THÔNG TIN VỀ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Trịnh Hữu Trang Giới tính: Nam Ngày sinh: 23/11/1984 Nơi sinh: Nam Định Quyết định công nhận học viên số: , ngày 10 tháng 10 năm 2008 Các thay đổi trình đào tạo: Tên đề tài luận văn: ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Toán giải tích Mã số: 60.46.01 10 Cán hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện KH&CNVN 11 Tóm tắt kết luận văn: Luận văn đề cập đến định lý tách tập lồi số ứng dụng định lý tối ưu hóa Nội dung luận văn gồm chương: Chương “Các khái niệm bản” trình bày số kiến thức sở tập lồi hàm lồi như: tổ hợp lồi, tập affin, tập lồi đa diện, nón lồi, hàm lồi tính chất liên quan Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương “Định lý tách tập lồi” trình bày chứng minh nội dung hai định lý tách hệ Định lý tách 1: Cho C D hai tập lồi khác rỗng Rn cho C D Khi có siêu phẳng tách C D Định lý tách 2: Cho C D hai tập lồi đóng khác rỗng cho C D Giả sử có tập com-pắc Khi hai tập tách mạnh siêu phẳng Bên cạnh đó, tác giả đưa số ví dụ minh họa Chương “Một số ứng dụng định lý tách” trình bày ứng dụng hai định lý tách Cụ thể là: - Chứng minh điều kiện tối ưu toán (OP): Bài toán (OP) Tìm cực tiểu hàm lồi tập lồi có dạng sau f x với điều kiện g i x 0, i 1, , m , h j x 0, j 1, , k x X Trong X R n tập lồi đóng khác rỗng f , g i i 1, , m hàm lồi hữu hạn X , h j j 1, , k hàm a-phin hữu hạn tập a-phin X - Tìm điều kiện cần đủ để hệ bất đẳng thức lồi có nghiệm Giả sử f , f1 , , f m hàm lồi hữu hạn tập lồi D Khi đó, hệ x D, fi x 0, i 0,1, , m (3.2) nghiệm, tồn số i i 0,1, , m không đồng thời cho m f x i i x D i 0 Ngoài ra, có điều kiện quy Slater: tồn x D, f i x0 với i 1, , m 0 - Chứng minh bổ đề làm sở cho định lý xấp xỉ hàm lồi hàm non a-phin: Cho f hàm lồi đóng, thường R n Khi với điểm x , t epif , tồn R , R 0 n cho T x f x T x t x dom f - Chứng minh tồn vi phân hàm f trường hợp f lồi Cho f : R n R lồi, thường Khi đó: (i) Nếu x domf , f x (ii) Nếu x int domf f x , com-pắc, x ri domf - Vô hướng hóa toán tối ưu đa mục tiêu lồi (i) Cho R p Khi nghiệm cực tiểu toàn cục toán T F x : x D R n P nghiệm Pareto toán VP (ii) Cho R p Khi nghiệm cực tiểu toàn cục toán T F x : x D R n P nghiệm Pareto yếu toán VP 12 Khả ứng dụng thực tiễn: 13 Những hướng nghiên cứu tiếp theo: Ứng dụng định lý tách không gian vô hạn chiều Tìm phiếm hàm tách hai tập không gian cho trước 14 Các công trình công bố có liên quan đến luận văn: Le Dung Muu, Vector (multiple objective) optimization Theory, Methods and Applications,University ò Nmur, Belgium 2007 Le Dung Muu, Introduction to Optimization Methods (in Vietnamese) Hanoi Scientific Publishers 1998 Le Dung Muu, (with N V Quy) Method for finding global optimal solution to linear programs with equilibrium constraints Institute of Mathematics, preprint 38/2000 Acta Mathematica Vietnamica (accepted) Ngày tháng năm 2012 Học viên Trịnh Hữu Trang INFORMATION ON MASTER’THESIS Full name: Trịnh Hữu Trang Sex: male Date of birth: 23/11/7984 Place of birth: Nam Định Admission decision number: Dated 10/10/2008 Changes in academic process: Official thesis title: SEPARATION THEOREMS AND SOME APPLICATIONS Major: Ananytic mathematics Code: 60.46.01 10 Supervisors: P PhD Le Dung Muu, Institute of Mathematics 11 Summary of the finding of the thesis: My thesis is concerned with separation theorems and its applications to optimization The thesis consist includes three chapters: Chapter “The basic concepts” " is designed to present the fundamental concept of convex set, convex function as: convex combination, affine sets, polyhedral convex sets, convex cone, convex function and related properties These concepts are the basic tool to researchs that are stated on the thesis Chapter “Separation theorems” state and prove two separation theorems and corrolarys First separation theorem: Let C and D be two disjoint nonempty convex sets Then, There exists a hyperplane separating C and D Second separation theorem: Two disjoint nonempty closed convex sets C, D in Rn such that either C or D is compact can be strongly separated by a hyperplane Besides, the author present examples which are illustrated Chapter “Some applications of separation theorems” is design some applications of separation of theorems - Prove optimal conditions of (OP) problem (OP) problem: Find minimum of a convex function on set: f x với điều kiện g i x 0, i 1, , m , h j x 0, j 1, , k x X In particular, X R n is a nonempty closed convex set and f , g i i 1, , m are finite convex functions on X, and h j j 1, , k are finite affine functions on affine set of X - Find necessary and sufficient conditions for the existence solution of system of convex inqualyties Let f , f1 , , f m be finite convex functions on nonempty convex set D Then, system of inqualities x D, f i x 0, i 0,1, , m have no solution if only if there exists numbers i i 0,1, , m , one of them isn’t equal to zero, such that T x f x T x t x dom f - Prove the lema which is basic of approximation function by affine functions theorem Let f be a proper closed convex function on R n Then, for every point x , t epif , there exists R , R 0 n such that T x f x T x t x dom f - Prove the existence of subdifferential of convex function f Let f : R n R be a proper convex function Then (i) If x domf then f x (ii) If x int domf then f x , com-p c, then x ri domf - Scalarization vector optimization problems (i) Let R p Then every global minimal solution of the one objective problem T F x : x D R n is a global Pareto optimal solution to (VP) problem (ii) Let R p Then every global minimal solution of the one-objective problem T F x : x D R n Is a global weakly Pareto optimal solution to (VP) 12 Practical applicability: 13 Further research directions: Application of separation theorems to infinite dimensions space Find functional separation two sets 14 Thesis-related publications: Le Dung Muu, Vector (multiple objective) optimization Theory, Methods and Applications,University ò Nmur, Belgium 2007 Le Dung Muu, Introduction to Optimization Methods (in Vietnamese) Hanoi Scientific Publishers 1998 Le Dung Muu, (with N V Quy) Method for finding global optimal solution to linear programs with equilibrium constraints Institute of Mathematics, preprint 38/2000 Acta Mathematica Vietnamica (accepted) Date: / /2012 Signature: Trịnh Hữu Trang ... Chapter “Some applications of separation theorems” is design some applications of separation of theorems - Prove optimal conditions of (OP) problem (OP) problem: Find minimum of a convex function on... 1, , k are finite affine functions on affine set of X - Find necessary and sufficient conditions for the existence solution of system of convex inqualyties Let f , f1 , , f m be finite convex... trước 14 Các công trình công bố có liên quan đến luận văn: Le Dung Muu, Vector (multiple objective) optimization Theory, Methods and Applications ,University ò Nmur, Belgium 2007 Le Dung Muu, Introduction