PT HPT 2010 2011

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010 - 2011 ************** Bài 1/ Giải phương trình x  x   x   x 1  2/ Giải phương trình với ẩn số thực  x   x  5  x (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long) Lời giải 1/Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với ( x   1)2  ( x   2)   -Nếu x 1 1  x    (*) x   (*)  ( x   1)  ( x   2)    x    x   , loại -Nếu  x     x  (*)  ( x   1)  ( x   2)    , -Nếu x   (*)  ( x   1)  ( x   2)   x     x   , loại Vậy phương trình cho có nghiệm x thuộc  2;5 2/ Điều kiện x  5 Phương trình cho tương đương với  x  5  x   x  (1  x )  (5  x )  (1  x)(5  x )   x  (1  x )(5  x )  x   (1  x)(5  x)  x  10 x  25  x  x  30   x  3  x  10 Thử lại, ta thấy có x  3 thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x  3 Bài Giải phương trình x  x  x  11x  25 x  14  (Đề thi HSG tỉnh Đồng Nai) Lời giải Phương trình cho tương đương với ( x  x )  ( x  x3 )  ( x3  x )  ( 9 x  18 x)  (7 x  14)   ( x  2)( x  x  x  x  7)  x    x  x  x  9x   Phương trình thứ hai viết lại ( x  x3  x  x  6)    ( x  x  x  x  3x  x  x  6)    ( x  1)2 ( x  x  6)   Do ( x  1)2 ( x  x  6)   0, x nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x   x  y  Bài Giải hệ phương trình   x   y   (Đề HSG Bà Rịa Vũng Tàu) Lời giải Điều kiện: x, y  Cộng vế hai phương trình hệ, ta có: ( x   x )  ( y   y )  10 Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, vế theo vế, ta được: ( 2x   2x )  ( y   y )    2 2x   2x 2y   2y Đặt a  x   x  0, b  y   y  Ta có hệ sau: a  b  10 b  10  a b  10  a a     5   5 5 b  50  20a  2a  a  b   a  10  a  Xét phương trình x   x   x   (5  x )  x   25  x  10 x  x   x  Tương tự, ta có y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y )  (2, 2) Bài Giải hệ phương trình sau   x   x  y 3  y   2 x  y    y (Đề thi HSG Hải Phòng, bảng A) Lời giải Điều kiện y  0, x   0, x  y  y a  b   a  2, b  1 Đặt a  x  , b  x  y  3, a, b  Hệ cho viết lại   y  a  1, b  a  b  -Với a  2, b  , ta có  x 4 1  x   2, x  y    x   4, x  y   4 x  y y y  4 x   x  x  15  0, x  x 4  x  3, y      4 x    x  5, y  1 y  4 x y  4 x -Với a  1, b  , ta có  x 1 1  x   1, x  y    x   1, x  y   7 x  y y y   x  x   10, y   10  x  x   0, x    y  7 x  x   10, y   10 Thử lại, ta thấy tất thỏa Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y )  (3,1), (5, 1), (4  10,  10), (4  10,3  10) 4 x  y  xy  Bài Giải hệ phương trình  2 4 x  y  xy  (Đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng) Lời giải Lấy phương trình thứ trừ phương trình thứ hai, vế theo vế, ta được: y  y  xy  xy    ( y  1)  xy ( y  1)   ( y  1)( y   xy )   y   y  1  y   xy  -Nếu y  , thay vào phương trình đầu tiên, ta được: x   x   x( x  1)   x   x  Thử lại, ta thấy hai nghiệm thỏa mãn -Nếu y  1 , thay vào phương trình đầu tiên, ta được: x   x   x ( x  1)   x   x  1 Thử lại, ta thấy hai nghiệm thỏa mãn  y2 -Nếu y   xy   x  (dễ thấy trường hợp y  ), thay vào phương trình 4y đầu tiên, ta được: 2  1 y2    y2  2 2 4   y  4  y   (1  y )  y  4(1  y )   ( y  1)(5 y  7)   4y   4y  Suy y  1, x  hai nghiệm nêu Vậy hệ phương trình cho có nghiệm phân biệt ( x, y )  (1,1), (0,1), (1, 1), (0, 1)  x  y  Bài Giải hệ phương trình tập số thực  2  x y  x  (Đề thi chọn đội tuyển Đồng Nai) Lời giải Trừ vế hai phương trình hệ, ta x  x y  5( y  x)   ( x  y )  x ( x  y )  5   x  y  x ( x  y )  -Nếu x  y , từ phương trình thứ ta có x  x    ( x  x  3)( x  2)( x  1)   x  2  x  , tương ứng với y  2  y  Thử lại thấy thỏa, ta có hai nghiệm ( x, y )  (2, 2), (1,1) -Nếu x ( x  y )   y   x , thay vào phương trình thứ hệ, ta x2   x    x    x  x  x  25  x  Đồng thời, từ hệ cho ta có x   x y   x  216  96 312 6  6 Do x  x          25  x  x  x  25  25 25 5  5 Suy trường hợp này, hệ vô nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm ( x, y )  (2, 2), (1,1) 2y   x2  y   x   Bài Giải hệ phương trình  x2  y2  2x   y (Đề thi HSG Hà Tĩnh) Lời giải Điều kiện: xy  0, x  y  Đặt a  x  y  1, b  x , ab  y 3    b   2b   b  1, a    1  Hệ cho trở thành  a b   2b  b   b  3, a  a  2b  a  2b  a  2b  -Với a  1, b  1 , ta có x  y  2, x   y , ta tìm hai nghiệm ( x, y )  (1, 1), (1,1) -Với a  9, b  , ta có x  y  10, x  y , ta tìm hai nghiệm ( x, y )  (3,1), (3, 1) Thử lại, ta thấy thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm phân biệt ( x, y )  (1, 1), (1,1), (3,1), (3, 1) Bài Giải phương trình x   x2   x  (Đề thi chọn đội tuyển Lâm Đồng) Lời giải Điều kiện x  Ta có ( x   2)  ( x  4)  ( x   1)  x2 x2   ( x  2)( x  2)  0 x 1 1 ( x  6)2  x     1  ( x  2)   x2 0 x   1  ( x  6)  x   x   1   x2 0  ( x  6)  x   x 1  Dễ thấy phương trình thứ hai vô nghiệm vế trái dương nên phương trình cho có nghiệm x   x  x  y   Bài Giải hệ phương trình  2  y  x  y x  y x  (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) Lời giải Điều kiện x, x  y   Phương trình thứ hệ tương đương với x  x  y    x  x  y 1  x  y 1   y  x  y 1  y  4( x  y  1)  ( y  2)2  x  y   x Phương trình thứ hai hệ tương đương với y  x  y x  y x   ( y  x )2  xy  y  x  y x   y  1   x   y   x  y   x  y   x Ta có hệ        y2 2 y  ( y  2)  y ( y  2)  y  y    y  x  y x     x  So sánh với điều kiện ban đầu, ta thấy hai nghiệm thỏa mãn Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x, y )  ( , 1), (2, 4) Bài 10 1/ Giải bất phương trình ( x  x) x  x    xy  y  x  y  2/ Giải hệ phương trình sau  x  y  x  12  (Đề thi HSG Điện Biên) Lời giải 1/ Điều kiện x  3x    x  1  x  Ta có x   x   x2  4x  ( x  x) x  x      1 x   x  2 x  3x    2 Kết hợp điều kiện trên, ta có x   x  1  x  Vậy bất phương trình có nghiệm x  (, 1 ]  {2}  [4,  ) x  x  y  y   2/ Điều kiện y  Hệ cho tương đương với  ( x  y ) x  12  y Đặt u  x  y, v  x , ta có hệ y u  v  u  3, v    uv  12 u  4, v  -Với u  3, v  , ta có x  y  4, x   x  3, y  , thỏa điều kiện y -Với u  4, v  , ta có x  y  3, x 12   x  , y  , thỏa điều kiện y 5 12 Vậy hệ cho có hai nghiệm ( x, y )  (3,1), ( , ) 5  x  y  z10  Bài 11 Giải hệ bất phương trình  2007 2009 2011  x  y  z  (Đề thi chọn đội tuyển Bình Định) Lời giải Từ bất phương trình thứ hệ, ta có 1  x, y, z  Từ hai bất phương trình hệ, ta có x 2007  y 2009  z 2011  x  y  z10  x (1  x 2001 )  y (1  y 2001 )  z10 (1  z 2001 )  Từ điều kiện 1  x, y, z  , ta dễ dàng thấy x (1  x 2001 ), y (1  y 2001 ), z10 (1  z 2001 )  Do đó, phải có đẳng thức xảy ra, tức x (1  x 2001 )  y (1  y 2001 )  z10 (1  z 2001 )   x, y , z   x, y , z  Kết hợp với điều kiện x  y  z10  , ta thấy hệ bất phương trình cho có nghiệm ( x, y , z )  (1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1) Bài 12 1/ Giải phương trình x 1  x x 1   x  x  x  y 2/ Giải hệ phương trình   y  y  x (Đề thi HSG tỉnh Bến Tre) Lời giải 1/ Điều kiện x  1,3  x  0, x    x  1  x  3, x  Phương trình cho tương đương với x 1   ( x  1)  (3  x)  x 1   x x 1   x  ( x    x )( x    x ) x 1   x  x 1   x    ( x    x )  Dễ thấy phương trình thứ vô nghiệm nên ta xét ( x    x )   ( x  1)  (3  x )  ( x  1)(3  x)    ( x  1)(3  x)   4( x  1)(3  x )  x  x    x  2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  2 2/ Điều kiện x, y  Dễ thấy x  y  ngược lại nên hệ có nghiệm ( x, y )  (0, 0) Ta xét x, y  Xét hàm số f (t )  t2  t  0, t  nên , t  , ta thấy f (t )  t  t hàm đồng biến x  f ( y) Hệ cho viết lại  Suy x  y , thay vào hệ cho, ta có  y  f ( x) x  x  x  x  x x   x  ( x  1)( x  x  1)    x    2 y 1 Tương ứng với hai giá trị này, ta có  y  3  Vậy hệ cho có ba nghiệm ( x, y )  (0, 0), (1,1), ( 3 3 , ) 2 Bài 13 1/ Giải phương trình x  x   x  2/ Giải phương trình x  x  3x   x  [2, 2] 10 1  17  x  x   x  x  f ( x  x  2)  f ( x  x ) , đồng thời x   , f ( x  x  2)  f ( x  x)  ( x  1)  -Nếu  x  -Nếu 1  x   x  x   x  x  f ( x  x  2)  f ( x  x) , đồng thời x   , f ( x  x  2)  f ( x  x)  ( x  1)  Thử trực tiếp thấy x  thỏa mãn (*) nên phương trình cho có nghiệm x  Bài 44 1/ Giải phương trình 3x   x3  3x  x  2/ Tìm số nghiệm phương trình (4022 x 2011  4018 x 2009  x)  2(4022 x 2011  4018 x 2009  x)  cos 2 x  (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Nguyễn Du) Lời giải 1/ Phương trình cho tương đương với 3x   x   ( x  1) ( x  1)3  x  y  Đặt y   3x  Ta có hệ phương trình  ( y  1)  3x  Trừ hai phương trình hệ, vế theo vế, ta ( x  y )  ( x  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1)   y  x x  y   xy 2 ( x  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1)    Suy x   3x   ( x  1)3  x   x  3x   ( x  1)( x  2)   x   x  2 Thử lại ta thấy thỏa Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x  1, x  2 2/ Đặt t  4022 x 2011  4018 x 2009  x Ta có 43 t   sin x t  (sin x  cos x ) t  2t  cos 2 x   (t  1)2  sin 2 x    2 t    sin x t  (sin x  cos x) Ta bốn phương trình sau t  sin x  cos x, t  (sin x  cos x ), t  sin x  cos x, t   sin x  cos x Ta thấy hàm số t ( x)  4022 x 2011  4018 x 2009  x lẻ nên cần xét phương trình t ( x)  sin x  cos x, t ( x )  cos x  sin x Ta có t ( x)  sin x  cos x  4022 x 2011  4018 x 2009  x  sin x  cos x Xét hàm số g ( x )  4022 x 2011  4018 x 2009  x  (sin x  cos x) có g ( x )  4022.2011x 2010  4018.2009 x 2008   (cos x  sin x)  nên hàm đồng biến Hơn g (0)  1, g (1)   g (0).g (1)  , đồng thời g ( x) liên tục (0,1) nên phương trình g ( x)  có nghiệm thuộc (0,1) , tức phương trình t ( x)  sin x  cos x có nghiệm thực Tương tự, phương trình t ( x)  cos x  sin x có nghiệm thực thuộc (0,1) Do đó, phương trình t ( x)  cos x  sin x t ( x)   cos x  sin x có nghiệm thực Vậy phương trình cho có nghiệm thực (2  x)(1  x )(2  y )(1  y )  10 z  Bài 45 Giải hệ phương trình sau  2 2  x  y  z  xz  yz  x y   (Đề thi chọn đội tuyển Hà Tĩnh) Lời giải Ta có x  y  z  xz  yz  x y    ( x  y  z )2  ( xy  1)2  hay 1 x  y  z  0, xy   y  , z  ( x  y )  ( x  ) x x Thay vào phương trình thứ hệ, ta 44 (2  x)(1  x )(2  )(1  )   10( x  ) x x x  2x  x  (2  x)(1  x )( )( )   10( x  ) x x x  (4  x )(1  x ) 1   10( x  )  4( x  )  17   10( x  ) x x x x Đặt t  x  1  t  Ta có t   x  , thay vào phương trình trên, ta x x 4(t  2)  17   10t  4t  25   10t  (4t  25)  16(1  10t )   (4t  20t  29)(2t  3)(2t  7)   t   Với giá trị t này, ta có x  7  33    x2  x    x  x -Với x  7  33 7  33 , ta tính y  ,z  4 -Với x  7  33 7  33 , ta tính y  ,z  4 Thử lại ta thấy thỏa Vậy hệ cho có hai nghiệm phân biệt ( x, y , z )  ( 7  33 7  33 7  33 7  33 , , ), ( , , ) 4 4 Bài 46 1/ Giải phương trình sau 2010 x ( x   x)  xy  x  5  y  x  2/ Giải hệ phương trình  x 3 y 2  x  y  (Đề thi chọn đội tuyển trường THPT Sào Nam, tỉnh Quảng Nam) Lời giải 45 1/ Phương trình cho tương đương với 2010 x  x   x Ta chứng minh phương trình có nghiệm x  Thật Xét hàm số f ( x)  2010 x  ( x   x) , ta có f ( x)  2010 x.ln 2010  ( x  1) x 1 -Nếu x  f ( x)  ln 2010  (  1)  nên hàm đồng biến, mà f (0)  nên 1 x phương trình có nghiệm x  với x  -Nếu x  1 , ta có f ( x )  2010 x.(ln 2010)  , f ( x)  2010 x.(ln 2010)  0 2 ( x  1)5 ( x  1) Suy f ( x ) hàm đồng biến nên f ( x )  f (1)  (ln 2010)2   nên f ( x ) hàm 2010 2 nghịch biến, suy f ( x)  lim f ( x )  lim [2010 x  ( x   x)]  nên phương trình f (0)  x  x  nghiệm với x  1 1 1 1 1 x   x  ( )    , 2010 x   nên 2 2 2010 trường hợp phương trình vô nghiệm -Nếu 1  x  1 x  x  f ( x)  2010 x.ln 2010  (  1)  nên hàm đồng biến, suy 2 x 1 f ( x)  f (0)  -Nếu Tóm lại, phương trình cho có nghiệm x   y  x  xy  x   2/ Giải hệ phương trình  x 3 y 2  x  y  Từ phương trình thứ hai hệ tính đồng biến hàm số f (t )  2t  t , ta có x  y Thay vào phương trình thứ hệ, ta x4  4x  2x 2x4    x  x  2( x 1) 3   x4  4x    ( x  1)2 ( x  x  3)   x  46 Thử lại, ta thấy thỏa; tương ứng với giá trị x này, ta có y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y )  (1,1)  x11  xy10  y 22  y12 Bài 47 Giải hệ phương trình  4 2 7 y  13x   y x(3x  y  1) (Đề thi chọn đội tuyển TP.HCM) Lời giải Ta thấy hệ nghiệm thỏa y  nên ta xét y  , ta có x x x11  xy10  y 22  y12  ( )11   y11  y y y Xét hàm số f (t )  t11  t , t    f (t )  11t10   0, t   nên hàm đồng biến x x Đẳng thức f ( )  f ( y )   y  x  y y y Thay vào phương trình thứ hai hệ, ta x  13 x   x x(3 x  x  1)  Đặt t  13    23 3  x x x x x  Ta có x 7t  13t  8t  3  3t  t  (2t  1)3  2(2 x  1)  (3  3t  t )  3  3t  t Xét hàm số f (a)  a3  2a, a   f (a)  3a   nên hàm đồng biến Phương trình f (2t  1)  f ( 3  3t  t )  2t   3  3t  t  (2t  1)3   3t  t  (t  1)(8t  5t  2)  Do t  nên giá trị thỏa mãn Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm 47 2009 x  2010 y  ( x  y )  Bài 48 Giải hệ phương trình: 2010 y  2011z  ( y  z )  2011z  2009 x  ( z  x ) (Đề thi chọn đội tuyển chuyên Quang Trung, Bình Phước) Lời giải Đặt 2009  a  , ta xét hệ tổng quát ax  (a  1) y  ( x  y )2  (a  1) y  (a  2) z  ( y  z ) (*)  (a  2) z  ax  ( z  x) Ta tính ax  ( x  y )  ( z  x)  ( y  z )  ( x  y )( x  z ) Tương tự (a  1) y  ( y  z )( y  z ), (a  2) z  ( z  x )( z  y ) Từ suy ax.(a  1) y.(a  2) z    ( x  y )( y  z )( z  x )  Mặt khác, từ (*) ta thấy tổng cặp ba giá trị ax, (a  1) y , (a  2) z không âm, ta chứng minh ba giá trị không âm Thật vậy, giả sử ax   x  , từ phương trình thứ phương trình thứ ba (*), suy (a  1) y  0, (a  2) z   y , z  hay x  y, x  z   ax  ( x  y )( x  z )  , mâu thuẫn Do ax  Tương tự, ta có (a  1) y , (a  2) z  Nhưng tích ba số lại không âm nên ta phải có ax  (a  1) y  (a  2) z  x  y  z  Thử lại thấy thỏa Vậy hệ cho có nghiệm x  y  z   2  x  y  Bài 49 Giải hệ phương trình sau  4 x  x  57   y (3 x  1)  25 (Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An) 48 Lời giải 10  5( x  y )  2( x  y )     25 Hệ cho tương đương với  57   4 x  x  xy  y  25 2 x  y  x  xy  y  47   25 47 47  (2 x  y )( x  y )  (2 x  y )  ( x  y )  25 25 Ta thấy x  y  x  3xy  y  Đặt x  y  a, x  y  b , ta   a  b   12  a  b  (a  b)  2ab  2ab  (a  b)   ab  25      47   94   144    a  b  17 ab  a  b  2ab  2(a  b)  (a  b  1)   25  25  25   25   ab  132   25 Ta thấy hệ phương trình thứ hai vô nghiệm, hệ thứ có hai nghiệm 4 11 (a, b)  ( , ), (a, b)  ( , ) , tương ứng ( x, y )  ( , ), ( , ) 5 5 5 25 25 11 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ( x, y )  ( , ), ( , ) 5 25 25 Nhận xét Có thể nhân phương trình thứ với 25 phương trình thứ hai với 200 cộng lại, ta có 25(3 x  y  1)2  144 , giá trị 25 50 chọn phương pháp hệ số bất định Bài 50 Cho tham số dương a, b, c Tìm nghiệm dương hệ phương trình sau : x  y  z  a  b  c  2 4 xyz  a x  b y  c z  abc (Đề kiểm tra đội tuyển Ninh Bình) 49 Lời giải a b c abc Phương trình thứ hai hệ tương đương với     yz zx xy xyz Đặt x1  a b c , y1  , z1  , suy x12  y12  z12  x1 y1 z1  (*) yz zx xy Dễ thấy  x1 , y1 , z1  nên tồn giá trị u, v thỏa  u, v   x1  sin u, y1  2sin v Thay vào (*), ta có z12  z1.sin u.sin v  sin u  4sin v   Đây phương trình bậc hai theo biến z1 , ta có   (2sin u.sin v )  (4 sin u  sin v  4)  4(1  sin u )(1  sin v)  cos u.cos v   z  2 sin u sin v  cos u cos v  Suy phương trình có hai nghiệm    z1  2 sin u sin v  cos u cos v  Do a  yz sin u , b  zx sin v, c  xy (cos u cos v  sin u sin v) Thay vào phương trình thứ hệ, ta có x  y  z  yz sin u  zx sin v  xy (cos u cos v  sin u sin v)  ( x cos v  y cos u )2  ( x sin v  y sin u  z )   x cos v  y cos u  x sin v  y sin u  z  Ta tính z  x sin v  y sin u  Tương tự, ta có y  a y a b b x ab   z 2 zx yz z ca bc ,x  2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y , z )  ( bc ca ab , , ) 2 Nhận xét Ta giải biến đổi đại số nhờ cách đặt ẩn phụ bc ca a b x  u, y   v, z   w đánh giá bất đẳng thức 2 50 3x  y  x  x2  y   Bài 51 Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực   y  x  3y   x2  y (Đề thi chọn đội tuyển Chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc) Lời giải Ta giải hệ phương trình số phức Nhân phương trình thứ hai hệ với i (đơn vị ảo i  1 ) cộng với phương trình thứ nhất, x  y  xi  yi 3( x  yi) i( x  yi )   ( x  yi)   0 ta có x  yi  2 x y x  y2 x  y2 Đặt z  x  yi  z x  yi  Đẳng thức viết lại z x  y2 3i  (1  2i )   z  3z   i   z   z   i  z  1 i z -Nếu z   i , suy x  yi   i  x  2, y  -Nếu z   i , suy x  yi   i  x  1, y  1 Thử lại ta thấy thỏa Vậy hệ cho có hai nghiệm ( x, y )  (2,1), (1, 1)  3x  10 y x  x2  y   Nhận xét Bài tương tự   y  10 x  y   x2  y Bài 52 Giải hệ phương trình:  x  x  y  y  2 ( x  y )  (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội) 51 Lời giải Đặt x  y  a, x  y  b,  c Từ phương trình thứ hai hệ, ta có:  ab   c  ab  c Ta có: x  a b ab ,y Suy ra: 2  a  b 2  a  b 2  ab x  y  ( x  y )( x  y )( x  y )  ab  (a  b ) , nữa:          4 2 (a  b) a  3b a  c 3b   2 Do đó, phương trình thứ hệ cho tương đương với: x  y  (a  b )  ab a  c 3b (a  b )   c(a  b )  a  c 3b 2 Ta có hệ là: c2 c4 c(a  b )  a  c 3b  c(a  )  a   ca  c3  a3  ac  (ca  1)(a  c )   a a ab  c  a  a c c Suy hệ có hai nghiệm là: (a, b)  (c,1);( , c ) c Xét hai trường hợp: - Nếu a  c, b  x  c 1 3 1 1  ,y  2   c3   c3 1 11 11 - Nếu a  , b  c x    c    , y    c2    3 c 2c 2c 2c 2c 3    3  3    1  Vậy hệ cho có hai nghiệm là: ( x, y )   ,  , ,     3   52 Bình luận Đây hệ phương trình đẹp, hình thức dễ làm bối rối nhẩm nghiệm tìm hàm số để khảo sát ý tưởng thông thường Lời giải túy đại số cách đặt ẩn phụ đề cần phải ý, xuất đề VMO 2005  x  3xy  49  2  x  xy  y  y  17 x Bài 53 Giải phương trình x sin x  x.cos x  x   x  x  x  (Đề thi chọn đội tuyển Hà Nội) Lời giải Ta thấy phương trình nghiệm x   1 nên ta xét x   2 Xét hàm số f ( x )  x sin x  x.cos x  x   x  x  x  1, x   Ta có f ( x)  x.sin x  (2 x  1) cos x  3 (2 x  1)  x  3x  Ta chứng minh x.sin x  (2 x  1) cos x  3 (2 x  1)  x  3x   0, x   x2 Thật vậy, trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau cos x   , x   x2 , ta thấy hàm số chẵn nên cần xét x  , ta có g ( x )   sin x  x, g ( x )   cos x    g ( x )   sin x  x  g (0)  Do đó, g ( x) hàm Xét hàm số g ( x )  cos x   đồng biến [0, ) , suy g ( x )  g (0)   cos x   x2 x2   cos x   2 Vì x sin x dấu nên x.sin x  , ta có 53 f ( x)  x.sin x  (2 x  1) cos x  3 (2 x  1)  (2 x  1)(1    x4  3x 1 x2 (2 x  1)(2  x )  2(5 x  x  1) )  5x  3x2    2 3 (2 x  1)2 3 (2 x  1) x4  3x 2  3 (2 x  1) 8x  3x 2 Cần chứng minh    x4   x (*) 2 2 3 (2 x  1) 3 (2 x  1) Theo bất đẳng thức Cauchy (2 x  1)  x   3 (2 x  1)2  3 x2  , Đặt t  x  Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh 3 x4   x  4t   t 3 8t  2 8x  2 -Nếu t  3  4t  t bất đẳng thức -Nếu t  2    , theo bất đẳng thức Cauchy 8t  4t  3  4t   t  6t  t 2 8t  Do (*) hay f ( x)  0, x   Suy f ( x ) hàm đồng biến nên phương trình cho có không nghiệm Mặt khác f (0)  nên nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x  ( x  2)2  ( y  3)  ( y  3)( x  z  2)  Bài 54 Giải hệ phương trình  x  x  z  y  15  3 yz  2 8 x  18 y  18 xy  18 yz  84 x  72 y  24 z  176 (Đề thi chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội, ngày 2) Lời giải 54 Đặt a  x  2, b  y  Thay vào phương trình hệ cho, ta ( x  2)2  ( y  3)2  ( y  3)( x  z  2)  a  b  b(a  z  4)  a  ab  b  bz  4b  , x  x  z  y  15  3 yz  a  a  7b  3bz  x  18 y  18 xy  18 yz  84 x  72 y  24 z  176  8a  2a  18b  72b  18ab  18bz  30 z  94   8a  2a  18(b2  ab  bz  4b)  30 z  94  a  ab  b  bz  4b   Suy a  a  7b  3bz  (*)  2 8a  2a  18(b  ab  bz  4b)  30 z  94  Từ phương trình thứ phương trình thứ ba, ta có 8a  2a  18a  30 z  94   10a  2a  30 z  94   z   5a  a  47 15 Thay vào phương trình thứ hai, ta có  5a  a  47   5a  a  12  5(a  a) a  a  7b  b    b  a  a  b     5 5a  a  12     Nhân phương trình thứ hệ (*) với trừ cho phương trình thứ hai, ta 2a  a  3ab  3b  5b  Thay z   5a  a  47 5(a  a ) b  vào phương trình này, ta có 15 5a  a  12  5(a  a )  15a (a  a ) 25(a  a) 2a  a  3  0  5a  a  12  5a  a  12  5a  a  12  (2a  a )(5a  a  12)2  15a (a  a )  25(a  a )  (5a  a  12)  75( a  a )   50a  70a5  208a  94a3  482a  156a   a (a  2)(5a  14a  13)(5a  11a  3)   a   a  2  a  11  61 10 Tương ứng với giá trị này, ta tìm bốn nghiệm hệ cho 55 ( x, y , z )  (2, 3, ( 47 4 29 31  61 61  28 13  61 ), ( 4, , ), (  , , ), 15 15 10 15 15 61  31 61  28 39  61 , , ) 10 15 15 Bài 55 2 z ( x  y )   x  y  Tìm x, y, z thỏa mãn hệ  y  z   xy  zx  yz  2  y (3x  1)  2 x ( x  1) (Đề thi chọn đội tuyển trường ĐH KHTN Hà Nội, vòng 3) Lời giải Từ phương trình thứ ba hệ, ta có y 2 x( x  1) (3x  x)  x ( x  1) x3  3x  x  y   x  y  (3x  1) (3x  1) 3x  Đặt x  tan  ,   ( tan   tan    , )  cos   Ta có tan   y   y  tan 3  tan  2 3tan   Từ phương trình thứ hệ, ta có x  y  (2 tan   tan 3 ).tan 3  tan  tan 3  tan 3  z   2( x  y ) tan 3 tan 3 tan 3  cot 3 sin 3 cos 3  tan    tan   (  )  tan   2 cos 3 sin 3 sin 6 Từ phương trình thứ hai hệ, ta có 56 x  y  z  xy  zx  yz   x  ( y  z  x)2   x  (tan 3  tan   tan    tan  )   tan  sin 6 sin 3 1 2sin 3  1   tan  )   (  tan  )  cos 3 sin 3 cos 3 cos  2sin 3 cos 3 cos  cos 6 cos 6 cos   sin 6 sin  (  tan  )  ( )  sin 6 cos  sin 6 cos  cos  cos 5  ( )2   cos 5 cos    sin 6 cos   cos 5   cos(  6 ) sin 6 cos  cos  (    k 2      cos 5  cos(  6 ) 5  (  6 )  k 2   22  11 ,    k 2    ,k   cos 5  cos(  6 ) 5  (   6 )  k 2      k 2 ,      k 2    2 22 11 Do   (    , ) nên hai họ nghiệm     k 2 , k   không thỏa mãn 2  k 2  , ta tìm tất 10 giá trị  thỏa mãn 22 11  3 5 7 9    , , , , 22 22 22 22 22 Với hai họ nghiệm    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y , z )  (tan  , tan 3  tan  , tan    3 5 7 9 ),    ,  ,  , , sin 6 22 22 22 22 22 57 ...  2010 Suy x  y  z  x  y  z  2010( x  y  z )  20103 Từ phương trình thứ hai suy đẳng thức phải xảy ra, tức  x (2010  x)   x   x  2010    y (2010  y )    y   y  2010. ..  2010   z   z  2010   z (2010  z )  Kết hợp với phương trình thứ nhất, ta thấy hệ cho có ba nghiệm phân biệt ( x, y , z )  (2010, 0, 0), (0, 2010, 0), (0, 0, 2010) 2/ Phương trình... 2 2 y ( x  y )  3x 2/ Giải hệ phương trình  2  x( x  y )  10 y (Đề thi chọn đội tuyển THPT Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) Lời giải 1/ Điều kiện 2  x  Phương trình cho tương đương với