Giải các phương trình sau đây: a. (2 đ) b. (2 đ) c. (2 đ) d. (2 đ) e. (2 đ) ĐÁP ÁN a. (0,5) (0,5) (1,0) b. (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) c. (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) d. (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) e. Điều kiện (0,25) PT đã cho tương đương với (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) (0,25)
Thời gian: 45 phút (không kể chép đề) Cho hình chóp SABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , ∆ABC tam giác cạnh 2a a Chứng minh ∆SAB ∆SAC tam giác vuông b Gọi M trung điểm BC Chứng minh BC ⊥ ( SAM ) ( ) · ; SC c Gọi N trung điểm AB Tính tan MN ) ( · d Tính cos SB; ( ABC ) e Trên SB, SC lấy điểm K L cho I = KL ∩ SM Chứng minh AI ⊥ ( SBC ) SK SL = , = Gọi SB SC ĐÁP ÁN a.(2 đ) SA ⊥ ( ABC ) (0,5) nên SA ⊥ AB (0,5) SA ⊥ AC (0,5), tam giác ∆SAB ∆SAC vuông A(0,5) b (2 đ) ∆ABC có AM đường trung tuyến(0,5) nên BC ⊥ AM (0,5)(1) Theo giả thiết SA ⊥ ( ABC ) (0,25) nên SA ⊥ BC (0,5) (2) Từ (!) (2) suy BC ⊥ ( SAM ) (0,25) c (2 đ) Dễ thấy MN đường trung ∆ABC nên MN P AC (0,5) , s L jI C A K · ; SC ( MN ) · = ( ·AC ; SC ) (0,5) = SCA M N (0,25) Trong tam giác vuông SAC có · tan SCA = SA a 6 = = SC 2a B (0,5), ( ) · ; SC = tan MN d.(2 đ) Dễ thấy (0,25) AB hình chiếu · ; ( ABC ) = SB · (0,25) ) ( · ; AB ) (0,25) = SBA ( SB SB (ABC)(0,5), ∆SAB vuông A nên SB = SA2 + AB = 10a ⇒ SB = a 10 (0,5) ) ( AB 10 · ; ( ABC ) = 10 (0,25) (0,25)vậy cos SB = SB 2 SK SL = e.(2 đ) Từ giả thiết ta có , suy KL PBC (0,25), mà BC ⊥ ( SAM ) , SB SC KL ⊥ ( SAM ) , KL ⊥ AI (),25)(3) · Ta có cos SBA = ( Trong ∆SAM : SM = SA + AM = a Vì KL PBC nên 2 ) ( + a ) = 9a , suy SM = 3a (0,25) SI SK 2 = = , suy SI = SM = 2a (0,25) SM SB 3 Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác SAI: SA AI = SA2 + SI − 2SA.SI cos ·ASI (0,25) = SA2 + SI − 2SA.SI = 2a (0,25) SM 2 2 2 Ta có SI + AI = 4a + 2a = 6a = SA , ∆SAI vuông I hay AI ⊥ SI (0,25)(4) Từ (3) (4) suy AI ⊥ ( SBC ) (0,25) ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I Môn : Toán Khối 11 Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu : (3đ) Giải phương trình sau : π a) cos x − ÷+ = 2 x x b) sin − cos = − 2 c) cos x sin x + cos x − 2sin x sin x + = Câu : (2đ) a) Cho khai triển ( x − 3) thành đa thức Tìm số hạng không chứa x 13 b) Một hộp có chín thẻ đánh số từ 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Rút ngẫu nhiên hai thẻ, sau nhân hai số ghi hai thẻ với Tính xác suất để kết nhận số lẻ Câu : (2đ) a) Cho cấp số cộng có u1 = 5; d = − Tính S12 u − u = b) Cho cấp số cộng thỏa Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng u u = 75 Câu : (3đ) Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N trung điểm SA SC 1) Chứng minh : MN song song (ABC) 2) Trong ( ABC ) dựng điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành a) Tìm giao tuyến (MND) (ABC) b) Tìm giao điểm MN (SBD) ………………………….Hết……………………………… ĐÁP ÁN Câu Ý a Nội dung Điểm 3.0 1.0 π PT ⇔ cos x − ÷ = − 2 0.25 π 2π ⇔ cos x − ÷ = cos 2 0.25 π 2π x − ÷ = + k 2π ⇔ π 2π + k 2π x − ÷ = − 2 7π x = + k 2π ⇔ x = − π + k 2π 0.25 0.25 Câu Ý b Nội dung 7π x = + k 2π ;( k ∈ Ζ) Vậy nghiệm phương trình : π x = − + k 2π Điểm 1.0 Câu Ý Nội dung PT ⇔ sin ⇔ x x − cos = − 2 x x sin − cos = − 2 2 ⇔ cos Điểm π x π x sin − sin cos = − 3 2 0.25 0.25 x π ⇔ sin − ÷ = − 2 3 x π π ⇔ sin − ÷ = sin − ÷ 2 3 3 0.25 π x π − = − + k 2π ⇔ x − π = π + π + k 2π 3 x = k 4π ⇔ x = 10π + k 4π 0.25 x = k 4π ; ( k ∈ Ζ) 10π Vậy nghiệm phương trình : x = + k 4π c 1.0 Câu Ý Nội dung cos x sin x + cos x − 2sin x sin x + = Điểm ⇔ cos5 x sin x − 4sin x cos x + cos x + = ⇔ 4sin x cos x ( cos x − sin x ) + cos x + = 0.25 ⇔ 2sin x cos x − sin x + = ⇔ sin x − sin x − = 0.25 sin x = −1 ⇔ sin x = 2; ( VN ) 0.25 ⇔ 4x = − π π kπ + k 2π ⇔ x = − + ; 0.25 Vậy nghiệm phương trình : x = − π kπ + ;( k ∈ Ζ) 2 2.0 1.0 a a) Ta có Tk +1 = Cnk ( x = C13k ( x ) ) ( −3) n −k 13− k ( −3) 0.25 k k = C13k 213− k ( −3) x52−4 k k Tk +1 không chứa x ⇔ 52 − 4k = ⇔ k = 13 Vậy số hạng không chứa x : b 0.25 0.25 T14 = C1313 ( −3) = ( −3 ) 13 0.25 13 Ta có : số phần tử không gian mẫu là: n ( Ω ) = C = 36 1.0 0.25 Gọi A biến cố : “Tích hai số ghi thẻ số lẻ “ 0.25 ⇒ A = { ( 1;3) , ( 1;5 ) , ( 1; ) , ( 1;9 ) , ( 3;5 ) , ( 3; ) , ( 3;9 ) , ( 5; ) , ( 5;9 ) , ( 7;9 ) } Nên số phần tử biến cố A : n ( A ) = 10 0.25 Câu Ý Nội dung Điểm ( ghi số phần tử biến cố A : n ( A) = C5 = 10 chấm trọn 0.5đ ) Vậy xác suất A : P ( A ) = n ( A ) 10 = = n ( Ω ) 36 18 0.25 2.0 1.0 a Ta có : un = u1 + ( n − 1) d 0.25 u12 = u1 + 11d 1 = + 11 − ÷ = − 2 Sn = n 12 ( u1 + un ) ⇒ S12 = ( u1 + u12 ) 2 1 = − ÷ = 27 2 ( tính S12 = 0.25 0.25 0.25 12 ( 2u1 + 11d ) = 2.5 + 11 − ÷÷ = 27 chấm trọn 1đ) b 1.0 Câu Ý Nội dung u7 − u3 = u1 + 6d − u1 − 2d = ⇔ u2u7 = 75 ( u1 + d ) ( u1 + 6d ) = 75 Điểm 0.25 4d = ⇔ 2 u1 + 7u1d + 6d − 75 = 0.25 d = ⇔ u1 + 14u1 − 51 = 0.25 d = ⇔ u1 = u = −17 0.25 2 ( Nếu tính d = mà sai từ phương trình : u1 + 7u1d + 6d − 75 = chấm câu b 0.5đ ) Vậy có hai CSC : u1 = ,d = u1 = -17 , d = 3.0 S N M L C B A 0.5 d K O D Vẽ hình chóp S.ABC cho0.25đ, vẽ hết hình cho thêm 0.25đ 0.75 Ta có : MN đường trung bình tam giác SAC Suy MN // AC 0.25 0.25 Câu Ý Mà AC ⊂ (ABC) Nội dung Điểm Vậy MN // (ABC) 2a Dễ thấy : D ∈ ( MND ) ∩ ( ABC ) AC / / MN Mà AC ⊂ ( ABC ) MN ⊂ ( MND ) 0.25 0.75 (1) 0.25 (2) 0.25 Từ (1),(2) ⇒ ( MND ) ∩ ( ABC ) = d ; ( d qua D d // AC0.25 ) 2b Trong ( ABCD) ,gọi O = AC ∩ DB Dễ thấy 1.0 0.25 SO = ( SAC ) ∩ ( SDB ) Trong ( SAC ), Gọi L = MN ∩ SO L ∈ MN : L ∈ SO ⊂ ( SBD ) Vậy L giao điểm MN (SBD) 0.25 0.25 Suy 0.25 GVBM : Lê Thanh Hải Cho hình chóp S.ABCD Gọi E = AD ∩ BC a Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) b Trên đoạn SE lấy điểm M Tìm giao điểm K SB (MDC) c Tìm giao điểm L SA với (MDC) d Tìm giao tuyến (MDC) với (SAB) e Trên đoạn CD lấy điểm N Gọi O = EN ∩ BD P = SO ∩ DK Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng S M L D P K A E O N B C a.(2 đ) Dễ thấy S ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) (1) (0,5) E ∈ AD ⊂ ( SAD ) (0,5) ⇒ E ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) (2)(0,5) E ∈ BC ⊂ SBC ( ) Theo giả thiết E = AD ∩ BC ⇒ Từ (1) (2) suy ⇒ SE = ( SAD ) ∩ ( SBC ) (0,5) K ∈ SB (1,0) K ∈ MC ⊂ ( MDC ) b .(2 đ) Trong (SEC) gọi K = SB ∩ MC (0,5) ⇒ ⇒ K = SB ∩ ( MDC ) (0,5) L ∈ SA (1,0) L ∈ MD ⊂ ( MDC ) c .(2 đ) Trong (SED) gọi L = SA ∩ MD (0,5) ⇒ ⇒ L = SA ∩ ( MDC ) (0,5) K ∈ SB ⊂ ( SAB ) (0,25) K ∈ MC ⊂ MDC ( ) d .(2 đ) Ta có K = SB ∩ MC (0,25) ⇒ ⇒ K ∈ ( MDC ) ∩ ( SAB ) (3)(0,25) L ∈ SA ⊂ ( SAB ) (0,25) ⇒ L ∈ ( MDC ) ∩ ( SAB ) L ∈ MD ⊂ MDC ( ) Tương tự L = SA ∩ MD (0,25) ⇒ (4)(0,25) Từ (3) (4) suy KL = ( MDC ) ∩ ( SAB ) (0,5) M ∈ SE ⊂ ( SEN ) (0,25) ⇒ M ∈ ( SEN ) ∩ ( MDC ) (5)(0,25) M ∈ MDC ( ) e .(2 đ) Ta có N ∈ DC ⊂ ( MDC ) (0,25) ⇒ N ∈ ( SEN ) ∩ ( MDC ) (6)(0,25) N ∈ SEN ( ) Tương tự P ∈ SO ⊂ ( SEN ) (0,5) ⇒ P ∈ ( SEN ) ∩ ( MDC ) (7)(0,25) P ∈ DK ⊂ MDC ( ) Theo gt P = SO ∩ DK ⇒ Từ (5), (6) (7) suy ba điểm M N P thẳng hàng.(0,25) ( Bài 1(2 đ) Cho khai triển x + ) 15 thành đa thức Tìm số hạng chứa x12 Bài (3 đ) Cho tập hợp A = { 1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ phần tử A lập số tự nhiên có bốn chữ số khác đôi tận chữ số chia hết cho Bài (3 đ) Một tủ đựng sách toán, sách văn sách anh văn (các sách đôi khác nhau) a Hỏi có cách lấy sách từ tủ? b Hỏi có cách lấy sách từ tủ cho có đủ ba loại số lượng loại nhau? Bài (2 đ) Lớp 11A1 có bốn tổ, tổ I có nam nữ, tổ II có nam nữ, tổ III có nam nữ, tổ IV có nam nữ Ở tổ, ta lấy ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh lấy có giới tính ĐÁP ÁN ( ) Bài 1(2 đ) Số hạng tổng quát Tk +1 = C15k x 15− k 2k (0,5) = C15k 2k x 30−2 k (0,5) Tk +1 chứa x12 30 − 2k = 12 (0,5) ⇔ k = (0,25) Vậy số hạng chứa x12 T10 = C159 29 x12 (0,25) Bài (3 đ) số tự nhiên cần tìm có dạng abcd (0,25) Chọn d ∈ { 3;6;9} có cách chọn(1,0) Tiếp theo chọn abc ∈ A \ { d } có A8 cách(1,5) Vậy có thảy 3.A8 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán(0,25) Bài (2 đ) a.(1 đ) Có C21 cách b(2 đ) lấy đủ ba loại số lượng loại nên loại phải lấy Lấy sách toán từ sách toán có C6 cách (0,5), lấy sách văn từ sách văn có C7 cách (0,5), sau lấy sách anh văn từ sách 2 2 anh văn có C8 cách (0,5), có tất C6 C7 C8 cách lấy sách thỏa mãn yêu cầu đề (0,5) Bài (2 đ) Mỗi phần tử không gian mẫu gồm học sinh lấy ngẫu nhiên từ bốn tổ, 1 1 tổ học sinh (0,25) Vậy n ( Ω ) = C9C10C10C9 = 8100 (0,5) Gọi A biến cố: “4 học sinh lấy có giới tính”(0,25) Ta tìm n ( A ) sau: Trường hợp 1: học sinh lấy nam 1 1 Dễ thấy trường hợp có C5C5C4C3 = 300 cách lấy học sinh toàn nam (0,25) Trường hợp 1: học sinh lấy nữ 1 1 Dễ thấy có C4C5C6C6 = 720 cách.(0,25) Suy n ( A ) = 300 + 720 = 1020 (0,25) Vậy P ( A ) = n ( A ) 17 = (0,25) n ( Ω ) 135 Giải phương trình sau đây: a 3tan x − = (2 đ) b sin x − cos x = (2 đ) c 2cos 2 x + 7cos x + = (2 đ) d cos3 x + 2sin x − = (2 đ) e sin x + 3cos x + cot x = 3sin x + cot x.cos x + (2 đ) ĐÁP ÁN π π (0,5) ⇔ tan x = tan (0,5) ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) (1,0) 6 3 (0,5) ⇔ sin x − π = sin π (0,5) b sin x − cos x = ⇔ sin x − cos x = ÷ 3 2 π π 2π x − = + k 2π x= + k 2π 3 ⇔ (0,5) ⇔ ( k ∈ ¢ ) (0,5) π π x − = π − + k 2π x = π + k 2π 3 cos x = − 2π 2 (0,5) ⇔ cos x = cos c 2cos x + 7cos x + = ⇔ (0,5) cos x = −3 ( VN ) 2π π x = + k π x = + kπ 3 ⇔ (0,5) ⇔ ( k ∈ ¢ ) (0,5) x = − 2π + k 2π x = − π + kπ 3 d cos3 x + 2sin x − = ⇔ cos3 x − ( − 2sin x ) = ⇔ cos3 x − cos x = (0,5) a 3tan x − = ⇔ tan x = x = k 2π x = x + k 2π (0,5) ⇔ ⇔ cos3x = cos x (0,5) ⇔ k 2π ( k ∈ ¢ ) (0,5) x = x = − x + k π e Điều kiện sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ (0,25) cos x cos x PT cho tương đương với 2sin x cos x + 3cos x + = 3sin x + +3 sin x sin x ⇔ 2sin x cos x + 3sin x cos x + cos x = 3sin x + cos x + 3sin x (0,25) ⇔ 2sin x cos x − 3sin x + 3sin x cos x − 3sin x + cos x − cos x = ⇔ sin x ( 2cos x − 3) − 3sin x ( − cos x ) + cos x ( − cos x ) = (0,25) ⇔ ( − cos x ) ( + cos x ) ( 2cos x − 3) − 3sin x ( − cos x ) + cos x ( − cos x ) = (0,25) ⇔ ( − cos x ) ( + cos x ) ( 2cos x − 3) − 3sin x + cos x = (0,25) ⇔ ( − cos x ) ( 2cos x − 3sin x − 3) = ⇔ ( − cos x ) ( −2sin x − 3sin x − 1) = (0,25) π x = − + k 2π cos x = 1(l ) − cos x = π ⇔ ⇔ sin x = −1( n ) (0,25) ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ¢ ) (0,25) 2sin x + 3sin x + = 7π sin x = − ( n ) x = + k 2π ... 1) d 0.25 u12 = u1 + 11 d 1 = + 11 − ÷ = − 2 Sn = n 12 ( u1 + un ) ⇒ S12 = ( u1 + u12 ) 2 1 = − ÷ = 27 2 ( tính S12 = 0.25 0.25 0.25 12 ( 2u1 + 11 d ) = 2.5 + 11 − ÷÷ =... sách toán, sách văn sách anh văn (các sách đôi khác nhau) a Hỏi có cách lấy sách từ tủ? b Hỏi có cách lấy sách từ tủ cho có đủ ba loại số lượng loại nhau? Bài (2 đ) Lớp 11 A1 có bốn tổ, tổ I có. .. trọn 1 ) b 1. 0 Câu Ý Nội dung u7 − u3 = u1 + 6d − u1 − 2d = ⇔ u2u7 = 75 ( u1 + d ) ( u1 + 6d ) = 75 Điểm 0.25 4d = ⇔ 2 u1 + 7u1d + 6d − 75 = 0.25 d = ⇔ u1 + 14 u1 − 51 = 0.25