Bai tap ham so

SỰ TƯƠNG GIAO y= Cho hàm sô x +3 x +1 có đồ thị là (C) a) Chưng minh đương thăng (d): y = 2x + m luôn căt (C) tai hai điêm phân bi êt M và N b) Xac định m đê đô dài MN nho nhât Giải: Phương trinh hoành đô giao điêm cua (d) và (C): x+3 = 2x + m x +1 ⇔ g(x) = 2x + (m + 1)x + m − = (x ≠ −1) (*) Ta có: ∆ = (m + 1) − 8(m − 3) = (m − 3) + 16 > 0, ∀m ⇔ g(−1) = −2 ≠ 0, ∀m → phương trinh (*) luôn có hai nghiêm phân bi êt khac – Vây (d) căt (C) tai hai điêm phân biêt M và N Goi x 1, x2 lân lươt là hoành đô cua M và N thi x1, x2 là nghiêm cua phương trinh (*) Ta có: y1 = 2x1 + m, y = 2x + m 1 x1 + x = − (m + 1), x1x = (m − 3) 2 Măt khac: Ta có: MN = (x − x1 ) + (y − y1 ) = (x − x1 ) + 4(x − x1 ) = (x + x ) − 4x1x  1  =  (m + 1) − 2(m − 3)  4  MN = (m − 3) + 16  ≥ 20 ⇒ MN ≥ y= VD2: Cho hàm sô m−x x+2 có đồ thị là (H m ) , với Vây MNmin = m tam giac có diện tích là d : 2x + y − = S= căt , đat đươc m = là tham sô thực Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị cua hàm sô cho Tim m đê đương thăng (H m ) m =1 tai hai điêm với gôc toa độ tao thành Giải Hoành độ giao điêm A, B cua d và (H m ) là cac nghiệm cua phương trinh −x+m = −x + x+2 ⇔ x + x + 2( m − 1) = 0, x ≠ −2 Pt (1) có nghiệm x1 , x phân biệt khac (1) 17  ∆ = 17 − 16m > m < ⇔ ⇔ 16 2 ( − ) − + ( m − ) ≠  m ≠ −2 −2 Ta có AB = ( x2 − x1 ) + ( y − y1 ) = ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = h= Khoảng cach từ gôc toa độ O đến d là Suy 2 1 S ∆OAB = h AB = 17 − 16m = ⇔ m = , 2 2 y= Cho hàm sô x−1 x+1 17 − 16m thoa mãn 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2) Tim a và b đê đương thăng (d): ∆ x − 2y + = đương thăng ( ): y = ax + b căt (C) tai hai điêm phân biệt đôi xưng qua Giải Phương trinh cua (∆) y= đươc viết lai: Đê thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với x+ 2 (∆) hay a = −2 Khi đó phương trinh hoành độ giao điêm (d) và (C): x−1 = −2x + b ⇔ 2x − (b − 3)x − (b + 1) = x+1 Đê (d) căt (C) tai hai điêm phân biệt A, B b2 + 2b + 17 > ⇔ ⇔ (1) (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆>0 ⇔ b tuỳ ý Goi I là trung điêm cua AB, ta có  xA + xB b − =  xI =   y = −2x + b = b + I  I Vậy đê thoả yêu câu bài toan ton taiï A, B   AB ⊥ (∆)  ⇔  I ∈ (∆) ⇔ ∀b   a = −2  x − 2y + = I  I  a = −2   a = −2 b −  − ( b + 3) + =  ⇔ ⇔ b = −1 …………………………………………………………………………………………………………… y = x − 6x + 9x − : Cho hàm sô ba điêm phân biêt (C) Định m đê đương thăng (d): y = mx − 2m − Giải: Phương trinh hoành đô giao điêm: x − 6x + 9x − = mx − 2m − ⇔ x − 6x + 9x − = m(x − 2) ⇔ (x − 2)(x − 4x + 1) − m(x − 2) = ⇔ (x − 2)(x − 4x + − m) (1) x = ⇔  g(x) = x − 4x + − m = (2) ……………………………………… căt đồ thị (C) tai Phương trinh (1) có nghiêm phân biêt và chi phương trinh (2) có hai nghi êm phân bi êt khac ∆ ' = m + > ⇔ ⇔ m > −3 g(2) = − m − ≠ VD10: Cho hàm sô y = x − mx − x + m + (C m ) 3 biêt có hoành đô x1, x2, x3 thoa mãn điều kiên Tim m đê (Cm) căt trục hoành tai ba điêm phân x + x + x 32 > 15 2 Giải: Phương trinh hoành đô giao điêm: x − mx − x + m + = ⇔ x − 3mx − 3x + 3m + = 3 ⇔ (x − 1)  x + ( − 3m ) x − 3m −  = (1) x = ⇔ g(x) = x + (1 − 3m)x − 3m − = (2) (Cm) căt trục Ox tai ba điêm phân biêt khac ⇔ (1) có ba nghiêm phân biêt ⇔ (2) có hai ngiêm phân biêt ∆ = (1 − 3m) + 4(3m + 2) > 3m + 2m + > 0, ∀m ⇔ ⇔ ⇔ m ≠ (a) g(1) = −6m ≠ m ≠ Giả sử x3 = 1; x1, x2 là nghiêm cua (2) Ta có: x1 + x = 3m − 1; x1x = −3m − Khi đó: x12 + x 22 + x 32 > 15 ⇔ (x1 + x ) − 2x1x + > 15 ⇔ (3m − 1) + 2(3m + 2) − 14 > ⇔ m − > ⇔ m < −1 ∨ m > (b) Từ (a) và (b) ta có gia trị cân tm là: m < -1 ho ăc m > y = x − 3x − 9x + m (C m ) VD11: Cho hàm sô Xac định m đê đồ thị (Cm) cua hàm sô cho căt trục hoành tai ba điêm phân biêt với cac hoành đ ô l âp thành câp sô c ông Giải: Phương trinh hoành đô giao điêm: điêm phân biêt có hoành đô x − 3x − 9x + m = (*) x1 , x , x (x1 < x < x ) Giả sử (Cm) căt trục Ox tai ba thi x1, x2, x3 là nghiêm cua phương trinh (*) Khi đó: x − 3x − 9x + m = (x − x1 )(x − x )(x − x ) = x − (x1 + x + x )x + (x1x + x x + x x1 )x − x1x x ⇒ x1 + x + x = (1) Ta só: x1, x2, x3 lâp thành môt câp sô công ⇔ x1 + x = 2x (2) =1: (*) ↔ m = 11 Với m = 11: Thế (2) vào (1) ta cô: x2 = x2 (*) ⇔ x − 3x − 9x + 11 = ⇔ (x − 1)(x − 2x − 11) =  x1 = −  ⇔ x = ⇒ x1 + x = 2x  x3 = 1+ Vây m = 11 thoa yêu câu y = − x + 2(m + 2)x − 2m − (C m ) Cho hàm sô Định m đê đồ thị (Cm) căt trục Ox tai bôn điêm phân biêt có hoành đô lâp thành môt câp sô công Giải: Phương trinh hoành đô giao điêm: − x + 2(m + 2)x − 2m − = (1) (1) ⇔ g(t) = − t + 2(m + 2)t − 2m − (2) Đăt t = x2, t ≥ bôn nghiêm phân biêt (Cm) căt trục hoành tai bôn điêm phân biêt x1 , x , x , x (x1 < x < x < x ) ⇔ ⇔ (1) có (2) có hai nghiêm dương phân biêt  (m + 1)2 >  ∆ ' = (m + 2) − 2m − >    m > − ⇔ S = 2(m + 2) > ⇔ m > −2 ⇔  P = 2m + >   m ≠ −1  m > − t1 , t (t1 < t )  Theo định li Viet, ta có:  t1 + t = 2(m + 2) (a)  (b)  t1t = 2m + x1 = − t < x = − t < x = t < x = t Khi đó phương trinh (1) có bôn nghi êm phân bi êt: Ta có: x1 , x , x , x lâp thành môt câp sô công ⇔ x − x1 = x − x = x − x ⇔ − t1 + t = t1 + t1 = t − t1 ⇔ t = 9t1 (c) Từ (a) và (c), ta có: t1 = (m + 2), t = (m + 2) 5 Thế vào (b), ta đươc: m = ⇔  m = − 13 (m + 2) (m + 2) = 2m + ⇔ 9m − 14m − 39 =  5 (thoa(*)) Tiep tuyen y=− Cho hàm sô x + ( m − 1) x + (3m − 2) x − 3 có đồ thị (C m ), Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị cua hàm sô cho m là tham sô m = (Cm ) M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) x1.x2 > Tim m đê có hai điêm phân biệt thoa mãn và tiếp (Cm ) d : x − y + = tuyến cua tai điêm đó vuông góc với đương thăng Giải Ta có hệ sô góc cua y ' = −3 , hay d : x − 3y + = kd = là Do đó x1 , x2 là cac nghiệm cua phương trinh − x + 2(m − 1) x + 3m − = −3 ⇔ x − 2(m − 1) x − 3m − = Yêu câu bài toan ⇔ phương trinh (1) có hai nghiệm x1 , x2 (1) thoa mãn x1 x > ∆ ' = ( m − 1) + 2(3m + 1) > m < −3  ⇔  − 3m − ⇔ − < m < − >0    Vậy kết cua bài toan là m < −3 và −1 < m < − Cho hàm sô y = x3 – 3x + có đồ thị (C) và đương thăng (d): y = mx + m + 1/ Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2/ Tim m đê (d) căt (C) tai M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến cua (C) tai N và P vuông góc Giải Phương trinh hòanh độ giao điêm cua (C) và (d): x – (m + 3)x – m – = Hay : (x + 1)(x2 – x – m – 2) =  x = −1 , y =   x − x − m − = (*) (*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > Theo giả thiết: − ) , xN và xP là nghiệm cua (*)  −3+ 2 m = ⇔ 9m + 18m + = ⇔   −3− 2 m= 2  ( x N − 3)( xP − 3) = −1  y= x +1 x −1 : Cho hàm sô (C) Xac định m đê đương thăng d: y = 2x + m căt (C) tai hai điêm phân bi êt A, B cho tiếp tuyến cua (C) tai A và B song song với Giải: phương trinh hoành đô giao điêm: x +1 = 2x + m x −1 g(x) = 2x + (m − 3)x − m − = (1) ⇔ x ≠  ∆ = (m − 3) + 8(m + 1) = (m + 1) + 16 > 0, ∀m  g(1) = −2 ≠ Ta có: → phương trinh (1) luôn có hai nghiêm phân biêt khac vây d luôn căt (C) tai hai điêm phân bi êt A và B Goi x1, x2 (x1 ≠ x2) lân lươt là hoành đô cua A và B thi x1, x2 là nghiêm cua phương trinh (1) Ta có: x1 + x = (3 − m) k = y '(x ) = − k1 = y '(x1 ) = − Tiếp tuyến ∆1, ∆2 tai A, B có sô góc lân lươt là: 2 ∆1 / / ∆ ⇔ k1 = k ⇔ − =− 2 (x − 1) (x1 − 1) (x − 1) (x1 − 1)  x1 − = x −  x1 = x ⇔ (x1 − 1) = (x − 1) ⇔  ⇔ ⇔ − (3 − m) = ⇔ m = −1 x − = − x + x + x =   2 y= Cho hàm sô đồ thị (C) x − 3x + 2 (C) Tim phương trinh tiếp tuyến qua điêm  3 A  0; ÷  2 và tiếp xúc với y = kx + Giải: phương trinh đương thăng ∆ qua điêm A và có h ê sô góc k có đang: ∆ tiếp xúc với (C) ↔ phương trinh sau có nghi êm: Thế (2) vào (1), ta có: 3 1  x − 3x + = kx + 2 2  2x − 6x = k  (1) (2) 3 x − 3x + = (2x − 6x)x + ⇔ x (x − 2) = 2 (2)  x = ⇒ k =0⇒ ∆:y =   (2) ⇔  x = ⇒ k = −2 ⇒ ∆ : y = −2 2x +   (2)  x = − ⇒ k = 2 ⇒ ∆ : y = 2x +  1) Cho hàm sô y = − x3 + x2 − (C) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2) Tim đương thăng (d): y = cac điêm mà từ đó có thê kẻ đươc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) 2) Cho hàm sô y = x3 − 3mx2 + 9x − có đồ thị (Cm) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô Tim 3) m m= đê (Cm) căt trục Ox tai điêm phân biệt có hoành độ lập thành câp sô cộng Cho hàm sô y = x3 − x2 + có đồ thị (C) 1 Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) Tim hai điêm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến cua (C) tai A và B song song với và độ dài đoan AB = 4) Cho hàm sô y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m là tham sô) (1) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị cua hàm sô (1) m = 2) Tim cac gia trị cua m đê đồ thị hàm sô (1) có điêm cực đai, điêm cực tiêu, đồng thơi hoành độ cua điêm cực tiêu nho y = x −3 x 5) Cho hàm sô (1) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô (1) 2) Chưng minh m thay đổi, đương thăng (d): y = m(x +1) + căt đồ thị (C) tai điêm M cô định và xac định cac gia trị cua m đê (d) căt (C) tai điêm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tai N và P vuông góc với 6) Cho hàm sô y = x3 + 2mx + ( m + 3) x + có đồ thị là (Cm) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C 1) cua hàm sô m = 2) Cho (d) là đương thăng có phương trinh y = x + và điêm K(1; 3) Tim cac gia trị cua tham sô m cho (d) căt (Cm) tai ba điêm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giac KBC có diện tích băng 7) Cho hàm sô y = x3 − 3m x + 2m (Cm) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô m = 2) Tim m đê (Cm) và trục hoành có đúng điêm chung phân biệt 8) Cho hàm sô: y = 3x − x3 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2) Tim đương thăng y = – x cac điêm kẻ đươc đúng tiếp tuyến tới đồ thị (C) 9) Cho hàm sô y = x3 − 3x + 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2) Goi d là đương thăng qua điêm A(3; 4) và có hệ sô góc là m Tim m đê d căt (C) tai điêm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến cua (C) tai M và N vuông góc với ) Cho hàm sô f ( x ) = x + 2(m − 2) x + m − 5m + (Cm) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô với m = 2) Tim m đê (Cm) có cac điêm cực đai, cực tiêu tao thành tam giac vuông cân 28) Cho hàm sô y = x4 − 5x2 + 4, có đồ thị (C) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) Tim m đê phương trinh 29) Cho hàm sô: x4 − 5x2 + = log2 m y = x − (2m + 1) x + 2m có nghiệm (m là tham sô ) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô m = 2) Tim tât cac gia trị cua m đê đồ thị hàm sô căt trục Ox tai điêm phân biệt cach 30) Cho hàm sô y = x − x + 4, có đồ thị (C) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2) Tim m đê phương trinh 31) Cho hàm sô | x − 5x + |= log m y = x4 + 2mx2 + m2 + m có nghiệm (1) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô m = –2 2) Tim m đê đồ thị hàm sô (1) có điêm cực trị lập thành tam giac có góc băng 32) Cho hàm sô y = x + mx − x − 3mx + (1) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô (1) m = 2) Định m đê hàm sô (1) có hai cực tiêu 33) Cho hàm sô: y = x4 − x2 + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m sô nghiệm cua phương trinh: x − x2 + + log m = (m>0) 1200 34) Cho hàm sô y = x4 − 2(m2 − m+ 1)x2 + m− (1) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô m = 2) Tim m đê đồ thị cua hàm sô (1) có khoảng cach hai điêm cực tiêu ngăn nhât 35) Cho hàm sô y = x4 + mx2 − m− (Cm) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô m = –2 2) Chưng minh m thay đổi thi (Cm) luôn qua hai điêm cô định A, B Tim m đê cac tiếp tuyến tai A và B vuông góc với 36) Cho hàm sô y = x4 − 2m2x2 + m4 + 2m (1), với m là tham sô 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô m = 2) Chưng minh đồ thị hàm sô (1) căt trục Ox tai it nhât hai điêm phân biệt, với moi 37) Cho hàm sô y = x4 + 2m2x2 + m< (1) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô m = 2) Chưng minh đương thăng moi gia trị cua m y= 38) Cho hàm sô 2x + x−1 y = x+ căt đồ thị hàm sô (1) tai hai điêm phân biệt với có đồ thị (C) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô Với điêm M bât kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tai M căt tiệm cận tai Avà B Goi I là giao điêm hai tiệm cận Tim vị tri cua M đê chu vi tam giac IAB đat gia trị nho nhât y= 39) Cho hàm sô 2x + x+2 có đồ thị là (C) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị cua hàm sô 2) Chưng minh đương thăng d: y = –x + m luôn căt đồ thị (C) tai hai điêm phân biệt A, B Tim m đê đoan AB có độ dài nho nhât y= 40) Cho hàm sô x +1 x −1 (C) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2) Tim trục tung tât cac điêm từ đó kẻ đươc nhât tiếp tuyến tới (C) y= 41) Câu I: (2 điêm) Cho hàm sô x + 3m − ( + m ) x + 4m có đồ thị là (Cm) (m là tham sô) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô m = 2) Xac định m cho đương thăng (d): y = − x + m căt đồ thị (C) tai hai điêm A, B cho độ dài đoan AB là ngăn nhât y= 42) Cho hàm sô 2x −1 x +1 (C) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2) Tim cac điêm M thuộc đồ thị (C) cho tổng cac khoảng cach từ M đến hai tiệm cận cua (C) là nho nhât y= 43) Cho hàm sô 2x − x +1 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2) Tim (C) hai điêm đôi xưng qua đương thăng MN biết M(–3;0) và N(–1; –1) y= 44) Cho hàm sô 2x −1 x −1 (C) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị (C) cua hàm sô 2) Tim m đê đương thăng d: y = x + m căt (C) tai hai điêm phân biệt A, B cho ∆OAB vuông tai O  ... đồ thị (C) cho tiếp tuyến cua (C) tai A và B song song với và độ dài đoan AB = 4) Cho hàm sô y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m là tham sô) (1) 1) Khảo sat biến thiên và vẽ đồ thị... đương thăng d: y = 2x + m căt (C) tai hai điêm phân bi êt A, B cho tiếp tuyến cua (C) tai A và B song song với Giải: phương trinh hoành đô giao điêm: x +1 = 2x + m x −1 g(x) = 2x + (m − 3)x −... x1 )(x − x )(x − x ) = x − (x1 + x + x )x + (x1x + x x + x x1 )x − x1x x ⇒ x1 + x + x = (1) Ta so : x1, x2, x3 lâp thành môt câp sô công ⇔ x1 + x = 2x (2) =1: (*) ↔ m = 11 Với m = 11: Thế (2)