạp sau thao tác phụ trợ cho kỹ thuật Nói cách khác, chúng mang tính kết nối, điểm chung kỹ