Một chuyên đề hay và thú vị bàn về một số phương pháp tiếp cận, hướng giải quyết của các bài toán về bất đẳng thức, tìm GTNN, GTLN thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPT Quốc gia hàng năm nhằm giúp các em học sinh ôn thi vào lớp 10, thi THPT Quốc gia, đặc biệt là ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn đạt điểm cao về môn Toán. Ngoài ra, để biết thêm nhiều thông tin về tác giả cũng như tải xuống nhiều tài liệu hay hơn nữa về môn Toán từ cấp Tiểu học cho đến bậc Đại học, Sau Đại học bạn đọc vui lòng truy cập vào trang Web cá nhân của tác giả theo liên kết sau: https:toithichtoan.wordpress.com
Một vài kỹ thuật nhỏ làm "kim nam" cho câu 0.5 điểm đề thi vào 10 Trần Văn Cương ♣♣♣♣♣ Trần Văn Cương https://toithichtoan.wordpress.com/ 0164 888 501 Các em học sinh thân mến! Thể theo nguyện vọng số đồng nghiệp em học sinh khắp miền tổ quốc qua tin nhắn facebook, fanpage trao đổi thư từ điện tử hôm thầy viết chuyên đề ngắn (chỉ dừng mức độ kiến thức THCS bản) để chia sẻ vài kỹ thuật nho nhỏ giúp em có định hướng tốt rõ ràng việc tiếp cận câu 0.5 điểm (câu gần khó đề với ý cuối hình) đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Các em ạ! Qua việc phân tích tổng hợp đề thi vào 10 (của hầu hết tỉnh thành nước nhiều năm) thầy nhận thấy câu 0.5 điểm thường chủ yếu rơi vào hai dạng toán sau: ✌ Chứng minh BĐT, tìm GTNN, GTLN biểu thức ✌ Giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ (hữu tỉ) Bởi có "muôn hình vạn trạng" kiểu toán xoay quanh hai dạng toán này, nên cách thức tiếp cận, "đường nước bước" để tìm lời giải cho chúng vô phong phú "muôn màu muôn vẻ" không Tuy nhiên, với gói gọn viết ngắn thầy phác thảo đầy đủ tất đặc trưng, tinh túy hai dạng toán mà đề cập đến số kỹ thuật tiêu biểu, thường gặp có tính phổ quát sâu rộng sau đây: ✌ Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào việc tìm GTNN, GTLN, chứng minh BĐT ✌ Kỹ thuật chọn hệ số giải sau chứng minh BĐT, tìm GTNN, GTLN ✌ Kỹ thuật giải phương trình vô tỉ cách nhẩm trước nghiệm ✌ Kỹ thuật đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ dạng đối xứng giải Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai vào việc tìm GTNN, GTLN Ý tưởng kỹ thuật coi biểu thức cần tìm GTNN, GTLN tham số phương trình bậc hai biến x Từ dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai biến x này, để đánh giá miền giá trị biểu thức cần tìm GTNN, GTLN Các biểu thức thường áp dụng kỹ thuật có dạng như: ❄ A ✏ ax2 bx c, A ✏ ax4 bx2 c, A ✏ ax b x c, A ✏ ax2α bxα c, ax b ax2 bx c ax b ax2 bx c A✏ ,A ✏ ,A ✏ ,A ✏ , mx n mx n mx2 nx p mx2 nx p ax2α bxα c axα b ax2α bxα c A✏ ,A ✏ ,A ✏ , mxα n mx2α nxα p mx2α nxα p ❄ ❄ ❄ ❄ a x b A ✏ ax b ✟ mx n, A ✏ ax2 bx c mx n, A ✏ , mx n c ax b A✏ ❄ ,A ✏ 2 m x n ♣x ✁ aq ♣b ✁ xq ♣x ✁ aq♣b ✁ xq , Nói cách tất biểu thức (qua phép biến đổi phép biến) chúng đưa dạng tam thức bậc hai Chúng ta bắt đầu với toán nhẹ nhàng sau: Bài toán Cho ➔ x ➔ Tìm GTNN biểu thức A✏ 1✁x x x Một vài kỹ thuật nhỏ làm "kim nam" cho câu 0.5 đề thi vào 10 Trần Văn Cương https://toithichtoan.wordpress.com/ 0164 888 501 Lời giải Ta biến đổi biểu thức cho (bằng cách quy đồng mẫu số) thành: x2 ✁ 4x ✏ 1✁x x x ✁ x2 Trước hết, ta có nhận xét ➔ x ➔ 1, nên dễ thấy A → Coi A (A → 0) A✏ x tham số, A tồn phương trình A✏ x2 ✁ 4x x ✁ x2 có nghiệm ➔ x ➔ Nghĩa là: A♣x ✁ x2 q ✏ x2 ✁ 4x ô♣A 1qx2 ✁ ♣A 4qx ✏ có nghiệm ➔ x ➔ ♣✝q Để ♣✝q có nghiệm ➔ x ➔ 1, trước hết phải có nghiệm, tức ∆ ➙ ô A♣A ✁ 8q ➙ ô A ➙ (vì A → 0) Ta thấy A ✏ 8, phương trình ♣✝q 9x2 ✁ 12x ✏ 0, có nghiệm x ✏ (TMĐK ➔ x ➔ 1) Vậy, GTNN A x ✏ Tản mạn chút: Qua thực tiễn dạy học, thầy nhận thấy em học sinh (kể em học giỏi) thường trình bày lan man thừa thải không cần thiết cố gắng tìm thêm điều kiện để nghiệm ♣✝q thỏa mãn ➔ x ➔ Điều không thực cần thiết (không muốn nói thừa thải), em biết để tìm GTNN biểu thức A, trải qua hai bước: ➓ Bước 1: Đi chứng minh A ➙ số c ➓ Bước 2: Đi A ✏ c xảy giá trị biến (thỏa mãn yêu cầu toán) Chỉ trường hợp mà xét A ✏ c, không tồn giá trị biến (thỏa mãn yêu cầu toán), lúc tiếp tục xét ý thứ hai lập luận trên, tức tìm thêm điều kiện để nghiệm thỏa mãn ➔ x ➔ (và lẽ dĩ nhiên lúc A ✏ c không GTNN A nữa) Để em khỏi phân vân với điều vừa nhận định trên, nghiên cứu toán sau: Bài toán Cho x, y hai số thực thỏa mãn ➔ x GTNN biểu thức 1 P ✏ x y Lời giải Từ x y ↕ 2; ↕ y ➔ x y ✏ Tìm ✏ ñ y ✏ ✁ x, vào biểu thức cho biến đổi ta được: P ✏ x1 ✁1 x ✏ 6x ✁6 x2 Trước hết, ta có nhận xét với điều kiện ➔ x ↕ 2; ↕ y ➔ 5, dễ dàng thấy P → Coi P (P → 0) tham số, tồn P phương trình P ✏ 6x ✁6 x2 Một vài kỹ thuật nhỏ làm "kim nam" cho câu 0.5 đề thi vào 10 Trần Văn Cương https://toithichtoan.wordpress.com/ 0164 888 501 có nghiệm ➔ x ↕ Nghĩa là: P ♣6x ✁ x2 q ✏ ôP x2 ✁ 6P x ✏ có nghiệm ➔ x ↕ ♣✝q Để ♣✝q có nghiệm ➔ x ↕ 2, trước hết phải có nghiệm, tức ∆✶ ➙ ô 3P ♣3P ✁ 2q ➙ ô P ➙ (vì P → 0) 2 (trong trường hợp ta thấy P ✏ , phương trình ♣✝q x2 ✁ 4x ✏ 0, có 3 nghiệm x ✏ không thỏa mãn điều kiện ➔ x ↕ 2, nên lúc P ✏ GTNN biểu thức P Bởi chỗ thầy trình bày dấu ngoặc đơn để ngụ ý em phải làm bước bên giấy nháp trước Nếu thỏa mãn tiếp tục trình bày toán 1, không thỏa mãn toán này, bỏ qua không trình bày bước vào làm, mà xét tiếp ý thứ hai lập luận, nghiệm ♣✝q thỏa mãn điều kiện ➔ x ↕ nào?) Với P ➙ , ♣✝q có hai nghiệm x1 ↕ x2 , thỏa mãn hệ thức Viète: ★ ✏ x1 x2 ✏ → ✧ x1 → ñ x2 → P ✏ x1 x2 ✏ → P S Từ suy ra, để nghiệm ✒ ➔ x1 ➔ x1 ↕ ↕ x2 ô ↕ x2 ↕ ★ ♣✝q thỏa mãn ➔ x ↕ khi: ✩ ✬ ✬ P ✬ ✬ ✔ ✧3 ✬ ✫ x1 ✖ ✬ ✖ ✧ x2 ✬ ✬ ✬ ✕ x1 ✬ ✪ ➙ ✁2↕0 ✁2➙0 ✁2↕0 x2 ✁ ↕ ✩ ✬ ✬ P ✬ ✫ ✔ ➙ 23 ô ✬ ♣✧x1 ✁ 2q♣x2 ✁ 2q ↕ ✕ ✬ ♣x1 ✁ 2q ♣x2 ✁ 2q ↕ ♣VNq ✬ ✪ ♣x1 ✁ 2q♣x2 ✁ 2q ➙ ✩ ✬ ✫ P ✩ ✬ ✫ P ➙ ➙ 23 P ➙ ôP ➙ ô ô✬ ô✬ ✪ P ➙ ✪ x1 x2 ✁ 2♣x1 x2 q ↕ ✁ 8↕0 P 3 Ta thấy P ✏ , phương trình ♣✝q x2 ✁ x ✏ 0, có nghiệm x ✏ 4 (TMĐK ➔ x ↕ 2) Vậy, GTNN biểu thức P , x ✏ y ✏ 4 Chú ý Vì chương trình lớp hành em học sinh học phần so sánh nghiệm phương trình bậc hai so với số 0, nên toán phải chuyển việc so sánh nghiệm ♣✝q so với hai số thành đơn lẻ việc so sánh nghiệm ♣✝q số 2 Bài toán Cho a, b → 0, a b ✏ Tìm GTNN biểu thức: S Lời giải Từ a, b biến đổi ta được: S ✏ ✁ ✏ ✁ 1 ✠✁ 1✠ 1 a b → 0, a b ✏ ñ ➔ a, b ➔ b ✏ ✁ a, vào biểu thức cho 1 ✠✁ ✠ a 1 2✁a 1 ✏ a ☎ 1✁a a 1✁a ✏ a ✁a ✁a a 2 ✏ a ✁2 a2 Một vài kỹ thuật nhỏ làm "kim nam" cho câu 0.5 đề thi vào 10 Trần Văn Cương https://toithichtoan.wordpress.com/ 0164 888 501 Trước hết, với điều kiện a, b → 0, a b ✏ 1, dễ dàng suy S (S → 1) tham số, tồn S khi: S ✏ có nghiệm ➔ a ➔ Nghĩa là: → Coi S a ✁ a2 a ✁ a2 S ♣a ✁ a2 q ✏ a ✁ a2 ô♣S ✁ 1qa2 ♣1 ✁ S qa ✏ có nghiệm ➔ a ➔ ♣✝q Để ♣✝q có nghiệm ➔ a ➔ 1, trước hết phải có nghiệm, tức ∆ ➙ ô ♣S ✁ 1q♣S ✁ 9q ➙ ô S ➙ (vì S → 1) Ta thấy S ✏ 9, phương trình ♣✝q 8a2 ✁ 8a ✏ 0, có nghiệm a ✏ (TMĐK ➔ a ➔ 1) 1 Vậy, GTNN biểu thức S 9, a ✏ b ✏ 2 ❛ Bài toán Tìm GTLN biểu thức y ✏ x 2♣1 ✁ xq (với ↕ x ↕ 1) Lời giải Coi y (y ➙ x) tham số Khi tồn y khi: ❛ y ✏ x 2♣1 ✁ xq có nghiệm ↕ x ↕ Suy ra: ❛ y ✁ x ✏ 2♣1 ✁ xq ñ♣y ✁ xq2 ✏ 2♣1 ✁ xq ñy2 ✁ 2yx x2 ✏ ✁ 2x ñx2 2♣1 ✁ yqx y2 ✁ ✏ có nghiệm ↕ x ↕ ♣✝q Để ♣✝q có nghiệm ↕ x ↕ 1, trước hết phải có nghiệm, tức ∆✶ ➙ ô ✁ 2y ➙ 0ôy↕ 1 Ta thấy y ✏ , phương trình ♣✝q x2 ✁ x ✏ 0, có nghiệm x ✏ (TMĐK ↕ x ↕ 1) Vậy, GTLN biểu thức y , x ✏ 2 Bài toán Cho ➔ x ➔ Tìm GTNN biểu thức: P ✏ ♣x ✁1 1q2 ♣2 ✁1 xq2 ♣x ✁ 1q♣1 ✁ xq Lời giải Ta biến đổi biểu thức cho dạng: P Đặt t ✏ ✏ ✁ x✁1 1 ✠2 ✁ 2✁x ♣x ✁ 1q♣2 ✁ xq ♣x ✁ 1q♣2 ✁ xq ✁ ✠2 ✏ ♣x ✁ 1q♣2 ✁ xq ✁ ♣x ✁ 1q♣1 ✁ xq ✁ 2✁xq , t ➙ (vì theo BĐT Cauchy có ➔ ♣x ✁ 1q♣2 ✁ xq ↕ ♣x✁1q ♣ ), P trở thành: P ✠2 ✏ ✏ t2 ✁ t Một vài kỹ thuật nhỏ làm "kim nam" cho câu 0.5 đề thi vào 10 Trần Văn Cương https://toithichtoan.wordpress.com/ 0164 888 501 Chúng ta chuyển toán tìm GTNN biểu thức P toán tìm điều kiện tham số P để phương trình t2 ✁ t ✁ P ✏ ♣✝q, có nghiệm thỏa mãn t ➙ Với điều kiện ➔ x ➔ từ biểu thức xác định P , suy P → Lúc ac ✏ ✁P ➔ 0, nên phương trình ♣✝q có hai nghiệm trái dấu t1 ➔ ➔ t2 , thỏa mãn hệ thức Viète: ✧ t1 t2 ✏ t1 t2 ✏ ✁P ♣✝q thỏa mãn t ➙ 4, ta phải có ✩ ✧ ✫ P →0 P →0 t1 ✁ ➔ ô t1 ➔ ➔ ↕ t2 ô ♣t1 ✁ 4q♣t2 ✁ 4q ↕ ✪ t2 ✁ ➙ ✧ ✧ P →0 ô t1t2 ✁ 4♣t1 t2q 16 ↕ ô P12 →✁ 0P ↕ ô P ➙ 12 Ta thấy P=12, phương trình ♣✝q t2 ✁ t ✁ 12 ✏ 0, có nghiệm t ✏ (TMĐK t ➙ 4) Từ suy x ✏ (TMĐK 1