Gặp gỡ toán học lớp 10 năm 2017

OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 Olympic gặp gỡ toán học 2017 khối 10 Phạm Quốc Sang Cựu học sinh trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, tỉnh Quảng Nam Phạm Hữu Hiệp Cựu học sinh trường THPT Chuyên Tiền Giang, tỉnh Tiền Giang Do thời gian gấp rút nên viết khó tránh khỏi sai sót Mong bạn thông cảm góp ý để viết hoàn thiện Bài An Bình hai bạn lớp chuyên toán Khi Bình hỏi địa nhà An, để thử tài bạn, An cho thông tin sau " Nhà tớ đường Trần Hưng Đạo Số nhà tớ số có chữ số khác Từ chữ số tạo số có chữ số khác điều thú vị tổng số 2017 " Sau lúc tính toán Bình tìm số nhà An Còn bạn, bạn tìm số nhà An không? Lời giải Gọi số nhà cần tìm abc Theo giả thiết toán ta suy a, b, c ∈ {1, 2, , 9} a, b, c đôi khác (∗) Khi số khác tạo từ số a, b, c acb, bac, bca, cab, cba Khi tổng số lập từ số a, b, c thỏa điều kiện (∗) 222(a + b + c) Theo đề ta có 222(a + b + c) − abc = 2017 Do 100 abc 999 nên ta suy ra: 10 ≤ a + b + c ≤ 13 Kết hợp điều kiện (∗) ta suy abc = 425 Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh ta có bất đẳng thức a b c + + b (a + c) c (b + a) a (c + b) Phạm Quốc Sang − Phạm Hữu Hiệp OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 Lời giải Cách Theo bất đẳng thức AM-GM cho số không âm ta có: VT ≥33 a.b.c = a.b.c(a + b)(b + c)(c + a) 3 (a + b)(b + c)(c + a) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số không âm ta có: (a + b)(b + c)(c + a) ≤ 2(a + b + c) Suy VT ≥ 2(a + b + c) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: (a + b + c) ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) = Vậy VT ≥ Đẳng thức xảy a = b = c = Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có = a2 + b + c ≥ (a + b + c)2 Từ suy a + b + c ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2  cyc a = b(c + a) cyc a b c+a a b 2(a + b + c) a b 3 b c c a 2.3 = Đẳng thức xảy a = b = c = Cách Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số không âm ta có : VT ≥33 a.b.c = a.b.c(a + b)(b + c)(c + a) 3 (a + b)(b + c)(c + a) Ta chứng minh (a + b)(b + c)(c + a) ≤ Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc ⇒ q = (∗) p2 − Theo bất đẳng thức Schur ta có: a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ ⇔ p3 − 4pq + 9r ≥ (1) Phạm Quốc Sang − Phạm Hữu Hiệp OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 Ta có (∗) tương đương với (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc ≤ ⇔ pq − r ≤ (2) Từ (1) (2) ta suy điều cần chứng minh pq − r ⇔ pq − ⇔ p3 + 5pq p (4q − p2 ) 72 ⇔ 2p3 + 5p p2 − 144 ⇔ (p − 3) p2 + 21p + 48 Hiển nhiên p ≤ (do = a2 + b2 + c3 ≥ (a + b + c)2 ⇒ a + b + c ≤ 3) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Cách Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: a+c a + ≥2 b(a + c) a = 4b a b Tương tự b b+a + ≥ c(b + a) b c c c+b + ≥ a(c + b) c a Suy a + b VT ≥ b + c c a − a+b+c Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a + b b + c c ≥3 a a b b c c = a Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có (a + b + c)2 3=a +b +c ≥ 2 Từ suy a + b + c ≤ 3 = 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy V T ≥ − Phạm Quốc Sang − Phạm Hữu Hiệp OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 Bài Cho tam giác ABC vuộng C Gọi F đường cao hạ từ C xuống AB Đường tròn ω tiếp xúc với đoạn F B điểm P , đường cao CF điểm Q đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm R Chứng minh điểm A, Q, R thẳng hàng AP = AC Lời giải Ta có R C 180◦ − RIQ 180◦ − ROA RQI = = = RAO 2 Q Suy A, Q, R thẳng hàng I Xét tam giác ACQ ABQ có A CAQ, chung; F B OP ACQ = ARC = ABC Suy ∆ACQ ∆ARC Khi AC = AQ.AR = AP Vậy AC = AP Bài Người ta tô màu m ô vuông bảng ô vuông 1001 × 1001 cho a) Trong hai ô vuông kề có ô vuông tô màu b) Cứ ô vuông liên tiếp hàng cột có hai ô kề tô màu Tìm giá trị nhỏ m để thực cách tô Lời giải Ta chứng minh hình chữ nhật × có ô tô màu Theo điều kiện a) hình chữ nhật × có hai trường hợp xảy ra: TH1 (không tô)(tô)(không tô)(tô)(không tô) Ta xét hình chữ nhật × chứa hình chữ nhật × theo ý b) có ô kề tô màu Điều vô lí với cách tô đầu hình chữ nhật × không tô màu Phạm Quốc Sang − Phạm Hữu Hiệp OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 TH2 (tô)(không tô)(tô)(không tô)(tô) Điều có nghĩa hình chữ nhật × tồn ô tô màu Với trường hợp ta chia bảng ô vuông thành hình chữ nhật sau: 1000 × 1001 + 1000 × + × ( chia thành hình chữ nhật con) Ta xét trường hợp sau: • Ta có 1000 × 1001 = 200200 × tức có 200200 hình chữ nhật kích thước × nên có 200200.3 = 600600 ô tô màu • Ta có 1000 × = 200 × tức có 200 hình chữ nhật kích thước × nên có 200.3 = 600 ô tô màu Do có 600600 + 600 = 601200 ô tô màu Nguồn tham khảo diendantoanhoc.net https://www.facebook.com/groups/Loicenter/permalink/1560806647325837/ Phạm Quốc Sang − Phạm Hữu Hiệp ... OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 TH2 (tô)(không tô)(tô)(không tô)(tô) Điều có nghĩa hình chữ nhật × tồn ô tô màu Với trường hợp ta chia bảng ô vuông thành hình chữ nhật sau: 100 0 × 100 1 + 100 0... a) + c(c − a)(c − b) ≥ ⇔ p3 − 4pq + 9r ≥ (1) Phạm Quốc Sang − Phạm Hữu Hiệp OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 Ta có (∗) tương đương với (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc ≤ ⇔ pq − r ≤ (2) Từ (1)... = 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy V T ≥ − Phạm Quốc Sang − Phạm Hữu Hiệp OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 10 Bài Cho tam giác ABC vuộng C Gọi F đường cao hạ từ C xuống AB Đường tròn ω tiếp