Tính ổn định của một số lớp 2 chiều rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ———————o0o——————– KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ HAI CHIỀU RỜI RẠC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS Lê Văn Hiện Sinh viên thực hiện: Lớp: Lê Thị Bích 4A - K62 HÀ NỘI-2016 MỤC LỤC Mở đầu Một số kí hiệu Chương Hệ hai chiều 1.1 Mơ hình hệ hai chiều 1.2 Một số kiến thức bổ trợ 10 Chương Tính ổn định hệ 2-D rời rạc 21 2.1 Khái niệm ổn định 21 2.2 Tính ổn định lớp hệ 2-D mơ hình FM-II 22 2.3 Tính ổn định lớp hệ 2-D mơ hình Roesser 31 Tài liệu tham khảo 35 MỞ ĐẦU Hệ hai chiều (two-dimensional systems 2-DSs) nảy sinh nhiều mơ hình vật lí, kỹ thuật dó lan truyền thơng tin/trạng thái xảy theo hai hướng độc lập (xem [?, ?, ?]) Mơ hình hệ hai chiều ứng dụng để mô tả phân tích tính chất nhiều lớp hệ thực tiễn kỹ thuật hệ mạng viễn thơng, xử lí ảnh, xử lí truyền tín hiệu đặc biệt việc thiết kế lọc tín hiệu số đa chiều [?, ?, ?, ?] Trong việc mơ tả q trình vật lí, hệ hai chiều thường biễu diễn mơ hình phương trình trạng thái (state-space model) Một số lớp mơ hình trạng thái thường sử dụng mơ hình Roesser [?], mơ hình Fornasini–Marchesini (FM) thứ thứ hai [?, ?], mơ hình Attasi hay mơ hình Kurek [?] Trong đó, mơ hình Roesser mơ hình FM-II quan tâm nghiên cứu ứng dụng nhiều tính chất đặc thù tổng quát mô hình Các mơ hình khơng độc lập số điều kiện định mô hình chuyển đổi qua lại lẫn nhau, chẳng hạn, trường hợp hệ khơng có trễ đại lượng nhiễu Tuy vậy, vấn đề gặp phải chuyển đổi mơ hình tăng đáng kể số chiều, đo dẫn đến việc gia tăng giá tính tốn (computational cost) mơ hình ứng dụng Vì vậy, mơ hình Roesser mơ hình FM-II nghiên cứu cách song song Tính chất ổn định tính chất phổ dụng hệ động lực ứng dụng Nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính chất ổn định nói riêng cho hệ 2D chủ đề nhận nhiều quan tâm nghiên cứu hai thập kỉ gần đây, đặc biệt từ khoảng 2010 trở lại (xem [?, ?, ?, ?] trích dẫn đó) Nội dung Khóa luận trình bày số kết nghiên cứu báo [?] Neha Agarwal Haranath Kar công bố Digital Signal Processing năm 2015 Trong báo đó, hai tác giả đưa mối liên hệ tiêu chuẩn ổn định đề xuất Singh [?] năm 2014 tiêu chuẩn ổn định đề xuất trước Hinamoto [?, ?] Lu [?] cho tính ổn định tiệm cận mơ hình rời rạc 2D FM-II tuyến tính Cụ thể, mơ hình 2-D FM-II, sử dụng dạng tổng quát ma trận Lyapunov, tiêu chuẩn ổn định [?] thực tương đương với với tiêu chuẩn Hinamoto [?] Agarwal and Kar tiêu chuẩn [?] cải tiến trường hợp mơ hình Roesser Nội dung Khóa luận trình bày chương Chương giới thiệu sơ lược hệ hai chiều số kiến thức giải tích ma trận số khái niệm ổn định nghiệm bổ trợ cho việc trình bày nội chương Chương nghiên cứu tính ổn định tiệm cận số lớp 2-D rời rạc dựa báo [?] Tác giả trình bày chi tiết kết giới thiệu [?] Một số ví dụ chúng tơi đưa thêm để minh họa tính hiệu điều kiện ổn định đưa MỘT SỐ KÍ HIỆU R+ Rn Tập tất số thực không âm Khơng gian Euclide n−chiều với tích vơ hướng  12 P n T hx, yi = x y chuẩn vectơ kxk = i=1 xi Rn×r λmax (A) Tập hợp ma trận kích thước n × r Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận đơn vị Rn×n Tập tất giá trị riêng A = max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} A>0 Ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= Ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn Ma trận A − B xác định dương Tập ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Mơ hình Fornasini–Marchesini Vectơ trạng thái ngang (horizontal state vector) Vectơ trạng thái dọc (vertical state vector) Điều khiển đầu vào Vectơ đầu AT In λ(A) A≥0 A>B S+ n LMIs FM xh (i, j) ∈ Rnh xv (i, j) ∈ Rnv u(i, j) ∈ Rm y(i, j) ∈ Rp Chương HỆ HAI CHIỀU Trong chương này, giới thiệu sơ lược mơ hình hệ hai chiều, số khái niệm liên quan tính ổn định nhắc lại vài kiến thức sở dùng trình bày kết chương sau 1.1 Mơ hình hệ hai chiều 1.1.1 Ví dụ mở đầu Chúng tơi mở đầu mục ví dụ sử dụng phổ biến Xét mơ hình điều khiển mơ tả phương trình đạo hàm riêng cấp sau (Hình 1.1) ( ∂T (x,t) ∂T (x,t) ∂x =− ∂t − aT (x, t) + bu(x, t), (1.1) y(x, t) = cT (x, t), T (x, t) hàm ẩn (chẳng hạn hàm nhiệt độ) tọa độ x ∈ [0, xf ] (không gian) thời t ∈ [0, ∞), u(x, t) hàm điều khiển y(x, t) tín hiệu đo đầu a, b, c số Mơ hình (??) sử dụng số trình nhiệt phản ứng hóa học hay ống nhiệt lị hấp [?] Trong thực tế, tín hiệu điều khiển thường tổng hợp thông qua trình rời rạc hóa Đặt T (i, j) = T (i∆x, j∆t), u(i, j) = u(i∆x, j∆t) ∂T (x, t) T (i, j) − T (i − 1, j) ≈ , ∂x ∆x ∂T (x, t) T (i, j + 1) − T (i, j) ≈ ∂t ∆t (??) viết dạng   T (i, j + 1) = 1− ∆t ∆t − a∆t T (i, j) + T (i − 1, j) + b∆tu(i, j) ∆x ∆x (1.2) Pipe ܶ(‫ݔ‬, ‫)ݐ‬ ‫ݔ(ݑ‬, ‫)ݐ‬ ‫ݔ(ݕ‬, ‫)ݐ‬ ‫ݔ‬ Steam (or water) Hình 1.1: Heat exchanger control Hàm điều khiển theo tín hiệu đầu (output feedback control) thiết kế dạng u(i, j) = ky(i, j) = kcT (i, j) Đặt xh (i, j) = T (i − 1, j) xv (i, j) = T (i, j) Khi hệ đóng (closed-loop system) tương ứng (??) có dạng # " " #" # xh (i + 1, j) = xv (i, j + 1) xh (i, j) ∆t ∆x 1− ∆t ∆x xv (i, j) − a∆t + bkc∆t , i, j ∈ N (1.3) Hệ (??) diễn tả mơ hình hệ 2-D dạng Roesser " # T (i − 1, j) Mặt khác, từ (??) ta đặt x(i, j) = T (i, j) , (??) trở thành (1.4) x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j), " A1 = 0 # " , A2 = 0 ∆t ∆x 1− ∆t ∆x # − a∆t + bkc∆t Hệ (??) diễn tả mơ hình hệ 2-D dạng FM-II Tổng qt, chúng tơi giới thiệu số mơ hình hệ hai chiều Nội dung trình bày từ Chương chun khảo [?] 1.1.2 Mơ hình hệ 2D • Mơ hình Roesser Trong mơ hình hệ hai chiều, mơ hình Roesser (RM) sử dụng cách rộng rãi cấu trúc tự nhiên đơn giản Mơ hình 2-D Roesser mơ tả hệ phương trình " # " #" # " # xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = A11 A12 xh (i, j) A21 A22 xv (i, j) h y(i, j) = C1 C2 " # i xh (i, j) xv (i, j) + B1 B2 u(i, j), (1.5) + Du(i, j), i, j ∈ Z+ biến thời gian rời rạc theo tọa độ ngang dọc, xh (i, j) ∈ Rn1 vectơ trạng thái ngang, xv (i, j) ∈ Rn2 vectơ trạng thái dọc, u(i, j) ∈ Rm điều khiển đầu vào, y(i, j) ∈ Rp vectơ đầu A11 , A12 , A21 , A22 , B1 , B2 , C1 , C2 , D ma trận với số chiều thích hợp Điều kiện đầu (??) xác định dãy ϕ(j) ψ(i) xh (0, j) = ϕ(j), j ∈ N; xv (i, 0) = ψ(i), i ∈ N (1.6) Thơng thường ϕ(.), ψ(.) giả thiết có giá hữu hạn, tức tồn số nguyên dương T1 , T2 cho ϕ(j) = 0, ∀j ≥ T1 , ψ(i) = 0, ∀i ≥ T2 , tổng quát hơn, ϕ(.), ψ(.) ∈ l2 (N), tức X0 = lim T →∞ T X ϕ2 (k) + ψ (k) < ∞
k=0 • Mơ hình Attasi Mơ hình Attasi (AM) có nhiều triển vọng ứng dụng xử lí ảnh tín hiệu số [?] Nó mơ tả phương trình sau x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) − A2 A1 x(i, j) + B0 u(i, j), (1.7) y(i, j) = Cx(i, j), A1 A2 = A2 A1 Mơ hình Attasi (??) trường hợp đặc biệt mơ hình Roesser (??) • Mơ hình Fornasini–Marchesini (FM) Các mơ hình FMs ứng dụng rộng rãi thành cơng lĩnh vực xử lí tín (signal processing) điều khiển Mơ hình FM-I hệ 2-D mơ tả phương trình x(i + 1, j + 1) = A0 x(i, j) + A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) + Bu(i, j), y(i, j) = Cx(i, j), (1.8) mơ hình FM-II cho hệ x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) + B1 u(i, j + 1) + B2 u(i + 1, j), (1.9) y(i, j) = Cx(i, j) Mơ hình FM tổng qt mơ tả x(i + 1, j + 1) = A0 x(i, j) + A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j) + B0 u(i, j) (1.10) + B1 u(i, j + 1) + B2 u(i + 1, j), y(i, j) = Cx(i, j) 1.1.3 Mối liên hệ mô hình 2-D Rõ ràng mơ hình Attasi trường hợp đặc biệt mơ hình FM-I A0 = −A1 A2 B0 = B Hơn nữa, sử dụng phép biến đổi xh (i, j) = x(i, j + 1) − A2 x(i, j), xv (i, j) = x(i, j) (1.11) Từ (??) ta có xh (i + 1, j) = x(i + 1, j + 1) − A2 x(i + 1, j) = A1 x(i, j + 1) − A2 A1 x(i, j) + B0 u(i, j) = A1 (x(i, j + 1) − A2 x(i, j)) + B0 u(i, j) = A1 xh (i, j) + B0 u(i, j) xv (i, j + 1) = x(i, j + 1) = xh (i, j) + A2 xv (i, j) Do (??) ln viết dạng " # " #" xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = # A1 0n xh (i, j) In A2 xv (i, j) h y(i, j) = 0p×n C " + B0 # 0n×m u(i, j), (1.12) " # i xh (i, j) xv (i, j) trường hợp đặc biệt mơ hình Roesser (??) Mặt khác, với phép biến đổi (??), hệ (??) viết dạng " # " #" # " # xh (i + 1, j) xv (i, j + 1) = h A1 A0 + A1 A2 xh (i, j) In xv (i, j) y(i, j) = 0p×n C A2 " # i xh (i, j) xv (i, j) + + Du(i, j) B 0n×m u(i, j), (1.13) Do đó, với phép biến đổi (??), mơ hình FM-I đưa mơ hình Roesser (??) Bây ta đặt xˆ(i, j) = h xT (i, j) Khi hệ (??) trở thành  A2 xT (i, j − 1)  " 02n   xˆ(i + 1, j + 1) =  In  xˆ(i + 1, j) + + 02n×n − 1) B 02n 02n×m # xˆ(i, j + 1) (1.14) # u(i, j + 1) + 03n×m u(i, j + 1), In h i A1 A0 0n 0n×2n " uT (i, j i y(i, j) = C 0p×2n xˆ(i, j) Vì mơ hình FM-I nhúng vào lớp mơ hình FM-II h iT Xét mơ hình Roesser (??) Kí hiệu vectơ x(i, j) = xhT (i, j) xvT (i, j) Khi (??) viết dạng " A11 x(i + 1, j + 1) = A12 0n2 ×n1 0n2 ×n2 " B1 # " x(i, j + 1) + # 0n2 ×m " u(i, j + 1) + 0n1 ×m B2 0n1 ×n2 0n2 ×n2 A21 # u(i + 1, j), A22 # x(i + 1, j) (1.15) y(i, j) = Cx(i, j), h i C = C1 C2 Do mơ hình Roesser (??) biểu diễn mơ hình FM-II Đối với mơ hình hệ 2-D trên, mơ hình FM-II có dạng tổng qt mơ hình khác Mối liên hệ mơ hình nói minh họa Hình 1.2 Tuy nhiên: (i) Đối với lớp hệ 2-D có cấu trúc phức tạp hơn, chẳng hạn hệ 2-D có trễ, có nhiễu dạng tất định ngẫu nhiên, mơ hình Roesser khơng biến đổi mơ hình FM-II (ii) Như đề cập phần trước, việc biến đổi mơ hình thường dẫn đến điều kiện ngặt nghiên cứu định tính điều khiển lớp hệ Vì vậy, mơ hình Roesser mơ hình FM-II thường nghiên cứu song song sử dụng rộng rãi ứng dụng thực tiễn Kí hiệu x(i, j) = h xhT (i, j) iT xvT (i, j) vectơ trạng thái hệ Điều kiện đầu (??) cho dãy φ, ψ ∈ l2 (N) xh (0, j) = φ(j), j ≥ 0, kxh0 k22 = ∞ X xv (i, 0) = ψ(i), i ≥ 0, kxv0 k22 kφ(j)k < ∞, = ∞ X kψ(i)k2 < ∞ (2.2) i=0 j=0 Định nghĩa 2.1.1 Hệ (??) gọi ổn định tiệm cận nghiệm x(i, j) (??) với điều kiện đầu (??) thỏa mãn lim χr = lim r→∞  r→∞  sup kx(i, j)k = (2.3) i+j=r Nhận xét 2.1.1 Trường hợp đặc biệt, hệ (??) suy biến thành hệ 1-D, Định nghĩa 2.1.1 trở thành Định nghĩa 1.2.1 cho hệ tuyến tính rời rạc 1-D Bây ta xét lớp hệ tuyến tính rời rạc 2-D mơ tả mơ hình FM-II x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j), (2.4) x(i, j) ∈ Rn vectơ trạng thái hệ, A1 , A2 ∈ Rn×n ma trận cho trước Tương tự mơ hình (??), điều kiện đầu (??) xác định dãy φ, ψ ∈ l2 (N) x(0, j) = φ(j), i ≥ 0, x(i, 0) = ψ(i), j ≥ (2.5) Định nghĩa ổn định tiệm cận cho hệ (??) phát biểu tương tự Định nghĩa 2.1.1 2.2 Tính ổn định lớp hệ 2-D mơ hình FM-II 2.2.1 Một số tiêu chuẩn ổn định Xét hệ 2-D dạng (??) Đa thức đặc trưng (??) xác định L(z1 , z2 ) = det (In − z1 A1 − z2 A2 ) , 22 z1 , z2 ∈ C (2.6) Kết cho tiêu chuẩn ổn định hệ (??) dựa phương pháp đa thức đặc trưng Mệnh đề 2.2.1 ( [?]) Hệ (??) ổn định tiệm cận L(z1 , z2 ) 6= với (z1 , z2 ) ∈ U , U đĩa đóng đơn vị C2 xác định bới U =  (z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | ≤ 1, |z2 | ≤ Từ tiêu chuẩn đặc trưng cho Mệnh đề ?? ta có điều kiện ổn định dựa tiếp cận bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau Định lí 2.2.1 ( [?]) Với số dương α, β > cố định, α + β = 1, giả sử tồn ma trận P ∈ S+ n thỏa mãn LMI     T A1    P A1 A2 − I(α, β)P < 0, (2.7) AT I(α, β) = diag(αIn , βIn ) Khi hệ (??) ổn định tiệm cận Chứng minh Phản chứng, giả sử hệ không ổn định tiệm cận Theo Mệnh đề ??, tồn (z1 , z2 ) ∈ U cho det(In − z1 A1 − z2 A2 ) = Khi đó, tồn vectơ x ∈ Rn×n , x 6= 0, cho (In − z1 A1 − z2 A2 )x = 0,     z1 In  x = A1 A2   x z2 In   Kí hiệu A = A1 A2 Q = I(α, β)P − AT P A > Gọi x∗ , z ∗ liên hợp phức x z = (z1 , z2 ) Khi     z1 In  x∗ P x = x∗ z1∗ In z2∗ In AT P A   z2 In 23     z1 In  αP  = x∗ z1∗ In z2∗ In   x  − Q βP z2 In     z1 In  = (α|z1 |2 + β|z2 |2 )x∗ P x − x∗ z1∗ In z2∗ In Q  x z2 In   < (α|z1 |2 + β|z2 |2 )x∗ P x Từ suy α|z1 |2 + β|z2 |2 > Điều mâu thuẫn với giả thiết (z1 , z2 ) ∈ U Định lí chứng minh Ví dụ 2.2.1 Xét phương trình vơ hướng (n = 1) dạng (??) Lúc ma trận A1 , A2 P trở thành giá trị vô hướng a1 , a2 , p Điều kiện LMI (??) trở thành       − a21 −a1 a2  αp  a1  α Q=  − p   a1 a2 = p   > βp a2 −a1 a2 β − a2   (2.8) Với p > 0, điều kiện (??) thỏa mãn    α − a21 >   (α − a2 )(β − a2 ) − a2 a2 > 2 Điều kiện tương đương với  U1 = a2 a2 a1 , a2 : + < α β  Mặt khác, theo Mệnh đề ??, hệ ổn định tiệm cận (1 − z1 a1 − z2 a2 ) 6= với |z1 ≤ 1, |z2 | ≤ Từ ta nhận miền ổn định theo dấu hiệu đặc trưng U2 = {(A1 , a2 ) : |a1 | + |a2 | < 1} 24 ... tự Định nghĩa 2. 1.1 2. 2 Tính ổn định lớp hệ 2- D mơ hình FM-II 2. 2.1 Một số tiêu chuẩn ổn định Xét hệ 2- D dạng (??) Đa thức đặc trưng (??) xác định L(z1 , z2 ) = det (In − z1 A1 − z2 A2 ) , 22 ... bày số điều kiện ổn định cho số lớp hệ 2- D rời rạc mơ hình Roesser mơ hình FM-II 2. 1 Khái niệm ổn định Mục giới thiệu số khái niệm ổn định nghiệm hệ 2- D rời rạc Xét hệ tuyến tính rời rạc 2- D... x2 , x3 )T 2 ? ?2 ∈ R3 ,  ? ?2? ?? Khi dễ thấy A ma trận đối xứng Với xT Ax = 2x21 + 2x 22 + 2x1 x2 + 4x1 x3 − 4x2 x3 = (x1 + x2 )2 + (x1 − 2x3 )2 + (x2 − x3 )2 Do xT Ax > 0, ∀x 6= nên A ∈ S+ Một số