Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)Các ước số của số Mersenne (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ PHƯỢNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA SỐ MERSENNE Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ PHƯỢNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA SỐ MERSENNE Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Mở đầu 1 Số hoàn hảo, số Mersenne lịch sử 1.1 1.2 Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler Số Mersenne 1.3 1.4 Một số tính chất đặc biệt số hoàn hảo chẵn 18 Số hoàn hảo lẻ 21 Các ước nguyên tố số Mersenne 2.1 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố 25 số Mersenne 25 2.1.1 Phát biểu kết 25 2.1.2 2.1.3 2.2 Một số toán 28 Chứng minh Định lí 2.1 - 2.3 30 2.1.4 Chứng minh Định lí 2.4 36 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố số Mersenne 40 2.2.1 2.2.2 Một số kết 40 Các bổ đề 42 2.2.3 Chứng minh Định lí 2.5 46 Kết luận kiến nghị 51 Tài liệu tham khảo 52 ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt φ(m) Hàm Euler m σ(m) Hàm tổng ước m τ (m) Ω(m) Hàm số ước m Số thừa số nguyên tố m ω(m) log x Tương ứng tính bội không tính bội m Logarit tự nhiên x [a, b] (a, b) Bội chung nhỏ hai số a, b Ước chung lớn hai số a, b Mở đầu Các số Mersenne số hoàn hảo đề tài xuyên suốt lý thuyết số, từ thời Hy Lạp cổ đại ngày hôm Đây chủ đề vừa phù hợp với chương trình Toán bậc THPT, lại vừa chứa đựng nghiên cứu Dưới hướng dẫn tận tình GS.TSKH Hà Huy Khoái, tác giả chọn đề tài " Các ước số số Mersenne" Luận văn có hai mục tiêu chính: - Giới thiệu tranh toàn cảnh lịch sử phát triển số hoàn hảo số Mersenne, phát kiến sai lầm trình nghiên cứu số Mersenne số hoàn hảo - Trình bày số kết nghiên cứu đại ước số số Mersenne Đây vấn đề quan trọng, đặc biệt việc tìm số nguyên tố lớn Với mục tiêu trên, tác giả tiến hành nghiên cứu hai nội dung tương ứng với hai chương: Chương Số hoàn hảo, số Mersenne lịch sử 1.1 Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler 1.2 Số Mersenne 1.3 Một số tính chất đặc biệt số hoàn hảo chẵn 1.4 Số hoàn hảo lẻ Chương Các ước nguyên tố số Mersenne 2.1 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố số Mersenne 2.2 Ước lượng cận tổng nghịch đảo ước nguyên tố số Mersenne Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giáo sư - Tiến sĩ khoa học Hà Huy Khoái - người tận tình, bảo, động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Chương Số hoàn hảo, số Mersenne lịch sử 1.1 Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler Định nghĩa số hoàn hảo dùng khái niệm gọi "phần chia hết", nguyên gốc "aliquot parts", vốn có nguồn gốc từ tiếng Latin, "ali" có nghĩa "khác" "quot" nghĩa "có bao nhiêu" Một "phần chia hết" số thương thực số đó, nghĩa thương khác số ban đầu Ví dụ 1, "phần chia hết" 10 10 10 10 ,2 = ,5 = , 10 10 "phần chia hết" 10 thương 1= thực 10 Định nghĩa nguyên thủy: Một số gọi hoàn hảo tổng "phần chia hết" Ví dụ +) Số có phần chia hết 1, 2, + + = nên số số hoàn hảo +) Số 10 có phần chia hết 1, 2, + + = nên số 10 số hoàn hảo Để có định nghĩa đại, người ta dùng khái niệm sau Định nghĩa 1.1 Hàm tổng ước hàm σ(n) = d, d|n n số nguyên dương tổng chạy qua tất ước nguyên dương n (bao gồm nó) Nhờ khái niệm này, ta có Định nghĩa 1.2 Một số tự nhiên n gọi hoàn hảo σ(n) = 2n Khi σ(n) < 2n n gọi thiếu σ(n) > 2n n gọi thừa Ví dụ +) Số 12 có ước số 1, 2, 3, 4, 12 Ta có σ(12) = + + + + + 12 = 28 > 12 Do số 12 số thừa +) Số 10 số thiếu σ(10) = + + + 10 = 18 < 20 +) Các số 6, 28 số hoàn hảo σ(6) = + + + = 12, σ(28) = + + + + 14 + 28 = 56 Một cách tương đương, số hoàn hảo tổng ước thực Theo tác giả C.M.Taisbak, dường người Ai Cập cổ đại người sử dụng số hoàn hảo tính toán Aurelius Augustinus (354 – 430) "The City of God" nhắc lại Chúa trời thực sáng tạo giới muôn loài ngày, hoàn hảo công việc thể số Nguồn gốc thứ hai loài người sinh từ số thiếu 8: Kinh thánh nói tàu Noah có linh hồn từ xuất toàn loài người, trình sáng tạo không hoàn hảo số "thiếu" Nguồn gốc xem chừng không coi trọng nguồn gốc thứ lí đơn giản: số hoàn hảo! Mặt trăng quay vòng quanh Trái đất hết 28 ngày lí 28 số hoàn hảo Theo Pythagoras, hoàn hảo số phụ thuộc vào ước số Những người theo trường phái Pythagoras luôn tin tưởng vào số 6, họ xem số đẹp nhất, tượng trưng cho sức khỏe vẻ đẹp người Pythagoras cho số hoàn hảo Chúa chọn nó, mà hoàn hảo thuộc tính sở hữu số đó: "số tự hoàn hảo Chúa tạo vạn vật ngày, thực ngược lại đúng, Chúa tạo vạn vật ngày số hoàn hảo hoàn hảo chí chuyện không xảy ra." Trong "Cơ sở" Euclid, viết khoảng 300 năm trước Công nguyên, mệnh đề 36 thứ "Cơ sở" nói "Bắt đầu từ đơn vị, gấp đôi liên tục lấy tổng kết số nguyên tố, đem nhân với số cuối tổng, ta nhận số hoàn hảo" Sau ta thực bước theo Euclid Dãy số mà Euclid nói đến 1, 2, 4, 8, 16, 32, Lấy tổng số dãy ta có kết + = 3; + + = 7; + + + = 15; + + + + 16 = 31 Ta chọn ví dụ số 31 Đem nhân với số cuối tổng ta có 31.16 = 496, số hoàn hảo! Euclid chứng minh p = + + 22 + + 2n số nguyên tố 2n p số hoàn hảo Ông 2n p có tất ước thực 1, 2, , 2n , p, 2p, , 2n−1 p tổng chúng 2n p Theo ngôn ngữ đại, mệnh đề Euclid trở thành Mệnh đề 1.1 Nếu n số nguyên lớn thỏa mãn 2n − số nguyên tố 2n−1 (2n − 1) số hoàn hảo Các nhà toán học sau thường gọi phát Định lí Euclid số có dạng 2n−1 (2n − 1) (trong 2n − số nguyên tố) số Euclid Nhưng Euclid cho chiều, câu hỏi đặt là: liệu số hoàn hảo khác không nằm số có dạng không? Đây nói vấn đề quan trọng lịch sử nghiên cứu số hoàn hảo Công trình ý nghĩa sau Euclid mà ta phải nhắc đến nhà toán học Nicomachus (60-120 sau Công nguyên) Năm 100, Nicomachus viết "Introductio Arithmetica" ông phân loại số dựa vào khái niệm số hoàn hảo Theo đó, có loại: số thừa, số thiếu số hoàn hảo Nicomachus đề kết liên quan đến số hoàn hảo, khẳng định (hay phán đoán?) sau Số hoàn hảo thứ n có n chữ số Mọi số hoàn hảo chẵn Số hoàn hảo có chữ số cuối luân phiên Mọi số hoàn hảo có dạng 2n−1 (2n − 1) n > 2n − số nguyên tố Có vô hạn số hoàn hảo Năm khẳng định Nicomachus có từ phân tích cách tìm số hoàn hảo Euclid nói với ví dụ số hoàn hảo thời điểm đó: 6, 28, 496, 8128 Và chưa kiểm chứng chúng công nhận nhiều năm Đến tận thời kì đầu giai đoạn Phục Hưng châu Âu (khoảng năm 1500), khẳng định Nicomachus xem Carolus Bovillus (1470 − 1553) - nhà thần học triết học xuất sách số hoàn hảo năm 1509, ông cho số hoàn hảo số chẵn, chứng minh ông áp dụng cho số Euclid 38 Vì d với d > z xuất lần tổng, từ Bổ đề 2.3 ta có B1 (x) d (log x)4 r(p)=d = p r(p) (log x) = log log log x + O(1) p (2.14) Đối với tổng x+z B2 (x) = n=x d|n r(p)=d d>x p d3 d>(log x)4 , p Chú ý có nhiều d số nguyên tố phân biệt với r(p) = d, nên B2 (x) d>(log x) d < d ∞ d=1 = O(1) d2 (2.15) Phần khó khăn chứng minh đưa đánh giá cho x+z B3 (x) = n=x r(p)=d d|n d>z p(log x)4 p (2.16) Vì p > r(p), ta có B3 (x) i i tổng i , p (2.17) giống B3 (x), ta lấy số nguyên tố p mà với chúng i (log x)2 < p i+1 (log x)2 Giả sử Q kí hiệu số nguyên x(x + 1) (x + z) Cố định i tính i, Nếu p (p − 1, Q) i r(p) > p1/3 > (log x)2 /3 , Giả sử y số thực thỏa mãn i y1 := (log x)2 < y (log x)2 i+1 =: y2 , (2.18) 39 giả sử S(y) tập hợp số nguyên tố p nghiệm Từ (2.18) rõ ràng (p − 1, Q) (p − 1, Q) p y y mà với chúng, (2.18) i|S(y)|/3 (log x)2 (2.19) p∈S(y) Bây ta tiếp tục với phương pháp tương tự P Erd˝os[3] Chú ý (trong ∧ hàm số von Mangold π(y, d, 1) số số y với p ≡ (mod d)) nguyên tố p (p − 1, Q) = log p y log(p − 1, Q) = p y ∧(d) p y d|(p−1,Q) ∧(d)π(y, d, 1) = S1 + S2 , = (2.20) d|Q đó, S1 ta có d y 2/3 S2 ta có d > y 2/3 Đối với S1 ta sử dụng Bất đẳng thức Brun - Titchmarsh để nhận S1 d|Q ∧(d) y ϕ(d) log y y log log Q log y Với S2 ta đánh giá π(y, d, 1) cách tầm thường y/d sử dụng kiện Q có nhiều O(log Q) ước lũy thừa số nguyên tố để đến y log y log Q y log Q y log Q ∧(d) y < S2 d (log x)2 log y y 2/3 y 1/2 log y d|Q y 2/3 y := log2 x Đặt T = q1 q2 ql , l = ω(T ) q1 < q2 < < ql số nguyên tố với q1 > y Ta gọi (ni )li=1 dãy vô hạn xác định ni = qj j i Rõ ràng, n1 = q1 , ni+1 = ni qi+1 với i = 1, , 2, , l − nl = T Đặt si := σ(Mni ) Mni với i = 1, , l (2.46) Vì ni |ni+1 , suy si < si+1 với i = 1, , l − Trước hết, ta cho cận sl Vì nl = T suy Mnl chia hết cho số N Đặc biệt, 48 st 1+ p∈P = exp p log + p∈P p = exp p∈P +O p p∈P p2 > exp(2 log4 x + o(1)) > exp(log4 x) = log3 x, (2.47) với bất đẳng thức cuối suy từ (2.43) Bây ta tồn số c2 để bất đẳng thức si+1 log2 x < + c2 si log2 x (2.48) với i = 0, 1, , l − 1, ta đặt s0 := Ta giả sử chứng minh (2.48), xem kết hợp (2.47) với (2.48) để chứng minh phần i) định lí Chọn số α > giả sử ε > số nhỏ tùy ý Chọn x đủ lớn để hai bất đẳng thức sau log3 x > α + c2 log23 x < min{α − 1, ε/α} log2 x (2.49) Bất đẳng thức (2.47), (2.48) (2.49) s1 < α sl > α Vì vậy, tồn số k < l mà sk α, sk+1 > α Tuy nhiên, từ (2.48) (2.49) ta biết α < sk+1 < sk + c2 log23 x log x ε > tùy ý, nên suy phần i) định lí Chỉ phải chứng minh (2.48) Với i = 0, 1, , l − ta đặt Mi = Mni+1 /Mni với quy ước n0 = (và vậy, Mno = 1) Vì bất đẳng thức σ(ab) σ(a)σ(b) σ(c)/c c/φ(c) với số nguyên dương a, b, c, suy si+1 = σ(Mni+1 ) Mni+1 Vì si+1 Mi < = si φ(Mi ) σ(Mni )σ(Mi ) σ(Mi ) Mi = si < si , Mni Mi Mi φ(Mi ) 1+ p|Mi p−1 p−1 < exp p|Mi (2.50) 49 Để đánh giá (2.50), ta lí luận sau Giả sử p ước nguyên tố Mi Suy p|2ni qi +1 − p 2ni − Khi suy tồn ước d ni mà t(p) = qi+1 d Vì p ước nguyên thủy Mt(p) , suy ra, từ tính chất tiếng ước nguyên thủy dãy số Lucas, p ≡ (mod qi+1 d) Bây giờ, ta cố định d giả sử j(d) số số nguyên tố p thỏa mãn t(p) = dqi+1 Rõ ràng 2dqi+1 > 2dqi+1 − (2dqi+1 + 1)j(d) , ta chắn có j(d) < dqi+1 Như vậy, t(p)=dqi+1 p−1 dqi+1 j(d) k=1 k log(dqi+1 ) dqi+1 (2.51) Do đó, p−1 d|ni t(p)=dqi+1 p|Mi = log(qi+1 ) qi+1 p−1 d|ni d|ni 1 + d qi+1 log(dqi+1 ) dqi+1 d|ni log d d (2.52) log(qi+1 ) σ(ni ) log22 ni + qi+1 ni qi+1 log qi+1 + log2 ni log2 ni , qi+1 đó, đánh giá ta sử dụng kiện σ(m)/m log2 m kết hợp với Bổ đề 2.6 Tuy nhiên, từ cách xếp số, ta thấy ni = q1 qi lớn tích số nguyên tố qi+1 (thực ra, nhỏ tích q1 > y) Như vậy, với x lớn, ta có log ni < + o(1) qi+1 < 2qi+1 , thế, log2 ni log qi+1 Và vậy, ta p−1 p|Mi log2 qi+1 qi+1 hàm số log2 t/t giảm với giá trị t lớn, qi+1 (2.53) q1 > y với 50 i = 0, , l − 1, suy p−1 p|Mi log22 y log23 x = y log2 x (2.54) Như vậy, với (2.50) (2.54), ta có log23 x si+1 < exp O si log2 x log23 x =1+O , log x điều chứng minh (2.48) hoàn thành chứng minh định lí Ta thấy phương pháp chứng minh định lí sử dụng để định lí thay dãy số Mersenne (Mn )n dãy số Lucas khác thỏa mãn điều kiện kỹ thuật bổ sung đó, chẳng hạn dãy (Fn )n số Fibonacci Phương pháp dùng để kết luận định lý hàm σ(n)/n φ(n)/n thay hàm nhân tính f (n) tuỳ ý cho tồn hai số c = λ > để f (pa ) = + pc + O( p1λ ) với số nguyên tố p số nguyên dương a Hai hàm số σ(n)/n φ(n)/n thỏa mãn điều kiện với (c, λ) = (1, 2) (−1, 2) tương ứng Với hàm vậy, phương pháp chứng minh định lí dẫn đến kết luận tập hợp {f (Mn )/Mn }n trù mật khoảng [lim inf n f (Mn ), lim supn f (Mn )] Ví dụ hàm f (n) hàm số α(n)/n, đó, số nguyên dương n số αn bậc trung bình phần tử nhóm cyclic cấp n Như vậy, tập hợp {α(Mn )/Mn }n trù mật [0, 1], nói lên số xấp xỉ tốt tùy ý tỉ số bậc nhân trung bình phần tử trường hữu hạn đặc số số phần tử khả nghịch trường 51 Kết luận kiến nghị Luận văn tìm hiểu ước số số Mersenne Cụ thể, luận văn trình bày vấn đề sau: - Trình bày lịch sử phát triển số hoàn hảo số Mersenne, phát kiến sai lầm trình nghiên cứu số Mersenne số hoàn hảo - Trình bày số kết nghiên cứu đại ước số số Mersenne Đặc biệt kết độ lớn tổng nghịch đảo ước nguyên tố số Mersenne Đây vấn đề quan trọng, đặc biệt việc tìm số nguyên tố lớn Trong trình nghiên cứu, tác giả nhận thấy có nhiều sai lầm lịch sử số học Từ cho thấy đường tìm chân lý toán học gian nan, lúc suôn sẻ Vì luận văn dành phần đáng kể để nói sai lầm đó, nhằm giúp cho học sinh hiểu chông gai đường khoa học, qua nuôi dưỡng lòng ham mê khám phá hệ trẻ tương lai 52 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục [3] Vũ Văn Dân (2013), Một số vấn đề lịch sử số học, Luận văn Thạc sĩ, Viện Toán học Tiếng Anh [4] L E Dickson (1979), History of The Theory of Numbers, Springer [5] P Erd˝os, P Kiss, C Pomerance (1991), On prime divisors of Mersenne numbers, Acta Arithmetica, LVII, 267-279 [6] F Luca (2003), On the sum of divisors of the Mersenne numbers, Mathematica Slovaca, Vol 53, No 5, 457–466 ... Chương Số hoàn hảo, số Mersenne lịch sử 1.1 Số hoàn hảo, từ Pythagoras đến Euler 1.2 Số Mersenne 1.3 Một số tính chất đặc biệt số hoàn hảo chẵn 1.4 Số hoàn hảo lẻ Chương Các ước nguyên tố số Mersenne. .. 1.3 Một số tính chất đặc biệt số hoàn hảo chẵn Carolus phát tổng chữ số số hoàn hảo lớn chia cho dư ước số hoàn hảo số thiếu, bội số hoàn hảo số thừa, số 6n ± số nguyên tố ngược lại số nguyên... Giả sử m số nguyên dương, Mm = 2m − gọi số Mersenne thứ m Nếu p số nguyên tố Mp nguyên tố, Mp gọi số nguyên tố Mersenne 10 Ví dụ M2 , M3 , M5 , M7 số nguyên tố Mersenne M11 hợp số Các số có dạng