ĐIỀU KIỆN về BIÊN độ để có DAO ĐỘNG điều HOÀ

A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí chọn đề tài Trong trình nghiên cứu lí thuyết dao động điều hoà ta biết, điều kiện để có dao động điều hoà là: + Đối với lắc đơn: - Bỏ qua ma sát - Biên độ góc đủ nhỏ để sinα ≈α (rad) + Đối với lắc lò xo: - Bỏ qua ma sát - Biên độ đủ nhỏ để lò xo nằm giới hạn đàn hồi Ngoài ra, hệ cụ thể, điều kiện biên độ để có dao động điều hoà diễn phong phú đa dạng Ở mức độ dễ, ta thường gặp toán phải tìm biên độ dao động đại lượng liên quan đến biên độ Mức độ khó phải tìm điều kiện biên độ thỏa mãn điều kiện Có thể nói toán hay khó khai thác kĩ gây hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao tư II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Qua trình giảng dạy nghiên cứu đề khảo sát chất lượng trường nước, thấy tần suất xuất câu hỏi điều kiện biên độ nhiều học sinh thường lúng túng với câu hỏi dạng Với vấn đề đó, xin đưa hướng giải cho vấn đề toán mà áp dụng cho hai lớp 12A3 12A2 kết khả quan B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí thuyết Để tìm điều kiện biên độ dao động ta cần xét xem có lực F phải lớn hay nhỏ giá trị xác định F thời điểm t, dựa vào phương trình định luật II Newton để suy biểu thức lực phụ thuộc vào thời gian Bất phương trình : F ≥ F0 F ≤ F0 với thời điểm t cho ta điều kiện biên độ cần tìm Dưới số tập minh họa Trong tập ta coi ma sát nhỏ bỏ qua, chọn gốc toạ độ vị trí cân bằng, chiều dương hình vẽ Lấy g = 10 m/s2 II Bài tập minh hoạ Bài Cho hệ hình vẽ, biết k = 100N/m, m1 = 400g, m2 = 100g a Giả sử M đứng yên Hỏi hệ m1, m2 dao động với biên độ để m2 dính với m1 b Với biên độ A = 4cm Hỏi M có giá trị để đứng yên m1, m2 dao động c Giả sử M = 3kg biên độ hệ để bảo đảm m1, m2 dao động Giải m1 m2 k M a Giả sử m1, m2 dao động dao động điều hoà với tần số góc ω= k = 10 (rad / s ) m1 + m2 Xét lực tác dụng lên m2 : - Trọng lực P2 - Phản lực từ m1 lên m2 N12 Chọn chiều dương hình vẽ N 12 P2 + P2 − N 12 = m2 a = −m2ω x Để m2 dính với m1 trình dao động thì: N 12 ≥ với thời điểm t Nên: P2 + m2ω A cos(ωt + ϕ ) ≥ với thời điểm t Bất đẳng thức với thời điểm t, cần với giá trị nhỏ vế trái đủ, điều xẩy : cos(ωt + ϕ ) = −1 m g − m 2ω A ≥ Vậy : Fdh g ω2 ⇒ A ≤ 0,05m ⇒ A≤ b Giá trị M - Lực tác dụng lên M : + Trọng lực: P + Lực đàn hồi: Fdh - Để M đứng yên m1, m2 dao động thì: P + P > Fdh → Mg > k∆l - Ta cần xét trường hợp lò xo bị căng trường hợp lò xo bị nén M luôn ép xuống sàn Nghĩa Mg > k∆l Max ⇒ Mg > k ( A − ∆l ) -Tại VTCB lò xo bị nén đoạn: ∆l = P1 + P2 k - Tại vị trí cao lò xo dãn đoạn ∆l Max = A − ∆l = A − Ta có: P1 + P2 k k∆l Max g ⇒ M > −0,1kg M > Kết luận: M có khối lượng ứng với biên độ c Điều kiện biên độ A để m1, m2 dao động điều hoà Từ kết câu b ta có: Mg > k ( A − ∆l ) ⇒ kA < ( M + m1 + m2 ) g M + m1 + m2 g k ⇒ A < 0,35m ⇒ A< Kết hợp với kết câu a A < 0,05m Bài Trích đề thi đại học Trường Kinh Tế Quốc Dân năm học 2001-2002 Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300g, lò xo có độ cứng k = 200N/m lồng vào trục thẳng đứng hình vẽ Khi M VTCB, thả vật m = 200g từ độ cao h = 3,75cm so với M Coi ma sát không đáng kể, va chạm hoàn toàn mềm x a Tính vận tốc m trước va chạm vận tốc hai vật sau va chạm b Sau va chạm hai vật dao động điều hoà Lấy t = lúc va chạm Viết phương trình hai vật toạ độ hình vẽ, gốc O VTCB M trước va chạm c.Tính biên độ dao động cực đại hai vật để trình dao động m không rời khỏi M m h M O k Giải a Áp dụng định luật bảo toàn trước sau va chạm, ta có: mv12 mgh = →v = gh = 2.10.0,375 = 0,869m / s (1) Vì va chạm hoàn toàn mềm nên sau va chạm hai vật (m+M) có vận tốc v2 Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: mv1 = (m + M )v → v = m v1 = 0,346m / s m+M (2) b Khi thêm vật m, lúc cân lò xo bị nén thêm đoạn: ∆l = mg 0,2.10 = = 0,01m = 1cm k 200 (3) Như vậy, VTCB O1 mà quanh hệ hai vật dao động điều hoà nằm O cách O đoạn 1cm Phương trình dao động hệ hai vật quanh O1 có dạng: Acos(ωt + φ), chọn gốc toạ độ O hình vẽ phương trình dao động hai vật có dạng: x = Acos(ωt + φ) – (cm) Theo đề bài: Lúc t = : x0 = = Acos(φ) – v0 = - v2 = - v1 = − ω= k = m+M (4) (5) 0,75 = −ωA sin ϕ (6) 200 = 20rad / s 0,5 (7) Từ suy ra: ω A (sin ϕ + cos ϕ ) = ω + v 22 → A= ω + v 22 16 = = 2cm ω 20 (8) Từ (5), (6) (8) tìm : φ = Л/3 Vậy phương trình dao động hai vật là: x = cos(20t + π ) − 1(cm) c Điều kiện biên độ A - Các lực tác dụng lên m: - Phản lực N - Trọng lực P - Áp dụng định luật II Newton cho m chiếu lên trục toạ độ, ta có N − P = ma = −mω A cos(ωt + ϕ ) ⇒ N = m[ g − ω A cos(ωt + ϕ )] - Để trình dao động m không rời khỏi M phải có: N ≥ ⇒ g − ω A cos(ωt + ϕ ) ≥ với thời điểm t Điều kiện đủ để bất đẳng thức cần với giá trị nhỏ vế trái, điều xảy khi: cos(ωt+φ) = Vậy A≤ g 10 = = 0,025m = 2,5cm ω 20 Bài Cho hệ hình vẽ Biết k = 100N/m, m1 = 250g, dây mêm đều, độ giãn không đáng kể Bỏ qua khối lượng ròng rọc, ma sát ròng rọc Bỏ qua khối lượng sợi dây a Giả sử m2 đứng yên, lò xo giới hạn đàn hồi m1 dao động Hỏi biên độ A giới hạn m1 dao động điều hoà b Khối lượng m2 phải để đứng yên m1 dao động với biên độ A = 1,5cm T1 k m2 m1 + P1 Giải a Như ta có điều kiện để m1 dao động điều hoà phải tồn lực căng T1 Nghĩa T1 ≥ Vậy, với lí luận tương tự câu ta có: P1 − T1 = m1 a ⇒ T1 = P1 + m1ω A cos(ωt + ϕ ) ⇒ P1 + m1ω A cos(ωt + ϕ ) ≥ với thời điểm t - Bất đẳng thức với thời điểm t cần với giá trị nhỏ vế trái, đó: cos(ωt + ϕ ) = −1 P g ⇒ A≤ = m1ω ω ⇒ A≤ 10 → A ≤ 0,025m 100 0,25 b Tìm khối lượng m2 - Các lực tác dụng lên m2: Gồm lực + Lực căng dây: T2 + Lực đàn hồi lò xo: F + Trọng lực P2 - Để m2 đứng yên thì: k m2 (1) T2 + P2 + F = - Giả sử ∆l0 độ giãn lò xo lức m1 VTCB k∆l0 = P1 ⇒ ∆l0 = P1 k T2 m1 + F P2 (2) - Tại li độ x, lò xo giãn (∆l0 + x ), lực đàn hồi là: F = k(∆l0 + x ) (3) - Từ (1) (3) ta có: k(∆l0 + x ) = P2 + T2 - Để m2 đứng yên phải tồn lực căng T2, T2 ≥ Ta có: P2 ≤ k(∆l0 + x ) ⇒ P2 ≤ P1 + kx ⇒ P2 ≤ Min(P1 + kx) ⇒ P2 ≤ P1 – kA ⇒ P2 ≤ 2,5 – 100 1,5 =1 100 ⇒ m2 ≤ 100g Bài Một lắc lò xo treo thănng đứng gồm vật khối lượng m = 400g treo vào lò xo nhẹ có độ cứng k Tại thời điểm t = vật có li độ x0 = +1cm vận tốc v0 = -25cm/s Biết vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với lượng W = 25mJ a Tìm độ cứng lò xo viết phương trình dao động vật b Điểm treo lò xo (Điểm Q) chịu lực kéo tối đa 9N Tìm điều kiện biên độ dao động để lò xo không bị tuột khỏi Q Giải a Ở thời điểm kể t = 0, gồm tổng động kx 02 mv02 2W − mv02 W= + →k = = 250 N / m 2 x 02 * Phương trình dao động vật - Tần số góc: ω = k = 25rad / s m - Tại thời điểm ban đầu t = 0, ta có: A =  x0 = A cos ϕ =  ⇒  π v = −25 A sin ϕ = −25cm / s ϕ =  Vậy phương trình dao động vật là: x = cos(25t + π )cm b Lực kéo lò xo lên điểm Q có độ lớn lực đàn hồi Nhu vậy: F = k(∆l + x ) = mg + kAcos(ωt + φ) ≤ F0 với t Lập luận tương tự, ta có : A ≤ (F0 - mg)/k = 2,6cm Bài Cho hệ hình vẽ Biết k = 100N/m, A α = 300 Bỏ qua ma sát M mặt phẳng nghiêng Ma sát m M có hệ số μ = √3/2, M = 200g, m = 50g Hỏi hệ dao động với biên độ A để m không trượt khỏi M dao động m M α Giải - Các lực tác dụng lên m gồm: + Lực ma sát nghỉ fms + Thành phần tiếp tuyến trọng lực - Để m không trượt khỏi M m dao động gia tốc với M Do theo định luật II Newton, ta có: m a = f ms + P - Chiếu phương trình lên chiều chọn: ma = f ms − mg sin α ⇒ mω A cos(ωt + ϕ ) = f ms − mg sin α - Mặt khác: f ms ≤ µmg sin α ⇒ mω A cos(ωt + ϕ ) ≤ mg ( µ cos α − sin α ) với thời điểm t - Điều kiện cần đủ : Cos(ωt + φ) = đó: g ( µ cos α − sin α ) k ;ω = M +m ω ( M + m) g ⇒ A≤ ( µ cos α − sin α ) k A≤ - Thay số, ta được: A ≤ 0,625cm Bài Hai lò xo có chiều dài tự nhiên 20cm 30cm cắt từ lò xo dài 50cm, có độ cứng k = 30N/m Bỏ qua kích thước m; AB = 60cm a Tìm độ giãn lò xo vị trí cân b Giới hạn đàn hồi chứng ∆l/l0 ≤ 25% Hỏi m dao động điều hoà với biên độ lớn bao nhiêu? + L1 A m L2 B Giải a Độ biến dạng lò xo VTCB - Tại VTCB, hai lò xo giãn đoạn ∆l01 ∆l02 Ta có: ∆l 01 + ∆l 02 = 10(cm)  k1 ∆l 01 = k ∆l 02 (1) - Hai lò xo cắt từ lò xo nên: k1l1 = k2l2 = k0l0 → 20k1 = 30k2 = 50.30 = 1500 → k1 = 75N/m k2 = 50N/m - Thay k1 k2 vào hệ (1) giải hệ, ta được: ∆l01 = 4cm ∆l02 = 6cm b Biên độ dao động lớn m - Độ biến dạng tức thời lò xo li độ x là: ∆l1 = ∆l01 + x ∆l2 = ∆l02 - x - Để m dao động điều hoà, lò xo phải hoạt động giới hạn đàn hồi * ∆l01 + x ≤ 0,25l1 → x ≤ 0,25l1 - ∆l01 → Acos(ωt + φ) ≤ 0,05 – 0,04 = 0,01 với thời điểm t → Bất đẳng thức nghiệm cần giá trị lớn vế trái nhỏ đủ, điều có nghĩa là: cos(ωt + φ) = Vậy: A ≤ 0,01(m) (2) * ∆l02 - x ≤ 0,25l2 → -x ≤ 0,25l2 - ∆l02 → -Acos(ωt + φ) ≤ 0,075 – 0,06 = 0,015 với thời điểm t → Acos(ωt + φ) ≥ - 0,015 → Bất đẳng thức nghiệm cần giá trị nhỏ vế trái lớn đủ, điều có nghĩa là: cos(ωt + φ) = -1 Vậy A ≤ 0,015(m) (3) - Biên độ A phải thỏa mãn đồng thời (2) (3) Vậy hệ dao động điều hoà với biên độ A = 0,01(m) Bài Cho hệ hình vẽ, dây mềm có độ giãn không đáng kể, hệ trạng thái cân k1 = 50N/m, k2 = 75N/m, l01 = l02 = 50cm Hai lò xo có giới hạn đàn hồi ∆l ⁄ l0 ≤ 10%, m = 300g Hỏi với biên độ dao động khoảng m dao động điều hoà theo phương thẳng đứng? k1 k2 m Giải - Ta có độ cứng hệ( Học sinh tự chứng minh): k= k1 k = 120 N / m k1 + k - Từ đó, ta lại có: ω= k = 20rad / s m - Để m dao động điều hoà, phải tồn lực căng dây, nghĩa là: P − T = ma ⇒ P ≥ ma = mAω cos(ωt + ϕ ) ⇒ Aω cos(ωt + ϕ ) ≤ g (∀t ) - Lập luận tương tự: A ≤ g / ω2 → A ≤ 2,5 (cm) (1) - Tại VTCB hai lực đàn hồi ½ trọng lực, nên độ giãn hai lò xo là: ∆l 01 = mg = 3cm k1 ∆l 02 = mg = 2cm 2k - Tại li độ x, lò xo giãn thêm đoạn: x = 1,2 x lò xo giãn thêm đoạn: 2 x = 0,8 x - Độ giãn lò xo m li độ x: 10 ∆l1 = 0,03 + 1,2 x ∆l = 0,02 + 0,8 x - Để hai lò xo giới hạn đàn hồi ta có: ∆l1 ≤ 0,1l 01 ⇒ 0,03 + 1,2 x ≤ 0,05 0,02 ⇒ x = A cos(ωt + ϕ ) ≤ 1,2 với thời điểm t + Khi đó: A ≤ 1/60(m) (2) ∆l ≤ 0,1l 02 ⇒ 0,02 + 0,8 x ≤ 0,05 ⇒ x = A cos(ωt + ϕ ) ≤ 80 với thời điểm t + Khi đó: A ≤ 3/80(m) (3) Kết hợp (1), (2) (3): Để m dao động điều hoà điều kiện biên độ là: A ≤ 1/60(m) Bài M Vật M nằm yên mặt phẳng nằm ngang vật nặng m nối với lò xo sợi dây nhẹ không giãn vắt qua ròng rọc cố định hình vẽ Hệ số ma sát M mặt phẳng ngang μ = 0,3 Tỉ số khối lượng vật M = 5m Vật m thực dao động với chu kì T = 0,5s Vật m thực dao động với biên độ cực đại để đảm bảo dao động điều hòa? Giải - Gọi ∆l độ giãn lò xo m VTCB k độ cứng lò xo thì: ∆l = m mg k - Khi m dao động điều hoà chu kì bằng: m k m T2 ⇒ = k 4π T = 2π - Dao động m dao động điều hoà đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: 11 + Trong trình m dao động M đứng yên, nghĩa Fdh ≤ Fms + Sợi dây phải luôn căng, tức T ≥ - Từ điều kiện Ta có: Fdh = k(x + ∆l) ≤ Fma → k(∆l + Acos(ωt + φ)) ≤ μMg - Lập luận hoàn toàn tương tự, ta có:  M  gT A ≤ µ − 1 ≈ 0,032(m) = 3,2(cm)  m  4π - Từ điều kiện Ta có: P – T = ma → P ≥ ma = mAω2cos(ωt + φ) → A ≤ gT2 /4Л2 ≈ 0,063(m) = 6,3(cm) - Kết hợp hai kết trên: A = 3,2cm III Bài tập vận dụng Bài Trích đề thi đại học Xây Dựng năm học 1999 – 2000 Cho hệ hình vẽ Lò xo 1: k1 = 60N/m, chiều dài tự nhiên l01 = 20cm Lò xo 2: k2 = 40N/m, chiều dài tự nhiên l02 = 25cm Vật nặng có khối lượng M = 250g, kích thước không đáng kể, AB = 50cm Bỏ qua ma sát Xác định vị trí cân vật Lấy g = 10m/s2 Đặt thêm vật có khối lượng m = 150g lên vật M, lồng qua lò xo l1 không gắn với lò xo l2 Sau đó, kích thích cho hệ dao động điều hoà theo phương thẳng đứng Hỏi biên độ dao động hệ lớn để m không rời khỏi M A A l1 l1 m M l2 M A l2 B B B k Bài Trích đề thi Học Viện Công Nghệ BCVT năm học 2001 – 2002 m O 12 x Một vật nhỏ khối lượng m = 200g treo vào sợi dây AB không giãn treo vào lò xo có độ cứng k = 20N/m hình vẽ Kéo vật m xuống VTCB đoạn 2cm thả không vận tốc đầu Chọn gốc toạ độ VTCB, chiều dương hướng thẳng đứng xuống dưới, gốc thời gian lúc thả vật Lấy g = 10m/s2 Viết phương trình dao động m Bỏ qua lực cản không khí ma sát điểm treo, bỏ qua khối lượng dây treo AB lò xo Tìm biểu thức phụ thuộc lực căng dây vào thời gian Biên độ dao động m phải thỏa mãn điều kiện để dây AB luôn căng mà không đứt, biết dây O M2 chịu lực kéo tối đa TMax = 3N Bài Trích đề thi CĐ Hóa Chất - 2004 x Hai vật M1 M2 có khối lượng tương ứng L m1 = 500g m2 = 100g gắn vào lò xo L có độ cứng k = 40N/m, trục lò xo giữ thẳng đứng Bỏ qua khối lượng lò xo, lấy g = 10m/s2 M1 Tính độ biến dạng lò xo VTCB Từ VTCB nhấn M2 xuống 2cm theo phương thẳng đứng buông không vận tốc đầu thấy M2 dao động điều hoà M1vẫn đứng yên so với mặt đất Chọn trục toạ độ Ox hướng thẳng đứng xuống dưới, gốc toạ độ VTCB M2, gốc thời gian lúc buông M2 Viết phương trình dao động M2 Tìm điều kiện biên độ M2 để M1 luôn nằm yên M2 dao động Bài Cho hệ dao động điều hoà hình vẽ Vật M trượt không ma sát mặt phẳng với chu kì T = 0,8s Vật m đặt vật M theo tiếp xúc phẳng Hệ số ma sát hai vật μ = 0,25 Lấy g = 10m/s2 Л2 = 10 Tìm biên độ dao động lớn M để m không trượt m k M 13 Dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan Câu Trích đề thi thử đại học lần Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội năm học 2010 – 2011 M1 Cho hệ hình vẽ Vật M1 có khối lượng m1 = 1kg, vật M2 có khối lượng m2 = 4kg, lò xo có độ cứng k = 625N/m Hệ đặt bàn, kéo vật M1 khỏi VTCB A cm hướng thẳng đứng lên thả nhẹ, vật dao động điều hoà, cho g = 10m/s2 Xác định biên độ M2 A để suốt trình dao động vật M2 không nhấc khỏi sàn? A A ≥ 1,6(cm) C A ≤ (cm) B A ≤ 1,6(cm) D A ≥ (cm) Câu Trích đề thi thử đại học lần Trường THPT Trần Nhân Tông - Quãng Ninh năm học 2010 – 2011 m Vật có khối lượng m= 160g gắn vào lò xo có độ cứng k =64N/m đặt thẳng đứng Người ta đặt thêm lên vật m gia trọng ∆ m = 90g Gia trọng ∆ m tiếp xúc với vật theo k mặt phẳng ngang Kích thích cho hệ dao động điều hòa theo phương thẳng đứng Để gia trọng ∆ m không rời khỏi vật trình dao động biên độ dao động A hệ phải thỏa mãn: A A < 3,9 cm C A < 4,5cm B A < 4,1cm D A < 5cm 14 C KẾT LUẬN Bài toán dao động điều hòa phong phú đa dạng, đề tài khai thác đề thi học sinh giỏi thi đại học Trong trình dạy học phần kiến thức thú vị cho giáo viên nâng cao tay nghề, đặc biệt giáo viên kinh nghiệm Ngoài ra, gây nhiều cảm hứng học tập cho học sinh Tôi thấy toán điều kiện biên độ dạng toán nhiều thú vị, kết hợp nhiều kiến thức giúp học sinh nâng cao tư linh hoạt trình vận dụng kiến thức vào toán liên quan đến biên độ dao động Với cách tiếp cận vấn đề vận dụng vào thực tế giải đề ôn luyện phần lớn học sinh giải vấn đề tốt Thời gian giảng dạy ít, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp hi vọng đề tài liệu bổ ích cho học sinh Sầm Sơn, ngày 25 tháng 05 năm 2011 Người viết Lê Hồng Phương 15 PHỤ LỤC Tài liệu tham khảo Giới thiệu : ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC - TỪ NĂM HỌC 19981999 ĐẾN NĂM HỌC 2005-2006 Tác giả Vũ Thanh Khiết - Phạm Văn Thiều NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Giới thiệu : ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TOÀN QUỐC- TỪ NĂM HỌC 2002-2003 ĐẾN 2005-2006 Tác giả Nguyễn Quang Mậu NXB Hà Nội Giải toán: VẬT LÝ 12- TẬP MỘT Tác giả Bùi Quang Hân NXB Giáo Dục Bài tập chọn lọc phương pháp giải: BÀI TẬP VẬT LÝ 12 Tác giả Nguyễn Đình Noãn - Nguyễn Danh Bơ NXB Giáo Dục 16 MỤC LỤC A Đặt vấn đề I Lí chọn đề tài II Thực trạng vấn đề B Giải vấn đề I Cơ sở lí thuyết II Bài tập minh họa III Bài tập vận dụng C Kết luận 1 12 15 17 ... thực dao động với chu kì T = 0,5s Vật m thực dao động với biên độ cực đại để đảm bảo dao động điều hòa? Giải - Gọi ∆l độ giãn lò xo m VTCB k độ cứng lò xo thì: ∆l = m mg k - Khi m dao động điều hoà. .. yên Hỏi hệ m1, m2 dao động với biên độ để m2 dính với m1 b Với biên độ A = 4cm Hỏi M có giá trị để đứng yên m1, m2 dao động c Giả sử M = 3kg biên độ hệ để bảo đảm m1, m2 dao động Giải m1 m2 k... m2 phải để đứng yên m1 dao động với biên độ A = 1,5cm T1 k m2 m1 + P1 Giải a Như ta có điều kiện để m1 dao động điều hoà phải tồn lực căng T1 Nghĩa T1 ≥ Vậy, với lí luận tương tự câu ta có: P1