Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn Thạc sĩ - Chưa phân loại | Hanoi University of Science, VNU tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đ...
Tóm tắt luận văn Các tập lồi đa thức có vai trò quan trọng lý thuyết hàm số hàm nhiều biến phức, đặc biệt liên quan đến toán xấp xỉ Trong giải tích cổ điển, biết đến định lý Stone-Weirstrass xấp xỉ hàm liên tục đa thức tập compact Rn Trong giải tích hàm nhiều biến phức, theo định lý Oka-Weil K tập lồi đa thức Cn hàm chỉnh hình lân cận K xấp xỉ K đa thức Một tập compact X Cn gọi lồi đa thức với điểm z ∈ Cn \ X tồn đa thức P cho |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X} Không phải tập compact Cn lồi đa thức, vấn đề đặt với điều kiện tập hợp Cn lồi đa thức Trong luận văn này, tác giả đề cập đến điều kiện để tập compact hợp hai n-phẳng thực Cn tập lồi đa thức Luận văn gồm hai chương: Chương bao gồm kiến thức chuẩn bị hàm chỉnh hình, số định lý xấp xỉ, hàm đa điều hòa, đa tạp túy thực, vành chỉnh hình, đại số Trong chương tác giả đưa số ví dụ đơn giản tập lồi đa thức Cn , đồng thời phát biểu chứng minh bổ đề Kallin điều kiện để hợp hai tập lồi đa thức không thiết rời tập lồi đa thức Tác giả đưa áp dụng bổ đề Kallin để xét tính lồi đa thức hợp hình cầu Cn Chương luận văn tập trung vào phát biểu chứng minh định lý điều kiện để tập compact hợp hai n−phẳng thực Cn tập lồi đa thức Trong trường hợp điều kiện định lý không thỏa mãn, tác giả đưa định lý bao lồi đa thức tập compact hợp hai n−phẳng thực Cn hai định lý xấp xỉ đa thức Cuối chương ví dụ cặp đa tạp túy thực C2 giao gốc có hợp tập lồi đa thức hợp không gian tiếp xúc có tập compact không lồi đa thức Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω tập mở Cn , ta đồng Cn với R2n Xét hàm f : Ω → C, f ∈ C (Ω), zj = xj + iyj , j = 1, , n n df = j=1 n = j=1 ∂f dxj + ∂xj ∂f dzi + ∂zj n j=1 n j=1 ∂f dyj ∂yj ∂f dzj , ∂zj ∂f = ∂zj ∂f = ∂zj ∂f ∂f −i ∂xj ∂yj ∂f ∂f +i ∂xj ∂yj , Định nghĩa 1.1 Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định Ω với x, y ∈ Rn Hàm f gọi R2n -khả vi z0 = x0 + iy0 hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x0 , y0 ) Định nghĩa 1.2 Hàm f gọi Cn -khả vi z0 ∈ Ω f R2n -khả vi z0 f thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann: ∂f (z0 ) = 0, j = 1, , n, ∂zj n tức df = ∂f dzj j=1 ∂zj Định nghĩa 1.3 Hàm f gọi chỉnh hình z0 ∈ Ω Cn -khả vi lân cận z0 Hàm f gọi chỉnh hình Ω f chỉnh hình z0 ∈ Ω Hàm f gọi chỉnh hình tập compact K ⊂ Ω tồn tập mở ω cho K ⊂ ω ⊂ Ω f chỉnh hình ω Hàm f chỉnh hình toàn Cn gọi hàm nguyên Đối với hàm chỉnh hình ta có tính chất sau: Định lý 1.1 Nguyên lý môđun cực đại Giả sử f hàm chỉnh hình miền bị chặn D liên tục D Khi f hàm f đạt cực đại biên bD D 1.2 Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.4 Hàm thực n biến u(x1 , x2 , , xn ) khả vi liên tục cấp hai tập mở D ⊂ Rn gọi hàm đa điều hòa ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u u(x) = (x) + (x) + + (x) = 0, ∂x1 ∂x2 ∂xn với x ∈ D Định lý 1.2 Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y) hàm chỉnh hình miền Ω ⊂ Cn , với z = x + iy x, y ∈ Rn Khi u(x, y) v(x, y) hàm đa hàm điều hòa Ω Định lý 1.3 Nguyên lý cực đại Giả sử u : D → R hàm đa điều hòa, D ⊂ Cn Nếu K tập compact D f |K đạt giá trị cực đại cực tiểu biên bK K Trong trường hợp D tập liên thông, f đạt cực đại địa phương điểm z0 ∈ D số lân cận z0 1.3 Một số định lý xấp xỉ Định lý 1.4 Định lý Stone-Weirstrass Mỗi hàm số liên tục f (x) tập compact X ⊂ Rn giới hạn dãy đa thức với hệ số hữu tỉ Định lý 1.5 Định lý Runge Cho K tập compact C C \ K tập liên thông, f hàm chỉnh hình K Khi f giới hạn K dãy đa thức Định lý 1.6 Định lý Mergelyan Giả sử K tập compact C C \ K tập liên thông Khi với hàm f : K → C liên tục cho f |int(K) : int(K) → C hàm chỉnh hình xấp xỉ K đa thức 1.4 Khái niệm tập lồi đa thức số ví dụ Định nghĩa 1.5 Tập K ⊂ Cn gọi tập lồi với z0 ∈ Cn \K, tồn phiếm hàm tuyến tính l : Cn → R cho: l(z0 ) = l(z) < với z ∈ K Mở rộng khái niệm tập lồi khái niệm tập lồi đa thức Định nghĩa 1.6 Tập compact X Cn gọi lồi đa thức với điểm z ∈ Cn \ X tồn đa thức P cho: |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X} Ta ký hiệu P X = sup{|P (x)| : x ∈ X} Định nghĩa 1.7 Nếu X tập compact Cn , bao lồi đa thức X tập X = {z ∈ Cn : |P (z)| ≤ P X với đa thức P } Sau số ví dụ đơn giản tập lồi đa thức Cn Ví dụ 1.1 Mọi tập K compact lồi Cn lồi đa thức Ví dụ 1.2 Giả sử K tập compact C Khi K tập lồi đa thức C\K tập liên thông Ví dụ 1.3 Mọi tập compact K ⊂ Rn lồi đa thức Từ ví dụ 1.2 định lý Runge, ta có hàm f chỉnh hình tập lồi đa thức C xấp xỉ đa thức Liệu kết có trường hợp tổng quát Cn không? Định lý Oka-Weil trả lời cho câu hỏi Định lý 1.7 Định lý Oka-Weil Nếu tập compact K Cn tập lồi đa thức f hàm chỉnh hình lân cận K với cho f −P K< > tồn đa thức P 1.5 Đại số Cho X tập compact Cn Ký hiệu : C(X) = {f : X → C, f liên tục} K P(X) = {f ∈ C(X), ∃ dãy đa thức {Pn } : Pn ⇒ f } A(X) = {f liên tục, chỉnh hình phần X} B(V ) = {f chỉnh hình V, với V tập mở Cn } Định nghĩa 1.8 Một C-đại số A gọi đại số Banach (A, · ) không gian Banach thỏa mãn xy ≤ x y với x, y ∈ A = Định nghĩa 1.9 Giả sử X không gian compact, Hausdorff, đại số có đơn vị, tách điểm, đóng đại số C(X) gọi đại số X Điều kiện tách điểm có nghĩa với hai điểm phân biệt x, x ∈ X, tồn hàm f thuộc đại số cho f (x) = f (x ) Ví dụ 1.4 C(X), P(X), A(X), B(V ) đại số X Định nghĩa 1.10 Giả sử A đại số Banach giao hoán, phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C, ϕ = thỏa mãn ϕ(f.g) = ϕ(f ).ϕ(g) gọi đặc trưng A Định lý 1.8 Giả sử X không gian compact Hausdorff ϕ đặc trưng C(X) Khi tồn x ∈ X cho ϕ(f ) = f (x) với f ∈ C(X) Định lý 1.9 Nếu X tập compact Cn đặc trưng ϕ P(X) có dạng f −→ f (z) với z ∈ X Khi ϕ(f ) = f (z) với f ∈ P(X) Từ hai định lý 1.8 1.9 ta có: Định lý 1.10 Nếu P(X) = C(X) X tập lồi đa thức Trước đưa định nghĩa biểu diễn độ đo đặc trưng đại số đều, ta nhắc lại định lý Haln-Banach định lý biểu diễn Riesz Định lý 1.11 Định lý Haln-Banach Một phiếm hàm tuyến tính liên tụcf xác định không gian M không gian định chuẩn X thác triển thành phiếm hàm tuyến tính liên tục F toàn thể X cho F = f Định lý 1.12 Định lý biểu diễn Riesz Cho Λ hàm tuyến tính dương C(X) Khi tồn σ-đại số M X chứa tất tập Borel X tồn độ đo dương µ biểu diễn Λ theo nghĩa: a) Λ(f ) = X f dµ với f ∈ C(X) b) µ(K) < ∞ với tập compact K ⊂ X c) Với E ∈ M ta có µ(E) = inf{µ(V ) : V ⊂ E, V mở} d)µ(E) = sup{µ(K) : K ⊂ E, Kcompact }, với tập mở E với E ∈ M có µ(E) < ∞ e) Nếu E ∈ M, A ⊂ E với µ(E) = A ∈ M Định nghĩa 1.11 Cho A đại số không gian compact Hausdorff X ϕ đặc trưng A Một độ đo Borel hữu hạn µ X với dµ = gọi độ đo biểu diễn cho ϕ với f ∈ A, ϕ(f ) = X 1.6 Bổ đề Kallin f (x)dµ(x) Đối với hai tập lồi compact rời Cn hợp chúng lồi đa thức chúng tách hàm tuyến tính Một cách tổng quát, hợp hai tập lồi đa thức Cn chưa tập lồi đa thức Ví dụ sau hợp hai tập compact, lồi có điểm chung không tập lồi đa thức Ví dụ 1.5 Xét hai tập hợp X1 = {z ∈ C2 : z1 = z2 , |z2 | ≤ 2}, X2 = {z ∈ C2 : z1 = 2z2 , |z2 | ≤ 2} Bổ đề Kallin sau đưa điều kiện để hợp hai tập lồi đa thức không thiết rời tập lồi đa thức Bổ đề 1.1 Bổ đề Kallin Cho X1 , X2 tập lồi đa thức Cn p đa thức cho tập lồi đa thức Yj = (p(Xj )), j = 1, C giao nhiều điểm gốc điểm biên tập Nếu tập p−1 (0) ∩ (X1 ∪ X2 ) lồi đa thức X = X1 ∪ X2 tập lồi đa thức Nếu thêm điều kiện P(X1 ) = C(X1 ) P(X2 ) = C(X2 ) P(X) = C(X) Áp dụng bổ đề trên, Kallin chứng minh kết sau: Định lý 1.13 Hợp ba hình cầu đóng rời tập lồi đa thức Kallin chứng minh hợp ba đa đĩa đóng rời không lồi đa thức Khudaiberganov Kytmanov đưa ví dụ hợp ba ellipsoid đóng rời không lồi đa thức Liệu hợp bốn hình cầu đóng rời có tập lồi đa thức hay không? Vấn đề chưa có câu trả lời Tuy nhiên, tâm hình cầu thuộc Rn , ta có kết sau: Định lý 1.14 Tập X hợp hữu hạn hình cầu đóng có phần rời nhau, tâm điểm thuộc Rn lồi đa thức 1.7 Đa tạp túy thực Định nghĩa 1.12 Một C đa tạp Σ tập mở Cn gọi túy thực với điểm p ∈ Σ không gian tiếp xúc Tp (Σ) không chứa đường thẳng phức nào, tức Tp (Σ) ∩ iTp (Σ) = {0} Bổ đề 1.2 ∂/∂x1 |p , , ∂/∂xn |p , ∂/∂y1 |p , , ∂/∂yn |p sở Tp (Σ) Ví dụ 1.6 Đặt M (A) = (A + iI)Rn M (A) đa tạp túy thực i không giá trị riêng A Định lý 1.15 Cho X tập compact Cn ánh xạ R = (R1 , R2 , , Rn ) : X → Cn thỏa mãn điều kiện Lipschitz: tồn c ∈ (0, 1), |R(z) − R(z )| < c|z − z | với z, z ∈ X Xét Ω lân cận X ánh xạ Φ : Ω → C2n 10 xác định Φ(z) = (z, z + R(z)) Khi Φ(X) tập lồi đa thức C2n 1.8 Vành chỉnh hình Định nghĩa 1.13 Tập compact E Cn gọi vành chỉnh hình Cn E ảnh vành Ω = {1 ≤ |λ| ≤ r} qua ánh xạ 1-1, liên tục F cho F chỉnh hình phần Ω Định nghĩa 1.14 Nếu Ej = Fj (Ωj ), ≤ j ≤ m vành chỉnh hình Cnj , Σnj = n E1 × × Em gọi đa vành chỉnh hình Cn Biên S đa vành chỉnh hình E1 × × Em bE1 × × bEm , bEj = Fj ({|λ| = 1} ∪ {|λ| = rj }) Định nghĩa 1.15 Hàm liên tục g S gọi thác triển chỉnh hình vào đa vành g ◦ F chỉnh hình Ω1 × × Ωm , với F = (F1 , , Fm ) 11 Chương Tính lồi đa thức hợp hai n-phẳng thực Cn 2.1 Tính lồi đa thức hợp hai n-phẳng thực Cn Định lý 2.1 Nếu A ma trận thực n × n cho A + iI khả nghịch tập compact Rn ∪ M (A) lồi đa thức A giá trị riêng ảo có môđun lớn Nếu tất tập compact Rn ∪ M (A) lồi đa thức với tập compact X Rn ∪ M (A) có P(X) = C(X) Để chứng minh định lý ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Giả sử S ma trận thực n × n không suy biến Khi S −1 (M (A) ∪ Rn ) = M (S −1 AS) ∪ Rn 12 Bổ đề 2.2 Nếu λ ∈ R An = (aij )n×n cho: ajj = λ, ai,i+1 = 1, aij = 0, j n i n−1 trường hợp lại, tập compact X M (An ) ∪ Rn lồi đa thức P(X) = C(X) Bổ đề 2.3 Cho s, t ∈ R s = |t| ≤ Cho C = s −t t s Với n = 2k Dk ma trận cỡ n × n có khối Aij Trong Aij ma trận × 2: Ajj = C, j k Ai,i+1 = I, i k−1 Aij = 0, trường hợp lại Khi tập compact X M (Dk ) ∪ Rn tập lồi đa thức P(X) = C(X) Hệ 2.1 Nếu A < tập compact X Rn ∪ M (A) lồi đa thức P(X) = C(X) Trong trường hợp điều kiện định lý 2.1 không thỏa mãn, ta có kết sau: Định lý 2.2 Nếu A ma trận thực n × n cho i không giá trị riêng A k số giá trị riêng A (kể bội) có dạng ti, t > Khi tồn họ k-tham số mặt bậc hai phức (2n − k)-chiều thực Cn mà mặt bậc hai chứa bao lồi đa thức tập compact M (A) ∪ Rn 13 2.2 Xấp xỉ đa thức Định lý 2.2 số chiều bao lồi đa thức tập compact M (A) ∪ Rn bị chặn 2n − k Chú ý vành chỉnh hình chứng minh định lý 2.1 nằm mặt bậc hai định lý 2.2 Trong phần hai định lý xấp xỉ đa thức tập compact hợp hai không gian túy thực Khi ma trận A có giá trị riêng có dạng ti, với t > nghiệm đơn phương trình đặc trưng, ta có kết sau: Định lý 2.3 Cho A ma trận thực n × n mà đa thức đặc trưng có dạng p(λ) = (λ2 + t2 )q(λ), t > q đa thức bậc n − nghiệm dạng ti, t ≥ Khi tồn họ một-tham số vành chỉnh hình Cn có biên nằm M (A) ∪ Rn cho hàm f liên tục M (A) ∪ Rn giới hạn dãy đa thức tập compact M (A) ∪ Rn f thác triển chỉnh hình vào vành Nếu k > việc đưa công thức hàm liên tục M (A)∪Rn giới hạn đa thức khó Tuy nhiên, đưa kết thay sau: Giả sử n = 2k Trong trường hợp dạng chuẩnJordan thực −tj tj > Ta có ma trận A có khối (B1 , , Bk ) với Bj = tj 2k không gian túy thực Cn có dạng E1 Ek , Ej R2 M (Bj ) Ký hiệu X hợp 2k không gian Định lý 2.4 Nếu X xác định trên, tồn họ k-tham số đa vành chỉnh hình Cn có biên nằm X, có tính chất: hàm f liên 14 tục giới hạn đa thức tập compact X f thác triển tới hàm chỉnh hình đa vành 2.3 Ví dụ Sau ví dụ cặp đa tạp túy thực Σ1 Σ2 C2 thỏa mãn: a) Σ1 ∩ Σ2 = {0} b) Mỗi tập compact Σ1 ∪ Σ2 lồi đa thức c) T0 (Σ1 ) ∩ T0 (Σ2 ) = {0} d) T0 (Σ1 ) ∪ T0 (Σ2 ) có tập compact mà bao lồi đa thức không chứa T0 (Σ1 ) ∪ T0 (Σ2 ) Đặt Σ1 = {(z, 2z) : z ∈ C}, Σ2 = {(z, z + 4i z|z|2 : |z| < 1)} 15 ... X tồn đa thức P cho: |P (z )| > sup{|P (x )| : x ∈ X} Ta ký hiệu P X = sup{|P (x )| : x ∈ X} Định nghĩa 1.7 Nếu X tập compact Cn , bao lồi đa thức X tập X = {z ∈ Cn : |P (z )| ≤ P X với đa thức P... Cn chưa tập lồi đa thức Ví dụ sau hợp hai tập compact, lồi có điểm chung không tập lồi đa thức Ví dụ 1.5 Xét hai tập hợp X1 = {z ∈ C2 : z1 = z2 , |z2 | ≤ 2}, X2 = {z ∈ C2 : z1 = 2z2 , |z2 | ≤... Fj ( {| | = 1} ∪ {| | = rj }) Định nghĩa 1.15 Hàm liên tục g S gọi thác triển chỉnh hình vào đa vành g ◦ F chỉnh hình Ω1 × × Ωm , với F = (F1 , , Fm ) 11 Chương Tính lồi đa thức hợp hai n-phẳng