Chủ đề 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. Mục tiêu. 1. Về kiến thức: - HS nắm được một cách chắc chắn về khái niệm bất phương trình, nghiệm, tập nghiệm và quan hệ tương đương của các bất phương trình. - HS nắm được các kiến thức cơ bản nhất về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, vận dụng linh hoạt vào việc giải BPT. - HS nắm được các khái niệm về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, tập nghiệm của chúng và vận dụng vào giải bài toán kinh tế. 1. Về kỹ năng: - Giải một cách thành thạo các bất phương trình bậc nhất và bất phương trình bậc hai, hệ bất phương trình bậc nhất, bậc hai. - Biết xác định tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó áp dụng vào giải các bài toán kinh tế đơn giản. - HS có kỹ năng thành thạo việc xác định tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn 3. Về thái độ: - Tự giác, tích cực, độc lập và chủ động học tập lĩnh hội kiến thức trong quá trình hoạt động học tập ở lớp cũng như ở nhà. - Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong lập luận và tính toán. - Biết liên hệ với bài toán kinh tế trong thực tiễn cuộc sống. B. Chuẩn bị HS: - Chuẩn bị ôn tập lại các kiến thức đã học về bất phương trình - Chuẩn bị tinh thần thái độ học tập tích cực, chủ động, sáng tạo. GV: - Chuẩn bị các bài tập để rèn luyện phương pháp, kỹ năng giải các loại BPT, hệ BPT cho học sinh. C. Nội dung. I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC. 1. Điều kiện của một BPT: Điều kiện của ẩn để các biểu thức ở hai vế của BPT có nghĩa 2. Khái niệm nghiệm, tập nghiệm của bất phương trình. 3. Hai BPT (hệ BPT) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 4. Cho BPT P(x) < Q(x) có TXĐ là D a) Nếu f(x) xác định trên D thì: P(x) < Q(x) ↔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b) Nếu f(x) > 0 với mọi x thuộc D thì: P(x) < Q(x) ↔ P(x). f(x) < Q(x). f(x) Nếu f(x) < 0 với mọi x thuộc D thì: P(x) < Q(x) ↔ P(x). f(x) > Q(x). f(x) c) Nếu P(x) ≥ 0 và Q(x) ≥ 0, ∀ x ∈ D thì: P(x) < Q(x) ↔ P 2 (x) < Q 2 (x) 5. Định lí về dấu nhị thức bậc nhất ( lập bảng xét dấu) 6. Nếu a > 0 thì: │x│< a ↔ - a < x < a │x│ > a ↔ x a x a > < − 7. Giải và biện luận bất phương trình: ax + b < 0 (>, ≤ , ≥ ) Xét 3 trường hợp a = 0, a < 0, a > 0 8. Dấu của tam thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) * Nếu ∆ < 0 thì af(x) > 0 ∀ x * Nếu ∆ = 0 thì af(x) > 0 ∀ x≠ - 2 b a * Nếu ∆ > 0 thì f(x) c0s hai nghiệm x 1 , x 2 . Khi đó af(x) < 0 ↔ x ∈ (x 1 ; x 2 ) af(x) > 0 ↔ x < x 1 hoặc x > x 2 Chú ý: f(x) > 0 ∀ x ∈ R ↔ 0 0 a > ∆ < f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R ↔ 0 0 a > ∆ ≤ f(x) < 0 ∀ x ∈ R ↔ 0 0 a < ∆ < f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ R ↔ 0 0 a < ∆ ≤ II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN HĐ1. Tiết 1- GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ BPT HỮU TỈ Bài tập 1. Giải biện luận: mx - m 2 > 3x - 9 (1).Từ đó suy ra nghiệm của mx - m 2 ≥ 3x - 9 HD: BPT tương đương với (m - 3)x > (m - 3)(m + 3) • m > 3: S = (m + 3; + ∞ ) • m < 3: S = (- ∞ ; m + 3) • m = 3: S = Ø Bài tập 2. Giải biện luận BPT: m(x + 2) ≤ 2x + m 2 (2) HD: (2) ↔ (m -2)x ≤ m 2 - 2m • m > 2? • m < 2? • m = 2? Bài tập 3. Giải và biện luận BPT: ( 3) 1 1 2 2 m x x x m m − − − > − (3) (với m ≠ 0) HD: (3) ↔ 2 1 2 2 2 m m x m m − + > Xét dấu của 2 1 2 m m − ta đi đến kết quả • m < 0 hoặc m > 1 2 thì (3) ↔ x > 2 2 1 m m + − • 0 < m < 1 2 thì (3) ↔ x < 2 2 1 m m + − • m = 1 2 thì (3) ↔ 0x > 5 2 Vô nghiệm Bài tập 4. Xác định m để hai BPT sau tương đương (m - 1)x + 3 - m > 0 (*) và (m + 1)x + 2 - m > 0 (**) HD. (*) ↔ (m - 1)x > m - 3 (**) ↔ (m + 1) > m - 2 Xét m < - 1 không thoả mãn Xét m > 1: Hai BPT tương đương khi 3 2 5 1 1 m m m m m − − = ⇔ = − + Bài tập 5. Giải bất phương trình: 2 2 1 11 2 2 4 x x x + ≤ − + − Bài tập 6. Giải bất phương trình: 2 2 9 16 2 2 10 x x x x − + > − − + − PP: Biến đổi về bất phương trình tích và lập bảng xét dấu Bài tập về nhà: 1. Giải và biện luận BPT bx + b < a - ax 2. Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm 2 4 2 1 3 2 2 1 x m mx x x + ≤ + + > − 3. Xác định m để hàm số y = ( 3) 2 5m x m− + − xác định với mọi x ≥ - 3 HD: Hàm số xác định khi f(x) = (m-3)x + 2m - 5 ≥ 0 (1) YCBT ↔ [-3; + ∞ ) ⊂ S ( S là tập nghiệm của (1)) • m = 3 thì S = ? • m < 3 thì S = ? • m > 3 thì S = ? 4. Giải biện luận BPT a) m 2 (x -1) ≤ 4(x + m +1) b) (m 2 +1)(x+1) > m(x -1) 5. GBPT a) 2 1 1 2 1 3 ( 1) x x x − > + + − b) (2x + 5) 2 ≥ (3x - 4 ) 2 HĐ2. Tiết 2 - GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GV ra bài tập cho học sinh thực hành giải tại lớp. Gọi HS lên bảng trình bày lời giải, hsọc sinh khác nhận xét lời giải của bạn. Bài 1. Tìm các giá trị của m để BPT: mx 2 + (m - 1)x + m - 1 < 0 a) Vô nghiệm b) Nghiệm đúng với mọi x thuộc R HD: Đặt f(x) = mx 2 + (m - 1)x + m - 1 a) BPT vô nghiệm khi f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R * Xét m = 0 ? * Xét m ≠ 0 ? f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R ↔ 0 0 m > ∆ ≤ ↔ m ≥ 1 Bài 2. Giải và biện luận BPT. x 2 - 2(m + 1)x + m + 3 ≥ 0 • ∆ / = m 2 + m - 2 = 0 ↔ m = 1 hoặc m = - 2 • ∆ / ≤ 0 ↔ - 2 ≤ m ≤ 1 thì BPT nghiệm đúng với mọi x thuộc R • ∆ / > 0 ↔ m < - 2 hoặc m > 1 thì x 1 = m + 1 - 2 2m m+ − , x 2 = m + 1 + 2 2m m+ − . Khi đó nghiệm BPT là x ≤ x 1 hoặc x ≥ x 2 Bài 3. Xác định m để bất phương trình sau thoả mãn ∀ x ∈ [0; + ∞ ) (mx - 3) 2 ≥ (x + m) 2 (1) HD: • (1) ↔ [(m + 1)x + m - 3][(m - 1)x - m - 3] ≥ 0 • m = - 1thì BPT ↔ x ≥ - 1 suy ra (1) có tập nhiệm S = (- 1; + ∞ ]. Vì [0; + ∞ ) ⊂ S nên m = - 1 thoả mãn. • m = 1 thì BPT ↔ x ≤ 1 suy ra S = (- ∞ ; 1]. ta có [0; + ∞ ) ⊄ S nên m = 1 loại • m ≠ ± 1 thì tam thức có hai nghiệm x 1 = 3 1 m m − + , x 2 = 3 1 m m + − + Nếu a = (m + 1)(m - 1) < 0 thì S = [x 1 ; x 2 ] hoặc S = [x 2 ; x 1 ] không thoả mãn + Nếu a > 0 thì S = R\ (x 1 ; x 2 ) hoặc S = R\ (x 2 ; x 1 ). Khi đó YCBT thoả mãn khi và chỉ khi: 1 2 0 0 ( 1)( 1) 0 x x a m m ≤ ≤ = + − > ↔ - 3 ≤ m < - 1 Kết hợp ta có - 3 ≤ m ≤ - 1 Bài tập về nhà: 1. Giải biện luậnBPT: (m 2 + 1)x 2 - 2(m + 1)x +1 > 0 2. Giải biện luậnBPT: (m - 1)x 2 - 2mx + m + 3 ≤ 0. Tiết 3- HĐ 3: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. Phương pháp chung là tìm tập nghiệm của từng bất phương trình của hệ, sau đó lấy giao của các tập nghiệm đó ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Bài tập 1. Giải hệ BPT: 2 2 3 3 6 0 2 5 3 0 x x x x − + + ≤ + − < • S 1 = (- ∞ ; - 1] ∪ [2; + ∞ ) • S 2 = (- 3; 1 ) 2 • S = S 1 ∩ S 2 = (- 3; - 1] Bài tập 2. Giải hệ BPT: 2 5 3 4 1 8 15 0 x x x x − > + − + ≤ Bài tập 3. Giải hệ BPT: 2 2 3 5 2 0 2 8 0 x x x x − + + ≤ − − < Bài tập 4. Xác định m để các hệ BPT sau có nghiệm: a) 4 2 2 2 (1) 1 12 (2) mx m x x x − + < + > + b) 2 2 2 1 0 2 1 3 1 x mx m m x x x x − − + − > − − > + HD giải: a) x 4 > x 2 + 12 ↔ (x 2 + 3)(x 2 - 4) > 0 ↔ x 2 - 4 > 0 ↔ x< - 2 hoặc x > 2 (1) ↔ 2 0 1 x m x − < + . Tử số có nghiệm x= 2 m , mẫu số có nghiệm x = - 1 Vậy (1) có tập nghiệm ( ; 1) 2 m − hoặc (- 1; 2 m ) hoặc vô nghiệm tuỳ theo vị trí của 2 m và - 1. Vì - 2 < - 1< 2 nên hệ vô nghiệm khi - 2 ≤ 2 m ≤ 2 ↔ - 4 ≤ m ≤ 4 Vậy hệ có nghiệm khi m < - 4 hoặc m > 4. b) Đáp số : Với mọi giá trị của m Bài tập về nhà: 1. Giải các hệ BPT a) 4 2 2 3 1 4 9 x x x x x x + − < − + < b) 3 2 2 1 2 2 2 2 0 x x x x x − > + − + − < Tiết 4 - HĐ 4: Giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyết đối. Phương pháp chung là khử dấu giá trị tuyệt đối * Chú ý: 1. [ ] [ ] ( ) (a 0) ( ) ( ) 0f x a f x a f x a= ≥ ⇔ − + = 0 ( ) a f x a ≥ ⇔ = hoặc 0 ( ) a f x a ≥ = − 2. ( ) (a>0) -a<f(x)< af x a< ⇔ hoặc ( ) (a>0) (f(x) - a)(f(x) + a) < 0f x a< ⇔ 3. f(x) <-a ( ) (a>0) f(x) > a f x a > ⇔ hoặc ( ) (a>0) (f(x) - a)(f(x) + a) > 0f x a> ⇔ Bài tập 1. Giải PT: 2 6 8 2x x x− + = + (1) HD: Cách 1: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối Cách 2: (1) 2 2 0 6 8 2 x x x x + ≥ ⇔ − + = + hoặc 2 2 0 6 8 2 x x x x + ≥ − + = − − Đáp số: x = 1, x = 6 . trình và bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyết đối. Phương pháp chung là khử dấu giá trị tuyệt đối * Chú ý: 1. [ ] [ ] ( ) (a 0) ( ) ( ) 0f x. x = - 1 Vậy (1) có tập nghiệm ( ; 1) 2 m − hoặc (- 1; 2 m ) hoặc vô nghiệm tu theo vị trí của 2 m và - 1. Vì - 2 < - 1< 2 nên hệ vô nghiệm khi -
