GIÁO TRÌNH thủy lực đại cương kèm bài tập (nguyễn thế hùng)

- Tính nén của chất lỏng được đặc trưng bằng hệ số co thể tích βw, để biểu thị sự giảm tương đối của thể tích chất lỏng W ứng với sự tăng áp suất P lên một đơn vị áp suất.. - Newton đã đ

KHOA XÂY DỰNG THUỶ LỢI - THUỶ ĐIỆN

MỞ ĐẦU

***

⇓1.1 ĐỊNH NGHĨA MÔN HỌC, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

I Định nghĩa môn học, phạm vi ứng dụng:

II Đối tượng nghiên cứu:

III Phương pháp nghiên cứu môn học:

⇓1.2 NHỮNG TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG

I Khối lượng riêng của chất lỏng ρ

II Trọng lượng riêng của chất lỏng γ

III Tính thay đổi thể tích do áp lực và nhiệt độü

1 Tính thay đổi thể tích do áp lực

2 Tính thay đổi thể tích do nhiệt độ

IV Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn

CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

⇓1.1 ĐỊNH NGHĨA MÔN HỌC, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

I Định nghĩa môn học, phạm vi ứng dụng:

II Đối tượng nghiên cứu:

Là chất lỏng, có tính chất:

- Tính không nén, không dãn được

Do khoảng cách giữa các phần tử trong chất lỏng nhỏ so với chất khí nên sinh ra sức dính phân tử rất lớn làm cho thể tích chất lỏng hầu như không đổi khi có sự thay đổi về áp suất, nhiệt độ

- Tính liên tục

Chất lỏng được xem như môi trường liên tục, tức là gồm vô số những phần tử chất lỏng chiếm đầy không gian Từ đó xây dựng được các phương trình mô tả ở dạng vi phân, tích phân

III Phương pháp nghiên cứu môn học:

Cơ sở lý luận của môn học thủy lực là vật lý, cơ học lý thuyết, cơ học chất lỏng Bản thân thủy lực học lại là cơ sở để nghiên cứu những môn chuyên môn:

- Xây dựng công trình thủy lợi: Thủy điện, thủy công, trạm bơm, kênh dẫn

- Xây dựng dân dụng, cầu cảng, cấp thoát nước, cầu đường

- Chế tạo máy thủy lực: bơm, tuôc-bin, động cơ thủy, truyền động thủy lực

⇓1.2 NHỮNG TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG

I Khối lượng riêng của chất lỏng ρ

- Là khối lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng

W

M

=ρ

ρ : khối lượng riêng, M: khối lượng của thể tích W, W: thể tích có khối lượng M

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ]

a

F L

M W

- - Đơn vị của ρ là: kg/m3, T/m3, g/cm3, NS2 /m4

- - Ở 40c: ρnước = 1000kg/m3

II Trọng lượng riêng của chất lỏng γ

- Là trọng lượng của một đơn vị thể tích chất lỏng

W

P

=γ

γ : Trọng lượng riêng,

P : Trọng lượng của khối chất lỏng có thể tích W,

W : Thể tích khối chất lỏng có trọng lượng P

- Với chất lỏng đồng chất thì trọng lượng riêng chính bằng:

γ = ρ×g Với g: gia tốc rơi tự do

gMWP

Thứ nguyên của trọng lượng đơn vị:

[ ] [ ] [ ]3L

F

=γĐơn vị của γ: N/m3, (Kg/S2)/m2

III Tính thay đổi thể tích do áp suất và nhiệt độü:

1 Tính thay đổi thể tích do áp suất:

- Khi áp suất tăng từ P lên P+dP thì thể tích vật thể giảm từ W

xuống W - dW

- Tính nén của chất lỏng được đặc trưng bằng hệ số co thể tích

βw, để biểu thị sự giảm tương đối của thể tích chất lỏng W ứng

với sự tăng áp suất P lên một đơn vị áp suất

(m NdP

dWWw

21

- Đại lượng nghich đảo của của hệ số co thể tích gọi là mô đun đàn hồi K

dW

dPWK

w

−

=β

2 Tính thay đổi thể tích do nhiệt độ:

- Khi thay đổi nhiệt độ dùng hệ số co giãn vì nhiệt βt, để biểu thị sự biến đổi của thể tích chất lỏng W ứng với sự tăng nhiệt độ t lên 1oC

dt

dWWT

1

=β

- Thí nghiệm cho thấy: Trong điều kiện áp suất bằng áp suất khí trời Pa thì:

Khi t = 4oC đến 100C thì βT = 0,00014

t = 10oC đến 200C thì βT = 0,00015

Như vậy:Trong thủy lực chất lỏng coi như không co giãn dưới tác dụng của nhiệt độ

Tóm lại: Trong thủy lực, chất lỏng thường được coi là có tính chất không thay đổi thể

tích mặc dù có sự thay đổi về áp lực hoặc nhiệt độ tức β ≈ 0, T β ≈ 0 w

IV Sức căng bề mặt và hiện tượng mao dẫn:

- Mỗi phần tử chất lỏng chịu lực hút cân bằng theo mọi phía từ các phần tử chất lỏng khác bao quanh nó

- - Tại mặt thoáng hay mặt tiếp xúc giữa hai loại chất lỏng khác nhau, lực hút này không

còn cân bằng - tại mặt thoáng các phần tử trên bề mặt bị kéo vào bên trong khối chất lỏng, gọi là sức căng mặt ngoài:

- làm cho bề mặt chất lỏng giống như một tấm màng mỏng chịu lực căng

- - Sức căng mặt ngoài rất nhỏ so với các lực khác, cho nên phần lớn các tính toán thủy lực

người ta không xét đến hiện tượng nầy

V Tính nhớt

- Khi chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tương đối, làm sinh ra lực

ma sát trong Đây là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động Đặc tính này gọi là tính nhớt

- Công do lực nhớt sinh ra biến thành nhiệt năng không thu hồi lại được Các lực nhớt sinh ra có liên quan đến lực hút phân tử trong chất lỏng

- Thí dụ về tính nhớt: Khi ta đổ dầu hỏa, nước lã, dầu nhờn ra nền nhà thì tốc độ chảy của nó khác nhau Đó là do mỗi chất lỏng có lực dính nhớt trong nội bộ khác nhau

- Newton đã đưa ra giả thiết về quy luật ma sát trong và đã được thực nghiệm xác nhận:

”Sức ma sát giữa các lớp của chất lỏng chuyển động thì tỷ lệ với diện tích tiếp xúc của các lớp ấy, không phụ thuộc vào áp lực, mà phụ thuộc vào Gradient vận tốc theo chiều thẳng góc với phương chuyển động và phụ thuộc vào lọai chất lỏng”

dn

duS

F

dn

duSF

×µ

=

=τ

×

×µ

duGradient vận tốc theo phương n (đạo hàm của u với n)

µ: hệ số nhớt (hệ số động lực nhớt), là hằng số tỉ lệ phụ thuộc vào loại chất lỏng

u u+du

dudn

Thứ nguyên của µ:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ [ ] ] [ ][ ]L[ ]T

ML

T.TL.ML

TFL

TLLFdn

duS

F

2 2 2

- Chất lỏng lý tưởng là chất lỏng tưởng tượng không có tính nhớt

Tóm lại: Trong những đặc tính vật lý cơ bản nói trên của chất lỏng, đặc tính có khối

lượng, có trọng lượng, có tính nhớt là những đặc tính quan trọng nhất

VI Hai loại lực tác dụng lên một thể tích chất lỏng

Xét một thể tích chất lỏng, chứa trong mặt cong S Những lực tác dụng lên thể tích

+ Lực khối: Là những lực tỷ lệ với khối lượng chất lỏng, tác dụng lên mỗi phân tử chất lỏng như: Lực quán tính, trọng lực, lực điện từ Thông thường lực khối là trọng lực, trừ một số trường hợp đặc biệt phải xét thêm lực quán tính

+ Lực bề mặt: Là lực từ ngoài tác dụng lên các phần tử chất lỏng qua mặt tiếp xúc, tỷ lệ với diện tích mặt tiếp xúc như: áp lực khí quyển tác dụng lên mặt tự do của chất lỏng, áp lực piton lên chất lỏng chứa trong xy lanh,

Xác định lực ma sát tại mặt trong của một ống dẫn dầu có đường kính trong d=80mm, chiều dài l=10m, nếu lưu tốc trên mặt cắt ngang của ống thay đổi theo qui luật:

u =25y - 312 y2, trong đó y là khoảng cách tính từ mặt trong của ống (0 ≤ y ≤ d/2) Hệ số nhớt động lực của dầu µ =0,0599 N.s/m2

+ Lưu tốc lớn nhất của dầu trong ống là bao nhiêu?

+ Vẽ biểu đồ chỉ rõ qui luật phân bố lưu tốc trong ống theo mặt cắt ngang ống

Giải : • Ta dùng công thức của Newton để tính lực cản:

dn

duS

u′= 25 −312 2 ′ =25−624

( )my

25

1624

131225

25062425624

BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài 1: Ôúng dẫn nước có đường kính trong d=500mm và dài l=1000m chứa đầy nước ở

trạng thái tĩnh dưới áp suất P0=4 at và nhiệt độ to=5oC Bỏ qua sự biến dạng và nén, giãn nở của thành ống Xác định áp suất trong ống khi nhiệt độ nước trong ống tăng lên

t1=150C, biết hệ số giãn nở do nhiệt độ của nước β =0,000014 và hệ số nén t

Đáp số: Aïp suất của nước trong ống P=7 at

Bài 2: Đem thí nghiệm thủy lực một ống có đường kính d=400mm, chiều dài l=2000mm,

áp suất nước trong ống tăng lên 45 at, sau giảm xuống còn 40 at Cho biết βw =5,1.10-10

m2/N Bỏ qua sự biến dạng của vỏ ống Hỏi thể tích nước rỉ ra ngoài là bao nhiêu?

Đáp số: ∆W=62,8 dm3

CHƯƠNG 2

THỦY TĨNH

***

I Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực

II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh

Tính chất 1

Tính chất 2

III Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng

IV Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực

1 Định luật bình thông nhau:

2 Định luật Pascal

3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không

V Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh

1 Ý nghĩa hình học

2 Ý nghĩa năng lượng

VI Biểu đồ áp lực

VII Aïp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ

1 Trị số của áp lực

2 Vị trí tâm áp lực

VIII Aïp lưc chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang

1 Xác định trị số của P

2 Điểm đặt của áp lực

IX Aïp lực của chất lỏng lên thàng cong

CHƯƠNG 2 THỦY TĨNH

(HYDROSTATICS )

Thủy tĩnh học nghiên cứu các vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là không có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng → không có sự xuất hiện của ma sát nhớt Do đó những kết luận về chất lỏng lý tưởng cũng đúng cho chất lỏng thực

I.Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực

- Khối chất lỏng W đang cân bằng

Wω

P S

- Giả sử cắt bỏ phần trên, ta phải tác dụng vào mặt cắt đó bằng một hệ lực tương đương thì phần dưới mới cân bằng như cũ

- Trên tiết diện cắt quanh điểm 0 ta lấy một diện tích ω, gọi P

là lực của phần trên tác dụng lên ω

Ta có các khái niệm sau:

- P : là áp lực thuỷ tĩnh (hoặc tổng áp lực) tác dụng lên diện tích ω (N, KN )

- Tỷ số : P/ω = ptb : là áp suất thủy tĩnh trung bình trên diện tích ω

- ω

→ ω

Plim

0 : áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm (hay còn gọi là áp suất thủy tĩnh)

- Đơn vị của áp suất: N/m2; 2

.s m

kg

, atmosphere + Trong kỹ thuật, áp suất còn đo bằng atmosphere:1at =9,81.104

N/m2=1KG/cm2

+ Trong thuỷ lực, áp suất còn đo bằng chiều cao cột chất lỏng:1at =10m H2O

II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh

Tính chất 1 (phương và chiều):

Aïp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy

P t Chứng minh: Bằng phản chứng

p n

p p

Ta có: , nhưng có (do chất lỏng cđn bằng) Nín: , hướng vào trong vì chất lỏng chỉ chịu được sức nén, không chịu kéo

Tính chất 2 (trị số):

- Không phụ thuộc vào hướng đặt của diện tích chịu lực

- Aïp suất thuỷ tĩnh chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm I nghĩa là p = f (x, y, z)

- Lấy một phân tố hình trụ , một đầu hình trụ có diện tích dw và có tâm I; đáy kia

của hình trụ có diện tích dw’ và có tâm I’, đáy này có hướng bất kỳ xác định bởi góc α

- Gọi p, p’ là những áp suất, chúng vuông góc với những mặt tương ứng

Theo định nghĩa: Mặt dw chịu lực là dp = pdw

Mặt dw’ chịu lực là dp’ = p’dw’ Chiếu lực mặt theo phương nằm ngang (bỏ qua lực khối-vi phân bậc cao)

p

∂

∂ + 2

x x

1A (2) p

x

( ) ( ):Hướng vàomặt

p

vàoHướng:

mặtp

A

A

2

12

1

⊥

⊥+ Trị số: p1A= pA2

III Phương trình vi phân cơ bản

của chất lỏng đứng cân bằng

Xét một khối hình hộp chất

lỏng vô cùng bé đứng cân bằng có

các cạnh δx, δy, δz Tâm M(x, y,

z) chịu tác động áp suất p(x, y, z)

Hệ tọa độ như hình vẽ

Điều kiện cân bằng: Tổng hình chiếu lên các trục của lực mặt và lực thể tích tác dụng

lên khối phải bằng không

Bằng khai triển Taylor, bỏ qua vi phân bậc cao, lấy số hạng thứ nhất:

Khi đó: Aúp suất tại trọng tâm mặt trái là :

Aúp suất tại trọng tâm mặt phải là:

Lực thể tích tác dụng lên một đơn vị khối lượng chất lỏng theo phương Ox là Fx

Theo điều kiện cân bằng ta có :

- Xét theo phương x :

0

1:

0

0 2.2

0 )2.(

.)

2.(

∂

∂+

Hay

F x p

z y x F z y x x p

z y x F z y x x

p p z y x x

p p

x x

x

x

ρρ

δδδρδδδ

δδδρδδ

δδ

δδ

- Tương tự theo phương y và z ta có hệ sau:

0

1: F − gradp=

0.1

0.1

z

p F

y

p F

x

p F

z y x

ρρ

ρ

Đây là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng hay hệ phương trình Euler

Phương trình này biểu thị sự phụ thuộc của áp suất thủy tĩnh theo tọa độ: p= p(x,y,z)

Áp dụng đối với trường hợp

→

→

= gFKhi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, thì đối với lực thể tích F tâc dụng lín một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng lực, ta có: Fx = 0; Fy = 0; Fz = - g

p tức p không phụ thuộc vào x

• Đối với Fy = 0

Tương tự như Fx ta được: =0

∂

∂yp

ρ => ∂p=−ρ.g.∂z

Cần xác định hằng số C

Tại mặt thoáng z = zo, thì p= po

po = -ρ.g.zo + C => C= po + ρ.g.zo

x δz

h

p 0

z 0 z

(2.4) là phương trình cơ bản của thuỷ tĩnh học

Kết luận: Áp suất thuỷ tĩnh tại một điểm có độ sâu h bất kỳì trong chất lỏng sẽ bằng áp suất tại mặt thoáng cộng với tích của trọng lượng đơn vị của chất lỏng đó với độ sâu h

Từ (2.3) viết dạng khác: z + p γ = z 0 + p γ = const 0 (2.5)

(2.5) là phương trình cơ bản thuỷ tĩnh dạng 2

Từ (2.4) ta thấy : Ứng với một giá trị h ta có một giá trị p, tức áp suất tại những điểm cùng nằm trên mặt phẳng vuông góc với z sẽ bằng nhau hay chúng đều nằm trên mặt đẳng áp

Tính chất của mặt đẳng áp

- Mặt đẳng áp là mặt có áp suất bằng nhau

- Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt song song và thẳng góc với trục

oz Nói cách khác chúng là những mặt phẳng nằm ngang

Nhận xét:

- Những điểm cùng độ sâu thì áp suất sẽ bằng nhau đối với cùng một loại chất lỏng

- Những điểm ở sâu hơn thì áp suất thuỷ tĩnh sẽ lớn hơn và ngược lại

Ví dụ 1:

- Trong hình vẽ sau ba điểm A, B, C có cùng độ

sâu h cùng áp suất mặt thoáng như nhau thuộc ba hình

thì có áp suất bằng nhau (trong trường hợp lộ ra khí trời

áp suất mặt thoáng p0 bằng pa = 98100N/m2 - áp suất khí

trời)

po po po

C

B A

p1

p0

h2

h1

1 Định luật bình thông nhau:

Nếu hai bình thông nhau đựng chất lỏng khác nhau

có áp suất mặt thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng

mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt

thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng

tức:

1

2 2

1γ

γ

=h

1γ

γ

=hh

Nhận xét: Nếu chất lỏng chứa ở bình thông nhau cùng một loại (γ1 = γ2) thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng trên một độ cao tức h1= h2

0

Aïp suất tại điểm A nào đó là: pI = p0 + γh p0 p

0 + ∆pNếu ta tăng áp suất tại mặt thoáng lên ∆p thì áp suất tại

điểm A đó sẽ là: pII = (p0 + ∆p) + γh

Vậy tại A áp suất tăng: pII - pI = ∆p, như vậy:

h

“Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn

của một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi

nguyên vẹn đến mọi điểm của thể tích chất lỏng đó”

A

A

Nhiều máy móc đã được chế tạo theo định luật

Pascal như: Máy ép thủy lực, máy kích, máy tích năng, các bộ phận truyền động v.v Xét một ứng dụng máy ép thủy lực:

Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau thông với nhau, chứa cùng một chất lỏng và có pittông di chuyển Pittông nhỏ gắn vào đòn bẩy, khi một lực F nhỏ tác dụng

lên đòn bẩy, thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ tăng lên và bằng P 1 và áp suất tại xylanh nhỏ bằng:

1

1

P

p = , trong đó ω1 là diện tích xylanh nhỏ

Theo định luật Pascal, áp suất p 1 nầy sẽ truyền tới mọi điểm trong môi chất lỏng, do đó sẽ truyền lên mặt piton lớn ω2 , như vậy, tổng áp lực P 2 tác dụng lên pittông ω 2 :

2 1

1 2 1

Trong đó: ω2 - diện tích mặt pittông lớn

Nếu coi ω1 , p 1 là không đổi, khi muốn tăng P 2 thì phải tăng ω 2

3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không

3.1 Định nghĩa các loại áp suất

a Aïp suất tuyệt đối p tuyệt :

Người ta gọi áp suất tuyệt đối hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công

thức cơ bản (2.4):

p = p0+ γh = ptuyệt

b Aïp suất tương đối (áp suất dư): p dư

Nếu từ áp suất tuyệt đối ptuyệt ta bớt đi áp suất khí quyển thì hiệu số đó gọi là áp suất

dư p dư hay áp suất tương đối:

p dư = p tuyệt - p a (2-6)

Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển p a thì: p dư = γh

Như vậy áp suất tuyệt đối biểu thị cho ứng suất nén thực tế tại điểm đang xét, còn áp suất dư là phần áp suất còn dư nếu trong trị số của áp suất tuyệt đối ta bớt đi trị số áp suất không khí Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm

p dư > 0 khi p tuyệt > p a

p dư < 0 khi p tuyệt < p a

c Aïp suất chân không: p ck

Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất khí quyển và áp suất tuyệt

đối gọi là áp suất chân không p ck = p a - p tuyệt = - p dư (2-7)

Trong kỹ thuật qui ước: pa = 98100N/m2 = 1 at

3.2 Biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng

- Aïp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng (nước, thuỷ ngân, rượu ) kể từ điểm đang xét đến mặt thoáng chất lỏng đó

- Ta có thể biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng như sau:

Ptuyệt biểu thị bằng

γ

= tuyet tuyet

p h

pdư biểu thị bằng

γ

= dư dư

ph

pck biểu thị bằng

γ

= ck ckph

z

- Ống kín ← : hút hết không khí

ht: cột nước biểu thị áp suất tuyệt đối tại A

- Ống hở ↑: hở ra khí trời

hd: cột nước biểu thị áp suất dư tại A

- Ống hở →: mức nước trong ống thấp hơn điểm A

hck: cột nước biểu thị áp suất chân không tại điểm A

Ví dụ: Xác định áp suất tại mặt thoáng p0, áp suất tuyệt đối và áp suất dư thuỷ tĩnh tại

A của bình đựng nước như hình vẽ

Giải: - Ống đo áp hở ra khí trời, đó là ống đo áp suất dư

- Chênh lệch 1m là do chênh lệch giữa áp suất mặt thoáng p0 với áp suất khí trời

1 Ý nghĩa hình học: Ta có: z p =H=const

γ

+

- z là độ cao hình học của điểm đang xét với mặt chuẩn nằm ngang

- γ

p độ cao áp suất

- H gọi là cột nước thủy tĩnh, nó là độ cao đo áp tuyệt đối (nếu p là áp suất tuyệt) hoặc dư (nếu p là áp suất dư)

Vậy: Phương trình cơ bản thủy tĩnh học nói rằng: Trong một môi trường chất lỏng đứng cân bằng, cột nước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số

γ

B t

p γ

A t

p

B dh

A dh

0 0

2 Ý nghĩa năng lượng (ý nghĩa vật lý):

z : Vị năng đơn vị, hoặc gọi tỷ vị năng

h =

γ

p : Aïp năng đơn vị, hoặc gọi tỷ áp năng

H = (z +

γ

p ) : Thế năng đơn vị, hoặc gọi tỷ thế năng

Vậy: Thế năng đơn vị của chất lỏng đứng cân bằng là một hằng số đối với mọi điểm trong chất lỏng

VI Biểu đồ áp lực:

Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất tại mặt tự do po cho trước, áp suất p là hàm số bậc nhất của độ sâu h

Như vậy trong hệ tọa độ (p, h), phương trình (2.4) được biểu diễn bằng một đường thẳng Để giản đơn việc trình bày ta giả thiết po = pa khi đó pdư = γh

Ta chọn hệ trục tọa độ có trục h thẳng đứng hướng xuống dưới và trục p đặt nằm ngang Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số trong hệ tọa độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đường thẳng đứng tức là theo những điểm trên đường thẳng đứng đó

Trước tiên ta xét đến đường biểu diễn áp suất dư pdư = γh theo đường thẳng đứng; đường biểu diễn này là một đường thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ được

Với h = 0 (ở mặt tự do), ta có: pdư = 0 nên O(0, 0)

Với h = h1 ta có: pdư = hγ 1 nên: A’(h1, hγ 1 )

Ta được hai điểm O và A’ , tam giác OAA’ chính là đồ phân bố áp suất dư

Dùng đồ phân bố áp suất dư, ta có thể xác định áp suất dư p tại một điểm có độ sâu h bất kỳ

Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta chỉ cần tịnh tiến đường OA’ theo phương thẳng góc với Oh một đoạn po và được đường O’A’’ Đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông góc OO’A’’A

Chú ý:

1 Ta có thể thay trục nằm ngang p bằng

trục , khi đó cả hai trục đều là đơn

vị độ dài, áp suất lúc đó có thể biểu thị độ dài

cột nước Trong thực tiễn, ta cũng thường vẽ

biểu đồ phân bố với tọa độ như vậy để tính áp

lực Đồ phân bố với tọa độ như thế gọi là biểu

đồ áp lực

2 Do tính chất áp suất tại một điểm phải

thẳng góc với mặt chịu áp lực tại điểm đó, nên đồ phân bố áp suất cũng như đồ áp lực đối

với một đường thẳng bao giờ cũng là một tam giác vuông hoặc hình thang vuông

Trong trường hợp vẽ biểu đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường thẳng gãy cũng không gì khó khăn vì trong trường hợp này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông

3 Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số

áp suất tại từng điểm theo phương trình cơ bản rồi nối lại thành đường cong của đồ phân bố

= p hh

VII Aïp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ

Trường hợp thành rắn là mặt phẳng, thì áp suất tác dụng lên thành rắn đều song song với nhau, do đó chúng có một hợp lực hay còn gọi là áp lực tổng hợp P duy nhất Ta

nghiên cứu trị số của P, điểm đặt và xác định phương chiều của lực

p o

1 Trị số của áp lực

O

- Cần xác định áp lực P của chất

ωγ+

=

ωαγ

+

=

d.zsin p

dsin.z.pP0 0

Theo cơ học lý thuyết có: là mô men tĩnh của diện tích ω đối với trục oy (mà S

ySd

c c

c

h p

P thi

(Trường hợp này trong thực tế thường hay gặp - đó là khi một mặt phẳng chịu áp lực

nước về một phía, còn phía kia tiếp xúc với khí trời)

Vậy:

Áp lực thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng lên thành phẳng ngập trong chất lỏng bằng tích số của áp suất (có thể là tuyệt đối hay tương đối) tại trọng tâm của diện tích phẳng đó nhân với diện tích ấy

Trường hợp riêng:

Aïp lực chất lỏng tác dụng lên đáy bình đặt nằm ngang P = γ h.ω (vì hc = h là độ sâu nước trong bình) - không phụ thuộc vào hình dạng của bình

P P

2 Vị trí của tâm áp lực (Điểm đặt của áp lực)

Điểm đặt áp lực gọi là tâm áp lực Để đơn giản nhưng không làm mất tính tổng quát, ta chỉ nêu lên phương pháp xác định vị trí tâm áp lực dư Ta gọi D(z, y) là tâm áp lực dư; cần xác định tọa độ ZD và YD của điểm D

a Xác định z D :

Aïp dụng định lý Varinhông:

“Mômen của tổng hợp lực bằng tổng mômen các lực thành phần”

- Mômen của tổng lực P đối với trục Oy:

M = P.zD = γ.hc.ω.zD (a)

- Tổng mômen của các lực tác dụng lên các vi phân diện tích dω của diện tích ω đối với trục oy:

y 2

I.sin dz sin h.z.dp.z.d

ω ω

ω

(b)

- Cân bằng (a) và (b): γ hc ω ZD = γ sinα Iy

Như đã biết trong cơ học, có thể biểu thị moment quán tính của diện tích đối với trục Oy bằng moment quán tính của diện tích ấy đối với trục nào đó song song với Oy và

đi qua trọng tâm C của diện tích như sau:

Iy = Ic + ω.z2c

Trong đó :

Iy : mômen quán tính của tiết diện đối với trục y

Ic : mômen quán tính chính trung tâm

zc : khoảng cách từ trọng tâm của tiết diện đến trục y

αω

ω+

sin.z

z.Iz

C

C C

z

Izz

ω+

=Như vậy: Vị trí của tâm áp lực bao giờ cũng sâu hơn vị trí trọng tâm

b Xác định y D :

- Tính moment đối với trục oz bằng cách tương tự ta có :

M = P.yD = γ.hc.ω.yD= γ.zc.sin α ω.yD (a)

- Tổng mômen của các lực tác dụng lên các vi phân diện tích dω của diện tích ω đối với trục oz:

∫

∫

∫

ω ω

ω

ωα

γ

=ωγ

=ω

= p.y.d h.y.d sin y.z d

yD =

Cz

d.y.zω

3 Phương chiều của lực: Theo phương vuông góc và hướng vào mặt chịu lực

VIII Aïp lưc chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang

B ’

2hγ

Trong sơ đồ này:

A : có độ sâu h1

B : có độ sâu h2

AB nghiêng góc α so với mặt nằm ngang

Hình chữ nhật có các cạnh b x h

Ta chỉ tính áp lực dư

1 Xác định trị số của P :

h.b.hh.Phhh

hb

.h.P

C

C

22

2 1

2 1

+γ

ωγ

Trong trường hợp hình chữ nhật có cạnh đặt nằm ngang:

Aïp lực dư bằng tích số của diện tích đồ phân bố ấp suất thủy tĩnh nhân với trọng lượng riêng và chiều rộng của hình chữ nhật

2 Điểm đặt của áp lực

Đi qua trọng tâm thể tích tạo bởi đồ phân bố áp suất thủy tĩnh và hình chữ nhật chịu lực Trên hình vẽ ta thấy đi qua trọng tâm của đồ phân bố áp suất và có hướng vuông góc với AB

Ví dụ:

Xác định áp lực thủy tĩnh (trị số và điểm đặt) tác dụng lên cửa cống phẳng hình chữ nhật bằng phương pháp tổng quát và phương pháp giản đồ áp lực Độ sâu nước ở thượng lưu h1= 3m; độ sâu nước ở hạ lưu h2 = 1,2m Chiều rộng cửa cống b = 2,00m

Giải:

h D P

h

Ih

h

C

C C

2

32312

3223

3

1 1

1 1

×

×

×+

=ω

+

=

- Phía hạ lưu :

=

=ω

×

×γ

=

221

602

21

2 2

2

,

,

,hh

KN15,142.2,1.2

2,1.9810

,,

,,

h

Ih

h

C

C C

6022112

21260

3

2 2

×

×

×+

=ω

2

h.9810b

P

2 2

2 2

=Ω

2

2,13.2,13ABCD

b

157474150

22

213213

×

=

×Ω

×γ

=

- Điểm đặt của hợp lực có thể xác định theo phương pháp đã nêu, hoặc có thể xác định bằng phương pháp đồ giải, hoặc có thể xác định theo phương pháp tọa độ trọng tâm của hình phẳng

F

y F

F

x F x

Trong đó D là tọa độ trọng tâm của hình phẳng, chính là điểm đặt của hợp lực tính đến mặt thoáng trong giản đồ; yi là tọa độ trọng tâm của các diện tích con tính đến mặt thoáng, F là các diện tích con Ở đây chúng ta chỉ cần xác định theo phương y

8

12

,262,1

4,216,22,162,1F

y.F

y

i

i i

+

×+

dạng bất kỳ, thì những áp lực nguyên tố

không hợp lại thành một áp lực tổng

hợp duy nhất

d

Giới hạn trường hợp xét:

- Thành cong hình trụ tròn có

đường sinh đặt nằm ngang

- Để đơn giản nhưng không làm

mất tính tổng quát, ta chỉ xét áp lực dư: tức trường hợp: p0 = pa

1 Xác định trị số:

- Trên diện tích dw vô cùng nhỏ trên mặt cong W chịu lực

→dP

- Vi phân dw chiếu theo phương các trục ta cũng được dwx, dwy, dwz

- Vi phân lực dP tác động lên dw cũng có hình chiếu dP→ x, dPy, dPz

dPx = dP.cos (P,x); dP

∧

y = dP.cos ( ; dPz = dP.cos (P,z)

∧)

y,P

∧

- Trên dải vi phân diện tích của mặt cong trụ là dw, chịu lực ta có:

→dP

Vì vi phân dwx vô cùng bé nên xem mọi

điểm của nó đều có độ cao h

Px=γ.hcx.wx (2.8)

Với hcx là độ sâu thẳng đứng của trọng tâm

C của diện tích hình chiếu wx

Với ωx: là hình chiếu của ω lên mặt phẳng vuông góc với Ox

dPZ =γ.h.dwz , với h.dwz= dW: chính là thể tích hình ( I )

dP W, với W: là thể tích hình II

A

z

Do đó: Pz = Wγ

Trong đó W : được gọi là thể tích vật áp lực

Định nghĩa thể tích vật áp lực:

Là thể tích được giới hạn bởi:

- Ở dưới là mặt cong chịu lực

- Ở trên là mặt thoáng hoặc mặt thoáng chất lỏng kéo dài

- Các mặt xung quanh thẳng đứng và tựa trên chu vi mặt cong

Kết luận: Công thức tính áp lực cho mặt cong

x x

X h w

P =γ

W

PZ =γVậy thành phần thẳng đứng Pz bằng trọng lượng của vật áp lực

=> Từ đó tính được: P= Px2 +Pz2

Nếu không chọn thành bình có đường sinh song song với oy thì:

C C

D D

h

Ih

hy

ω+

=

- Nếu tính theo phương pháp giản đồ: Px sẽ đi qua trọng tâm của giản đồ

b Đối với P z :

Đi qua trọng tâm của thể tích W Trên sơ đồ ta thấy đi qua trọng tâm của diện tích

Ωz và song song với phương oz

c Đối với P:

Hợp lực P đi qua tâm 0 và hợp với phương ngang một góc θ với

x

zP

P

tg =θ

3 Một số trường hợp cần lưu ý:

(i) Px luôn luôn hướng vào mặt chịu áp

(ii) Pz : + Khối chất nằm ngay phía trên mặt chịu lực: ta qui ướt Pz hướng xuống dưới, mang dấu dương (+)

+ Nếu không có khối chất lỏng ở ngay trên mặt chịu lực, mà chất lỏng ở phía dưới tác dụng lên:

thì Pz hướng lên trên, và mang dấu âm (-)

+ Diện tích của Ωz cần lưu ý lấy từ mặt chịu lực đến mặt thoáng chất lỏng hoặc mặt thoáng chất lỏng kéo dài

(iii) Có thể phối hợp để tính lực PX và Pz của chất lỏng tác dụng lên công trình: Với bề mặt công trình phức tạp ta có thể dựa vào 3 điều kiện cơ bản ở trên và cho phép giãn ước biểu đồ để kết quả tính toán đơn giản hơn

- Trường hợp mặt cong ta cũng có thể áp dụng phương pháp phân lực để tính toán

2

21.9810

b.hh.2

hh

h

X CX X

=ωγ

=

Ωx

ωxω

W

Px

h = 3mb=1m

1m1m

3 1 2 2

1

hh.hhb

hh.bh

hh

Ih

zh

X

X X

X X

C X

C C

D

−

−+

+

=ω

55118

1512

211112

1212

21

3

≈+

=+

−+

Điểm đặt : l cách đáy

12.1.3bB.h

3 + = + , cách mặt thoáng là hD−l=2−9 ≈1,555m

2

hh.b W

1 8 2

3 9810 1

1 2 3 2

2 1

1.22.8.3

1bB

b.2B.h.3

=Ωγ

trên là do bỏ số lẻ

- Điểm đặt: Cách đáy một đoạn:

bB

b.B.h

3

412

12233

123

+

+

=++Khoảng cách theo chiều sâu tính từ dưới lên là x thì hD là :

.x,

433

43

331

Ví dụ 2 Tìm tổng hợp lực tác dụng lên một cửa cống cong dài L=3m, có diện tích bằng

1/4 đường tròn mà bán kính bằng r =1m Độ sâu nước bằng 1m

Ta có : Px =

2

3.1.9810L

.h 2

Px = 14715N (= 1500kG)

Pz = γ.W = γ.π.r2 L/4 = 9810.3,14.12 3/4

Pz = 23103N ( = 2360 kG ) Tổng áp lực P tính theo : P = PX2 +PZ2

P

h =

BÀI TẬP THỦY TĨNH HỌC Bài 1: Tìm áp suất tuyệt đối và áp suất dư tại vị trí có độ sâu h=1,2m, áp suất mặt thoáng Po=196200N/m2, γ =9810N/mn 3

Đáp số: Aïp suất tuyệt đối Pt =207972 N/m2

Aïp suất dư Pdư =109872 N/m2

Bài 2: Xác định độ cao của cột nước dâng lên trong ống đo áp (h)

Nước trong bình kín chịu áp suất tại mặt tự do là p0t = 1.06at

Xác định áp suất p0t nếu h = 0.8m (Hình 1)

Đáp số: Độ cao cột nước h = 0,6m

Aïp suất p0t Pot =105948 N/m2 = 1,08 at

Bài 3: Một máy bơm nước từ giếng, tại mặt cắt trước máy bơm áp kế chỉ áp suất tuyệt đối

là 0,35 at Hỏi độ chân không tại mặt cắt đó là bao nhiêu? Hãy biểu thị độ chân không đó bằng cột nước; bằng cột thủy ngân Biết rằng γ tn= 133416 N/m3

Đáp số: Aïp suất chân không pck: pck = 0,65 at, hcknước= 6,5m, hckHg= 0,05m

Bài 4: Xác định áp suất dư tại tâm ống A,

cho độ cao cột thủy ngân trong ống đo áp

h2=25m trong ống đo áp Tâm ống ở dưới

mực nước phân cách giữa nước và thủy ngân

Đáp số: Aïp suất dư pdưA: pdưA =37924 N/m2 = 0,386 at

Bài 5: Xác định áp lực chất lỏng lên tường chắn có dạng hình chữ nhật và tâm đặt áp lực Cho biết độ sâu mực nước phía trước tường (phía thượng lưu) h1 =3m, ở phía sau tường (phía hạ lưu) h2=1,2m, chiều rộng b=4m và chiều cao của tường H =3,5m Tính lực kéo T, cho chiều dày của tường d=0,08m, vật liệu làm tường γ =1,18.10vl 4

N/m3 Hệ số

ma sát rãnh kéo f=0,5

Đáp số: Aïp lực P: P =148,3 KN, Điểm đặt lực ZD=1,89m

Lực kéo T: T=8,73.104 N

CHƯƠNG 3 CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

***

⇓3.1 KHÁI NIỆM

3.1.1 Động học chất lỏng và động lực học chất lỏng

3.1.2 Chuyển động không ổn định và chuyển động ổn định

3.1.3 Quỹ đạo, đường dòng

3.1.4 Dòng nguyên tố, dòng chảy

3.1.5 Hai mô hình nghiên cứu chuyển động của chất lỏng

⇓3.2 CÁC YẾU TỐ THỦY LỰC CỦA DÒNG CHẢY

a Diện tích mặt cắt ướt ω

b Chu vi ướt χ:

c Bán kính thủy lực R

d Lưu lượng Q

e Vận tốc trung bình (tốc độ trung bình) v

⇓ 3.3 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH

3.3.1 Phương trình liên tục của dòng nguyên tố chảy ổn định

3.3.2 Phương trình liên tục viết cho toàn dòng

⇓ 3.4 PHƯƠNG TRÌNH BECNOULLI CỦA DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH

3.4.1 Phương trình Becnoulli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng

3.4.2 Phương trình Becnoulli của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn định

3.4.3 Ý nghĩa vật lý (năng lượng) và ý nghĩa thủy lực (hình học) của phương trình Becnoulli viết cho dòng nguyên tố chảy ổn định

a Ý nghĩa năng lượng (vật lý)

b Ý nghĩa thủy lực (hình học)

3.4.4 Độ dốc thủy lực và độ dốc đo áp của dòng nguyên tố

a Độ dốc thủy lực của dòng nguyên tố

b Độ dốc đo áp của dòng nguyên tố

3.4.5 Phương trình Becnoulli của toàn dòng chảy (kích thước hữu hạn) chất

lỏng thực, chảy ổn định:

a Đặt vấn đề

b Viết phương trình

c Một số lưu ý khi viết phương trình Becnoulli

d Độ dốc thuỷ lực J và độ dốc đo áp J p của toàn dòng chảy 3.4.6 Ứng dụng của phương trình Becnoulli trong việc đo lưu tốc và lưu lượng

a Ống Pitot

b Ống Venturi

3.5 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG CỦA TOÀN DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH 3.5.1 Đặt vấn đề

3.5.2 Viết phương trình

⇓3.1 KHÁI NIỆM

- Chương này chúng ta nghiên cứu những nét chính của chất lỏng chuyển động Nhiều hiện tượng thủy lực phức tạp, không thể nghiên cứu hoàn toàn bằng lý thuyết được mà phải kết hợp với thực nghiệm

-Trong phạm vi thủy lực đại cương, thường sử dụng ba định lụât bảo toàn: Khối lượng, Năng lượng và Động lượng

1 Động học chất lỏng và động lực học chất lỏng:

- Động học chất lỏng: Nghiên cứu những qui luật chuyển động của chất lỏng mà

không xét đến các lực tác dụng

- Động lực học chất lỏng: Nghiên cứu những qui luật chuyển động của chất lỏng,

trong đó có xét đến yếu tố lực

2 Chuyển động không ổn định và chuyển động ổn định

- Chuyển động không ổn định: Là chuyển động mà các yếu tố chuyển động phụ thuộc vào thời gian, tức là: u = u (x,y,z,t); p = p(x,y,z,t) hoặc ∂∂ ≠0

Ví dụ: Cho bình chứa nước và có vòi lấy nước như sau:

- Ban đầu mực nước trong bình là

Nguồn bổ sung

ìH1, sau thời gian t do nước chảy ra ngoài

nên mực nước trong bình chỉ còn là H2

Đây làì dòng chảy không ổn định vì áp

H 1

suất pA tại điểm A và vận tốc uA tại H 2 B • B •

điểm A đãî thay đổi và giảm dần theo

II Các yếu tố mô tả dòng chảy chất lỏng

1 Quỹ đạo, Đường dòng

Quỹ đạo: Là đường đi của một phần tử chất lỏng trong không gian theo thời

M2 và u2, Mi và ui Đường cong C đi qua các điểm M1, M2,…Mi lấy tốc độ u1,

u2,… ui làm tiếp tuyến chính là một đường dòng ở thời điểm t

Tính chất :

- Hai đường dòng không giao nhau hoặc tiếp xúc nhau

Lý do: Nếu giao nhau hoặc tiếp xúc nhau, mỗi đường có một véctơ tiếp tuyến khác nhau, nhưng tại một điểm chỉ có một véc tơ lưu tốc u, do đó trái với định nghĩa

- Trong dòng chảy ổn định, đường dòng cũng đồng thời là qũy đạo của những phần tử chất lỏng trên đường dòng ấy

2 Dòng nguyên tố, dòng chảy

dw

- Trên chu vi diện tích dw vô cùng nhỏ ta vẽ các đường

dòng đi qua và khi số đường dòng là vô cùng sẽ cho ta

một mặt kín gọi là ống dòng và chất lỏng chuyển động

trong ống dòng gọi là dòng nguyên tố

- Dòng chảy: Là môi trường chuyển động

tập hợp gồm vô số dòng nguyên tố

Trong thực tiển kỹ thuật ta có dòng chảy

trong sông, dòng chảy trong ống

III Hai mô hình nghiên cứu dòng chảy

Mô hình 1: Môi trường chất lỏng chuyển động coi như là tập hợp gồm vô số dòng

nguyên tố Với mô hình nầy ta đi đến bài toán đơn giản một chiều

Mô hình 2: Môi trường chất lỏng chuyển động coi như là tập hợp gồm vô số phần tử

chất lỏng Nghiên cứu theo mẫu này thường đi đến những phương trình vi phân phức tạp nhiều chiều

MÔI TRƯỜNG CHUYỂN ĐỘNG COI NHƯ TẬP HỢP

- Cắt ngang dòng chảy ta được diện tích, ký hiệu ω

- Mặt cắt ướt ω là phần diện tích do chất lỏng chuyển động qua với điều kiện vectơ vận tốc vuông góc mặt cắt ướt

- Mặt cắt ướt có thể là phẳng khi các đường dòng là những đường thẳng song song và là mặt cong khi các đường dòng không song song

h

III Bán kính thủy lực R

- Là tií số giữa diện tích mặt cắt ướt ω và chu vi ướt χ

w: Thể tích chất lỏng đi qua ω trong thời gian t

t : Thời gian mà thể tích chất lỏng w đi qua ω

- Giả sử ta có một diện tích phẳng dω, tốc độ u của chất lỏng đi qua diện tích lập với pháp tuyến của diện tích một góc α Thể tích chất lỏng dw đi qua trong thời gian dt rõ ràng bằng thể tích hình trụ đáy dω, dài udt tức bằng tích số đáy dω với chiều cao udt cosα

dw = dq.dt = udt.cosα.dω

Gọi un là hình chiếu của u lên pháp tuyến, ta

có un = ucosα

Vậy: dq = undω

- Nếu diện tích phẳng dω lại là mặt cắt

ướt của một dòng nguyên tố thì rõ ràng lưu

tốc điểm trên mặt cắt ướt phải thẳng góc với

mặt đó Vậy lưu lượng nguyên tố dq của dòng nguyên tố bằng: dq = u.dω

Bieơu ñoă phađnboâ vaôn toâc

- Lưu lượng của toàn dòng chảy là tổng số các lưu lượng nguyên tố trên mặt cắt

ω ω

ω

=

= dQ u.dQ

V Vận tốc trung bình (lưu tốc trung bình) v

- Lưu tốc trung bình của dòng chảy tại mặt cắt là tỷ

số lưu lượng Q đối với diện tích ω của mặt cắt ướt

đó, ký hiệu bằng v, đơn vị đo bằng m/s (hay cm/s)

(3.3) Như vậy lưu lượng bằng thể tích hình trụ có đáy là mặt cắt ướt, có chiều cao bằng lưu tốc trung bình mặt cắt ướt

ω

= vQ

⇓ 3.3 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH

Cơ sở thiết lập phương trình:

Chất lỏng chuyển động một cách liên tục, nghĩa là trong môi trường chất lỏng chuyển động không hình thành những vùng không gian trống không, không chứa chất lỏng Tính chất liên tục này được biểu thị bởi biểu thức toán học gọi là phương trình liên tục

I Phương trình liên tục của dòng nguyên tố chảy ổn định

- Trên một dòng nguyên tố ta lấy hai mặt cắt AA và BB có diện tích tương ứng là

dω1 và dω2 với lưu tốc tương ứng u1 và u2

- Sau thời gian dt, thể tích chất lỏng ở trong dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt AA và BB có vị trí mới là thể tích của dòng giới hạn bởi hai mặt cắt A’A’ và

B’B’ Ngoài ra trong chuyển động ổn định, hình dạng của dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian, đồng thời chất lỏng không xuyên qua ống dòng mà đi ra hay đi vào dòng nguyên tố

- Trong dòng nguyên tố không có chỗ trống, đối với chất lỏng không nén được thì thể tích chất lỏng trong đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt ướt AA và

BB phải là một trị hằng số không đổi, tức là: W[AA,BB] = W[A’A’,B’B’]

Hay W[AA’] = W[BB] (vì đoạn giữa hai mặt cắt A’A’ và BB là chung)

Do đó: u1 .dω1dt = u2 .dω2dt

- Phương trình (3.4) là phương trình liên tục của dòng nguyên tố Theo (3.4) biểu

thức (3.2) viết thành: dq1=dq2 hoặc dq = const (3.5)

II Phương trình liên tục viết cho toàn dòng

- Từ phương trình liên tục (3.4) của dòng nguyên tố ổn định, ta suy ra phương trình liên tục cho toàn dòng chảy ổn định Ta tích phân phương trình (3-2) cho toàn mặt cắt ω

2 1

2 2 1

ω ω

ω

d u

- Để tích phân nó ta đưa đại lượng vận tốc trung bình mặt cắt ướt v tương ứng với mặt cắt ướt ωsao cho ∫ , do đó phương trình (3-6) viết thành:

ωω

=

ω u.d

v

v1 ω1 = v2 ω2 (3.7)

- Đó là phương trình liên tục của dòng chảy ổn định của chất lỏng không nén được Nó đúng cho cả chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực Từ công thức (3.5) có thể biến đổi (3.7) thành:

v

,, ,

Tức là trong dòng chảy ổn định lưu tốc trung bình tỉ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt

Trong thực tế ở một đoạn suối ngắn hoặc trong một đoạn ống có đường kính khác nhau ta có thể quan sát được, chỗ nào rộng thì nước chảy chậm, chỗ nào hẹp thì nước chảy nhanh

Ghi chú: Phương trình liên tục thuộc loại phương trình động học chất lỏng nên dùng

được cho cả chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực

4.14,3D

4.QQ

1 1

π

=π

=ω

=

- Vận tốc trong ống có đường kính D2: Ta dùng phương trình liên tục

(dm s)

v

vv

v

2

142

2

1 1 2

1 1 2 2

2 1

ω

=ω

ω

=

→ω

=ω

.,Qv

v

2

41432 2

2 2

π

=ω

=

→ω

=Rõ ràng, đoạn ống có đường kính D2 = 2 dm > 1 dm = D1,

nên vận tốc v2=1 dm/s < 4 dm/s = v1

⇓ 3.4 PHƯƠNG TRÌNH BECNOULLI CỦA DÒNG CHẢY ỔN ĐỊNH

Ở chương thủy tĩnh ta đã có phương trình :

const H

z+γp = =

- Ý nghĩa năng lượng: Trong môi trường chất lỏng tĩnh đứng cân bằng thế năng của đơn vị trọng lượng của mọi điểm trong chất lỏng đều bằng nhau.Tùy theo vị trí mà điểm ta xét sẽ có cột nước vị trí (vị năng đơn vị) và cột nước đo áp (áp năng đơn vị) khác nhau nhưng vẫn đảm bảo tổng cột nước H (hay còn gọi là năng lượng đơn vị E) là không đổi

Trong chương này, ta nghiên cứu chất lỏng nước chuyển động, nghĩa là nước

không còn đứng yên nữa Năng lượng đơn vị trọng lượng E sẽ biến đổi như thế nào trong trường hợp có vận tốc, có ma sát của nước? lúc đó z và pγ sẽ như thế nào?

Ta sẽ nghiên cứu vấn đề nầy ở mục tiếp theo

I Phương trình Becnoulli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng

Ta có định luật động năng như sau:

Định luật động năng: Sự biến thiên động năng ∆w của một khối lượng nhất định khi nó

di động trên một quãng đường bằng công của các lực tác dụng l

trên quãng đường đó

ên khối lượng đó cũng

Ta có động năng:

2

v m

w = 2

∆w = w2 - w1 = công của lực tác dụng trên đoạn đường ∆s

- Trong dòng chảy ổn định của chất

lỏng lý tưởng, ta xét một đoạn dòng

nguyên tố giới hạn bởi mặt cắt 1-1 và

2-2 có diện tích tương ứng dω1 và dω2

Ta cũng chọn trục chuẩn nằm ngang

ox; như vậy mặt cắt 1-1 có trọng tâm ở

độ cao z1 đối với trục chuẩn, áp suất

thủy động lên mặt cắt đó là p1, lưu tốc

là u1; mặt cắt 2-2 có trọng tâm ở độ cao

z2 đối với trục chuẩn, áp suất thủy động

lên mặt cắt đó là p2, lưu tốc là u2

y

- Sau một thời gian vô cùng nhỏ

∆t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ướt 1-1 đã di động được một quãng đến vị trí 1’-1’, độ dài ∆s1 của quãng đường đó bằng: ∆s1 = u1∆t

z1

P2

O

1' 1

dw1

z

2

2' 2

x

- Cũng trong thời gian vô cùng nhỏ ∆t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ướt 2-2 đã

di động được một quãng đến vị trí 2-2, độ dài ∆s2 của quãng đường đó bằng: ∆s2 = u2∆t

- Lưu lượng đi qua mặt cắt ướt 1-1 và 2-2 bằng: dQ = u1dω1 = u2dω2

- Không gian giữa 1-1 và 2’-2’ có thể chia làm 3 khu vực: a, b, c

- Trong thời gian ∆t, sự biến thiên động năng ∆ (đn) của đoạn dòng nguyên tố đang

xét bằng hiệu số động năng của khu c và a, vì động năng của khu b không đổi:

) 2 ( 2

2 )

g

u t dQ

u t dQ

-Ta tính đến công của các lực ngoài tác dụng lên khối lượng của đoạn dòng nguyên

tố đang xét Các lực ngoài gồm trọng lực và áp lực thủy động

- Công sinh ra bởi trọng lực CTR-L của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng công của trọng lực khối chất lỏng khu a di chuyển một độ cao bằng z1-z2 để đi tới khu c, tức là:

−

=

2 1 1 2 2 222

P P z z g

u g u

Vì các mặt cắt 1-1 và 2-2 của dòng nguyên tố là tùy ý chọn, nên phương trình (3.9) có thể viết dưới dạng:

(3.10) Phương trình (3.9) và (3.10) gọi là phương trình Becnoulli của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn định

II Phương trình Becnoulli của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn định

- Chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển động thì sinh ra sức ma sát trong làm

cản trở chuyển động Muốn khắc phục sức cản đó, chất lỏng phải tiêu hao một phần cơ năng biến thành nhiệt năng, mất đi không lấy lại được Vì vậy chất lỏng thực giảm dọc theo dòng chảy nên:

- Nếu chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì:

- Ký hiệu h’

W là phần năng lượng bị tiêu hao khi một đơn vị trọng lượng chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến 2-2 thì phương trình Becnoulli của dòng nguyên tố chất lỏng thực viết cho mặt cắt 1-1 và 2-2, với mặt chuẩn nằm ngang 0-0 sẽ là:

+h’

W (3.11)

h’

W gọi là tổn thất năng lượng đơn vị của dòng nguyên tố hay còn gọi là tổn thất cột nước

của dòng nguyên tố

III Ý nghĩa vật lý (năng lượng) và ý nghĩa thủy lực (hình học) của phương trình Becnoulli viết cho dòng nguyên tố chảy ổn định

1 Ý nghĩa năng lượng (vật lý)

w

h′

γ2p

g.2

u22

Đường năng (đgì tổng cột nước)

γ2pγ

u2 1

u 2 2

z2

z1

γ1p

21

Mặt chuẩn

21

Đgì thế năng (đgì cột nước đo áp) Đường năng (đgì tổng cột nước)

(CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG) (CHẤT LỎNG THỰC)

lỏngchất

lượngtrọngvịđơnmộtcủalượngNăng

vịđơnnăngđộng: