SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG - KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2015 - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Ngày thi thứ hai : 10/10/2015 (Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang) Bài (6 điểm) Thay x x + f (0) y = vào giả thiết ta f ( x) = − x − f (0) = − x + k , ∀x ∈ \ với k số Thay lại giả thiết ta Do đó, k = − x − y + 2k = − x − y 1,5đ Thử lại, f ( x) = − x + thỏa mãn toán 1,5đ Vậy có hàm số thỏa mãn toán f ( x) = − x + Bài (7 điểm) 3,0đ Nếu ( x, y, z ) nghiệm nguyên dương phương trình (4 x − 1) > (4 y − 1) > Gọi p ước nguyên tố (4 x − 1) p số nguyên tố lẻ z ≡ −1 mod p Do đó, p −1 p −1 (4 z ) ≡ (−1) mod p Cũng từ z ≡ −1 mod p ta suy 2z không chia hết cho p Theo định lý Fermat, ( 2z ) p −1 p −1 ≡ mod p ⇒ ( z ) p −1 ≡ mod p p −1 = 2k Hay p = 4k + Suy x − = p1 p2 pm với pi = 4ki + Vì x − ≡ 1mod Vô lý ! Vì phương trình nghiệm nguyên dương Do ≡ (−1) mod p Vì PT có vô số nghiệm nguyên dạng (0; − z ; z ) với z tùy ý thuộc Z Bài (7 điểm) a) Gọi E, F tiếp điểm đường tròn nội tiếp (I) với cạnh AC, AB Ta có n n = 1800 − MEA n = MEC n FBM n = ECM n MFB = 1800 − MFA Do hai tam giác MFB MEC đồng dạng 1,5đ 1,0đ 1,5đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ Suy BF MB BD MB = ⇒ = EC MC DC MC 1,0đ n Vì đường thẳng MN qua Từ suy MD phân giác góc nội tiếp BMC q Tức M , D, T thẳng hàng trung điểm T cung BC Trang 1,0đ b) Ta chứng minh N, D, T thẳng hàng Thật vậy: Xét hai tam giác DIT NAT có: n = DIT n (do AH & DI ) NAT AT AT sin n ABT = = n IT TB sin BAC n AN AI sin AIN r.sin n AGB sin n AGB = = = n n BAC DI r sin r sin BAC n n n − BTA n = 1800 − BAC + ACB = 1800 − BGA n Mà n ABT = 1800 − BAT AT AN Nên = TI DI Ta suy hai tam giác DIT NAT đồng dạng ⇒n ATD = n ATN ⇒ N , D, T thẳng hàng Cùng với kết câu a, ta kết luận M , N , D thẳng hàng HẾT Trang 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ