chuyên đề về đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch. chuyên đề giúp các giáo viên giảng dạy phần này một cách bài bản và khoa học hơn. các bài toán được phân chia theo dạng, từng mục nhỏ riêng có lời giải.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIÊN DU
TRƯỜNG THCS MINH ĐẠO
Trang 2PHẦN I : LÝ THUYẾT
A Đại lượng tỉ lệ thuận
1 Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức
“y=k.x” (k là hằng số, k ≠ 0) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là k
2 Tính chất:
Giả sử x ;x ; 1 2 ;x n là các giá trị tương ứng của x
y ;y ; 1 2 ;y n là các giá trị tương ứng của yNếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì :
- Nếu z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k1(k1≠ 0); x tỉ lệ thuận với y theo
hệ số tỉ lệ k2 (k2 ≠ 0) thì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1.k2
Giả sử y ; y ; ; y 1 2 n là các giá trị tương ứng khác nhau của y
x ; x ; ; x 1 2 n là các giá trị tương ứng khác nhau của x
Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì:
Trang 3* Bổ sung:
- Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a
- Nếu z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a1; y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ
a2 thì z tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ là 1
2
a a
PHẦN II: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG TLT-TLN
A DẠNG I XÁC ĐỊNH MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA HAI ĐẠI LƯỢNG
−
Trang 4Cho biết x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận x = 6 thì y = 4
a/ Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x
b/ Hãy biểu diễn y theo x
y
Trang 5Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận, biết với hai giá trị bất kỳ x1; x2 của
x có tổng bằng 1 thì hai giá trị tương ứng y1; y2 của y có tổng bằng 5
a/ Hãy biểu diễn y theo x
b/ Tính giá trị của y khi x = - 4; x = 10; x = 0,5
c/ Tính giá trị của x khi y = - 4; y =
Bài 4:
Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch và khi x = - 3 thì y = 9
a/ Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x
b/ Hãy biểu diễn y theo x
c/ Tính y khi x = 3; x = -
3 1
Giải:
Trang 6a/ Gọi a là hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x (a≠ 0) ta có y =
x a
Theo đề bài ta có x = - 3 thì y = 9 nên 9 =
3
−
Vậy hệ số tỉ lệ nghịch của y đối với x là - 27
b/ Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a = - 27 nên y =
Gọi 2 giá trị tương ứng của y là y1; y2
2 giá trị tương ứng của x là x1; x2
Gọi số đường để ngâm 5kg mơ là x (kg) ( x > 0)
Cứ 2kg mơ ngâm với 2,5kg đường
Vậy cứ 5kg mơ ngâm với x kg đường
Vì số kg đường và số kg mơ là 2 địa lượng tỉ lệ thuận nên theo công thức ta có:
Trang 725 , 6 2
5 , 2 5 5
Cho biết x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận
Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau
a/ y tỉ lệ thuận với x theo hệ số nào? Viết công thức
b/ x tỉ lệ thuận với y theo hệ số nào? Viết công thức
Bài 2:
Cho biết x, y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch
a/ Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
b/ y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ nào? Viết công thức
Bài 3:
Biết rằng y1 tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k≠ 0; y2 tỉ lệ thuận với x2
theo hệ số tỉ lệ a Hỏi y1 - y2 có tỉ lệ thuận với x1 - x2 không?
Bài 4:
Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận
a/ Viết công thức liên hệ giữa y và x biết rằng tổng 2 giá trị tương ứng của x là4.k thì tổng 2 giá trị tương ứng của y là 3.k2 (k≠ 0)
b/ Với k = 4; y1+ x1 = 5 Tìm y1; x1
Bài 5:
Cho x và y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận
x1; x2 là 2 giá trị khác nhau của x
y1; y2 là 2 giá trị khác nhau của y
Trang 8b/ Tính x2; y2 biết y2 – x2 = 7; x1 = 5; y1 = - 2
Bài 6:
Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch
x1; x2 là hai giá trị khác nhau của x
y1; y2 là hai giá trị khác nhau của y
z y
Trang 9) ( 210 420
) (
12
) ( 2
12
x y x y x y x y
+
− + +
12
) ( 2
12
y y x y x y x y
−
−
− +
Giải:
Gọi x, y, z là số cây trồng được của 3 lớp 7A; 7B; 7C ( x; y; z ∈ ¥ *;cây )
Theo đầu bài, ta có
8 5 3
z y
x = = và 2x+ 4y−z= 108
Trang 10⇒ 6
18
108 8
20 6
4 2 8 20
4 6
2 8
5
− +
− +
y
x =
) 2 ( 27 24 27
24 9
+
27 24 20
z y x
3550 71
50 × =
= + +y z x
Vậy M = 3550
Bài 5:
Mức nước sinh hoạt nhà bạn A được thống kê trong bảng sau:
tháng 6
Cuốitháng 7
Cuốitháng 8
Cuốitháng 9
Biết tổng số tiền nhà bạn A phải trả trong quý III là 92.000đ
Tính tiền nước phải trả trong mỗi tháng 7; 8; 9?
Giải:
Trang 11+ +
=
=
=
13 17 16 13
17
16
z y x z
Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp
1 có 40 xe ở cách cầu 1,5km; xí nghiệp 2 có 20 xe ở cách cầu 3km; xí nghiệp 3
có 30 xe ở cách cầu 1km Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng bao nhiêu tiền biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu?
38 9 2 8 9
2
8
9 : 2 : 8
:
:
=
= + +
+ +
Trang 12Một trường THCS có ba lớp 7 Tổng số học sinh hai lớp 7A và 7B là 85 em Nếu chuyển 10 em từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A; 7B; 7C tỉ lệ thuận với 7; 8; 9 Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
z y
7
z y
x = = 5
15
75 8
+
+
Vậy số học sinh của lớp 7A lúc đầu là: 35 + 10 = 45 (em)
Số học sinh của lớp 7B lúc đầu là : 40 (em)
Số học sinh của lớp 7C lúc đầu là : 45 – 10 = 35 (em)
Bài 8:
Bốn lớp 7A, 7B, 7C, 7D trồng được 172 cây xung quanh trường Tính số
cây trồng mỗi lớp Biết rằng số cây của lớp 7A và 7B tỉ lệ với 3 và 4; số cây của lớp 7B và 7C tỉ lệ với 5 và 6; còn số cây của lớp 7C và 7D tỉ lệ với 8 và 9
y y
x
và x + y + z + t =172
Vì x y = 43
4 3
y
x =
20 15
z
y =
24 20
z
Vì
9 8 9
t
27 24
t
Từ (1), (2) và (3) ⇒
27 24 20 15
t z y
x = = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Trang 1327 24 20
15
t z y
x = = = 2
86
172 27 24 20
+ + +
+ + +
Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2 và 3; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5; phần thứ ba và phần thứ
số thứ hai, phân số thứ ba tỉ lệ với 3;7;11 và mẫu của ba phân số đó theo thứ tự tỉ
lệ với 10;20;40 Tìm 3 phân số đó?
Bài 3 :
Hãy tìm một số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng chữ số hàng nghìn, chữ số hàng trăm, chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị tỉ lệ với 2; 1; 1; 3 và số đó chiahết cho 3
Bài 6 :
Có 85 tờ giấy bạc loại 10.000đ; 20.000đ; 50.000đ Trị giá mỗi loại tiền trên đều như nhau Hỏi mỗi loại có bao nhiêu tờ?
Trang 14Bài 8:
Tìm 3 số tự nhiên, biết rằng bội chung nhỏ nhất của chúng là 540 và 3 số này tỉ lệ nghịch với 5; 6 và 15
Bài 9:
Một bản thảo cuốn sách gồm 555 trang được giao cho 3 người đánh máy
Để đánh máy 1 trang người thứ nhất cần 5 phút; người thứ hai cần 4 phút; người thứ 3 cần 6 phút Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo biết 3 người cùng làm từ lúc đầu đến khi đánh máy xong
nhiều hơn trong kho thứ nhất 43,2 tấn Sau 1 tháng người ta tiêu thụ ở kho thứ nhất 40%, ở kho thứ hai 30% và ở kho thứ ba 32,5% của số gạo có trong mỗi kho Hỏi trong 1 tháng ba kho đã tiêu thụ hết bao nhiêu tấn gạo?
1
; 2
1
Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp?
Bài 13:
Trang 15Một hợp tác xã chia 1500kg thóc cho cả 3 đội sản xuất tỉ lệ với số người của mỗi đội Biết rằng số người đội 2 bằng trung bình cộng số người đội thứ nhất và đội thứ ba Đội thứ nhất lĩnh nhiều hơn đội thứ 3 là 300kg Hỏi mỗi đội lĩnh bao nhiêu kg thóc?
Bài toán chuyển động có 3 đại lượng S, v và t
Nếu quãng đường không thay đổi ( cùng quãng đường) thì thời gian tỉ lệ
Bạn Minh đi từ trường về nhà với vận tốc 12km/h thì hết nửa giờ Nếu
Minh đi với vận tốc 10km/h thì hết bao nhiêu thời gian?
Trang 16⇒ 12 0,5 = 10.x
Giải:
Gọi thời gian Minh đi với vận tốc 10km/h là x (h) (x>0)
Trên cùng quãng đường thì vận tốc và thời gian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên
Hai địa điểm A và B cách nhau 30 km Hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc từ A
và B đi ngược chiều nhau Ô tô thứ nhất đi từ A, ô tô thứ hai đi từ B Chúng gặp nhau lần thứ nhất tại C cách B là 12km Sau khi gặp nhau, ô tô thứ nhất tiếp tục
đi đến B rồi quay lại A, ô tô thứ hai tiếp tục đi đến A rồi quay lại B Chúng gặp nhau lần thứ 2 tại D Hỏi D cách A bao nhiêu km?
60 12
18
2
v v
Trang 17Từ khi khởi hành tới khi 2 xe gặp nhau tại C thì quãng đường ô tô thứ nhất và thứ hai đi được là: 18km và 12km
Vậy D cách A là : 6(km)
Bài 3:
Một canô chạy từ bến A đến bến B với vận tốc 20km/h và lại quay về A với vận tốc 24km/h Thời gian cả đi lẫn về mất 5h30phút Tìm khoảng cách giữa hai bến A và B
thời gian canô đi từ B đến A là t2 (h)
Trang 18Hai bánh xe răng cửa khớp với nhau Bánh nhỏ có 27 răng quay 60
vòng/phút Nếu bánh xe lớn có 36 răng thì nó quay được bao nhiêu vòng / phút?
⇒ 36.x = 27 60
Giải:
Do 2 bánh xe răng cửa khớp với nhau nên số răng và số vòng quay mỗi phút là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
Ta có: 36.x = 27 60
Vậy bánh xe lớn quay 45 vòng/phút
Bài 5:
Một xe chạy từ A đến B mất 6 giờ, trong khi đó 1 xe con chạy từ B đến A
chỉ mất có 3 giờ Nếu 2 xe khởi hành cùng 1 lúc thì sau bao lâu gặp nhau?
Giải:
và S2 (S1 , S2 >0, km)
Vận tốc của chúng theo thứ tự là v1 và v ( km/h )
Trang 19Trong cùng 1 thời gian, quãng đường đi được tỉ lệ thuận với vận tốc nên
Để đi từ A đến B có thể dùng các phương tiện: máy bay, ô tô, xe lửa Vận
tốc của máy bay, ô tô, xe lửa tỉ lệ với 6; 2; 1 Biết thời gian đi từ A đến B bằng máy bay ít hơn so với đi bằng ô tô là 6h Hỏi thời gian xe lửa đi quãng đường
Trang 20Hai người đi xe máy, người thứ nhất đi từ A, người thứ hai đi từ B
ngược chiều nhau để đến C nằm giữa A và B Khi người thứ nhất đi được
7 2
quãng đường của mình và người thứ hai đi được
9
4
quãng đường của mình thì 2 người đều cách C một khoảng bằng nhau Tính chiều dài quãng đường AB Biết quãng đường từ A đến C ngắn hơn quãng đường từ C đến B là 10 km
Hai máy bay cùng từ thành phố A đến thành phố B Một máy bay, bay quãng đường AB hết 2h30 phút, máy bay kia bay hết 2h20phút Tính vận tốc trung bình của mỗi máy bay Biết rằng cứ 1 phút thì máy bay này bay nhanh hơnmáy bay kia 1 km
Trang 21Bài 4:
Một người đi từ A đến B với vận tốc 4km/h và dự định đến B lúc 11 giờ
45 phút Sau khi đi được
5
4
quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa Tính quãng đường AB và người đó khởi hành lúc mấy giờ
Bài 5:
Hai đoàn tàu hỏa xuất phát từ hai thành phố A và B cách nhau 550 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau tại một địa điểm C Vận tốc của hai đoàn tàu tỉ lệ với 4 và 5, còn thời gian chạy của chúng tỉ lệ với 5 và 7 Tính khoảng cách từ A đến C
Bài 6:
Một xe ô tô chạy từ A đến B gồm 3 chặng đường dài bằng nhau nhưng chất lượng của mặt đường tốt, xấu khác nhau Vận tốc trên mỗi chặng đường lầnlượt là 72km/h; 60km/h; 40km/h Biết tổng thời gian xe chạy từ A đến B là 4 giờ Tính quãng đường AB
Bài 7:
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 45 km/h hết 3 giờ 15 phút Hỏi chiếc
ô tô đó chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h sẽ hết bao nhiêu thời gian?
Trang 22Bài 8:
Để truyền chuyển động quay từ một bánh xe cho 1 xe khách khác, người
ta dùng dây cuaroa Nếu bánh xe lớn có đường kính 15 cm quay 40 vòng/phút thì bánh xe nhỏ có đường kính 12 cm sẽ quay bao nhiêu vòng trong 1 phút
Bài 9:
Hai xe máy cùng đi từ A đến B Một xe đi hết 1 giờ 20 phút, xe kia đi hết
1 giờ 30 phút Tính vận tốc trung bình mỗi xe, biết rằng trung bình 1 phút xe thứnhất đi hơn xe thứ hai 100m
Bài 10:
Hai xe máy cùng đi từ A đến B Vận tốc xe 1 là 45 km/h, vận tốc xe 2 là 40km/h Thời gian xe 1 đi ít hơn thời gian xe 2 là 30 phút Tính quãng đường AB?
Bài 11:
Hai xe ô tô khởi hành cùng 1 lúc và đi về phía gặp nhau từ 2 điểm A, B cách nhau 544km Tính xem 2 xe gặp nhau cách A bao nhiêu km, biết rằng xe thứ nhất đi cả quãng đường AB hết 12 giờ, còn xe thứ hai phải đi hết 13 giờ 30 phút
Bài 12:
Một ô tô đi từ A lúc 8 giờ sáng Đến 9 giờ sáng một ô tô khác cũng đi từ
A Xe thứ nhất đến B lúc 2 giờ chiều, xe thứ hai đến B sớm hơn xe thứ nhất nửa giờ Hỏi xe thứ hai đuổi kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của
Tổng số công việc = Số ngày làm x Số công việc làm được trong 1 ngày
Trang 23Nếu tổng số công việc không thay đổi thì số ngày làm tỉ lệ nghịch với số công việc làm được trong 1 ngày
Nếu cùng thời gian thì tổng số công việc và số công việc làm được trong 1 ngày tỉ lệ thuận
* Bài tập áp dụng
Bài 1:
Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút, người thợ phụ hết 9phút Nếu trong cùng 1 thời gian như nhau, cả 2 cùng làm việc thì tiện được tất cả 84 dụng cụ Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được
Vậy người thợ chính tiện được 54 dụng cụ
người thợ phụ tiện được 30 dụng cụ
Trang 24Vì năng suất của các máy như nhau nên số máy và số ngày để hoàn thành cùng 1khối lượng công việc là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.
12 1 2 6
1 4
1 8
1 6
Giải:
Gọi thời gian bơm đầy nước vào các bể lần lượt là x,y,z (x,y,z >0; giờ )
Vì đáy của 3 bể có diện tích bằng nhau nên thể tích của chúng tỉ lệ thuận với chiều cao của các bể Thời gian bơm đầy bể lại tỉ lệ thuận với chiều cao của các
Trang 25Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho 3
tổ theo tỉ lệ 5:6:7 Nhưng sau đó vì số người thay đổi nên đã chia lại theo tỉ lệ 4:5:6 Do đó có 1 tổ làm nhiều hơn dự định là 10m Tính số mét đường chia lại của mỗi tổ?
1 1 1 1 1
+ +
+ +
5 4 6 5 4
2 2 2 2 2
x
= + +
+ +
z2=
5
2 15
Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau Công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba hoàn thành công việc với thời gian lần lượt là 9 giờ, 6 giờ,
Trang 267h30phút Hỏi trong 1 giờ mỗi công nhân sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng, trong 1 giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều hơn công nhân thứ ba là
3 sản phẩm?
Bài 2 :
Nhờ tăng năng suất, một công ty đã hoàn thành kế hoạch cả năm khối
lượng sản phẩm thực hiện của 3 quý đầu tỉ lệ theo các số 2
Bài 4:
Hai bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tương ứng bằng
nhau, nhưng chiều cao của bể thứ nhất bằng
3
2
chiều cao của bể thứ hai Để bơmđầy nước vào bể thứ nhất phải mất 6 giờ Hỏi phải mất bao nhiêu thời gian để bơm đầy nước vào bể thứ hai, nếu dùng máy bơm có cùng công suất như trên
Bài 5:
Với thời gian để một thợ lành nghề làm được 12 sản phẩm thì người thợ
học việc chỉ làm được 8 sản phẩm Hỏi người thợ học việc phải dùng bao nhiêu thời gian để hoàn thành một khối lượng công việc mà người thợ lành nghề phải làm trong 56 giờ?
Bài 6:
Ba máy xay, xay được 359 tấn thóc Số ngày làm việc của các máy tỉ lệ với 3; 4; 5 Số giờ làm việc hàng ngày của các máy tỉ lệ với 6; 7; 8, còn công
Trang 27suất của các máy tỉ lệ nghịch với 5; 4; 3 Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc?
làm bao lâu mới xong công việc đó?
E DẠNG V: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
* Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất, định lý trong hình học
Bài 1:
Cho tam giác có 3 cạnh tỉ lệ thuận với 5; 13; 12 và chu vi là 120cm Tính
độ dài các cạnh và chứng minh tam giác đó là tam giác vuông
+ +
+ +
Trang 28Cho tam giác ABC có số đo 3 góc tỉ lệ nghịch với 6; 10; 15 Tính số đocác góc của tam giác đó
0
=
= + +
+ +
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là a; b; c (a; b; c >0)
3 chiều cao tương ứng với 3 cạnh đó lần lượt là h1; h2; h3 (h1, h2, h3 >0 )
Trang 29Bài 1 :
Tìm tỉ lệ 3 cạnh của 1 tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng 2 đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả sẽ là 5:7:8
Bài 2:
Chu vi của 1 tam giác là 60cm Các đường cao có độ dài là 12cm, 15cm,
và 20cm Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó
1
; 3 1