„
TRAN THỊ VÂN ANH eee
: e-
te € a"
@e “
BỒI DƯỠNG ee:
HOC SINH GIỎI TOÁN
ĐẠISỐ „ ,
# Kiến thức trọng tâm vá phương pháp giảị ì im ¥ Nang cao ki nang tinh toán | | | |
Trang 2TRAN THI VAN ANH
Mol
@ “ -
Page
BOI DUGNG
HỌC SINH GIỎI TOÁN
ĐẠISỐ fi}
+ Kiến thức trọng tâm và phương pháp giảị
Nâng cao kĩ năng tính tốn
v Các dạng bài tập từ co bản đến nâng caọ
he
@®
Trang 3† ee NHA XUABBANE Bal HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI see 16 Hang Chuél - Hai Ba Trung - Hà Nội
A 'Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896;
tr? > “Hanh chinh: (04) om 899; Tổng biên tập: (04) 39714897 + : (04) 39714899 # ee s f a f «+ khảo tye te fọ # vr / / xử” eon gt ‘ i \ tf 5
i “ Chiu trach nhiệm xuất bản:
aA, Fe -
` “ Giám đốc PHÙNG QUỐC BẢO
a Téng bién tap PHAM THI TRAM
F Biên tập nội dung
oor BiCH HANH
Sita bai
iis ANH THU
Z j Ché ban
ye CONG TI ANPHA
Pah irastaatrig Trinh bay bia
N SƠN KỲ
J Đối tác liên kết xuất bản
CÔNG TI ANPHA SÁCH LIÊN KET đa Mã số: 63DH2010,
In 2 009 tuŠf „khổ 16x Ð4 em tại công tỉ TNHH In Song Nguyên
Số xuất, Kan: 238 - 2010/CXB/22 - 45/DHQGHN, ngay 12/3/2010
hyết: định xuất ban 86: 263LK-TN/XB
eave nộp] lưu chiểu quý II năm 2010 wees
Trang 4LÙI NOI DAU
Điđáp tmg nhu cau học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên, tc gid đã mạnh dạn viết quyền sách:
Bai dưỡng học sinh giỏi Toán Đại số 8
Tron quyền sách này, tác giả đã phân chia thành 10 chủ để cơ bản sau, bao gm:
d Chia da thiec
Phân tích đa thức thành nhân tử 8 Phân thức hữu tỉ
4d Phương trình dạng ax +b=0
§ Giải bài tốn bằng cách lập phương trình 6 Bất phương trình bậc nhất
Ø Các bài toán uể số học
8 Bất đẳng thức
9 Các bài toán tổng hợp
40 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
Tan gì mỗi phân, sách được câu trúc gồm 4 nội dung chính như sau: 1Kiến thức cơ bản 2 Các ví dụ mình họạ
3 Bài tập vận dụng 4 Hướng dẫn và đáp số
Vé mỗi dạng bài tập cơ bản đều có phương pháp giải cụ thể và ví dụ minh ọạ Ngoài ra, các bài tập đều có hướng dẫn giải chỉ tiết, dễ hiểụ Nhiều¿í dụ có lời nhận xét để giúp học sinh tránh các sai lầm cơ bản Các bài tậi được lựa chọn từ dễ đến khó, có những bài tác giả đã đưa ra nhiều phươn pháp khác nhau để bạn đọc tham khảọ Ngoài ra tác giả đã đưa thêm phân: xác bài toán tổng, hợp và một số đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, thanhohé trên toàn quốc, để bạn đọc tham khảo thêm Mặc dù đã hết sức có gắn, song lời giải các bài toán trong quyền sách này có khi chưa phải là phươn án giải hay nhất và cũng có thể cịn thiếu sót Tuy vậy, tác giả hy vọng rng quyên sách này sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và
giảng ạy, đặc biệt là quá trình tự học
Chc các em học sinh và các thây cô giáo quan tâm đến quyền sách này thành ông trên mọi lĩnh vực Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các enhọc sinh và các thầy cô giáo, tác giả xin chán thành cảm ơn trước
Mi ý kiến đóng góp xin liên hệ: Trung tâm Sách giáo dục Anpha
225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp HCM
“ông tỉ Sách - thiết bị giáo duc Anpha
¡0 Nguyễn Văn Săng, Q Tân Phú, Tp HCM
IT: 08 62676463, 38547464
‡mail: alphabogkoenterÐyahoọc com Xichân thành cam on!
©
Trang 5MỤC LỤC
§], Chia đã HE cucuringtoioionditiRiigtiRaussoina "“ ố.ẽ 3
§2 Phân tích đa thức thành nhân tử .- con 14
§3; Phan thite Ith th sscsssscasccccssonsssssscernnnsnannssssinosconapenstssasannpestussvonanonesnnneaisvargseovoeyes 48
§4 Phương trình dạng ax + b = Ũ -.cc- con rrrrrrrree 74 §5 Giải bài toán bằng cách lập phương trình . -ccssctveerree 101
§6 Bất phương trình bậc nhất :.::‹ .‹:csc s02 nn2 000 ng Ha nu Lá 0000201016 121
§7 Các bài toán về số học - 2+ t+cxt+rkrrrrrrrrerrrrrzrtrrrirrtrrrrrrrke 135
b8 173
§9 Các bài toán tổng hợp
Trang 6§1 CHIA ĐA THỨ
Một số kiến thức cơ bản
1 Đa thức là một tông đại số nhiều đơn thức Giá trị của đa thức P() với
x=a được ký hiệu là P(a) Hai đa thức có cùng số trị với mọi giá trị của
các chữ trong đa thức gọi là hai đa thức đồng nhất Hai đa thức cùng
bậc của x đồng nhất khi và chỉ khi hệ số các hạng tử đồng dạng bằng nhaụ Một đa thức đồng nhát bằng 0 khi và chỉ khi tắt cả các hệ số bằng 0
2 Đa thức Ăx) gọi là chia hết cho đa thức B(x) nếu tôn tại đa thức Q(x)
_ sao cho Ăx)= B(x).O(x) Với mọi cặp đa thức Ăx) và B(x), tôn tại cặp đa thức Q(x) va R(x) sao cho Ăx) =B(x).O(x)+R(x) trong do
i bdc cia R(x) nhé hon bac cia B(x) Khi dé Q(x) la thuong va R(x) la du cua phép chia Ăx) cho B(x)
Ta cũng nhắc lại ở đây rằng nếu hai đa thức gọi là bằng nhau nếu chúng
có cùng giá trị với mọi giá trị của biến Do đó nếu hai đa thức (được viết
- dưới dạng thu gọn) có các hệ số tương ứng của các đơn thức đồng dạng
| _ chứa trong hai đa thức đó bằng nhau thì hai đa thức đó bằng nhaụ
Các ví dụ mình họa
Ví dụ 1 Xác định hệ số a để đa thức (x? -3x + a) chia hết cho (x— 1)°
Giải Cách Iz Thực hiện phép chia: Ta có:
(x? -3x+a)=(x” —2x + 1).(x + 2) + (a — 2)
Muốn phép chia không cịn dư, ta phải có a-2=0 © a=2
Vậy để đa thức (x? -3x+a) chia hết cho (x—1)? thì a =2
Cách 2z Phương pháp hệ số bắt định
Giả sử đa thức bậc ba xÌ—3x+a chỉa hết cho đa thức bậc hai x’ -2x+1,
ta được thương là nhị thức bậc nhất, có số hạng bậc cao nhất là
x’: x? =x, s6 hang bac thap nhất là a :1= ạ
Nhur vay x?-3x+a đồng nhất với (x?—2x +1)(x+a), tức là x`~3x+a
đồng nhất với: x” +(a—2)x” +(I—2a)x+ạ
Do đó hệ số các số hạng đồng dạng phải bằng nhau, tức là:
i “a 2 a=2 =-3
Trang 7Cách 3: Phương pháp trị số riêng
Gọi thương của phép chia là Q(x) ta có x”—3x+a =(x -1} Q(x) véi
moi x Voi x =1 thi P —3.1+a=0.Q(x) hay -2+a=0 @ a=2 Vậy, với a=2 thì x"—3x+a chia hết cho (x-V
Ví dụ 2: Xác định các hằng số a và b sao cho: ạx'+ax? +b chia hết cho x? —x +]
b.ax) +bx? +5x—50 chia hết cho x? +3x-10 Giải
ạ Cách 1: Đặt tính chia ta được thương bằng x”+x+a, dư (a-1)x+(b-a)
Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0, do đó a =1, b=ạ
Vậy a=b=l
Cách 2: Thương có dạng x?+cx+b Nhân nó với x?—x+I rồi đồng
nhất với x'+ax?+b, ta được c-l=0, b-c+l=a, c—b=0 Suy ra
a=b=c=l
b Cách 1: Dat tinh chiạ
Cách 2: Déng nhat (x? +3x-10)(ax+5) với đa thức bị chia, được
3a+5=b, 1Š5—10a =5 Suy ra a=l, b=8
Cách 3: Xét ax? + bx?+5x—50=(x+B)(x—2).Q(x) Lần lượt cho
—125a + 25b = 7ð -Ba+b=3 a =1
8a+4b=40 “” [nho = feos
Vi du 3: Tim cac hang số a va b sao cho x? +ax+b chia cho x+1 thi du 7, chia cho x—3 thì dư -5
x=-5, x=2, ta được:
Giải
x?+ax+b =(x+1).P(x) +7 nên với x =—1 thì -I—a+b=7, tức là:
a-b=-8 (1)
x? + ax + b =(x—3).Q(x)—5 nén voi x =3 thi 27+3a+b=-5 ture lia:
3a+b=-32 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a =—10, b=-2
Ví dụ 4: Tìm các hằng số a, b,c sao cho ax? +bx?+c chia hét cho x+2,
chia cho x? —1 thì dư x+5
Giải
Trong hằng đẳng thức ax° + bx? +e=(x+2).P(x), cho x=-~2, ta (được —8a+4b+c=0 (1)
Trong hằng đẳng thức ax” +bx? +c=(x+1)(x—1).Q(x)+x+5, lần lượt
cho lễ) x=-1, được a+b+c=6, -a+b+c=4 (2)
Trang 8-BDHSGT8-Vi du: Đa thức P(x) chia cho (x—1) được số dư bằng 4 chia cho (x3)
được số dư bằng 14 Tìm số dư của phép chia P(x) chia (x -1)(x -3)
Giải
Cách !: Gọi thương cua phép chia da thtre P(x) cho (x — 1) va cho (x — 3) theo thir tu 1a Ăx), B(x) va du theo thir tu 1a 4 va 14 Nhu vay:
P(x) =(x-1).Ăx)+4 voi moi x (1)
P(x) =(x—3).B(x}+14 voi moi x (2)
Gui thong cua phép chia P(x) cho đa thức bậc hai (x—1)(x—3) là C(x)
v¿ dư là R(x) Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có dạng ax +b
T:có: P(x) =(x-1)(x-3).C(x)+(ax+b) voi moix (3) Tlay x =1 vao (1) và (3) ta có: P(1)=4; P(I)=a+b
Tlay x=3 vào (2) và (3) ta có: P(3)=14; P(3)=3a+b
a+b=4 a=5
Tt =
8a+b=14 b=-1
V:y, dư của phép chia P(x) cho (x—1)(x—3) là 5x~1 Cách?: P(x) =(x—1).Ăx)+4 nên (x—8)P(#) = (x— 1)(x - 3).Ăx) + 4(x— 3) (1) P(x)=(x-3).B(x)+14 nên: (x~1)P(x) = (x— 1)(x - 8).B(x) + 14(x —1) (2) Lễ (2) trừ (1) về theo về, ta có: [(«-1)-(x-3)] P(x) =(x-1)(x -3).[B(x) — Ăx) + 14(x - 1) - 4(x- 3)] = 2P(x)=(x~1)(x~3)[B(x)~ A (x) ]+ 10x =2
Dr do: P(x) = (x-1)(x-3) POAC) 5 (5-1) trong đó bậc của 5x — l nid hon bậc của (x—1)(x~—3)
Viy dư của phép chia P(x) cho (x—1)(x—3) là 5x - 1 Ví dụ6: Chia các đa thức
ạ(3x* — 8x° — 10x? + 8x —5): (3x? —2x +1) b.(2x° — 9x? + 19x — 15) : (x? — 3x + 5)
Trang 9Giải
ạ Cách 1: Chia thông thường
3x‘ -8x* -10x? +8x-5 3x? -2x+1 3x4 -2x* +x? xÌ-2x—5 —6x*—11x?+8§x—5 ~6x? +4x? -2x —15x?+10x—5 —15x?+10x—§ 0 Cách 2: Dùng phương pháp hệ số bất định:
— Ta nhận thấy rằng, hệ số của hạng tir có bậc cao nhất của đa thức bị chia và của đa thức chia là băng nhau (băng 3) Vậy hệ sô của hạng tử có bậc cao nhat của thương phải là 1 Tương tự như vậy, hạng tử khômg đôi
của thương phải là -ð(—B.1) =—5 Mặt khác, đa thức bị chia có bậc: là 4,
đa thức chia có bậc là 2 Vậy đa thức thương có bậc là 2 Do vậy đai thức
thương phải có dạng : x? +ax—5
Ta có: 3x! —8x)—10x? +8x~—5 = (3x? -2x + 1)(x? + ax — 5)
Khai triển về phải bằng phép nhân các đa thức, ta có: 3x1 —8x” —10x? +8x—5
=8x' + (3a — 2)x? + (—15 — 2a +1)x? + (a +10)x—5 Hệ số của các hạng
3a-2=-8
tử cùng bậc ở hai về phải bằng nhau, ta suy ra: {-15-2a+1=-10
a+10=8
Cả ba đẳng thức đều cho a =—2 Vậy đa thức thương là x”—2x —5
b Cách ï: Cách thông thường (các bạn tự giải)
Cách 2: Sử dụng phương pháp đồng nhất các hệ số (phương pháp lhệ số bất định) Ta thấy ngay thương phải là một nhị thức bậc nhất mà lhệ số của x là 2, hạng từ khơng đổi là ¬3
Đó là 2x—3 Kiém tra lai, ta thay đúng là:
(2x) — 9x? + 19x — 15) = (x? — 3x + 5)(2x — 3)
c Cách I: Ta nhận thấy: Đa thức bị chia bậc 5, đa thức chia bậc 3 Viậy đa
thức thương phải là bậc 2
— Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của x trong đa thức bị chia là 6,
trong đa thức chia là 3 Vậy hệ sô của hạng tử có bậc cao nhât của x thướng là 2
t th b
Trang 10-BDHSIGT8-Tường tự, hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của y trong thương là 2
Vậ¿ thương phải có dạng: 2x” +axy + 2y” Ta có: (6:5 —3x1y + 2x)ỷ + 4x?ỷ -5xy! + 2y”)
= (3x3 —2xỷ + y*)(2x? + axy + 2y”)
Đằng mất các hệ số của các hạng tử cùng bậc ở hai về sau khi khai triển,
ta :ó: a=—l Vậy thương là 2x”—xy +2yỶ
Cách 2: Chia thơng thường
6:2~3x'y+2x)ỷ+4x?y)—5xy°+2y ` |3xÌ—-2xy°+
6 -4xÌy ` +2x'ỳ 2x? —xy+2y’ ~3x*y + 6x*ỷ +2x’y’ —Sxy’ +2y”
-3x'y +2x'ỳ -xy! 6x)ỷ -4xy!+2ỳ
6x’y’ —4xỳ+2y”
0 Cui ỵ
—Phương pháp hệ số bắt định chỉ nên sử dụng trong phép chia khi biết ciắc thương là một nhị thức bậc nhất hoặc là tam thức bậc hai mà ta đã
bét mot vai hệ số chỉ cân xác định một, hai hệ số nữa; chỉ trong trường hp nèy thì việc làm mới đơn giản và có lợị
Piương pháp phân tích thành nhân tử cũng chỉ nên dùng khi việc phán
tíh là tương đơi đơn giản
Ví dụ 7 Chứng minh định lí “Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị
thre (x—a) băng giá trị của đa thức ây tại x =a”
Giải
Cha đa thức f(x) cho nhị thức (x—a), ta được thương là Q(x) và dư là
hằng sơ r Ta có f(x)=(x-a)Q(x)+r với mọi x, do đó x=a thì f(a)=r
Clú ý: Định lí trên được gọi là định lí Bê-du mang tên nhà tốn học
Phíp Bézout (1730 — 1783) Định lí Bê-du giúp ta tính sơ dư của phép cha đa thức f(x) cho nhị thức (x—a) mà không cân thực hiện phép chia đathức
a lí Bê-du, ta thấy đa thức f(x) chia hết cho (x—a) khi và chỉ khi
ei của đa thức
Trang 11Ví dụ 8 Cho đa thức f(x) =agx" + a,x? + a,x? + a,x +a, Chứng minh rằng: a) Da thtre f(x) chia hét cho (x -1) nếu tông các hệ số bằng 0
b) Đa thức f(x) chia hết cho (x + 1) nếu tổng các hệ số của hang ttt bậc
chin bing tổng các hệ só của hạng tử bậc lẻ
Giải
a) Theo định lí Bê-du, số dư r của phép chia f(x) cho (x-1) la:
r=f(1)=a,+a,+a,+a,+a,
Néu a, +a, +a, +a, +a, =0 thir=0
b) Theo định lí Bê-du, số dư r của phép chia f(x) cho (x +1) là:
r=f(-1)=a,-a,+a,—-a, +a, Néu a, +a, +a, =a, +a, thi r=0
Chú ý: Chứng minh trên không chỉ đúng đối với đa thức f(x) có bậtc bốn
mà còn đúng với đa thức f(x) có bậc bât kì
Ví dự 9 Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2n”+3n+3
chia hét cho gia tri của biêu thức 2n—1 Giải: Đặt phép chia: 2n?—3n+3 2n-1 — 2n?—n n+2 4n+3 - 4n-2 5
Đa thức 2n? +3n +3 không chia hết cho đa thức 2n—1, nhưng có mhững giá trị nguyên của n đẻ giá trị của 2n”+3n+3 chia hết cho gia tri cua
2n-1
Muốn vậy 2n-—l phải là ước của 5, tức là +1; +5
Voi 2n-1=1 > n=1
Voi 2n-1=-1 > n=0
Voi 2n-1=5 => n=3
Véi 2n-1=-5 => n=-2
Vậy với n bằng 1; 0; 3; —2 thì giá trị của biểu thức 2n”+3n+3' chia
uết chọgfá trị của biểu thức 2n—1
gv
Trang 12-BDHSGT8-10 11 12 Bài tập vận dụng Rú gọn các biêu thức: Ẻ 45 i 9 |: 5 125199 2190 ; “la 7 16 3 “5298 geo” 914) - “ors
Xai dinh hé sé a dé da thie (x‘ + ax” +1) chia hét cho (x? + 2x +1)
5 8(x + 2y)? ` 9x+4y ˆ
4, (15.3! +4.27'):9";
Xác định hệ số a để phép chia (3x? +ax +27) chia cho (x+5) có số dư
bằng 2
Tìn hệ số a và b để đa thức (x' +ax? +b) chia hét cho (x? + x +1) Tin hé sé a va b sao cho (ax` +bx~24) chia hết cho (x +1)(x +3)
Tin hé sé a va b sao cho (x‘ -x? -3x* +ax +b) chia cho (x? —x-2)
đực dư là (2x—3)
Đathức (2x°+ax+b) chia cho (x+1) dư -6, đa thức ấy chia cho
(x-2) dư 21 Xác định các hệ số a và b
Chmg minh rằng không tổn tại số tự nhiên nào đẻ giá trị của biểu thức
2n - 3n? +n +3 chia hết cho giá trị của biểu thức n” —n
Khang làm phép chia đa thức, hãy xác định xem đa thức 4x? -7x?-x-2
có :hia hêt cho các đa thức sau hay không:
a) :-2; b) x+2
Chị đa thức P(x)=a,x”+a,x” +a;x” +a;x” +a,x +a, Chứng minh: a) K(x) chia hét cho (x—1) néu tổng các hệ số bằng 0
b) '(x) chia hết cho (x +1) nếu tổng các hệ số của lũy thừa bậc lẻ đối vớix bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc chẵn đối với x
Xá định dư của phép chia đa thức (x + x3 + x? +x?” +xẺ!) cho:
a) :-1; b) x?-1
Chmg minh rang (x? + x-1)!° +(x? -x +1)" -2 chia hét cho (x-))
#, 5
Trang 1313 Tìm các giá trị nguyên của x để số trị biểu thức (2x? +x~7) clhia hết cho số trị biểu thức (x-?)
14 Tìm các giá trị nguyên của x đẻ số trị biểu thức (10x? -7x —5) cihia hết
cho số trị biểu thức (2x—3)
15 Xác định số tự nhiên n dé số trị biểu thức (25ðn? -97n +11) chia hết cho
số trị biểu thức (n—4)
16 Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x+3) thi du 1, chia cho (x—4) thì dư 8, chia cho (x+3)(x—4) được thương là 3x và còn dư
17 Xác định hằng số a sao cho:
ạ4x?—6x+a chia hết cho x—3
b 2x?+x+a chia hết cho x+3
c x’ +ax?—4 chia hết cho x?+4x+4
18 Xác định hằng số a sao cho:
ạ 10x?-7x+a chia hết cho 2x—3
b 2x”+ax+l chia cho x—3 dư 4 c ax”+5x'—9 chia hết cho x—1
19 Xác định các hằng số a và b sao cho
ạ x‘ +ax+b chia hét cho x’-4 b x‘ +ax?+bx—1 chia hết cho x? —1 c x`+ax +b chia hết cho x?+2x—2
20 Xác định các hằng số a và b sao cho
ạ ax‘ + bx? +1 chia hét cho (x —1)?
b x‘+4 chia hét cho x? +ax+b
21 Rut gon cac biéu thức:
50
a) 49:71; b) (23) (3) ;
22 Xác định các số a sao cho:
a) 2Œ chia hết cho 3x +2;
ape 241 chia hét cho x? +2x +1;
9] (8:
Trang 14-BDHSGT%-Hướng dẫn và đáp số
: 3 45 3 20
1 ' Đôi thành lũy thừa cùng cơ sô: B (2) 3)
4 B ‘
125100 2160 _ oe, 2160
2
g298 480 ~ 5208 9160 2160 =5 =25
2 Đồi thành lũy thừa cùng cơ số:
£ 1 Đáp sô: — P 15 4 Dap sé: 1 s 8+ 2y)” _ 8@&x+2y) _ 2x+4y 2(x + 2y) Dap sé: a=-2
Gọi thương của phép chia la Q(x) thi (3x? + ax + 27) = (x +.5).Q(x) +2
với mọi x Sau đó cho x =—5, ta được a = 20
)
4(x+ 2y)”
4 Cách I: Làm phép chia, ta được thương bằng x? —x+a, dư (1~a)x+(b~-a)
Muốn chia hết thi da thức dư phải đồng nhất bằng 0, tức là fo o of} ¬
Cách 2: Nhận xét thương là đa thức bậc hai có số hạng bậc cao nhất là
x!:x? =x?, số hạng bậc thấp nhất là b:1= b Gọi thương là x? +cx+b
rồi đồng nhất (x? + x + 1)(x? +cx + b) với (x*+ax? + b), ta được
c+l=0; b+c+l=a; b+c=0 > c=-l;b=l;a=l
5 Cách I:
Thực hiện phép chia, được thương là ax— 4a, dư (13a+b)x+(12a—24)
Cách 2: Đồng nhất đa thức (ax + bx—24) với (x? + 4x + 3)(ax —8), suy
ra 4a—8=0; 3a—32=b
Cách 3: Với mọi x, ta có (ax" +bx— 24) =(x + 1)(x + 3).Q(x), lần lượt cho x =~1; x =-3 Dap SỐ: a=2; b=-26
6 Đáp số: a=3; b=-1
7 Với mọix,tacó: (2x?+ax+b)=(x+1).P(x)—6 (1) go (2x° + ax + b) =(x —2).Q(x)+21 (2)
Trang 15Voi x =-1 thi -2-a+b=-6
Voi x =2 thì l6+2a+b= 21 Do đó: a=3; b=—1
8 Ta phải có (n? —n) là ước của 3 Điều này không xảy ra vì (n? —n) là số c:hằn
9.ạ 4x) —7x? -=x—2=(x—9).P(x) + r với mọi x
19
11
12 13
Với x=2 thì 4.2°—-7.22-2-2=r @ r=0
Vậy, 4x°—'7x?—x—92 chia hết cho x—2 b Số dư của phép chia bằng — 60
a) a,x° +a,x‘ +.a,x°+a,x"? +a,x+a, =(x-1).Q(x)+r với mọi x
Voi x=1 thi a,+a,+a,+a,+a,+a, =r
Néu a,t+a,+a,+a,+a, +a, =0 thi r =0, tức là P(x) chia hết cho x:—]
Tương tự như trên, ta có: =a, +a, 4; +a; —a, +aạ =T
Nếu a,+a,+a, =a,+a, +aạ thì r=0, tức là P(x) chia hết cho x + ]
ạ Dư trong phép chia cho x — I là hằng số
Gọi thương của phép chia là Q(x) và dư là r, ta có với mọi x:
(x+x° 4x9 4x77 4x8) =(x-1).Q(x) +r
Voi x=1 thi 1+1+14+1+1=5 © r=5
Vậy, số dư của phép chia là 5
Dư trong phép chia cho x?—1 có bậc cao nhất là bậc nhất
Gọi thương của phép chia là Q(x) và dư là ax +b, với mọi x ta có:
(x+xŸ +x? +x? + xÊ!) = (x? —1).Q(#) + (ax + b) Với x=l thì 5=a+b
Với x=-—1 thì -5=-a+b
Từ đó a =5; b=0 Dư của phép chia là 5x
Dat (x? + x-1)! +(x? -x4+1) -2=(x-1).Q(x) +r véi moi x, rồi cho
x=l, ta được r=0
Đặt phép chia (2x? +x-— 7) cho x — 2, ta được thương là 2x +5, số dư là
3 Như vậy đa thức (2x?+x—7) không chia hết cho x - 2 Nhưmg có
những giá trị của x làm cho số trị của (2x? +x— 7) chia hết cho số trị của
x2 Đó là những giá trị của x mà 2 chia hết cho x — 2 Ước số của 3 là
eer 1;—1;3;— 3, ta được x=3; l; 5; —1
Trang 16-BDHS(GT8-14 Đát số: 2; 1;— 2; 5
15 n—‡ phải là ước sô của 23 Đáp số: 5; 3; 27; — 19 16 Dư :ủa phép chia là x+4
P@) =3x(x +3)(x—4)+x+4=3x)—3x” -35x + 4
17.ạ ¡=—18 b.a=-l5 c.a=3
18.ạ e=-—12 b a=-5 c.a=4
19 ạ Có thể giải bằng 3 cách: đặt tính chia, hé sé bat định, xét giá trị riêng Day so: a=0, b=-16
b Cé tlé giai bang 3 cách như câu ạ Đáp số: a + b = 0 (tức là a tùy y, b=-a) c Có thẻ giải bằng hai cách: đặt tính chia, hệ số bất định Đáp số: a =—6, b= 4 20.ạ Gai bang hai cách: Dap sé a =3, b=-4
b Than tich x* +4 thanh nhan tt, duoc (x? + 2x + 2)(x? -2x +2)
Va: a=+2, b=2
21 a) Đổi thành lũy thừa cùng cơ số:
Cách 1: 49!?:7! =(72)!?:71 =7?! ;74 = 720 Cach 2: 49)? : 74 = 491? : (72)? = 49 : (49)? = 4919 b) Đáp số: 1 5 c) Dap sô: (3) 22 a) 1=-12 b) 1=-2
c) đọi thương của phép chia la Q(x) thi 3x? + ax +27 =(x +5).Q(x)+2
voimoi x
Sai dé cho x=—5 ta được a =20
Trang 17§2 Phân tích đa thức thành nhân tử
Một số kiến thức cơ bản
Hàng đăng thức đáng nhớ
(8+b) =a+2ab-rb?; (a—b) =a”~2ab+b°; ' (n+b)(ãb)=ả—b?
(a +b) =a’ +3áb+3ab” +; (a—b)’ =a) —3a°b+3ab?—b’; a’ +b) =(a+b)ả-—ab +b"); ‘a°—b®=(a—b)(a* Hab +b’)
(atb +e) Gả +b* +c? + 2ab+ 2ac+ 2be
Các dạng bài tập cơ bản
Dang I: Phan tich da thitc thank nhan tie bang phương Pháp dat nhan tr chung
Phương pháp chung: Trong phương Pháp này, người †a thường tách cdc hang Iucủa, đại thức thành tích các nhận tứ saọ cho giữa các haing tir
‹: xuất hiện nhân tứ chưng —
Đăng 2: Phần tích đa thức thành nhân tứ bằng phương pháp nhóm Riều
i hang tr
+ Phuong pháp chung: Sử dụng tỉnh chất giao hoán vã kết hợp củạ phép
cong, ta ket hop nhữn, : hang tử của đá thức thành 'tác nhớm thíclr Hợp,
: hành nhân hử đội với
tứ bằng phương Pháp dũng fiằng ing: Tả Sứ ( hang thế: thức đáng Nhữi theo
nay la mot aa Thức sang ve kia:la một tích cửa các
Ci ‘ én Xhi lách tác; “Si
Tổ Thường Chỉ đến: Sử xuất hiện nhuận tử
h Hộ đồng thức đăng nhớ ` VI mi =
ñ an fi t bing cách phái hộp) Thiều
ph D phương trinh bac cao, ngudi ta mg phan Tiến Thành wh Từ dua ve Phường trình tích |
Trang 18Dang 7 Sw dụng phân tích thành nhân tử để giải các bài toán khác Dang §& Sử dụng định lý Bezout vào phân tích đa thức thành nhân tử
Các ví dụ mình họa
Dạng I: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhìn tử chung
Ví dụ ,: Đưa các nhân tử chung ra ngoài dau ngoặc:
,„m+2 m
a, oh a", b -ỗx"y +15x"ỵ
Giải
ạ an2~am =a",ả sa" =a"(ả =1) =a"(a —1)(a + 1) b Phar biệt hai trường hợp:
* n2n:-5x™y + 15x"y =—5x".x™™"y + 15x"y =—5x"y(x™" —3)
* nm<n: -õx”y +15x"y =-5x™y +15x™.x™™y =-5x™y(1-3x"™)
Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhu hạng tử
Phương pháp chung: 1a sử dụng các hằng đăng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ về này là một đa thức sang về kia là một tích của các
nhữn tử, hoặc lũy thừa của một ẩa thức đơn giản hơn
Ví dụ ¡: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
ạ Pat x’yz — x22? —xyz?; b p™ *?*q— —p"—1q 3 —p?q"°!+ pq’
Giải
Có nhiều cách giải, tùy theo cách ta nhóm các số hạng ạ Cach I:
P=x°z+x?yz—x?z? — xyz? =(x°z— x?z”) +(x*yz— xyz?) = (s-2)(x?z + xyz) = XZ(X — Z)(X + y) Cách 2: P =(x*z + x?yz)—(x?z? + xyz?) = x?2(x + y) — xz?(x + y) = XZ(X + ÿ)(X — Z) b Cah I Q=p™?.q—p™"'q’ —p’q™ +pq"”’ = p™'q(p - q”) - pa”""(p - q) =Œ~q”)(p””'q — pq”*") = păp - a’)(p™ — 4”) Caich 2: Q=(p""*q + pq”) —(p™"'q? + p’q™")
™*! 4.q"*?)—pq(p"q” + pa”) = pal (p™" -a’p™) + (a"*? - pa”) |
= 2G ~q”)+q"(qŸ =p)]= pq(p - q”)(p" =q")
BẸ S5T8- 15
Trang 19Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử:
ạ x?—(a + b)xy + aby” b ab(x? + ỷ)+ xy(ả + b?)
c (xy+ab}” +(ay—bx)Ÿ; d ả(b—c)+b?(c—a)+cẻ (a—b))
Giải
ạ x’ —axy—bxy +abyÌ =(x? =axy) — (bxỹ- aby”)
=x(x~ay)— by(x—ay)=(x—ay)(x— by)
b (abx? + xya”)+ (abỷ + xyb?) = ax(bx + ay) + by(ay + bx)
= (bx + ay)(ax + by)
c x'ỷ+ảb?+a2ỷ +bˆx? =(x2ỷ +a2ỷ)+ (ảb? + b?x”) = ỷ(x? +a”) + b?(x? +a”) =(x? +a’)(ỷ +b’)
d (a°b—a°c + b?c—b?a) +°(a — b) =[ (a”b ~ ba) (a°e — be) |+ c”(a — b)
= [ab(a —b)-c(ả— b*)] +c? (a—b) =(a—b)(ab-ca—ch) +c?(a-b) =(a—b)(ab-ca-—cb+c*)=(a- b)[ (ab ~cb)+(c? —ea) |
=(a—b)(a -c)(b—c)
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp chung: Ta sử dụng các hằng đăng thức đáng nhớ: theo chiều biến đối từ về này là một đa thức sang về kia là một tích của các nhân tử, hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản hơn
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử:
ạ 25x* —10x?y + ỷ
b -16a‘b® - 24a°b® - 9a°b*; c 8m> + 36m?n + 54mn? + 27nŸ
Giải
ạ 95x! —10x2y+ỷ =(Bx?)? -2(5x?)y + ỷ =(Bx? - y)?
b -16ábŠ ~24a5bŠ ~ 9a°b* = ~áb*(16b? + 24ab + 9a)
=-a*b* [ (4b)? + 2(4b)(8a) + (8a)? ]= ~a*b*(4b + 3a)?
c 8m? + 36m?n + 54mn? + 27nŸ
=(2m)? + 3.(2m)?.3n + 3.2m(3n)? + (3n) = (2m + 3n)?
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử:
ạ 4b?c° —(b? +c? -a”)?; b (ax + by)’ - (ay + bx)’;
pe 5)? -4(ab+2)?; — d.(4x?-3x-18)?—(4x?+3x}
Trang 20-BDHSGT8-Giải
ạ (2b+b?+c?®—ả)(2be—b?—c?+a”) =0 +c) =ả lÍả -( —e} |
=(t+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)
b (ax- by +ay + bx)(ax + by — ay — bx)
=(:+ b)(x + y)(a — b)(x— y)
c (ả-b?-5+2ab+ 4)(ả +b? —5 - 9ab - 4)
=[« +b)? -1][(@-b)’ -9]=(a+b+1)(@+b-1)(a-b+3)\(a-b-3)
d (4x -3x-18+ 4x? + 3x)(4x? - 3x —18 - 4x? - 3x)
= (&? —18)(-6x -18) =[2(4x° ~9)|[-6œ +3)] =~12(2x + 3)(2x - 3)(x +3)
Ví dụ 3 Phân tích thành nhân tử:
[4aed +(ả+b?)(c? + d)Ƒ = 4[ ed(a” +b’) +ab(c? +d? Ÿ
(Đè thi vơ địch tốn vịng II, Belarussia, 1958) Giải
Bié: thức có dạng: Ả —B?, trong đó
A =4abed + (ả + b?)(ẻ + d?);B = 2cd(ả + b?) + 2ab(ẻ + d?)
Ta ó: Ả~B? =(A + B)(A - B)
A4B = (ả +b?)(c? + d?) + 2cd(ả + b”) + 4abed + 2ab(c? + d?)
=(¢ +b’)(c? +d? + 2cd) + 2ab(2cd + c? + d?)
= (ct d)?(ả + b? + 2ab) = (c +d)?(a +b)?
Tuag tu nhu vay, ta phan tích được: A - B = (e — đ)?(a - b)?
Cuế cùng ta có: Ả - B? =(a + b)Ÿ (a — b) (c + đ)” (e— đ)”
Dạng + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt»à tách các hạng tử ạ Phươig pháp tách một hạng tử: Ví dụ 1 Phân tích thành nhân tử: x? -6x+8 ‹ Giải Ta ó thể có nhiều cách khác nhau để tách các hạng tử: Cada 1: x? -6x +8 =(x’ — 2x) — 4x +8 = x(x - 2) — 4(x — 2) = (x — 2)(x — 4) Cáa 2: x? -6x+8 =(x?—6x+9)—1=(x—3)?T—1 #1)(x~3~1)=(x~2)(x=4) aes
| ĐAI HỌC QUỐC GIÁ HA NO!
StT8- | TRUNG TAM THONG TIN THU VIEN 17
Trang 21
Cách 3: x? -6x+8=(x”—4)—6x+12= (x— 2)(x + 2) — 6(x — 2) =(x —2)(x + 2-6) =(x-2)(x-4) Cách 4:x? —6x + 8 = (x? —16)—6x + 24 = (x— 4)(x + 4) — 6(x — 4) =(x-4)(x+4—6)=(x—4)(x— 2) Cách 5: x? -6x +8 = (x? -4x+4)—9x+4=(x— 9)? -2(x — 2) =(x-2)(x-2-2)=(x—2)(x— 4) Vĩ dụ 2: Phân tích thành nhân tử:
ạ x’ —7xy +10y’; b ả—5a—14
Giải
ạ x?—7xy +10y” =x? —2xy —5xy +10y”
= x(x —2y)- 5yœ— 2y) =(x- 2y)(x -5y)
b ả—5a—14=ả +2a — 7a —14 =ăa + 2) — 7(a + 2) = (a + 2)(a — 7)
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: ạ 2m? +10m +8; b 4p? - 36p +56; c x —ðx? —14%; d x?yz+5xyz —14yz Giải: ạ 2m?+10m+8 =2(m? +5m + 4) = 2[(m? +2m+1)+(3m +9] = 2[(m +1?+3(m+ 1)| =2(m +1)(m +1+3) =2(m+1)(m + 4) b 4p? —36p +56 = 4(p? —- 9p +14) =4[[(p? ~ 4p +4)~ (Bp —10) |= 4[(p — 2) — B(p — 2) = 4(p—2)(p- 2-5) =4(p-2)(p-7) c xỶ—Bx?—14x=x(x?-5x—14) =x[GÈ +4x+4)~ (9x +18) |= x[ (œ + 2) — 9(x + 2) =x(x+2)(x+2—9) = x(x + 2)(x — 7) d x?yz+Bxyz—14yz = y2(x? +ðxT—14) =yz [œ —4x+4)+(9x— 18) ] =yz [œ ~2)?+9(x— 2)] = yz(x — 2)(x — 2 + 9) = yz(x — 2)(X + 7) Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử: xŸ + 3x? -4 Giải:
Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức Ta nhắc lại a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0 Như vậy
nếu da t c fix) chứa nhân tử (x — a) thi a phải là nghiệm của đa thiức Ta
g g nếu đa thức trên có một nhân tử là (x - a) thì nhân tử cịn
Trang 22-BDHSGT8-lại là x”+bx+c, suy ra -ac=-—4, tức là a phải là ước của -4 Tổng quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên (nếu có) phải là
ước của hạng tử không đổị Ước của -4 là #l; +2; +4 Kiểm tra thấy 1 là nghiệm của đa thức Như vậy, đa thức chứa nhân tử (x — 1), do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x — l)
Cach 1: x‘ +3x? —4= x? —x? + 4x? -4 = x?(x-1)+ 4(x?-1) =xỶ(x~1)+ 4(x —1)(x +1) =(x—1)(x? +4x+ 4) =(x— 1)(x + 2) Cách 2: x) +3x?—4=x)—1+3x?—3=(x—1)(x?+x+1)+3(x? —1)
=(x-1)(x? +x+1)+3(x—1)(x+1)=(x—1)(x? +x+1+3x+8) =(x—1)(x?+4x+4)=(x—1)(x+2)?
Ta cũng chú ý rằng néu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa
nhân tử (x — 1), nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chăn bằng
tông các hệ sô của hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1)
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử: 2x" ~5x? +8x—3 Giải:
Cách 1: Các số +l; +3 không là nghiệm của đa thức, như vậy đa thức
khơng có nghiệm ngun Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ có dạng 2 trong đó p là ước
q
của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất (bạn đọc tự chứng
minh) Như vậy nghiệm hữu tỉ (nêu có) của đa thức chỉ có thê là +l; tại +3; hoặc ¬ Sau khi kiểm tra thấy x =5 là một nghiệm nên đa
thức chứa nhân tử (x -;) hay (2x—1) Do đó tìm cách tách các hạng tử
của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - l)
2x) —5x? +8x—3= 2x) — x? — 4x? + 2x + 6x — 3
= x?(2x -1)— 2x(2x - 1) + 3(2x — 1) = (2x — 1)(x? - 2x +3)
Cách 2: Có thê giải bài tập trên bằng phương pháp hệ số bất định: Nếu
đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (ax + b)(ex? + dx + m)
Phép nhân này cho kết quả: acx? + (ad + bc)x? + (am + bd)x + bm
ac=2
ầ ‘ cates elt Bcd 2 ad + be =-ð Đông nhất đa thức này với 2x” —5x” +8x—3, ta được:
am+bd=8 bm =-3
Trang 23Có thể giả thiết rằng a >0 (vì nếu a <0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do
ey
đó
a=l
b=#l Xét a=2 c=1,tacó 2d+b=-ð; 2m +bd =8; bm = -3 =| aah
Xét b=-1 = m=3; d=-2 thỏa mãn các điều kiện trên
Vậy a=2; c=1; b=-1; d=-2; m=3 Ta co: 2x° —5x? + 8x —3 = (2x -1)(x? -2x+3) b Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử: Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử: ạ a‘ +64; b a‘ + 4b’ Giải
ạ a!+64=(ả)? +8? +92.8ả —92.8ả = (ả + 8)? - (4a)? =(ả +8+4a)(ả +8 ~ 4a) = (ả + 4a +8)(ả — 4a +8)
b at+4b' =(ả)? +(2b?)? +2(ả)(2b?) - 2(ả)(2b?)
=(ả + 9b?) -(2ab)? = (ả + 2b? + 2ab)(ả + 2b? — 2ab)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử: ạ x+x +1 b x8+x41 c x8 +x741 Gidi: a x©4+xf+1=(x° +x‘ +x°)-(x? -1) =x#(x? +x+1)—(x—1)(X? +x +1) = (X? +x+1)(XÊ -x+ 1) b A=x?+x+1=(xẺ—x?)+(x? +x+1) =x?(x® —1)+(x?+x+1) Ta có: x? —1=(xŸ +1)(xŸ —1) =(x° +1)(x-1)(x’ +x+1)
Thay vào A, được: A = x?(x! +1)(x—1)(x? +x+1)+(x? +x+1) =œ +x+1[x°@° +1)&-~1)+1]=@# +x+1)(xÊ —xẾ + xŸ — x? + 1) c x?+x”+1=(xÊ—x?)+(x —x)+(x?+x+1)
=(x? +x)(xÊ —1) + (x? +x+1)
=(Œ? +x)(xŸ +1)x—1Œ +x+1)+(? +x+1)
=(x? + x+UD[@œ +x)œ +1)(x-1)+1] =(x? +x+1)(xÊ — x' + xŸ —x + l) Chú ý: Người ta chứng mình được rằng kết quả trong các phân tíc:h trên đây là những đa thức không thê phân tích thành tích của những đua thức có bậc nhỏ hơn nữạ Nói riêng, tam thức bậc hai ax”+bx+c ,không
phân tích được thành nhân tử (là nhị thức bậc nhất) nếu A = b° —44ac là
số âm C không phải là số chính phương
Trang 24-BDHSGT8-Vi dy 3 Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử: ạr`—6m” t11m ~6; b ¥ +6x° + 7x? -6x +1; c n? +n‘ +1 Giải: ạ m°-8m”-3m” + 9m + 2m -6 =n'(m -3)- 3m(m -3) + 2(m - 3) = (m —1)(m — 2)(m — 3) b x1.3x?+3x)+9x?—x?—x?—8x—8x+l ` Nhm các hạng tử thích hợp để có kết quả: (x? + 3x — 1)? c Them và bớt nỶ vào biểu thức và nhóm các hạng tử thích hợp:
Kéqua: (n? —n+1)(n? +n +1)(n‘ -n? +1) c Phưng pháp đặt biến phụ:
Ví dụ ; Phân tích thành nhân từ: (x? + x)’ + 4x? +4x-12
Giải:
A (x? +x)? +4x? +.4x-12 =(x? +x)? + 4(x? +x)-12
Da y =x’ +x,tadugc:A=y’ +4y-12=ỷ +4y+4-16 =(+ 2) -4° =(y+24+4)(y+2-4)=(y +6)(y-2)
=(? +x4+6)(x? +x —2) =(x? +x+6)(x—1)(x+ 2)
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x + 4)(x + 6)(x +10) +128
Giải:
x(x + 4)(x +6)(x + 10) + 128 =(x? + 10x)(x? + 10x + 24) + 128
Đề x” + 10x +12 = y, đa thức đã cho có dạng:
(y -19)(y +12) + 128 = yŸ - 16 = (y + 4)(y - 4)
(x? + 10x +16)(x? + 10x +8) = (x + 2)(x + 8)(x? + 10x +8)
Nhận :ér: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến, ta đã đưa đa thức
Hc bồn đôi với x thành đa thức bác hai đơi với ỵ
Ví đụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x” +6x” + 7x? —6x+1
- Giải:
Gi sử x #0 Ta việt đa thức dưới dạng:
Trang 25-|»(« -)**| =(x? + 8x —1}”
Dạng phân tích này cũng đúng với x =0
Chú ý: Có thê trình bày lời giải của ví dụ trên như sau:
A =x!+6x) -2x? +9x?—6x+1
=x‘ +2x?(3x-1) + (8x — 1)? = (x? + 3x — 1)?
Ví dụ 4 Phân tích thành nhân tử: x? —2xy +y” +3x—3y—10 Giải:
Viết đa thức thành x? -2xy + ỷ + 3x - 3y—10= (x— y)? + 3(x— y)! — 10
Đặt x— y =ụ Ta có:
ủ+83u 10 =ủ—4+3u—6
=(u-2)(ư2)+3(u-2) =(u-2)(ư5)
Suy ra x? —2xy +ỷ +3x—3y—-10= (x-y+5)(x-y—2)
Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp mhiều phương pháp
Ví dụ I: Phân tích thành nhân tử:
ạ a®°—a‘ +2a° +2ả b (a+b)*® —(a—b)’; c x? —3x? +3x-1-y*
Giải
ạ a®°-a‘+2a° 42a” =a7(a‘ —ả +2a42)
=ả(a+1)[a” (a—1)+2]=ả(a +1)(a3 ~ả +2)
b (a+b}-(a-b}= [(a+b)~(ãb)][(a+bŸ +(a+b)(a-b)+(a-b)'| = 2b(ả + 2ab +b? +ả —b? + ả — 2ab + b2) = 2b(3ả + b?)
c x?—3x?+3x—1—yŸ =(x)T-3x? +83x—1)— ỳ =(x- 1) -y° =(x~1-y)|(x~1+(x~1)y+ỷ ]
=(x-1-y)(x?—2x+1+xy—y+ỷ)
Vi dy 2: Phân tích thành nhân tử:
ạ 2x?(a+b+c)— 4xy(a + b+c)+ 2ỷ(a +b+e) b x™4¢x™ —x-1,
Giải
ạ 2x?(a+b+c)—4xy(a+b+c)+2ỷ(a+b+c) = al e)(x? -2xy + ỷ) = 2(a + b+ e)(x — y)?
3 ye 1 =(x™4 x) + (x™? 1)
b p
Trang 26-BDHSGTS8-=xx”"?' ~1)+(x" ~1)=(x+ 1Œ"? =1)
=Œ+1)(x-—1)(x"? +x"”+ + 1)
Vi dụ š: Phân tích thành nhân tử: (x + y +z)’ -x? -y*?-2°
(Đề thi vơ địch tốn lớp 8, vòng 1, Belarussia, 1952)
Giải
(x-y+z)—x?-ỷ-2? =|&x+y+z} -x']-(° +2°)
Áp dụng các hằng đăng thức:
=(r+y+z—x)[œx+y+z) +(x+y+2)x+x? |—(y+2)(y” = yz+ 2”) =(r+2)[x? +ỷ +z? +9xy +2xZ+ 2y2Z + xy + XZ+ x” + X? —ỷ +yz-2" | =(r+z)(3x? + 8xy + 3xz + 8yz) =3(y+z)[x(x+y)+z(x+y)]
=3x+y)(y +Z)(x +Z)
Chú ý:Có thể biến đổi như sau (x + y+2)' —x'-y°-? = {( +y)+ z} -(x+ y) -z} +3x?y + 3xỷ
=[Œ+y)z(x+y+z)]+ 3xy (x + y)
=8x+ y)(xz +zy +2 + xy) = 3(x + y)(y + Z)(Z + x) Vi du 4: Phân tích thành nhân tử: xŸ + yŸ + z` -3xyz
(Đề thi vào lớp 10 CT Lê Hồng Phong, Tp HCM, 1988)
„ ; - Giải
Cách I: Áp dụng các hăng đăng thức:
(a-b)’ =a° + b® + 3ab(a + b);a° + b® =(a + b)(ả —ab +b’)
Ta lược: M =x*+y* +2° —3xyz =( ty)’ +2° —8xyz -3x?y -3xỷ
=(s+y+2z)| (x+y) -(x+y)2+2" ]-Sxy(x+y +z)
=(st+y+z)(x? + ỷ +2? —xy - yz-zx)
Cách 2:
(x-y+z)` =x" +ỷ +z' +3xy(x+y+2)+3xz(x+y+z)+3y2(x+y +z) —3xy2 Từ đây ta có: xỶ +ỳ +z - 3xyz
=(t+y +z) —(x+y +z)(8xy + 3yz + 3x2)
ao +ỷ +2? —xy -— yZ — XZ)
Trang 27Vi du 5: Phan tích thành nhân tử: (x + y)Ÿ - xŸ — y° Giải
Khai triển: (x + y)Ê theo nhị thức Newfon, ta có:
A=(x+y}Ÿ-x°-ỷ
=ðx*y +10x3ỷ + 10x?y° +5xy* =Bxy(x) + 2xˆy + 2xỷ + ý)
Mà xÊ + y° =(x + y)(x? - xy + ỷ); 2x?y + 2xỷ = 2xy(x + y) Do đó: A =5xy(x + y)(x? + xy + ỷ)
Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử: A = (x? + ỷ)Ÿ + (z2 — x?)® -(ỷ +2’)
(Dé thi vô địch tốn lớp 8, vịng I, Belarussia, 1957)
Giải:
Cách 1: Biến đổi (x?+ỷ)? +(z?—x?)?theo công thức tổng của hai lập
phương, ta được: (ỷ + 2| + y’) -(x? +?) (2? -x?) +(2? - x)" | Thay vao A, tacé: A =(ỷ +z”).B Trong đó:
B=[(x? +)? ~(x? + ỷ)(2? -x?)] + [(2? - x”)? =(ỷ + z3? |
=[le +") ae +98 -2)]olae 2 oy) «(00-2
Vay: A =3(ỷ +27)(x? + ỷ)(x? —2?)
Céach 2: Chi y rang: ỷ +2? =(x? + y”)+(z? -x?) Ta cé thể giải đơm giản như sau: Thay (ỷ + +2) = [œ +ỷ)+@? -x)Ï vào A, ta có:
A =-8(x? + y’) (2 -x?)-3(x? + y’)(2? -x)
=8(x? +ỷ)(x? —2?)(x? +? +2? -x?) =3(x? + ỷ)(x? -2”)(ỷ +2”)
Ví dụ 7: Phân tích thành nhân tử:
A =8abe +ả(a—b—ec)+b?(b—a—e)+c?(c=a—b)—e(b—ec)(a - œ)
Giải
Trước hết, ta biến đổi:
B=8abc +ả(a—b—ec)+b?(b—a—c)+c?(c—a—b)
=8abc +ả + bŸ +c° —ảb — bŠa —ảc — b?c —c?a — c?b
= Ge + b?(b—a) + c(2ab —ả — b?) + c(c? — be — ac + ab) Ae (ả —b?) —c(a—b)? + c(c—a)(c—b)
Trang 28-BDHSGT8-=a—b)”(a+b~e)+e(b—ec)(a —e)
A:B-c(b ~c)(a —e) =(a —b) (a+b-e)
Ví éự': Phân tích đa thức sau thành nhân tử: á® + a°b® +b'®
(Đề thi học sinh giỏi cấp II miền Bắc, 1967)
Giải
P:á +a°b® + b’® =(a*)? + 2a°b® + (b*)? —a®b®
=a® +b°)’ =(a*b!)? =(a” + b® +.a‘b*)(a® + b® —a*b*)
Tip tục phân tích nhân tử (a” + bể +a*b*) theo cách thêm bớt trên ta
đực: ả + bŠ +a*bf =(a! +b* +ảb?)(a! + b* —ảb?)
Lz phan tích a” +b* +a”b? thành nhân tử theo cách trên ta có:
á+bt+ảb? =(ả +b? +ab)(ả + bề -ab) Kết quả:
P:(a® +b® =a*b*)(a* + b* =ảb?)(ả + bể =ab)(ả + bÊ + ab)
Ví dụ): Phân tích thành nhân tử: P =ab(a —b) + be(b—c) + căc —a)
; Giải: Cách : Khai triên hai hạng tử cuôi:
P:ab(a - b)+ be(b~ e)+ căc—a) =ab(a—b)+bŸe +c”a-cả =b cŸ :ab(a-—b)+c?(a—b)—c(a + b)(a - b) :(a=b)[ăb=e)~e(b=e)]=(ãb)(b~e)(a =e) Cách): Tách (b—c) thành -[(a—b)+(c-a) | P: ab(a—b)+be(b-c) +căc—a) =\b(a—b) —be[(a-b)+(c-a)]+căc-a) = (a—b)(a-c)+ce(c-a)(a—b) =(a-b)(a—c)(b-c)
Dạng: Sử dụng phân tích thành nhân tử để giải phương trình bậc cao Ví dụ Giải phương trình: 2x? +7x? + 7x+2=0
Giải:
Bìn đơi phương trình thành: (x + 1)(x + 2)(2x +1) =0
Pương trình cé ba nghiém: x, =-1; x, =-2; x, = sỹ
Dạn¿7: Sử dụng phân tích thành nhân tử để giải các bài tốn khác
Ví dụ!: Phân tích thành thừa số: A = 2a”b? + 2b?ẻ + 2ảc? —a* — b* —c*
nh răng nêu a, b, c là ba cạnh của tam giác thì A > 0
(Đề thi vào chuyên toán miễn Bắc, 1979)
Trang 29Giải:
Thêm bớt các hạng tử thích hợp và nhóm các hạng tử:
A =4ảb? —(a* + 2ảb? + b*) + (2b?c? + 2ảc?) — cÝ
= (2ab)' -Ltả +b)? —2c?(ả +b?) + ct] = (2ab} -[tả +b?)— ef =(2ab +ả + b? —c”)(2ab—ả —b? +c?)
=(a+b+c)(a+b-—c)(c—-a+b)(c+a—b)
Néu a, b, c la cdc canh cua tam gidc thi a> 0, b> 0, c > 0 va cdc nhan tir cha
„ biểu thức đều dương ( theo các bất đăng thức về các cạnh trong tam giác) nên
A>0
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có:
ả(b+e—~a)+b?(a+e—b) +c?(a +b—e) < 3abe
(Đề thi vơ địch tốn Úc, 1 971)
Giải — „
Vì vai trị của a, b, c là như nhau, nên có thê giả thiêt: a > b > c > 0
Có thể thấy rằng phải chứng minh: B > 0, với
B=8abc + a° + bŸ + c° —ảb — ba —ảc — b?c — c?a — c?b
=ả(a — b)+ b?(b—a) + c(2ab — ả — b?) + c(c? — be — ac + ab) (a—b)(ả — b?)—c(a — b)? + c(e—a)(c — b)
/ (a—b)?(a +b—c)+ c(b — c)(a —e) Vậy B=(a—b)?(a +b—e)+cc(b—e)(a —e)
Do giả thiết a >b >c,c >0, từ đó suy ra điều phải chứng minh Vi du 3: a) Phân tích ra thừa số: A =a* —6a3 + 27ả —54a + 39
b) Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức:n* —6n° + 27n? — ð4n + 32
luôn luôn là số chẵn với mọi số nguyên n
(Đề thi vào lớp chuyên todn mién Bac, 1975)
Giải:
II
a) Tacé:a=1>A=0>A%(a-1)
a=2>A=0=A:(a-2) Vậy A:(a—1)(a—2)
Thực hiện phép chia A cho (a -1)(a -2) ta có kết quả:
A =a‘ —6a° + 27a” —54a + 3a = (a —1)(a — 2)(ả — 3a + 16)
Chú ý: Có thể phân tích theo phương pháp nhóm số hạng và sử dụng các
hăng đăng thức
b) Theo kết qua phan a), ta cd:
n‘ —6n° + 27n? —54n + 32 =(n—2)(n—1)(n? —3n +16)
n-2 vế —I là hai số nguyên liên tiếp, chắc chắn phải có một số chia
Trang 30-BDHSG'T8-Vĩ dụ 4: Cho biết a+b+c =0, chứng minh rằng:
(a’ +b? +07)? =2(at + bf +c®)
Giải
a+b+c=0>a=-(b+c) >ả —b’ -c? =2be =a‘ +b! +c! =2(a’b? +c? + b?c?)
Céng a‘ +b‘ +c’ vao hai vé cua dang thtrc cudi này ta được đpcm Vĩ dụ 5: Chứng minh rang néu a+ b+c =0 (1) thi a’ +b* +c? = 3abc (2)
Đo lại, nếu có (2) thì có (1) khơng?
Giải
Trong bài trên, ta đã chứng minh rằng:
a +b’ +c? —3abe =(a+b+c)(a” + b? +c? —ab—ac-— be)
Dị đó, nếu có (1) thì a3 + bề +c? —3abec =0, tức (2) Đảo lại, khi có (2) th ta có: a+b+c=0 (1) hoặc a’ +b? +c? —ab—ac—be =0 (3) Tur (3)
taco a= b =c (4) Vay néu co (2) thi suy ra a+b+c=Ohoac a= b=c,
+ 43, |(2)>(1)
nghia 1a: mow Ví dụ6:
ạ Chứng minh rằng từ đẳng thức:
(—y)} +(y-z} +(z—x)” =(x+ỹ9z}”+(y+z~9x)” +(z+x— 9y) ta SƯ IaX=y=Z
b.Chứng minh rằng nếu: a” + bỶ +c” =ab+ bc+ac thì a = b =c
Giải
ạ _ Ã2 dụng hăng đăng thức về bình phương đa thức, ta đưa về phải về:
3(x -y) +(y-z) +(z- x)'| Từ đây suy ra:
(s-yŸ +(ỹz)” +(z—x)” =0 Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
x-y=y-z=z-x=0 ticx=y =z
b Theo gia thiét: ả +b? +c? =ab+be+ac Ti cé: ả +b? +c? -ab-ac—be=0
Sự ra: (ả - 2ab + b?) + (b? - 2be +c?) +(ả -2ac +c”) =0
(e—b)’ +(b-e)?+(a-c} =0
oe a-b=b-c=a-c=0,
tức là a=b=c
A
Trang 31Vĩ dụ 7: ạ x, y, z liên hệ với nhau bởi các đăng thức:
x°—y=a;ỷ =z=b;z2 ~x =c Tính giá trị của biểu thức:
P=x(z—ỷ)+ yŸ(xT— 2?) + zŠ(y — x?) + xyz(xyz — 1)
b Cho x+ y=a,x? +ỷ =b,x? + ỷ =c Chứng minh rằng a° ~3ab+ 2c: = 0
Giải ạ Phân tích P thành nhân tử:
P=x*(z-ỷ)+y°(x—z!)+zˆ(y—x?)+x?ỷz? — xyz = y’2? (x? -y)-z* (x? -y)-xỷ (x? - y)+ xz(x? - y}
= (x? -y)(y’2? -2° - xỷ +xz) =(x? - y)[ỷ (2? -x)-2(2? - x)] = (x? = y)(2? -x)(ỷ -z) =abc
b Tacó:A=a”-3ab+ 2e =(x+ y) -3(x+y)(x’ +ỷ)+2(x° +)
Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặt nhân tử chung và rút gion ta
đưa biểu thức về dạng: A =(x+y).0=0
Ví dụ 8: Chứng mình rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn hệ thức:
1,1,1 Ì_ a b c a+b+c thì hai trong ba số đó phải là hai số đối nhaụ
Giải
1 1 1 1 bc +ca +ab 1
—+—+_—= =—=
a b c a+b+c abc a+b+c
=(be+ ca +ab)(a + b+c) =abc = (be + ca + ab)(a + b +e)— abe = 0) =(a+b)(b+c)(c+a)=0
=a+b=0(a=-—b) hoặc b+c=0(b=—c) hoặc c+a =0(c =~a)
Ví dụ 9: ạ Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức
P(x)=x" +ax? +bx+c chia hết cho (x-3}
b Xác định các giá trị a, b sao cho đa thức:
Q(x) = 6x‘ —7x? +ax? +3x+2 chia hét cho da thite M(x) =x? -x+-b
c Xác định a, b dé P(x) =x? +5x?-8x+a chia hét choM(x)=x?+x+b
Giải
ạ ve ee cho (x-3) ta duge thương là x+9 và dư là =(a+54)x° oe 216)x+243+c
nữ x3)’ => R(x) =0 Cho ta:
oe 216=0>b=216; c+ 243 =0 >c =-243
-BDHSGT8-
Trang 32b Cha Q(x) cho M(x) ta được:
Thong 6x? —x+(a—6b-1); Du (a —5b + 2)x + (-ab + 6b’ + b+ 2)
Tirliéu kién Q(x): M(x) suy ra:a— 5b+2 = 0 (1)
~a +6b” +b+2=0 (2) Tính a từ (1) theo b, thay vào (2)
b 3b+2=0=(b+1)(b+2)=0 cho ta b=-l=>a=-—7
b:-2=>a =~12 ; TS
Ví dụ 0: Hãy xác định các số a, b, c để có đăng thức:
x°-ax’ + bx —c =(x-—a)(x-—b)(x-c)
a GIẢI
Hã khai triên về phải và đông nhật hệ sô của các hạng tử cùng bậc a4b+c=a (1); ab+bc+ac=b (2); abc =c (3)
r>bse=0b=~e(8) c1) =0 2| ab= TH: Với c =0, ta có b = 0 và a có thể lấy tùy ý
TH: Với ab = 1, thay vao (2) dong thoi thay c =—b ta có:
ab- b? -ab=beo b(b1)=029| =
ạ Tới b = 0 ta trở về trường hợp 1
b Tới b=—l tacóc= l và a=-]
Ví đụ J: Ta biết rằng: (1) aŠ + bŠ =(a + b)` — 3ab(a + b)
Chng minh rang (1) => (2) > (3) > (4)
Vé
(2) a° +b? +c? =(at+b+c)* —3(a + b)(b+c)(c+a)
(3)Néu a+ b+c=0 thi a’ +b’ +c’ =3abẹ
(4)Néu a+ b+c+d=Othi: a’ +b’ +c +d? =3(ab-cd)(c+d)
Giải
Chng minh (1) > (2):
Taó trong (1) thay b bởi b + c:
a’-(b+c)’ =(a+b+c) —3ăb+c)(a+ b+c) Thy (b+c)’ theo (1)
a®-b? +c? =(a+b+c) -3(b+c)[be+ăa+b+c)]
Chng minh (2) = (3): Thay a + b + c = 0,
a-b=-c,b+c=-a,c+a=-—b vào về phải của (2), ta có (3)
ae (3) = (4): Thay c bởi c + d vao (3)
#
Trang 33a+b? +(c+d)° =3ab(c+d)
ả +b? +c? +d° = 3ab(c+d)-3cd(c +d) =3(ab—cd)(c+d)
Ví dụ 12: Cho a, b, c la ba sé phân biệt; chứng minh rằng: a‘ (b-c)+b*(c—-a)+c*(a—-b)#0
Giải:
S=a*(b-c)+b“(c—a)+c*(a—b) =a“b—a*e + bẽ ba + c°(a - Ib)
=(ãb)[a*(b~e)+a°b(b~e)+ab? (b—e)~e(b* —eŸ) |
=(ãb)(b-e)[a° —c° +b(ả =c?)+ bỶ (a-e)] =~—(a-b)(b-c)(c-a)(ả +b? +? +ab+be +ca)
=s(a -b)(b-c)(a ~e)|(a+ b} +(b+c)”+(c+ a)’ |
Do a, b, c là ba số phân biệt: a# b, bz c, c z a, nên S z 0, đpcm
Dạng 8: Sử dụng định lý Bezout vào phân tích đa thức thành nhâm tứ
Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: f (x) =x? -x?-14x +24
Giải
Ta thử vận dụng định ly Bezout Buéc 1: Thirx =2 ta thay:
f (2) =2?-2? -28+24=0 Vay 2 1a mét nghiém cia f(x) Theo hệ quả
của định ly Bezout thi f(x) chia hết cho x — 2
f(x)=(x—2)p()
Bước 2: Thực hiện phép chia f(x) cho x — 2 xÌ—x?—14x+24 x? -2x? x7? — x? +x-12 x? -14x +24 x? -2x -12x+24 -12x+24 0 Vậy f(x) = (x—2)(x? +x— 12)
Bước 3: p(x) =x? +x—12 có p3) = 0 tức là x = 3 là nghiệm của p(x)) Vậy
HA hết cho x — 3
Trang 34-BDHSGT8-x'+x-l2 : x-3 K -3x x+4 4x-12 4x—12 0 p€) =(x~3)(x +4) Vậy f(x) = (x — 2)(x — 3)(x + 4) Ví dụ + Phân tích thành nhân tử: f(x) = xŸ +4x? +4x+3 Giải
Hạp tử độc lập có các ước số +1,+3 Ta chỉ thử trong bốn số +I,#3 mà thê f(+1) = 12, f(-1) = 2, f(3) = 78, f(-3) = 0
Va f(x) chia hết cho x + 3 Chia f(x) cho x + 3
(x+4x?+4x+3):(x+3)=x?+x+1 Vậ: x? +4x?+4x+3=(x+3)(x?+x+ 1) Ví dụ ; Phân tích thành nhân tử: ạ *-~7x-6; b x? -19x - 30; c '-6a*+1la-6 Giải ạ Cac 1: x®-7x —6 =x* —x-6x-6=x? —x-6(x+1) = 1x? -1)-6(x +1) =(x +1)[x(x-1)-6] =€+1)[x? -x-6]=(x+1)[(x? +2x-3x-6)] = (+ 1)[x(x + 2) -3(x + 2)] =(x + 1)(x + 2)(K +3) Cdch : Ap dung định lý Bezout:
Đã f(x) = xŸ — 7x —6, ta thấy —1) = 0 nên — I là một ước của f(x)
Vậ f(x) chia hết cho (x+1).Tacó: f(x)=(x+1)(x?—x—6)
Tahấy x =—2 là nghiệm của x? —x —6 ta suy ra được:
Trang 35Bài tập vận dụng
1 Chứng minh răng từ đăng thức:
(y-zŸ +(z-x) +(x-yŸ =(y+z-2x)” +(z+x-2y)'+ (x+y—2z)” (1)
Ta suy ra: x=y=Z
2 Tinh tong: (S-2b)(S — 2c) + (S—2c)(S-2a)+(S-2a)(S-2b) tromg dé
S=a+b+c
Phân tích thành nhân tử: (xy +1) ~(x+y)Ÿ
Phân tích thành nhân tử: (a+b+c)” +(a+b—e)” —4c?
Phân tích thành nhân tử: ăb? —c?) — b(ả — ẻ) + c(ả — b)
Phân tích thành nhân tử: ab(a — b)+ bc(b—c)+ac(c—a)
Phân tích thành nhân tử: ab(a + b)+ bc(b +c) + ac(a +c) + 2abc Phân tích thành nhân tử: ăbŠ — c3) + b(c? — a8) + c(a3 — bŸ)
Phân tích thành nhân tử: a°(b? —ẻ) + b*(c? —ả) + c3(ả — b?) 10 Phân tích thành nhân tử: a° + b + c3 - 3abc
11 Phân tích thành nhân tử: (a + b + cc)Š —aŸ — bŠ - c3
12 Phân tích thành nhân tử: x? —- 2x - 35
13 Phân tích thành nhân tử: 9x? + 6x —8 14 Phân tích thành nhân tử: 4x? —3x —1
15 Phân tích thành nhân tử: 6x” —11x? +3
16 Phân tích thành nhân tử: x” - 7xy +12ỷ
17 Phân tích thành nhân tử: x” —2xy +y” +3x—3y —10 18 Phân tích thành nhân tử: 2x —12x? +17x—2 19 Phân tích thành nhân tử: x”—3x+2 20 Phân tích thành nhân tử: xỶ +3x? +6x+4 21 Phân tích thành nhân tử: xÌ +9x? +26x + 24 22 Phân tích thành nhân tử: 2x” —5x? +8x —3 23 Phân tích thành nhân tử: 3x” —14x? +4x +3
24 Phân tích thành nhân tử: a”+a +1
25 Phân tích thành nhân từ: a’ +ả +1
26 Phân tích thành nhân tử: (1+ x?)? - 4x(1— x?)
27 Phân tích thành nhân tử: x' +6x" +11x? +6x +1
28 Tìm số, yên a sao cho đa thức (x+a)(x—5)+2 phân tích được thhành
Œ c) với b, c là các số nguyên
Ab -BDHS(GT8-
Trang 3629 Tm số nguyên m sao cho (x + m)(x + 5) + 3 phân tích được thành (0+ a)(x + b) vi a, b là các sô nguyên
30 Phn tích đa thức thành nhân tử: 3x” - 8x + 4
31 Phn tích đa thức thành nhân tử: 3xỶ - 7x? +17x —5
32 Phn tích đa thức thành nhân tử: 4x' +81 33 IPhn tích đa thức thành nhân từ: 64x! + y!
34 Phn tích đa thức thành nhân tử: x” +x—1 35 Phn tích đa thức thành nhân tử: x”+x?—1
36 IPhn tích đa thức thành nhân tử: x' -6x” +12x? -14x +3
37 Ch a+b+c=0 Rut gon biểu thức: M =a3 + b +c(ả + b?)—abe 38 IPhn tích đa thức sau thành nhân tử: (x-— y) +(y -Z)° +(z—x)° 39 Phn tích các đa thức sau thành nhân tử:
8¢+y +z)’ —(x+y) -—(y +z) -(z+x)
40 Phin tich đa thức sau thành nhân từ: P = x?(y —z) + ỷ(z—x) + 2?(x-y)
41 Phn tích thành nhân tử:
ạtb(a + b)T— be(b + e) + ac(a —c)
lb.ăb? +c?) + b(c? +a”) + c(ả +b’) + 2abe
œ a+b)(ả - b?)+(b+e)(bÊ —c?)+(c +a)(c?—ả)
4đ.3Ÿ(b =c)+ bẦ(e—a) + c?(a — b)
(.12(c — b2) + bŸ(a — ẻ) + c*(b—ả)+ abc(abe - 1)
42 Cứng minh rằng nếu a° + b° +c° =3abc và a, b, c là các số đương thì a:b=c
43 Cứng minh rằng nếu á+b*+c*+d'=4abcd và a, b, c, d là các số dung thi a=b=c=d
44 Cứng minh ring néu m=a+b+c thì:
(an + be)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)?(b +c)? +(c +a)?
45 (Cb ả + b? =1, c?+d” =1, ac+ bd =0 Chứng minh rằng ab +cd =0
46 (Rt gọn phân số: ae = với n chữ số 9 ở tử va n chữ số 9 ở mẫu (n là :sốự nhiên)
47 Tih số trị của phân thức sau bằng cách nhanh nhất:
Trang 3710 +1, 1041,
& _
49 SỐ nào lớn hơn: Tom 7 Y Toma ?
50 Tìm giá trị của ast nếu 2a” +2b’ =Sab va b>a>0 1
51 Chứng minh rằng nếu: c? +2(ab-ac—-bc)=0; b#c;a+lbzc thì a’+(a-c)? _a-c
b?+(b-c)? b-c
(x?+a)(1+a)+ảx? +1 (x?—a)(1—-a)+ảx? +1
thức trên không phụ thuộc vào x, có nghĩa với mọi x và ạ
53 Chứng mỉnh rằng néu: x = by +cz (1); y=ax+cz (2); z=ax + by (3)
52 Rút gọn phân thức sau: Chứng minh rằng phân
và x+y+z#0 thi + ` k— on,
l+a 1+b l+ce 54 Thực hiện phép tính:
1 1 J
Œ-9G@f+ac-V-bo) (-a\Œ+sb-c-a) (A-BX€+be-a2-ab)`
Hướng dẫn và đáp số
1 (1)©[(y+z—2x)” =(y—z}” ]+[(z+x—9y)” —(z— x) ]
+[{x+y—2z)”~(x—y)”1=0(9) Hạng tử thứ nhất: (y+z-2x)" -(y-z) =4(y—-x)(z-x)
Ta nhận thấy nếu hoán vị vòng y —>z —>x > y thi tir hạng tử thứ nhất
ta có hạng tử thứ hai, và từ hạng tử thứ hai, ta có hạng tử thứ bạ
Do đó: (z+x—2y)” -(z— x)” =4(s— y)(x— y)
(x+y—2z)”~(x—y}” =4(x~z)(y —z) Bởi vậy:
(2) <= 4(y-x)(z—x)+4(z-y)(x-y)+4(x-z)(y-z)=0
© 2x? + 2ỷ +22? - 2xy — 2yz — 2xz = 0
©(x-y)”+(x-z)”+(y-z`=0>x-y=x-z=y-z=0=w=y=z
2.(S—2b)(S~2e) =(ãb+c)(a+b—e) =ả ~(b—c)” =ả =b# —ẻ +2be(I)
Hoán vị vòng b —>c —> a —> b, ta được:
(S—2ce)(S— 2a) = b° —c? =ả + 2ca (2) (S- 2a)(S— 2b) =c? —ả — bỶ + 2ab(3)
), 3) ta suy ra kết quả: —ả — b —c? + 2ab + 2bc + 2ca
Trang 38-BDHSGT8-9
(xy+1)`-(x+y} =(xy+l+x+y)(xy+l—x—y)
=(x+1)(y +1)(x-1)(y-1)
Cich 1: (a+b+c)? +(a+b-c)? - 4c?
=(a+b) +2c(a+b)+c?+(a+b) —2c(a+b)+c7—4c?
=2(a +b) —2c? = 2(a+b+c)(a+b-c)
Cach 2: (a+b+c)? +(a+b-c) —4c?
=(a+b+c)? +(at+b—c+2c)(a +b—c-—2c) =(a+b+c)?+(a+b+c)(a+b—3c)
=(a+b+ec)(a+b+c+a+b-8e) = 2(a +b+ c)(a+b—c)
Cách 1: Khai triển hai số hạng cuối:
ăb? —c?) — b(ả —ẻ)+ c(ả - b)
=ăb? —c?)—ảb+ bẻ +ảe — be =ăb? —c?)—ả(b —e) — be(b —c)
= (b— c)(ab + ac — ả — be) = (b—c)[c(a — b) — ăa— b)]
=(b-—c)(a—b)(c —a)
Cách 2: Nhận xét (ả-—c?) có thể tách thành (b? —c?)+(ả —b?) nên:
ăb? ~ẻ)— b(ả —ẻ)+ c(ả — b2)
=ẳ —ẻ)—b[(b ~c?)+(ả ~b?) |+c(ả —b?)
=(? ~ẻ)(a —b)—(ả — bỶ)(b —c) =(b~ e)(a — b)[(Œ +e)~ (a + b)]
=(b-c)(a—b)(ce-a)
Viết (b — c) đưới dạng -[(a - b) + (c— a)]
Đáp số: ab(a —b) + bc(b —e)+ ac(e - a) = (a — b)(a —e)(b —c)
ab(a + b) + be(b +c) + ac(a +c) + 2abc
= ab(a + b) + b’c + bẻ + ảc + ac? + 2abc =ab(a +b) +c?(a + b)+c(ả +b? + 2ab)
=(a+b)(ab+c? +ca+cb) =(a+b)(b+c)(c+a) Chú ý: c° - a3 =-{(b —e) + (a3 —b3)]
Đáp sơ:
ăb® —c*) + b(c® —a*) + c(ả — bŸ) = (a — b)(b—e)(e—a)(a + b + c)
Đáp số:
pe b°(c? -ả) + c?(ả — b?) = (a — b)(b—c)(a —c)(ab + be +ca)
Trang 3910 Viết á+b° dưới dạng (a + b)? - 3ảb—3ab? Do đó:
ả + b} +c? — 8abc = (a + b) + c° - 3ảb — 3ab? — 3abc =(a+b+e)[(a + b}Ÿ ~e(a +b)+ẻ ]—8ab(a + b + c)
=(a+b+c)[ả +b? +ẻ —ab— be — ca |
11 Áp dụng hằng đẳng thức (x + y)° = xŸ + y3 + 3xy(x + y), ta có: (a+b+c)°—aŸ —bŠ —c°
=(a+b)! +c? + 8c(a + b)(a + b+e)— a3 — bŠ ~ c°
=à +bŠ + 3ab(a + b) + cŸ + 3c(a + b)(a +b+e)— a3 — bề — cŸ
=8(a + b)(ab + ac + be + c?) = 8(a + b)(b + c)(a + c)
12 Ba số hạng của đa thức khơng có thừa số chung cũng khơng lập thành
bình phương một nhị thức Do đó ta nghĩ đến việc tách một số hạng
thành hai để tạo thành đa thức có 4 số hạng Có nhiều cách tách số hạng
trong đó hai cách sau là thông dụng nhất:
Cách 1: Tach số hạng cuối để cùng với 2 số hạng đầu tạo thành bình phương
một nhị thức, rồi đưa về dạng hiệu hai bình phương:
x? -2xT— 3B = x? -2x+1—36 = (x — 1)? - 62
=(x-1+6)(x -1-6) =(x+5)(x-7)
Cách 2: Tách số hạng giữa thành hai số hạng rồi dùng phương pháp mhóm các số hạng và đặt thừa số chung làm xuất hiện thừa số chung mới:
x? —2x - 35 =x? + 5x —7x — 3B = x(X +) — 7(x + ð) = (x +B)(x — 7)
13 Cách ï: 9x? + 6x —8 = (3x)? + 2.3x +1— 9 =(3x + 1)? —3?
=(3x+1—3)(3x+1+3) = (3x - 2)(3x + 4)
Cách 2: 9x? + 6x —8 =9x? —6x +12x—8
= 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x — 2)(3x + 4)
Chú ý: Cách tách số hạng giữa thành hai số hạng chính là dựa vào “hằng
đẳng thức: mpx? + (mq + np)X + nq = (mx + n)(px +q)
Như vậy trong tam thức ax?+bx+c, hệ số b được tách thành b, +b,
sao cho b,b, =ac Trong thuc hanh, ta lam nhu sau:
1 Tìm tích ac
2 Phân (ích ac ra tích 2 thừa số (nguyên) bằng mọi cách & thừa số mà tổng bằng b
Trang 40-BDHS(GT8-Ví lụ trong đa thức 9x” +6x—§ thì a=9; b=6; c=—8
Bước I: Tích ac = 9.(—8) = —79
Buic 2: Phan tích —72 ra tich 2 thừa số (nguyên) trong đó thừa số
dương có giá trị tuyệt đôi lớn (đê tông băng 6) được: (-).72 = (-2).36 = (-3).24 =(-4).18 = (-6).12 =(-8).9 Bức 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6 Đó là 6 và 12
Net lam theo cach 2 trong trường hợp tam thitc ax? +bx+c cé b là số lẻ toặc a khơng là bình phương của một sô nguyên
14 4x -3x—1=4x?—4x+x—1=4x(x—1)+(x—1)=(x—1)(4x +1)
Clú ý: Cũng có thể nhận xét đa thức có tổng các hệ số bằng
4-3—1=0 nên chứa thừa số (x — 1) Do đó tách số hạng làm xuất hiện
tha số chung (x — l)
15 Đái số: (3x? -1)(2x? - 3)
16 Đá số: (x— 3y)(x — 4y)
17 Vit đa thức thành (x-y)“+3(x—y)—10 Đặt x—y=u, phân tích
ư3u-10 ra (u +ð)(u- 2) Đáp SỐ: (x-y+5)(x-y-2)
18 2x —12x” +17x-—2=2x° - 4x? —8x? +16x+x-2
=)x? (x —2)—8x(x — 2) +(x —2) = (x —2)(2x” —8x +1)
Chit ỵTam thite (2x? -8x +1) khong phan tich ra thira sé duge nitạ
Kh phán tích theo cach 1, sau khi dwa tam thite ax? +bx+c về dạng
ăˆ2 —k), nếu k có dạng mì (với m hữu tỉ) thì tam thức phân tích tiếp diurc ra thita số nếu khơng có dạng trên thì khơng phân tích được (trong Phim vi số hữu tì Khi phân tích theo cách 2, sau khi tính tích ac và phn tích ac ra tích hai thừa SỐ (nguyên) bằng mọi cách, nếu khơng có 2
thua số nào mà tổng bằng b thì khơng phân tích tiếp được Mó tam thức trên, ta có:
ax? ~ex+1=2{ x? -ax+4—2) =a] (x2) 5]
Vis không là bình phương của số hữu tỉ nào nên không phân tích được
trar thức ra thừa số Còn nếu tính tích ac, ta được 2 Phân tích thành tích
2 hừa số cùng âm, ta có: (—\) (-2) Khơng có 2 thừa số nào có tổng tbàg —8 Như vậy, khơng phân tích tiếp tam thức trên ra thừa số được Làm
thao dé tách các số hạng của đa thức (2x? - 12x? +17xT—9) như trên?