Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM - File word

Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM - File word tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớ...

ĐẠO HÀM Vấn đề 1 ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

( ) ( )lim

trong đó f x  là một hàm số đã cho của đối số x

Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số:

 Số gia đối số là:   x x – x0

 Số gia tương ứng của hàm số là:  y f x – f x 0

Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên:

0

0

0 0

0

( ) ( )( ) lim

trong đó x  x0 được hiểu là x  x0 và xx 0

b Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x , kí hiệu là 0 f '( x ) 0 được định nghĩa là:

0

0 0

trong đó xx 0 được hiểu là xx 0 và xx 0

Định lí: Hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu 0



0

f '( x ) và f '( x ) 0 tồn tại và bằng nhau Khi đó ta có: f '( x ) 0  f '( x ) 0  f '( x ) 0

 Đạo hàm trên một khoảng

b Hàm số y f x  được gọi là có đạo hàm trên đoạn a b;  nếu nó có đạo hàm trên khoảng

a b;  và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b

Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số y f x  có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho

 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số

Định lí: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm đó 0

 Chú ý: 1 Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm x có thể không có đạo 0

hàm tại điểm đó

2 Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó

 Ý nghĩa của đạo hàm

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU

(Số lượng có hạn)

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”

Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc

lại để hỗ trợ và hướng dẫn

GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

1 Ý nghĩa hình học

a Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng  C và một điểm cố định M trên 0  C ,

M là điểm di động trên  C Khi đó M M là một cát tuyến của 0

 C

Định nghĩa: Nếu cát tuyến M M có vị trí giới hạn 0 M T khi điểm 0 M di chuyển trên  C

và dần tới điểm M thì đường thẳng 0 M T được gọi là tiếp tuyến của đường cong 0  C tại điểm M Điểm 0 M được gọi là tiếp điểm 0

b Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b;  và

có đạo hàm tạix0a b;  , gọi  C là đồ thị hàm số đó

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f x  tại điểm x là hệ 0

số góc của tiếp tuyến M T của 0  C tại điểm

c Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C của

 0  0  0

v t s t  f t

b Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương

trình:Q f t  , với f t  là hàm số có đạo hàm Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q f t  tại t 0

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU

(Số lượng có hạn)

Soạn tin nhắn

“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán”

Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc

lại để hỗ trợ và hướng dẫn

GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

VD 2.2 Tính y  và y x   của hàm số sau theo x và  x: a) y  3 x  5 b) y  3 x2 7 c) y  2 x2 4 x  1 d) y  cos 2 x

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU (Số lượng có hạn) Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán” Rồi gửi đến số điện thoại Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.1 Tìm số gia của hàm số y  x2–1 tại điểm x0  1 ứng với số gia x, biết:

a)  x 1 b)   x –0,1

Dạng 2 Tính đạo hàm bằng định

nghĩa

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính đạo hàm của hàm số y  f x ( ) tại điểm x bằng định nghĩa ta làm như sau: 0

 Cách 1:

 Cho x một số gia 0 x và tìm số gia  y f x 0  x f x 0

 Tập tỉ số y

x





 Tìm giới hạn

0

lim

x

y x

 



 Nếu:



0

lim

x

y x

 



 tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số có đạo hàm là 0  0

0

lim

x

y

f x

x

 







0

lim

x

y x

 



 không tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số không có đạo hàm 0

 Cách 2:

 Tính    0

0

0

lim

x

f x f x

x x

 





0

0 0

lim

x x

f x f x

x x





 tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số có đạo hàm là 0

     

0

0 0

0

lim

x x

f x f x

f x

x x





0

0 0

lim

x x

f x f x

x x





 không tồn tại hữu hạn thì tại x hàm số không có đạo 0

hàm

B BÀI TẬP MẪU

y  x  x  tại x0 2

VD 2.4 Cho hàm số   2 2 1 y  f x  x  a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x0 2 b) Suy ra giá trị 3 (2) 5f  f(2 3)

VD 2.5 Cho   sin 3 0 3 2 0 x khi x y f x x khi x         Tính đạo hàm của hàm số tại x0 0 bằng định nghĩa

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.2 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:

a) y  2 x  1 tại x0 2 b) y  x2 x tại x0  1

1

x

y

x





 tại x0 0 d) y  2 x  7 tại x0  1

2.3 Cho hàm số:

2 sin

0 ( )

x khi x

khi x







  



a) Chứng minh rằng f x  liên tục tại x0 0

b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x  tại điểm x0 0

2.4 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số

2 1

( )

khi x



  



tại điểm x0 0

2.5 Chứng minh rằng hàm số:

2 2

( )

0

y f x



  



không có đạo hàm tại điểm x0 0 nhưng có đạo hàm tại x0 2

2.6 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số

1

x y

x



 tại x0 0

2.7 Chứng minh rằng hàm số

2

y

x



 liên tục tại x–3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy

2.8 Tìm , a b để hàm số

2

1 ( )

1

y f x

ax b khi x

  

 có đạo hàm tại điểm x1

2.9 Cho hàm số: ( ) cos sin 0

y f x



 Chứng minh rằng với mọi cách chọn p q, hàm số không thể có đạo hàm tại điểm x  0

2.10 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số):

a) y  ax  3 b) 1 2

2

y x



 với

1 2

x d) y 3x với x3

Dạng 3 Quan hệ giữa liên tục và

đạo hàm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ta cần nhớ các kết luận sau:

 f x  liên tục tại x 0

0

0

0

 f x  có đạo hàm tại x 0  f x  liên tục tại x 0

 f x  liên tục tại x chưa chắc 0 f x  có đạo hàm tại x 0

B BÀI TẬP MẪU

x

y f x

x





a) Xét sự liên tục của hàm số tại x0 2 b) Xét xem tại x0 2 hàm số có đạo hàm không?

VD 2.7 Cho   2 2 2 3 sin 0 0 0 x x khi x y f x x khi x           a) Xét sự liên tục của hàm số tại x0 0 b) Xét xem tại x0 0 hàm số có đạo hàm không?

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.11 Chứng minh rằng hàm số

2

y

x



 liên tục tại x 3 nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy

2.12 Cho hàm số:  

2 sin

0

x khi x

khi x







  



c) Chứng minh rằng f x  liên tục tại x0 0

d) Tính đạo hàm (nếu có) của f x  tại điểm x0 0

2.13 Cho hàm số:

2 1

( )

khi x



  

 a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x¡

b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f x không liên tục tại điểm x0 0

Dạng 4 Tiếp tuyến

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong  C :y f x  , biết M N theo thứ tự có ,

hoành độ là xM, x được cho bởi: N N M

y k





 

  với xN  xM

 f x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong  C tại M x 0; (f x0)

 Tiếp tuyến của đồ thị

1 Tiếp tuyến tại một điểm:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C :y f x  tại điểm M0x0; y0 :

  

yy  f x xx

Trong đó: - M0x0; y0 gọi là tiếp điểm

- k  f x0 là hệ số góc

Các chú ý: - Nếu cho x thì thế vào 0 y f x  tìm y 0

- Nếu cho y thì thế vào 0 y f x  tìm x 0

2 Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Để lập phương trình tiếp tuyến d với  C biết d đi quaA x A; y A :

Cách 1: - Gọi M0x0; y0 là tiếp điểm

- Phương trình đường thẳng d qua M với hệ số góc 0 k f x0 :

  

y y  f x x x

- A x A;y Ad y A –y0  f x0 x A–x0

- Giải pt trên tìm x , tìm 0 f x0 , thế vào y f x  tìm y 0

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)

3 Tiếp tuyến biết hệ số góc:

- Giải phương trình: f x k các hoành độ tiếp điểm

- Thế vào y f x  để tìm tung độ

- Viết tiếp tuyến: y– y0 k x. –x0

 Chú ý:

- tiếp tuyến // : d  y  ax b    k a - tiếp tuyến d   : y  ax b   k a   1 - ktan , với  là góc giữa d với tia Ox B BÀI TẬP MẪU VD 2.8 Cho đường cong ( ) : C y  x3 và hai điểm A 1; 1 và B1 x;1 y trên ( ) C a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x lần lượt là 0,1 và 0,01 b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với ( ) C tại A

VD 2.9 Cho hàm sốy f x( ) 1 x   có đồ thị ( ) C Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) C , biết: a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2 b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3 c) Hệ số góc của tiếp tuyến k–4 d) Tiếp tuyến song song với : d x  9 y  2017 e) Tiếp tuyến vuông góc với : d x  4 y  2017 f) Tiếp tuyến qua điểm A8; 0

y

x

d



' d



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.14 Cho Parabol y  x2và hai điểm A2; 4 và B ( 2   x ; 4   y ) trên parabol đó

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x  lần lượt bằng 1; 0,1 và 0, 001

b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A

2.15 Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong  C , biết:

2.16 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1

b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

2.17 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y 1

2.18 Cho đường cong   C : y  x Viết phương trình tiếp tuyến của  C :

a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 b) Biết tiếp tuyến song song với  : – 4 x y   3 0

2.19 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

x  Hãy tìm trên  P một điểm E sao cho tiếp tuyến tại E song song với cát tuyến M M 1 2

Viết phương trình tiếp tuyến đó

2.23 Cho hàm số y  x3 3 x2 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  :3 – 5 – 2017 0 x y 

2.24 Viết phương trình tiếp tuyến với   2

:

P yx , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A0 ; –1 2.25 Cho hàm số y  x3– 3 x2 2 Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A0; 3

2.26 Cho hàm số  C m :y f x –x4 –mx2 m 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các

tiếp tuyến của  C m tại A1; 0 và B–1; 0 vuông góc với nhau

2.27 Cho hàm số y  cos2x m  sin x ( m là tham số) có đồ thị  C Tìm m trong mỗi trường hợp

sau:

a) Tiếp tuyến của  C tại điểm có x   có hệ số góc bằng 1

b) Tiếp tuyến của  C tại các điểm có các hoành độ

4

  và

3

x

song song hoặc trùng

nhau

2.28 Tìm giao điểm của hai đường cong   2

P yx  x và   1

:

1

x



 Chứng minh rằng hai

đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng

2.29 Cho parabol ( ) : P y  x2 Viết phương trình tiếp tuyến với  P , biết:

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y :  4 x  3

b) Tiếp tuyến đi qua điểm A0; 1

Dạng 5 Ý nghĩa Vật lí của đạo

hàm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cần nhớ các kết quả sau:

 Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình s  s t ( ) thì vận tốc tức thời của chất điểm đó tại thời điểm t0 là v t ( )0  s t  ( )0

 Một dòng điện có điện lượng là Q  Q t ( ) thì cường độ tức thời của

dòng điện tại thời điểm t là 0 I t ( )0  Q t '( )0

B BÀI TẬP MẪU

s f t   t t s m

a) Tính đạo hàm của hàm số f t  tại thời điểm t 0

b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t5

VD 2.11 Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q   5 t 3 ( t tính bằng giây, Q tính bằng culông) Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t8

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.30 Một viên đạn được bắn lên từ vị trí M cách mặt đất 1m , theo phương thẳng đứng với vận tốc ban

đầu là v  196m/s (bỏ qua sức cản của không khí)

a) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng 0 Khi đó viên đạn cách mặt đất bao 0

b) Tìm vận tốc tại thời điểm t5 giây

2.32 Một chiếc xe chạy được quãng đường s km  sau t (giờ) được tính bởi s    t2 3 t 2 Hãy tính vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được 4 giờ

 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp

 sin x    cos x  sin u    u  cos u

 cos x     sin x  cos u     u  sin u

  2

2

1

sin

x

2

sin

u

u



    

Dạng 1 Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

của các hàm số Đạo hàm của hàm số hợp

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính

Chú ý: Rút gọn sau khi tính!

B BÀI TẬP MẪU

a) yx73x44x24 x4 b) y 2x4 3 10x 25

x

y x  x  x  x d) y2 x1 4 x3

x y

x





2 2

y

 



 

2

c)

5

y

x



y x x

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.33 Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số):

y

x x



3 (8 3 )

y  x  x

d) y   ( x 1)( x  2)( x  3) e) 22

1

x y x



1

x y





 

g) y 1

x x

2 1

x y

x



 i) y  2 5  x  x2

1

1

x y

x





x y





Dạng 2 Tìm đạo hàm của các hàm số

lượng giác

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác

trong phần tóm tắt lí thuyết để tính

 sin x    cos x  sin u    u  cos u   1  

sinn u  n.sinn u sinu 

 cos x     sin x  cos u     u  sin u   1  

cosn u  n.cosn u cosu 

1 tan

cos

x

x

cos

u u

u



tann u n tann u tanu 

1 cot

sin

x

x



   cot  2

sin

u u

u





co u  n co  u co u 

Chú ý:  Sử dụng công thức lượng giác để rút gọn

 Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn

B BÀI TẬP MẪU

2sin sin 2 sin 2sin sin

2

x

x

sin 4

y  x  x

VD 2.15 Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) sin 1 cos x y x   b) 2 1 cos 2 x y   c) 20 2 2 1 tan 1 tan x y x          d) 1 cos 1 cos x y x   

e) y  x sin x  cos x f) y  3tan x  tan 3 x  tan3x  tan x2 g)  2  cot 1 yx x  h) y  cot 23 x  3cot 2 x i) sin cos sin cos x x y x x    j) 2 2 2 2 sin 2 4 cos 4 sin 2 4 cos x x y x x    

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2.34 Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y  5sin x  3cos x b) y  sin( x2 3 x  2) c) ycos 2x1

d) y  sin 3 cos5 x x e) y 1 2 tan x f) y  tan 3 x  cot 3 x

g) y  4sin x  3cos x h) y  4sin2x  3cos4x i)

1 cos

x y

x





j) 1 sin

1 sin

x y

x





cos sin 1

x y

x



2

2 cot

y  x x  x

2 cos sin 2 cos 2

x

p) y  sin2x cos3x q) tan3 2

4

y  x 

sin cos tan

sin cos 3

2.35 Cho hàm số y  x3 và 4 sin

2

x

  Tính tổng f  (1)  g  (1) ?

2.36 Tính đạo hàm của hàm số sau: 1 1 1 1 1 1 cos

y     x , với x  ( 0 ;  )

Dạng 3 Phương trình, bất phương trình chứa

đạo hàm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:

“Cho hàm sốy f x  , hãy giải phương trình g y y ( ,   ) 0 ” Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Tính đạo hàm y 

Bước 2 Chuyển phương trình g y y ( ,   ) 0 về phương trình đại số thông thường

để giải

 Chú ý: Cho tam thức   2

( 0) ,

f x ax bxc a

0

a

     



0

a

     



¡

0

a

     



0

a

     



¡

B BÀI TẬP MẪU

VD 2.17 Giải các bấy phương trình: a) y   0 với 2 3 3 1 x x y x     b) y   0 với 2 2 1 1 x x y x x     

VD 2.18 a) Cho y  sin 2 x  2cos x Hãy giải phương trình y   0 b) Cho y  3sin 2 x  4cos x  12 x Hãy giải phương trình y   2

2.38 Cho hàm số f x ( )  x3 3 x2 2 Hãy giải các bất phương trình sau: a) f x  ( )  0 b) f x  ( )  3

2.39 Giải phương trình y   0 trong mỗi trường hợp sau:

a) y  sin 2 x  2cos x b) y  3sin 2 x  4cos 2 x  10 x c) 2

j) ytanxcotx k) y2xcosx 3 sinx l) y  3sin 2 x  4cos 2 x  10 x

2.40 Giải bất phương trình f x g x  , biết rằng:

2.42 Cho hàm số y  x2 2 x  24 Giải bất phương trình 2 ( ) f x   f x ( )

2.43 Cho hàm số y   x 2 x2 12 Giải bất phương trình f x  ( )  0 (TN THPT 2010)

“Nếu hàm số y f x  có đạo hàm trong khoảng a b;  và f x   0, x a b; 

thì hàm số y f x  không đổi trong khoảng a b;  ”

Từ đó ta thực hiện các dạng toán:

Dạng 1 Chứng minh rằng: A x   c, x D

Ta thực hiện các bước:

Bước 1 Tính A x  , rồi khẳng định A x 0, x D Bước 2 Chọn x0DA x 0 c

Dạng 2 Tìm điều kiện của tham số để A x  không phụ thuộc vào x

Ta thực hiện các bước:

Bước 1 Tính A x  , rồi tìm điều kiện để A x 0, x Bước 2 Kết luận

B BÀI TẬP MẪU

4

g x  x Chứng minh f x  ( )  g x  ( ) Nhận xét ?

VD 2.20 Chứng minh rằng hàm số 4 4 6 6 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1 x x y x x x      

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2.44 Chứng minh rằng: a) Hàm số ytanx thỏa mãn hệ thức y  – y2–1 0  b) Hàm số y  cot 2 x thỏa mãn hệ thức y   2 y2  2 0 2.45 Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định: a) Nếu 2  ( ) 2 cos 4 1 f x  x thì f x( ) 8 Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra b) Nếu ( ) f x  tan 3 x thì f x  ( )  3 Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra 2.46 Chứng minh rằng với mọi x ta đều có :             2 2 2 cos xa sin x b 2 cos xa sin x b sin a b cos a b 2.47 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: 2 2 2 2 2 sin sin sin 3 3 A x   x x              2.48 Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y  sin6x  cos6x  3sin2x cos2x b) 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos cos 2 sin 3 3 3 3 y  x  x   x   x x                     

Vấn đề 3 VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO A VI PHÂN  Định nghĩa Cho hàm số y f x  xác định trên a b;  và có đạo hàm tại xa b;  Cho số gia x tại x sao cho x  x a b;  Ta gọi tích f x x(hoặc y   x ) là vi phân của hàm số y f x  tại x ứng với số gia x  và ký hiệu là dy hoặc df x  Như vậy, ta có: dy   y x  hoặc df x  f x x

Áp dụng: Với hàm số yx, ta được: dx    x   x   1 x   x

Vậy ta có: dy  y dx  hoặc df x  f x d x

 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:





0

x 0

y

f '( x ) lim

x







Do đó, với x đủ nhỏ thì:

y

f '( x ) y f '( x ) x f ( x x ) f ( x ) f '( x ) x

x



 f ( x 0x )f ( x ) 0 f '( x ) x 0 

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất

IV ĐẠO HÀM CẤP CAO

 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t  với f t  là hàm số có đạo hàm

Khi đó, gia tốc tức thời ( )  của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm

 Tính vi phân của hàm số ( ) f x tại x cho trước: 0

 Tính đạo hàm của hàm số tại x 0

 Suy ra vi phân của hàm số tại x ứng với số gia 0 x là: df x( 0) f x( 0)x