ĐỀ THI ĐH & ĐÁP ÁN (02)

ĐỀ THI ĐH (02) & ĐÁP ÁN Câu I : Cho hàm số 3 2 3( 1) 3(2 1) 4y x m x m x= − + + − + + ( m là tham số ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số với m=1 2. Tìm giá trò của m để đồ thò hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm đó đối xứng qua điểm I(0,4) Câu II: 1. Giải hệ phương trình : 2 2 4 ( 1)( 1) 4 x y x y xy x y  + − − =  − − =  2. Giải bất phương trình :16 3 4 9 x x x x − ≤ + Câu III: 1. Giải phương trình 3tgx+2cotg3x = tg2x 2. Cho tam giác ABC ,chứng minh rằng: 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin r A B C R A B C + + = + + trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp ,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Câu IV: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc . Đặt SA= a,SB= b, SC= c . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 1. Tính độ dài đoạn SG theo a,b,c. 2. Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N. a. Chứng minh rằng 3 AB AC AM AN + = b. Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S,A,B,C có tâm O thuộc mặt phẳng (P) .Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a,b,c khi mặt phẳng (P) song song với BC Câu V: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 3y x x= − + ; y = 2x-1; x = 0 DAP AN CÂU I: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số với m = 1 3 2 6 9 4y x x x = − + − + • TXĐ: D = R 2 ' 3 12 9 1 ' 0 3 '' 6 12 y x x x y x y x = − + − =  = ⇔  =  = − + '' 0 2 2y x y = ⇔ = ⇒ = ⇒ điểm uốn (2, 2). • BBT: • Đồ thò: Cho x = 0, y = 4 x = 4, y = 0 2) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng nhau qua điểm I(0, 4) Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 1 3 2 1 4y x m x m x= − + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ' 3 6 1 3 2 1 3 ' 0 3 6 1 3 2 1 0 2 2 1 2 1 0 (1) y x m x m y x m x m x m x m = − + + − + = ⇔ − + + − + = ⇔ − + + + = Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0 ⇔ ∆ = ( ) 2 2 1 2 1 0 0 0 1 3 3 1 1 3 2 1 4 3 3 2 2 m m m m x y m x m y m m ⇔ + − − > ⇔ > ⇔ ≠ = ⇒ = − +   ⇒  = + ⇒ = − +  Tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là: 3 (1, 3 3), (2 1, 4 3 3) 1 2 M m M m m m − + + − + 1 M Và 2 M đối xứng nhau qua I ⇔ I là trung điểm 1 M 2 M ( ) ( ) 0 2 2 0 1 2 3 8 4 3 3 3 3 8 1 2 1 1 3 3 1 4 4 2 0 4 6 2 0 x x m y y m m m m m m m m m m + =  + =    ⇔ ⇔   + = − + − + =     = −  = −    ⇔ ⇔   + − − = − − =     1m ⇔ = − (nhận) ĐS: 1m = − CÂU II: 1) Giải : 2 2 4 ( 1)( 1) 4 x y x y xy x y  + − − =  − − =  Hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4 x x y y x x y y  − + − =  ⇔   − − =  2 2 1 2 2 1 2 2 x x x x y y y y  − = = − ∨ =   ⇔ ⇔   = − ∨ =   − =  Vậy hệ có 4 nghiệm (-1, -1), (-1, 2), (2, -1), (2, 2) 2) Giải: 16 3 4 9 x x x x − ≤ + Bất phương trình: 16 3 4 9 x x x x ⇔ ≤ + + 3 1 9 1 (*) 16 4 16 x x x       ⇔ + + ≥             Xem hàm số 3 1 9 ( ) 16 4 16 x x x f x       = + +             ⇒ y = f(x) Là hàm số liên tục giảm trên ¡ Do đó: (*) ( ) (1)f x f ⇔ ≥ 1x ⇔ ≤ CÂU III: 1) Giải phương trình 3tgx + 2cotg3x = tg2x Điều kiện: 2 cos 0 2 sin 3 0 3 3 cos 2 0 2 2 4 2 x k x k x k x x k x x k x k x π π π π π π π π π π  ≠ +   ≠ +  ≠      ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠       ≠    ≠ + ≠ +    Ta có: sin cos sin sin cos cos cos sin cos sin a b a b a b tga tgb a b a b + + = + = cos( ) cos cos a b a b − = p dụng vào phương trình ta được: Phương trình ( ) 3 cot 3 2 cot 3tgx g x tg x g x ⇔ + = + (cộng 2 vế cho cotg3x) ( ) 3cos 3 cos(2 3 ) cos sin 3 cos 2 sin 3 3cos 2 cos 2 2 3cos cos cos cos 2 1 cos 2 2 2 3cos 6cos 2 cos 2 1 0 2 1 cos 2 cos 2 3 1 cos 2 cos 3 2 2 6 ( 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x k x k x k π α π π π π α α π π − − ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ − − =  = =  ⇔   = − =    = ± +   = ± +  ⇔ ⇔    = ± + = ± +    thỏa điề )u kiện Đáp số: , 6 2 x k x k π α π π = ± + = ± + (với 1 cos 3 α = − và k ∈ ¢ ) 2) Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin r A B C R A B C + + = + + Ta có: sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2sin( ) cos( )A B C A B C B C + + = + + − [ ] [ ] [ ] 2sin cos 2sin cos( ) 2sin cos cos( ) 2sin cos( ) cos( ) 2sin 2sin sin( ) 4sin sin sin A A A B C A A B C A B C B C A B C A B C = + − = + − = − − + = − − = Vế phải: sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sin A B C A B C + + = + + ( ) 4. . . 4sin sin sin 2 2 2 sin sin sin 2 2 2 2 . 3 2 2 a b c A B C R R R a b c A B C R R R abc R abc a b c R R a b c = = + + + + = = + + + + Mặt khác: diện t ích S = pr = 4 abc R 4 2( )abc prR a b c rR ⇒ = = + + Do đó:vế phải= 2( ) 2 2 ( ) a b c rR r R R a b c + + = = + + (điều phải chứng minh) CÂU IV: 1) Tính SG: Gọi I là trung điểm BC. 2 2 2 2 BC b c SI + ⇒ = = (do SBC ∆ vuông) ASI ∆ có 2 2 2 AI SA SI = + 2 2 2 2 4 b c AI a + ⇒ = + SGI ∆ có: 2 2 2 2 . cosSG SI IG SI IG I = + − − ( ) 1 1 2 2 2 2 9 3 1 1 2 2 2 3 9 2 2 2 2 1 1 2 3 4 9 4 1 2 2 2 4 4 4 36 1 2 2 2 3 SI SG SI AI SI AI AI SG SI AI b c b c a a b c SG a b c ⇒ = + − ⇒ = +     + +     = + +         = + + ⇒ = + + 2) a) Chứng minh rằng AB AC + = 3 AM AN Ta có: . 2 2 1 . 3 3 2 S S AM AG AM AM AMG AMG S AB AI AB AB S ABI ABC = = ⇒ = 1 3 S AM AMG S AB ABC ⇒ = Tương tự: 1 3 S AN ANG S AC ABC = 1 3 1 . . 3 . . 1 . . . 3 . 3 S S AM AN AMG ANG S AB AC ABC S AM AC AN AB AMN S AB AC ABC AM AN AM AC AN AB AB AC AB AC AB AC AM AN +   ⇒ = +     +   ⇒ =     +   ⇒ =     ⇒ + = b) Tam giác SBC có I là tâm. Trong mặt phẳng (SA, d) (d là trục SBC ∆ ) Gọi O là giao điểm SG và d Ta có 1 2 OI GI GAS GIO SA GA ∆ ∆ ⇒ = = : 1 2 OI SA OS OA ⇒ = ⇒ = Vậy O là mặt cầu đi qua S, A, B, C ( )O SG P ⇒ ∈ ⊂ Khi (P) // BC ta có MN//BC MN SO ⇒ ⊥ 1 1 2 3 . . . 2 2 3 2 S MN SO BC SG SOMN = = ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 . 2 3 1 2 2 2 2 2 6 b c a b c b c a b c = + + + = + + + Vẽ AK SO ⊥ ta có ( )MN AK AK SMON ⊥ ⇒ ⊥ Vậy chiều cao hình chóp ASMON là AK Ta có: 1 2 2 . . 2 3 3 2 SA SI S SG AK S ASG ASI = = = 2 . 2 1 . . 3 3 2 2 SA SI abc AK SG SG b c ⇒ = = + Vậy : 1 . 3 S S AK ASMON SMON = 1 1 2 1 1 . . . . . 3 2 3 9 2 2 abc BC SG abc SG b c = = + CÂU V: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y= x 2 – 2x + 3, (d): y = 2x –1, x = 0; Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2 2 3 2 1 2x x x x − + = − ⇔ = Vaäy: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 2 0 0 S x x x dx x dx   = − + − − = − ∫ ∫     ( ) 2 2 2 8 3 3 0 x − = = (ñvdt) . ĐỀ THI ĐH (02) & ĐÁP ÁN Câu I : Cho hàm số 3 2 3( 1) 3(2 1) 4y x m x m x= − + + − + + ( m là tham số ) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ. 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thò hàm số với m = 1 3 2 6 9 4y x x x = − + − + • TXĐ: D = R 2 ' 3 12 9 1 ' 0 3 '' 6 12 y x x x