Chương 2

Chương HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC 2.1 Bài toán thu gọn hệ lực 2.1.1 Định lý dời lực song song Định lý : Tác dụng lực lên vật rắn không thay đổi ta dời song song từ điểm đến điểm khác vật ta thêm vào ngẫu lực phụ có mô men mô men lực đặt điểm cũ điểm dời đến F A ∼ F ' B = F ; m = m B (F ) m F'' B a A F' B B a a F A F' F A * Chứng minh : Giả sử F tác dụng lên vật điểm A, cần dời F đến điểm B cách A đoạn AB = a Tại B đặt thêm vào vật hai lực cân F ' , F ' ' cho F ' = F , F '' = - F Theo tiên đề thì: F ∼ ( F , F ' , F ' ' ) mà F F ' ' tạo thành ngẫu Như vậy: ( F , F ' , F ' ' ) hệ gồm có lực F ' ngẫu ( F , F ' ' ) Ngẫu có mô men m = m B (F ) 2.1.2 Thu gọn hệ lực không gian tâm Véc tơ mô men hệ lực Giả sử vật rắn chịu tác dụng hệ lực phẳng không gian ( F1 , F2 … Fn ) Cần thu gọn hệ lực tâm O nằm mặt phẳng chứa lực z m2 z F1 m1 F2 O z y x F'1 O Fn R' F'2 y mn x F'n Mo O y x Áp dụng định lý dời lực song song, ta dời song song tất lực O: F1 ∼ F1 ' ngẫu lực có mô men m1 = mO ( F1 ) F2 ∼ F2 ' ngẫu lực có mô men m2 = mO ( F2 ) …… Fn ∼ Fn ' ngẫu lực có mô men mn = mO ( Fn ) Do hệ lực tương đương với hệ lực đồng qui O ( F1 ' , F2 ' , , Fn ' ) hệ ngẫu lực có véc tơ mô men ( m1 , m2 , , mn ) Hợp hệ lực đồng qui ta được: R ' = ∑ F ' = ∑ Fk ; R ' gọi véc tơ Hợp hệ ngẫu lực ta ngẫu lực có véc tơ mô men M O : M O = ∑ mk = ∑ mO ( Fk ) ; M O gọi mômen Kết luận : Hệ lực phẳng thu tâm tương đương với véc tơ mô men chính: Chú ý : R ' không phụ thuộc vào tâm thu gọn R ' hợp lực hệ lực đặt O ( F1 ' , F2 ' , , Fn ' ) hợp lực hệ lực ( F1 , F2 … Fn ) M O phụ thuộc vào tâm thu gọn O * Xác định véc tơ mô men hệ lực 2.1.2.1 Xác định véc tơ mô men phương pháp giải tích - Véc tơ chính: Theo định nghĩa R ' = ∑ Fk Do R’x = ∑Xk R’y = ∑Yk R’z = ∑Zk 2 R’ = Rx'2 + Ry'2 + Rz'2 = (∑ X k ) + (∑ Yk ) + (∑ Z k ) Gọi α, β, γ góc tạo véc tơ R ' với trục Ox, Oy, Oz Ry' Rx' R' cosα = ' ; cosβ = ' ; cosγ = z' R R R - Mô men chính: Sử dụng định lý liên hệ mô men lực điểm trục, ta có: [ ] M = ∑ [m ( F ) ] M = ∑ [m ( F ) ] Mox= ∑ mo' ( Fk ) x = ∑ mx ( Fk ) oy ' o k y = ∑ m y ( Fk ) oz ' o k z = ∑ mz ( Fk ) ⇒ Mo = [∑ mx ( Fk )]2 + [∑ m y ( Fk )]2 + [∑ mz ( Fk )]2 Gọi α1, β1, γ góc tạo véc tơ M O với trục Ox, Oy, Oz cosα1 = M M Ox M ; cosβ1 = Oy ; cosγ = Oz MO MO MO 2.1.2.2 Xác định véc tơ phương pháp hình học (dùng đa giác lực) Từ điểm O bất kỳ, ta vẽ véc tơ véc tơ biểu thị lực hệ, véc tơ trùng với gốc véc tơ Véc tơ OD , có gốc gốc véc tơ có ngọn véc tơ cuối cùng, véc tơ R ' Đa giác nhận gọi đa giác lực Véc tơ hệ lực biểu thị véc tơ khép kín đa giác lực tạo hệ lực F1 B F2 F2 F3 A F1 C F4 O R F3 D F4 2.1.3 Các trường hợp tối giản thu gọn + Trường hợp 1: Nếu R ' = M O = 0: hệ lực cân + Trường hợp 2: Nếu R ' = M O ≠ 0: hệ lực thu ngẫu lực có véc tơ mô men M O = ∑ mO ( Fk ) Trường hợp véc tơ M O không thay đổi tâm thu gọn + Trường hợp 3: Nếu R ' ≠ M O = 0: hệ lực có hợp lực véc tơ R ' = ∑ Fk có điểm đặt tâm thu gọn O + Trường hợp 4: Nếu R ' ≠ 0, M O ≠ R ' vuông góc với M O : Ta chọn ngẫu lực có véc tơ mô men M O cho có lực R '' đặt O cân với lực R ' , lực R đặt điểm O1 cách đường tác dụng lực R đoạn OO1 = d = Mo , hệ có hợp lực R R' ( F1 , F2 , …, Fn ) ∼ ( R , R ' , R '' ) ∼ R MO R' R'' π d O1 O O d R R π + Trường hợp 5: Nếu R ' ≠ 0, M O ≠ R ' // M O : Hệ lực tương đương với lực ngẫu, mặt phẳng tác dụng ngẫu vuông góc với lực R ' Hệ lực hợp lực, gọi hệ lực xoắn Đường tác dụng lực R ' qua điểm O, gọi trục trung tâm (trục xoắn) + Trường hợp 6: Nếu R ' ≠ 0, M O ≠ 0, R ' M O không vuông góc không song song với nhau: O1 R' MO O π d Hệ lực tương đương với hệ lực xoắn, trục trung tâm (trục xoắn) không qua O Thật vậy, véc tơ M O phân tích thành hai thành phần M nằm phương R ' M vuông góc với R ' , với trị số : M1 = MO cosα ; M2 = MO sinα Trong α góc M O R ' Lực R ' đặt O ngẫu lực có véc tơ mô men M tương đương với lực R đặt M sin α M điểm O1 có khoảng cách đến đường tác dụng R ' OO1 = d = '2 = O R R Vậy hệ lực tương đương với hệ lực xoắn gồm lực R đặt điểm O1 ngẫu lực có véc tơ mô men M , trục trung tâm qua điểm O1, cách tâm O đoạn d M2 MO R' R'' π O O M1 d d O1 R O1 π M1 R 2.1.4 Định lý Varinhông Nếu hệ lực có hợp lực véc tơ mô men hợp lực điểm tổng hình học véc tơ mô men lực hệ điểm M O (R ) = ∑m O ( Fk ) Chiếu đẳng thức lên trục z có sử dụng liên hệ mô men lực điểm trục, ta có : mz ( Fk ) = ∑ m (F ) z k Ví dụ 1: Tại đỉnh hình lập phương cạnh a, có lực tác dụng hình vẽ Trị số lực F1 = F2 = F3 = F; F4 = F5 = 2F Thu gọn hệ lực tâm O Giải : z Thu gọn hệ lực tâm O tìm véc tơ mô men hệ F2 tâm O F3 a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ F4 F5 O F1 O' x MO R' a a y Rx' = ∑ X k = F1 – F2 = Ry' = ∑ Yk = Rz' = ∑ Z k = F5 – F4- F3 = -F M Ox = ∑ mx ( Fk ) = -aF4 + aF5 = M Oy = ∑ m y ( Fk ) = -aF2 + aF4 =aF M Oz = ∑ mz ( Fk ) = Thu hệ lực O, ta lực R ' song song ngược chiều với trục z, ngẫu lực có M O song song chiều với trục y R ' =F M O = aF Vì M O ⊥ R ' nên hệ thu hợp lực qua O’ Ví dụ 2: Dầm AB chịu tác dụng lực : F1=10 kN ; F2=13kN ; F3 =15kN Hãy thu gọn hệ lực ( F1 , F2 , F3 ) tâm A Giải : Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có: =8,46 kN 2 Ry = ∑Yk = - F1+F2sin450- F3 =-10+12 - 15= -16,54 kN Khi thu hệ lực ( F1 , F2 , F3 ) tâm A ta véc tơ R ' mô men Rx = ∑ Xk = F2cos 450 = 12 MA: + Véc tơ có : Trị số : R = (∑ X ) + (∑Y ) = (8,46) + (−16,54) = 18,58kN Phương, chiều : Gọi α góc tạo R ' trục x cosα = ∑ X = 8,46 sinα = ∑Y = −16,54 R R 18,58 = 0,45 ⇒ α =630 18,58