hướng dẫn ôn và học tốt phần lượng giác

hướng dẫn ôn và học tốt phần lượng giác hướng dẫn ôn và học tốt phần lượng giác hướng dẫn ôn và học tốt phần lượng giác hướng dẫn ôn và học tốt phần lượng giác hướng dẫn ôn và học tốt phần lượng giác hướng dẫn ôn và học tốt phần lượng giác v

B/ PHẦN NỘI DUNG I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1/HỆ THỨC CƠ BẢN :( phần ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị lượng giác ) sin x 1/ sin2x + cos2x = 2/ tanx = cos x cos x 3/ cotx = 4/ tanx cotx = sin x 1 5/ + tan2x = 6/ + cot2x = cos x sin x B M A' K  H Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc  , giáo viên lưu ý tọa độ điểm cung M (x;y) sin  = y, x y cos  = x, tan  = ( x  0) , cot  = ( y  0) y x Từ giáo viên cho học sinh tìm toạ độ điểm cung M x O A y  ,… Sau giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu cơng thức 1,2,3 từ định nghĩa , cơng thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh được, xem ví dụ để giáo viên đến dạng tốn chứng minh đẳng thức lượng giác vài vị trí đặc biệt, ví dụ :  = 1500 ;  = -3900,  = B' /CUNG LIÊN KẾT : ( để học thuộc cơng thức trước hết em phải thuộc định nghĩa cung đối , bù ,phụ , …Sau thuộc phần cách nhớ áp dụng vào tập) Hai cung đối x – x Hai cung bù x  - x cos (  - x) = - cosx cos( - x) = cosx sin (  - x) = sinx sin ( - x) = - sinx tan(- x) = - tanx tan (  - x) = - tanx cot (- x) = - cotx cot (  - x) = - cotx  Hai cung phụ x –x Hai cung  x  + x  cos( - x) = sinx cos (  + x) = - cosx  sin ( - x) = cosx sin (  + x) = - sinx  tan( - x) = co tx tan (  + x) = tanx cot (  + x) = cotx  cot ( - x) = tanx Hai cung  x  + x cos(  + x) = - sinx sin (  + x) = cosx CÁCH NHỚ : Giáo viên đóng khung trường hợp đặc biệt ghi nhớ trường hợp đặc biệt , trường hợp khơng nhắc đến thêm dấu trừ vào cos đối , sin bù , phụ chéo Hơn  ta có tang cotang  Hơn , chéo , sin  + x) = - co tx  cot( + x) = - tanx 3/CÔNG THỨC CỘNG :(phần em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta ln viết cung a trước , cung b sau theo thứ tự ) cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb CÁCH NHỚ : cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb cos cos cos , sin sin sin ( a + b) = sina.cosb +sinb cosa Sin sin cos , cos sin sin ( a – b) = sina.cosb – sinb cosa Cos đổi , sin không tan a  tan b tan ( a – b) =  tan a tan b tan a  tan b tan ( a + b) =  tan a tan b cot b cot a  cot ( a + b) = ( cơng thức tan ( a  b) cot( a  b) học sinh tự chứng minh) cot b  cot a cot b cot a  cot ( a – b) = cot b  cot a 4/CÔNG THỨC NHÂN: ( phần em tự chứng minh , xem tập) cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a cos3a = cos3a – 3cosa sin 2a = sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin3a tan a  tan a tan a tan 2a = tan3a =  tan a  tan a 5/CÔNG THỨC HẠ BẬC NÂNG CUNG  cos 2a  cos 2a  cos 2a cos2 a = sin2a = tan2a = 2  cos 2a a 6/CÔNG THỨC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan 2 1 t 2t 2t sina = , cosa = , tan a = 2 1 t 1 t2 1 t 7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI : ( phần em học thuộc cách nhớ cho cơng thức biến tổng thành tích , sau suy ngược lại cơng thức biến tích thành tổng ) tan( BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG : CÁCH NHƠ : Ù 1/ Cos cộng cos hai cos cos Cos trừ cos trừ hai sin sin Sin cộng sin hai sin cos Sin trừ sin hai cos sin 2/ cos nhân cos cos cộng cos cosa  b  cosa  b sina.sinb =  cosa  b   cosa  b  sina.cosb = sin a  b   sin a  b  cosa.cosb = BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH ab a b cosa + cosb = cos cos 2 ab a b cosa - cosb = - sin sin 2 ab a b sina + sinb = sin cos 2 ab a b sina - sinb = cos sin 2 sin( a  b) tan a + tanb = cos a cos b sin( a  b) tan a - tanb = cos a cos b CÁCH NHỚ : tang cộng với tang ta Bằng sin hai đứa chia cos ta cos II/ BÀI TỐN TÌM NGỌN CUNG KHI BIẾT CUNG Ví dụ :Tìm số cung cung x : 1/ x = 2/ x = 3/ x =     2k (k  Z )  k (k  Z )  k (k  Z ) Giải: Phƣơng pháp: Vì k  Z nên ta chọn giá trị k = 0,1,2, sau biểu diễn cung đường tròn lượng giác đến cung vừa biểu diễn trùng với cung ta dừng laị , đếm số cung biểu diễn đường tròn lượng giác kết luận y    cung x nằm M ( ) 6   Khi k == x =  2  cung x quay lại M ( ) 6   Kết luận : x =  2k (k  Z ) có cung nằm M ( ) 6 1/ Khi k = x = 2/ Khi k = x =    cung x nằm M ( ) 6 M(  ) O x y M( O  )     cung x nằm N (N điểm đối xứng M qua O) Khi k = x = Khi k == x = Kết luận : x =    2  cung x quay lại M (  )  k (k  Z ) có cung nằm M N    cung x nằm M ( ) 6 P    M( ) Khi k = x =   cung x nằm P 6  O Khi k = x =    cung x nằm N (N điểm đối xứng M qua O)  3 Khi k = x =   cung x nằm Q N Q (Q điểm đối xứng N qua O)   Khi k = x =  2  cung x quay lại M ( ) 6  k Kết luận : x =  (k  Z ) có cung nằm đỉnh hình vng MNPQ nội tiếp đường tròn lượng giác 3/ Khi k = x = Tổng qt: Nếu x =   x 2k ( k,n  Z) x có n cung nằm đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp n đường tròn lượng giác III/ BÀI TỐN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG Phƣơng pháp: Để viết cung x ta càn nhớ phần tổng qt tốn tìm cung biết cung , ta nhóm cung tạo thành đa giác nội tiếp đường tròn lượng giác lại viết thành cung, cung khác khơng gom lại ta viết riêng Ví dụ : Cho cung x có ngon cung nằm đường tròn lượng giác hình vẽ Hãy tìm cung x ? y Hình M( N O A/ P  ) A x Q y Hình B N Bốn đỉnh M,N,P,Q tạo thành hình vng nội tiếp đường tròn luợng giác nên ta gom chung, hai đỉnh A, A/ đối xứng qua O nên ta viết chung thành cung  k  x   Vậy cung x hình (k , h  Z )   x  h M(  ) x Bốn đỉnh A,B,A/,B/ tạo thành hình vng nội tiếp đường tròn luợng giác nên ta gom chung, Hai đỉnh M,N hợp với đỉnh B/ tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn luợng giác nên ta viết chung thành cung được.Vậy k  x  PHƯƠNG PHÁP THU GỌN NGHIỆM :  x    k 2 1/ Nếu  với      ta ghi x =   l ( k , h , l  Z )  x    h2 2  (1) x    k m 2/ Nếu  với m cung (1) hợp với n cung (2) lập thành đa giác  x    h 2 (2) n  l 2 có m + n cạnh ta ghi x =   (k , h , l,n , m  Z ) nm 2  (1) x    k m 3/ Nếu  với m cung (1) tập hợp n cung (2)  x    h 2 (2)  n ta ghi x =   h2 m (k , h,n , m  Z ) IV/ MỘT VÀI PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Phƣơng pháp 1: Biến đổi phương trình cho dạng tích số : 1/ Khi hai vế phương trình có thừa số giống có chứa x ta phải chuyển vế đưa phương trình tích Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( cosx +1 ) = cos2x.sinx Giải : sinx ( cosx -1 ) = cos2x.sinx  sinx ( cos2x – 2cosx – ) = sin x   cos x  2cos x   sin x   x  k  x  k    cos x   x  2h Vậy phương trình cho có nghiệm : x  k ( k Z ) 2/ Nếu góc phương trình có dạng u , 2u , ta thường dùng công thức nhân đôi công thức hạ bậc nâng cung để đưa phương trình theo góc Ví dụ2 : Giải phương trình : sin 2x = cos2x Giải : sin 2x = cos2x  sinx cosx - cos2x =  2cosx ( sinx – cosx ) = cos x  cos x    sin( x   )  sin x  cos x       x   k   x    h    x   k  Vậy phương trình cho có nghiệm :  ( k,h  Z )  x    h  sin 2x = cos x  sin2x = + cos2x  sin2x – cos2x = Ví dụ2 : Giải phương trình : cos4x - sin4x + cos4x = Giải : cos4x - sin4x + cos4x =  (cos2x + sin2x)( cos2x – sin2x) + cos4x =  cos2x + cos4x =  2cos3x.cosx =  k  x   cos3 x    (k , h  Z )  cos x   x    h  3/ Nếu phương trình có chứa cos2x , sin2 x ta dùng công thức hạ bậc nâng cung Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x  cos x  cos x  cos6 x  cos8 x    2 2  cos2x + cos4x = cos6x + cos8x  cos3x cosx = cos7x cosx  cosx ( cos7x – cos3x) = Giải : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x     x   k  cos x    7 x  x  2h cos x  cos3x 7 x  3 x  2h      x   k   x  h   x   x    h  x    x  Vậy phương trình cho có nghiệm :  x   h h h h ( k,h  Z ) 4/ Nếu phương trình có dạng tổng ta biến thành tích ngược lại Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x = Giải : sinx + sin 2x + sin 3x =  ( sin3x + sinx) + sin2x =  2sin2x cosx + sin2x =  sin2x ( cosx + 1) = k  sin x  x    cos x    x   2  h   k  x  Vậy phương trình cho có nghiệm :  ( k,h  Z )  x   2  h  Ví dụ 5: Giải phương trình : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x 1 (cos8 x  cos6 x)  (cos8 x  cos x) 2 6 x  x  2k  cos6x = cos2x   6 x  2 x  2k Giải : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x  k  x  k x   x  k  k Vậy phương trình cho có nghiệm : x  ( k Z ) Bài tập : Giải phương trình sau : 1) sin 4x  sin 3x  sin 2x  sin x 3) sin 3x  cos2 4x  sin 5x  cos2 6x cos2x  sin x  sin 2x  tan x 7)  2cos x  1 2sin x  cosx   sin 2x  sinx 5) cot x    tan x 11/ sin2 x – sinx cosx + cos2 x = - sin 3x  sin x 13/  cos x  sin x  cos x 9/ – 13 cosx = - 15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x 17/ cosx - cos 2x = sin 3x 2) sin x(1  cosx) =  cosx + cos2 x cos2 x  cosx  1 4)  1  s inx  sinx + cosx 6) cos2 3x.cos2x  cos2 x  8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x 10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x 14/ sin 5x – sinx = sin x 16/ cos4 x – cos 2x + sin6 x = 18/ cos2 2x + 2cos2 x = Phƣơng pháp 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình cho dạng phương trình đại số 2t 1 t2 x 1/ Có thể đặt ẩn phụ t = tan  sin x  , cos x  1 t2 1 t2 2t 1 t2 ( t = tanx  sin x  ) , cos x  1 t2 1 t2 Ví dụ 1: Giải phương trình : 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x   k ( k  Z ) 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x  6tan2 x = 2cos2x + 1 t2 nên ta đặt ẩn phụ t = tan x  cos x  1 t2 1 t2 Khi phương trình (1) trở thành : 6t = ( ) +  6t4 + 7t2 – = 1 t 2 t   (loai )    tan2x = t   Giải: Điều kiện : x     tan x   tan      tan x    tan       10    x   h ( h Z )   x     h  Vậy phương trình cho có nghiệm x =    h ( h Z ) 2/ Biến đổi phương trình cho dạng có biêu thức đồng dạng để từ ta đặt ẩn phụ Ví dụ 2: Giải phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cot2x + cot3x = (1) k ( k Z ) (1)  ( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = Giải: Điều kiện : x  Đặt t = tanx + cotx = t  2 , sin x  nên t    sin 2x t  2  tan2x+ cot2x = t2 – , tan3x+ cot3x = t3 – 3t t  Khi phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – =   t  3t   (vn)  =  sn2x =  x =  h ( h  Z ) ( thỏa đk)  sin 2x Vậy phương trình cho có nghiệm : x =   h ( h  Z ) m n 3/ Phương trình có chứa đồng thời  sin x  cos x  ,  sin x.cos x  ta đặt t = sinx  cosx Ví dụ3 :Giải phương trình: sin3x + cos3x = ( sinx + cosx) – (1) Giải: Đặt t = sinx + cosx = sin ( x   ) Điều kiện : t [ 2; 2]  sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t ( t 1 ) t 1 Khi phương trình (1) trở thành: t – 3t ( ) = 2t –  2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – 2 t   t3 + t – =   t  t   (VN )    sin ( x  ) =  sin 4 11  x  2k   x     2k   x  2k Vậy phương trình cho có nghiệm :   x     2k  ( k Z ) 4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = Ta đặt t = tanx – cotx  tan2x + cot2x = t2 + Ví dụ 4:Giải phương trình: (tan2x + cot2x ) + ( - 1) ( tanx – cotx) – - = (1) Giải: k Điều kiện : x  ( k Z ) Đặt t = tanx – cotx  tan2x + cot2x = t2 + Khi phương trình (1) trở thành: ( t2 + 2) + ( - 1)t – - =  t2 + (  t  2  t   * t = -2  tanx – cotx = -2 *t= - 1)t – =  tan x  1   tan   tan2x + 2tanx – =    tan x  1   tan   x    h ( k, h  Z )( thỏa đk)   x    h sin x  cos x  cos x 2 2 = =  tanx – cotx =   sin x cos x 3 3 sin x   cot2x = = cot ( - ) 3  l   2x = - + l   x = -  ( l  Z )( thỏa đk)  x    h  l Vậy phương trình cho có nghiệm :  x = -  ( k, h, l  Z )  x    h Bài tập:A/ Giải phương trình sau: 6 1/ 3cos x  4sin x  3cos x  4sin x  3/ 2(tan x  sinx) + 3(cotx  cosx) + = 5/ cos3x + cos2x – cosx – = 2/ sinx  cosx  4sin 2x  4/  sinx + cosx + sin2x + cos2x =     6/ cos x  sin x  cos  x   sin  3x     4 4   12 x  7/ cot x  sin x 1  tan x tan   2  x 9/ + cosx = 2tan 8/  cos6 x  sin x   sin x cos x  2sin x 0 10/ cotx = tanx + tan2x   ) = sin( x - ) + cos 3x 3 x  3x  13/ sin( 14/ 2cos( x + ) = sin3x – cos3x  ) = sin(  ) 10 2 10 m 1  B/ Tìm m để phương trình :  2m tan x  m2   có ba nghiệm thuộc ( -  ; ) cos x 2 C/ Tìm m để phương trình : cos x + ( – m)cosx + 2m – = có nghiệm thuộc [0;  ] D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m + =   có nghiệm thuộc khoảng ( - ; ) 2 E/ Cho phương trình : 2( + cos2x ) + m ( - cosx) = (1) cos x cos x a/ Giải phương trình m =  b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; ) 4m F/ Cho phương trình : 4tan2x + + = (1) cosx a/ Giải phương trình m = -   b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( - ; ) 2 G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1) a/ Giải phương trình m = b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [ :  ] H/ Cho phương trình : ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1) a/ Giải phương trình m = - b/Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm 11/ + tanx = 2 sinx 12/ sin( 2x - 5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm : Khi giải phương trình lượng giác mà q trình giải cuối dẫn đến việc phải tìm giao hai tập hợp T1, T2, vấn đề đặt học sinh trung bình tìm T1  T2 dễ dàng Thơng thường ta có hai cách làm : C1: Dùng đường tròn lượng giác C2: Tìm nghiệm ngun phương trình vơ định a/ Việc chọn nghiệm đƣợc nảy sinh từ việc giải phƣơng trình lƣợng giác khơng mẫu mực: Ví dụ 5: Giải phương trình: cos3x   cos2 3x  2(1  sin 2 x) (1) Phân tích: Phương pháp bình phương hay đặt ẩn phụ khó khăn Ta giải phương trình (1) phương pháp đánh giá miền giá trị vế làm xuất bất đẳng thức đối lập 13 Giải: VT (1)  12  12 cos2 3x   cos2 3x  Đẳng thức xảy cos3x   cos2 3x  cos3x   2 2  cos 3x  cos 3x cos3x   cos3x   cos x   VT (1) = 2( + 2sin22x)  sin22x  Đẳng thức xảy + 2sin22x =  sin2x = Vậy (1) cos3x   sin x  (*) Để giải hệ (*) ta có nhân xét: a Ta tìm nghiệm phương trình (*) Nếu nghiệm tìm đơn giản, ta tìm đường tròn lượng giác điểm cung thuộc tập nghiệm phương trình Chọn lấy điểm chung từ tìm nghiệm hệ nghiệm phương trình ban đầu Với ý tưởng ta dùng C1 y Ta có (*)  k 2  x     x  l  M( 2 ) B (cần lưu ý với học sinh tham số ngun x phương trình khác nhau) / A  Trên đường tròn lương giác điểm cung thuộc tập nghiệm phương trình biểu thị dấu (.) chấm tròn (□) vng hình vẽ Chỉ có điểm chung A A O N( 4 ) B/  Vậy nghiệm phương trình cho là: (k ) b Ta chọn giao hai nghiệm cách tìm nghiệm ngun phương trình vơ định k 2   x  Thật vậy:(*)    x  l  Hệ có nghiệm chung : k , l  Z : l  Do l , k  Z  k 2 l  4k k  k  ( nên rút theo 3 k k  Z   m  Z  k  3m 3 14 hệ số với nhỏ hơn) Thay vào tập nghiệm hệ ta có nghiệm phương trình (1) Ví dụ 6: Giải phương trình: sin x(cos x  2sin x)  cos x(1  sin x  2cos x)  (1) Giải: Ta có: (1)  (sin4x.cosx + sinx.cos4x) – 2( sin24x + cos24x) + cos4x =  sin5x + cos4x = (2) sin x  Do   VT (2) cos x  Vậy (2) y B sin x  (*)  cos x  N( 9 ) 10 M( Cách 1:  ) 10 x  k   x  10  Ta có (*)    x  l  / A A O Q( 17 ) P( 13 10 10 ) B/  Biểu diễn điểm cung thuộc tập nghiệm hai phương trình đường tròn lượng giác chúng có điểm chung B   m2 Nhận xét: Ta nghĩ tới C1 việc biểu diễn điểm cung thuộc tập nghiệm phương trình đường tròn lưỡng giác vị trí Trong trường hợp số điểm chúng có q nhiều vị trí phức tạp ta nghĩ tới C2 Bây ta dùng C2 để chọn nghiệm thử Vậy nghiệm phương trình cho là: x  Cách 2: Hệ có nghiệm chung : k , l  Z : Do l , k  Z   10  k 2 l l 1   4k  5l   k  l  l 1 l 1 Z   m  Z  l  4m  4 Từ thay vào tập nghiệm thứ nghiệm phương trình là: x  Ví dụ 7: Giải phương trình: sin4x.cos16x =   m2 (1) Phân tích: Có thể biến đổi tích thành tổng hay đánh giá miền giá trị vế Mỗi nhận xét cho ta cách giải riêng Tuy nhiên việc biến đổi tích thành tổng cho lời giải ngắn gọn Cách 1: Biến tích thành tổng Ta có: (1)  sin20x – sin12x =  (1  sin 20 x)  (1  sin12 x)  15  k  x   sin 20 x    40 10   sin12 x  1  x     l  24 Hệ có nghiệm chung : k , l  Z : k Do l , k  Z   40  k  l   10 24 5l  2(l  1)  1 3 l 1 l 1 Z   m  Z  l  3m  3 Thay vào tập nghiệm thứ hệ phương trình nghiệm phương trình (1) là: x    m Cách 2: Đánh giá miền giá trị hai vế: Ta có: Từ (1)  sin x cos16 x  (1/ ) (1’)   sin x  Do   sin x cos16 x  cos16 x     sin x  1  sin x  Vậy (1’)      cos16 x  cos16 x  1 Mặt khác do: sin4x.cos16x = > nên sin4x cos16x dấu sin x  sin x  1  Do  (2) cos16 x  cos16 x  1 Từ (1) (2) (2) thỏa (1) thỏa Vậy (1) (2) sin x  a/  (a) (ta giải hệ (a) hai cách để thấy rõ ưu điểm cách) cos16 x  Cách 1: Biểu diễn nghiệm phương trình đường tròn lương giác  k   x   Ta có (a)    x  l  B N M( Biểu diễn điểm cung hai phương trình đường tròn lượng giác Có điểm cung trùng ) x / A 16  A O P B/ Q M,N,P,Q Vậy nghiệm hệ (a) là: x    m Cách 2: Tìm nghiệm ngun phương trình vơ định: Hệ có nghiệm chung : k , l  Z :   k l   l  4k  Thay vào tập nghiệm phương trình thứ hệ, nghiệm phương trình cho là: x  (4k  1)     k  k  x   sin x  1  b/   cos16 x      x   l  16 Hệ có nghiệm chung : k , l  Z :   k  l    2l  8k  Vơ lí VT chẵn, VP lẻ 16  Hệ (b) vơ nghiệm Kết luận: Vậy nghiệm phương trình x    m b/ Việc chọn nghiệm phƣơng trình đƣợc nảy sinh giải phƣơng trình lƣợng giác chứa tang, cotang có chứa ẩn số mẫu: Ví dụ 8: Giải phương trình: tan x.tan3x.tan5x  tan x  tan3x  tan5 x (1) Phân tích: Ngun tắc giải phương trình loại là:  Đặt điều kiện cho tốn có nghĩa  Sau đó, giải phương trình kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện đặt hay khơng?  Kết luận nghiệm    x  (2l  1) cos x      Giải:Điều kiện: cos3x    x  (2m  1) cos5 x       x  (2h  1) 10  Với điều kiện (1) tan5x(1  tan x.tan3x)  tan x  tan3x (2) Nhận xét: 17 + tan2x.tan3x  nếu: + tan2x.tan3x =  tan2x = tan3x (VT=0 VP=0)   tan 2 x  vơ lý tan x  Vậy (2) tan x  tan 3x  tan( x)  tan x.tan 3x  x   x  k  x  k Ta kiểm tra nghiệm tìm có thỏa điều kiện hay khơng? a/ Điều kiện (a) bị vi phạm : k , l  Z : Vậy x = k  k   (2l  1)  2k  6l  (vơ lý thỏa điều kiện (a) b/ Điều kiện (b) bị vi phạm k , m  Z : k   = ( 2m + 1)  k = 2m + số ngun lẻ 6 Vậy điều kiện (b) thỏa k = 2n , nghiệm pt x = n c/ Điều kiện (c) bị vi phạm n, h  Z : n Vậy x = n )  = ( 2h + 1)    10n = 6h + ( vơ lý n, h  Z) 10   thỏa điều kiện (c) Kết luận nghiệm phương trình cho : x = n 3 Ví dụ 9: Giải phương trình: tan5x  tan3x , với x   (1) Giải:  k   x  10  (a) Điều kiện :  (k , h  Z )  x    h (b)  Với điều kiện tan5x=tan3x  5x = 3x + l   x = Điều kiện (a) bị vi phạm k , l  Z cho  10  l k l l 1  k = 2l +  2 l 1 = m số ngun  l = 2m + Suy điều kiện (a) khơng bị vi phạm l = 2n  nghiệm x = n   h  6n = 2h + ( vơ lý) Điều kiện (b) bị vi phạm h, n  Z cho n  =  Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) (b) x = n  Do x     n  , Vì n  Z nên ta chọn n = Vì k,l số ngun nên 18 Vậy phương trình có nghiệm x =   cot Ví dụ 10: Giải phương trình: x  1 2cot x  cos x.cot x  cos x (1) Giải: cos x    Điều kiện : sin x   sin x   x  l sin x   cos x  sin x   cos x Với điều kiện (1)  sin x  cos x  cos x sin x.2cos x sin x cos x(1  cos x)   cos x sin x  sin4x = cosx = sin ( a/ Nghiệm x    x)  k 2  x    10   x    k 2   2k  2k l l 1 vi phạm điều kiện k=l+   10 10 l 1 Do k,l  Z nên = m  l = 4m +  2k Vậy x   nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 10 (1) với k  5m +  2k  2k l k 1 b/ Nghiệm x   vi phạm điều kiện :   + 4k = 3l  l = k +  6 3 k 1 Do k,l  Z nên = n  k = 3n –  2k Vậy x   nghiệm (1) với k  3n –  k 2  (k  5m  1)  x  10  Kết luận: Nghiệm (1)  ( k,m,n  Z )  x    k 2 (k  3n  1)  c/ Việc chọn nghiệm nảy sinh biến đổi phương trình ban đầu phương trình hệ Ví dụ 11: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x = (1) 16 Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tích cos mà góc sau gâp đơi góc trước nên ta thường nhân hai vế (1) cho sin góc nhỏ Giải: 19 a/ Xét sinx =  x = l  khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx   x  l  Nhân hai vế (1) cho sinx : (1)  sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x = sinx 16 1 sinx  sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = 16  1 sin4xcos4x.cos8x = sinx 16 2k   x  15 1 sinx  sin16x = sinx   (2)  sin8xcos8x = 16  x    2k  17 17 Ta phải loại bỏ nghiệm x = l  (2) phương trình hệ (1) k 15l l a/ Nghiệm x = = l  k = = 7l + 15 2 l Do k,l  Z nên = m  Z  l = 2m , suy k = 15m 2 k Vậy x = nghiệm phương trình (1) với k  15m 15  2k l 1 b/ Nghiệm x = = l   k = 8l +  17 17 l 1 Do k,l  Z nên = n  Z  l = 2n + , suy k = 17n +  2k Vậy x = nghiệm phương trình (1) với k  17n +  17 17 2k  (k  15m)  x  15 Kết luận : Nghiệm phương trình (1) :  (k , m, n  Z )  x    2k (k  17n  8)  17 17 Ví dụ 12: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x + cos10x = - (1) Phân tích : vế trái (1) biểu thức có dạng tổng cos mà góc tạo thành câp số cộng với d cơng sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin Giải: a/ Xét sinx =  x = n  khơng thỏa phương trình (1) b/ Xét sinx   x  n  Nhân hai vế (1) cho sinx , ta có : 20 (1)  sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = - sinx 1  [(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] = - sinx 2 k  sin11x – sinx = -sinx  sin11x =  x = 11 k k Nghiệm x = vi phạm điều kiện  k,l  Z cho : = n   k = 11.n 11 11 k Vậy nghiệm phương trình (1) : x = với k  11.n ( k, n  Z) 11 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN Giải phương trình : 1/ cos2x + cos x=2 ĐHTM 97 2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 3/ sinx( cos x x - 2sinx) + cosx( + sin - 2cosx) = 4 21 ĐS : x = 8n  ĐS : ptvn ĐS : x =  + 8n  ... sin( 2x - 5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm : Khi giải phương trình lượng giác mà q trình giải cuối dẫn đến việc phải tìm giao hai tập hợp T1, T2, vấn đề đặt học sinh trung bình tìm... hình vng MNPQ nội tiếp đường tròn lượng giác 3/ Khi k = x = Tổng qt: Nếu x =   x 2k ( k,n  Z) x có n cung nằm đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp n đường tròn lượng giác III/ BÀI TỐN TÌM CUNG KHI BIẾT... khơng nhắc đến thêm dấu trừ vào cos đối , sin bù , phụ chéo Hơn  ta có tang cotang  Hơn , chéo , sin  + x) = - co tx  cot( + x) = - tanx 3/CÔNG THỨC CỘNG : (phần em học thuộc cách ghi nhớ , lưu