Ôn thi đại học năm nay !

GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ vuthanhbg@gmail.com CHUN ĐỀ GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí của gốc O) Bước 2: Xác đònh toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : • Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). • Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ • Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. • Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp: • Độ dài đọan thẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách giữa hai đường thẳng • Góc giữa hai đường thẳng • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng • Góc giữa hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc • Bài toán cực trò, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S ' bằng tích của S với cosin của góc ϕ giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu ϕ cos. ' SS = 2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ' , B ' , C ' khác với S Ta luôn có: SC SC SB SB SA SA V V ABCS CBAS ''' . ''' . = Ta thường gặp các dạng sau 1. Hình chóp tam giác a. Dạng tam diện vng Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Tổ Toán : Trường THPT Bình Giang 04/20081 GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ vuthanhbg@gmail.com Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 Þ zM = 3. Tương tự Þ M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z 1 a b c + + = 1 2 3 M (ABC) 1 a b c + + =Ỵ Þ (1). O.ABC 1 V abc 6 = (2). 3 1 2 3 1 2 3 (1) 1 3 . . a b c a b c = + +Þ ³ 1 abc 27 6 Þ ³ . (2) min 1 2 3 1 V 27 a b c 3 = = = =Þ Û . Ví dụ: 1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : ( ) 2S abc a b c≥ + + (Dự bò 2 – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) ( ) ( ) ( )   = − = − =     = = + +   ⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ≥ uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 2 BCD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac; bc 1 1 S BC,BD a b a c b c 2 2 đpcm a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta được : a b +b c 2ab c b c +c a   ≥ + + ≥ + +   + ≥  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b b. Dạng khác Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy và ABCD vng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hướng dẫn giải Tổ Toán : Trường THPT Bình Giang 04/20082 GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA vuthanhbg@gmail.com Chn h trc ta nh hỡnh v, ta cú: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) v H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuụng gúc vi SB ti I ct ng thng SC ti K, d thy [H, SB, C] = ( ) IH, IK uur uur (1). SB ( 1; 3; 4)= - - uur , SC (0; 3; 4)= - uur suy ra: ptts SB: x 1 t y 3 3t z 4t ỡ ù = - ù ù ù ù = - ớ ù ù ù = ù ù ợ , SC: x 0 y 3 3t z 4t ỡ ù = ù ù ù ù = - ớ ù ù ù = ù ù ợ v (P): x + 3y 4z 1 = 0. ( ) ( ) 5 15 3 51 32 I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 ị IH.IK cos[H, SB, C] IH.IK =ị uur uur = Chỳ ý: Nu C v H i xng qua AB thỡ C thuc (P), khi ú ta khụng cn phi tỡm K. Vớ d 3 (trớch thi i hc khi A 2002). Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a. Gi M, N l trung im SB, SC. Tớnh theo a din tớch D AMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC). Hng dn gii Gi O l hỡnh chiu ca S trờn (ABC), ta suy ra O l trng tõm ABCD . Gi I l trung im ca BC, ta cú: 3 a 3 AI BC 2 2 = = a 3 a 3 OA , OI 3 6 = =ị Trong mp(ABC), ta v tia Oy vuụng gúc vi OA. t SO = h, chn h trc ta nh hỡnh v ta c: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3 A ; 0; 0 3 ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ a 3 I ; 0; 0 6 ổ ử ữ ỗ -ị ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , a 3 a B ; ; 0 6 2 ổ ử ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , a 3 a C ; ; 0 6 2 ổ ử ữ ỗ - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ , a 3 a h M ; ; 12 4 2 ổ ử ữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ v a 3 a h N ; ; 12 4 2 ổ ử ữ ỗ - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . 2 (AMN) ah 5a 3 n AM, AN ; 0; 4 24 ổ ử ộ ự ữ ỗ = =ị ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ở ỷ ố ứ uuur uuur r , 2 (SBC ) a 3 n SB, SC ah; 0; 6 ổ ử ữ ộ ự ỗ = = - ữ ỗ ờ ỳ ữở ỷ ỗ ố ứ uur uur r 2 2 2 (AMN) (SBC) AMN 5a 1 a 10 (AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN 12 2 16 D ộ ự ^ = = = =ị ị ị ờ ỳ ở ỷ uuur uuur r r . 2. Hỡnh chúp t giỏc a) Hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc vi ỏy v ỏy l hỡnh vuụng (hoc hỡnh ch nht). Ta chn h trc ta nh dng tam din vuụng. Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/20083 GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA vuthanhbg@gmail.com b) Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng (hoc hỡnh thoi) tõm O ng cao SO vuụng gúc vi ỏy. Ta chn h trc ta tia OA, OB, OS ln lt l Ox, Oy, Oz. Gi s SO = h, OA = a, OB = b ta cú O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(a; 0; 0), D(0;b; 0), S(0; 0; h). c) Hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy hỡnh ch nht ABCD v AB = b. SADD u cnh a v vuụng gúc vi ỏy. Gi H l trung im AD, trong (ABCD) ta v tia Hy vuụng gúc vi AD. Chn h trc ta Hxyz ta cú: H(0; 0; 0), ( ) ( ) a a A ; 0; 0 , B ; b; 0 2 2 ( ) ( ) a a a 3 , C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; . 2 2 2 ổ ử ữ ỗ - - ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 3. Hỡnh lng tr ng Tựy theo hỡnh dng ca ỏy ta chn h trc nh cỏc dng trờn. Vớ d: Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vuông góc mp (A'BD) Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O A; B Ox; D Oy và A' Oz Giả sử hình lập phơng Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/2008 A' D' C' C B A D B' I O I' Z Y X 4 GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA vuthanhbg@gmail.com ABCD A'B'C'D' có cạnh là a đơn vị A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD): x + y + z = a hay x + y + z a = 0 Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1) Vậy AC' vuông góc (A'BC) 2. Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Lời giải: + Chọn hệ trục Oxyz sao cho A O D Ox; C Oy và B Oz A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Phơng trình đoạn chắn của (BCD) là: 1 4 4 3 + + = x y z 3x + 3y + 4z 12 = 0 Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là: Nhn mnh cho hc sinh: II. Phơng pháp giải: Để giải một bài toán hình học không gian bằng phơng pháp sử dụng tọa độ Đề các trong không gian ta làm nh sau: * B ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết. * B ớc 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian. Bằng cách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định. + Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh. + Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm cực trị. + Thiết lập biểu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích v.v Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/2008 z O B y C x D A 5 GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA vuthanhbg@gmail.com III. Luyện tập. Bài 1: Cho hình chóp SABC, các cạnh đều có độ dài bằng 1, O là tâm của ABC. I là trung điểm của SO. 1. Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC. 2. H là chân đờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. CMR: IH đi qua trọng tâm G của SAC. Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ AOx, S Oz, BC//Oy Tọa độ các điểm: 3 ( ;0;0) 3 A ; 3 1 ( ; ;0) 6 2 B ; 3 1 ( ; ;0) 6 2 C ; 6 (0;0 ) 3 S ; 6 (0;0; ) 6 I Ta cú: (0;1;0)= uuur BC ; 3 1 6 ( ; ; ) 6 2 6 = uur IC ; 6 3 , ( ;0; ) 6 6 = uuur uur BC IC Phơng trình mặt phẳng (IBC) là: 6 3 6 ( 0) 0( 0) ( ) 0 6 6 6 + + =x y z Hay: 6 2 0 6 + =z m ta li cú: 3 6 ( ;0; ) // (1;0; 2) 3 3 = uur uur r SA SA SA u Phơng trình đờng thẳng SA: 3 ; 3 = +x t 0; 2= = y z t . + Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 3 (1) 3 0 (2) 2 (3) 6 2 0(4) 6 = + = = + = x t y y t x z Thay (1) (2) (3) vào (4) có: 3 6 3 6 ; 0; ( ;0; ) 12 4 12 4 = = = x y z M ; 3 6 ( ;0; ) 4 12 12 = = uuur uur uuur SM SA SM M nằm trên đoạn SA và 1 4 = SM SA ( ) 1 ( ) 4 = SBCM SABC V V . 2. Do G là trọng tâm của ASC SG đi qua trung điểm N của AC GI (SNB) GI và SB đồng phẳng (1) Ta lại có tọa độ G 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 9 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 18 = uur GI 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 18 = uur GI . 0 (2) = uuruur GI SB GI SB Từ (1) và (2) = GI SB H Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/20086 GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA vuthanhbg@gmail.com Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A 1 B 1 C 1 có đáy là tam giác đều cạnh a. AA 1 = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB 1 ; M di động trên cạnh AA 1 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích MC 1 D. Lời giải: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A O; B Oy; A 1 Oz. Khi đó.A(0;0;0), B(0;a;0); A 1 (0;0;2a) 1 3 ( ; ;2 ) 2 2 a a C a và D(0;a;a) Do M di động trên AA 1 , tọa độ M (0;0;t)với t [0;2a] Ta có : 1 1 1 , 2 = uuur uuuur DC M S DC DM Ta cú: 1 3 ( ; ; ) 2 2 (0; ; ) = = uuur uuuur a a DC a DM a t a , = uuur uuuur DG DM ( 3 ; 3( ); 3) 2 = a t a t a a 2 2 2 , ( 3 ) 3( ) 3 2 = + + uuur uuuur a DG DM t a t a a 1 2 2 2 2 4 12 15 2 1 . . 4 12 15 2 2 = + = + DC M a t at a a S t at a Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/2008 z x y I O B A C S M 7 z x y I O H A C S G N z x C C 1 M A A 1 B 1 B D GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA vuthanhbg@gmail.com Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của 1 DC M S tùy thuộc vào giá trị hàm số Xét f(t) = 4t 2 12at + 15a 2 f(t) = 4t 2 12at + 15a 2 (t [0;2a]) f'(t) = 8t 12a 3 '( ) 0 2 = = a f t t Lp BBT giá trị lớn nhất của 1 2 15 4 = DC M a S khi t =0 hay M A Chỳ ý + Hỡnh chúp tam giỏc u cú ỏy l tam giỏc u v cỏc cnh bờn bng nhau, nhng khụng nht thit phi bng ỏy. Chõn ng cao l trng tõm ca ỏy. + T din u l hỡnh chúp tam giỏc u cú cnh bờn bng ỏy. + Hỡnh hp cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh nhng khụng nht thit phi l hỡnh ch nht. II. CC DNG BI TP 1. CC BI TON V HèNH CHểP TAM GIC Bi 1 (trớch thi i hc khi D 2002). Cho t din ABCD cú cnh AD vuụng gúc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tớnh khong cỏch t nh A n (BCD). Bi 2. Cho ABCD vuụng ti A cú ng cao AD v AB = 2, AC = 4. Trờn ng thng vuụng gúc vi (ABC) ti A ly im S sao cho SA = 6. Gi E, F l trung im ca SB, SC v H l hỡnh chiu ca A trờn EF. 1. Chng minh H l trung im ca SD. 2. Tớnh cosin ca gúc gia hai mt phng (ABC) v (ACE). 3. Tớnh th tớch hỡnh chúp A.BCFE. Bi 3. Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA = OB = OC = 3cm v vuụng gúc vi nhau tng ụi mt. Gi H l hỡnh chiu ca im O lờn (ABC) v cỏc im A, B, C ln lt l hỡnh chiu ca H lờn (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tớnh th tớch t din HABC. 2. Gi S l im i xng ca H qua O. Chng t S.ABC l t din u. Bi 4. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc. Gi , , a b g ln lt l gúc nh din cnh AB, BC, CA. Gi H l hỡnh chiu ca nh O trờn (ABC). 1. Chng minh H l trc tõm ca ABCD . 2. Chng minh 2 2 2 2 1 1 1 1 . OH OA OB OC = + + 3. Chng minh 2 2 2 cos cos cos 1.+ + =a b g 4. Chng minh cos cos cos 3.+ +a b g Ê Bi 5. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c vuụng gúc vi nhau tng ụi mt. Gi M, N, P ln lt l trung im BC, CA, AB. 1. Tớnh gúc j gia (OMN) v (OAB). 2. Tỡm iu kin a, b, c hỡnh chiu ca O trờn (ABC) l trng tõm ANPD . 3. Chng minh rng gúc phng nh din [N, OM, P] vuụng khi v ch khi 2 2 2 1 1 1 . a b c = + Bi 6. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ABCD vuụng cõn ti A, SA vuụng gúc vi ỏy. Bit AB = 2, ã 0 (ABC),(SBC) 60= . 1. Tớnh di SA. 2. Tớnh khong cỏch t nh A n (SBC). 3. Tớnh gúc phng nh din [A, SB, C]. Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/20088 GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ vuthanhbg@gmail.com Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. 1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp. 2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Tính diện tích MABD theo a. 2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. 3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]. Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ABCD vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuông góc với CS. 2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABCD vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA a 3= . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( )a đi qua AB và vuông góc với SC. 1. Tìm điều kiện của h theo a để ( )a cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích ABKD . 3. Tính h theo a để ( )a chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tính diện tích D SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3= . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 3 2= cm. Mp ( )a đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 2. Chứng minh BD song song với ( )a . 3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SACD . 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. Toå Toaùn : Tröôøng THPT Bình Giang 04/20089 GII HèNH HC KHễNG GIAN BNG PHNG PHP TA vuthanhbg@gmail.com 3. Tớnh gúc gia hai mt phng (SCD) v (SBC). 4. Tỡm iu kin ca a v b ã 3 cos CMN 3 = . Trong trng hp ú tớnh th tớch hỡnh chúp S.BCNM. Bi 18. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a. SADD u v vuụng gúc vi (ABCD). Gi H l trung im ca AD. 1. Tớnh d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2. Mt phng ( )a qua H v vuụng gúc vi SC ti I. Chng t ( )a ct cỏc cnh SB, SD. 3. Tớnh gúc phng nh din [B, SC, D]. Bi 19. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thoi tõm O. SO vuụng gúc vi ỏy v SO 2a 3= , AC = 4a, BD = 2a. Mt phng ( )a qua A vuụng gúc vi SC ct cỏc cnh SB, SC, SD ti B ', C', D' . 1. Chng minh B ' C ' D 'D u. 2. Tớnh theo a bỏn kớnh mt cu ni tip S.ABCD. Bi 20. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht vi AB = a, AD = 2a. ng cao SA = 2a. Trờn cnh CD ly im M, t MD = m (0 m a)Ê Ê . 1. Tỡm v trớ im M din tớch SBMD ln nht, nh nht. 2. Cho a m 3 = , gi K l giao im ca BM v AD. Tớnh gúc phng nh din [A, SK, B]. 3. CC BI TON V HèNH HP LNG TR NG Bi 21. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a. Gi I, K, M, N ln lt l trung im ca AD, BB, CD, BC. 1. Chng minh I, K, M, N ng phng. 2. Tớnh khong cỏch gia IK v AD. 3. Tớnh din tớch t giỏc IKNM. Bi 22 (trớch thi i hc khi A 2003). Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD. Tớnh gúc phng nh din [B, AC, D]. Bi 23. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a. Tỡm im M trờn cnh AA sao cho (BDM) ct hỡnh lp phng theo thit din cú din tớch nh nht. Bi 24. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh a. 1. Chng minh AC vuụng gúc vi (ABD). 2. Tớnh gúc gia (DAC) v (ABBA). 3. Trờn cnh AD, DB ly ln lt cỏc im M, N tha AM = DN = k (0 k a 2).< < a. Chng minh MN song song (ADBC). b. Tỡm k MN nh nht. Chng t khi ú MN l on vuụng gúc chung ca AD v DB. Bi 25. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = 2, AD = 4, AA = 6. Cỏc im M, N tha AM mAD, BN mBB' (0 m 1).= = ÊÊ uuur uuur uuur uuur Gi I, K l trung im ca AB, CD. 1. Tớnh khong cỏch t im A n (ABD). 2. Chng minh I, K, M, N ng phng. 3. Tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip A ' BDD . 4. Tớnh m din tớch t giỏc MINK ln nht, nh nht. Bi 26. Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cú di cnh l 2cm. Gi M l trung im AB, N l tõm hỡnh vuụng ADDA. 1. Tớnh bỏn kớnh R ca mt cu (S) qua C, D, M, N. 2. Tớnh bỏn kớnh r ca ng trũn (C) l giao ca (S) v mt cu (S) qua A, B, C, D. 3. Tớnh din tớch thit din to bi (CMN) v hỡnh lp phng. Bi 27 (trớch thi i hc khi B 2003) Cho hỡnh lng tr ng ABCD.ABCD cú ỏy hỡnh thoi cnh a, ã 0 BAD 60 .= Gi M, N l trung im cnh AA, CC. 1. Chng minh B, M, D, N cựng thuc mt mt phng. 2. Tớnh AA theo a BMDN l hỡnh vuụng. Bi 28. Cho hỡnh lng tr ng tam giỏc ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti A. Cho AB = a, AC = b, AA = c. Mt phng ( )a qua B v vuụng gúc vi BC. Toồ Toaựn : Trửụứng THPT Bỡnh Giang 04/200810 [...]...vuthanhbg@gmail.com GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1 Tìm điều kiện của a, b, c để (a ) cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trùng với C và C’) 2 Cho (a ) cắt CC’ tại I a Xác định và tính diện tích của thi t diện b Tính góc phẳng nhị diện giữa thi t diện và đáy Bài tập : MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= a 3 và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang... , DN = CMR hai mặt phẳng 2 4 (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 , CMR hai mặt phẳng (SAB) 2 và (SAC) vuông góc với nhau Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB=... thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác đònh vò trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc α, β, γ Chứng minh rằng: 1) cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2 2 2 2 2 2) S ∆OAB + S ∆OBC + S ∆OCA = S ∆ABC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy... a, SA= a 3 và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 600 1) Tính MN và... vuông góc với AM a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P) Tổ Toán : Trường THPT Bình Giang 11 04/2008 vuthanhbg@gmail.com GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= a 2 , SC ⊥ ( ABC ) , ∆ABC vuông... nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD,CD Lấy P ∈ BB ' sao cho BP=3PB' Tính diện tích thi t diện do (MNP) cắt hình lập... theo a Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A=600 B'O vuông góc với đáy ABCD, cho BB'=a 1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy 2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD') Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N Đặt AM=x, CN=y 1) Tính thể tích hình chóp ABCMN... bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA= a 6 2 Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc Gọi α; β; γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng : cos α + cos β + cos γ ≤ 3 Tổ Toán : Trường THPT Bình Giang 12 04/2008 vuthanhbg@gmail.com GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG... 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng... chóp ABCMN 2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=900 là 2xy=a2 Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 Cạnh bên SC ⊥ (ABC) và SC = 2 Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 1) Gọi M, N lần lượt là trung . điểm cần thi t. * B ớc 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian. Bằng cách: + Thi t lập biểu thức cho giá trị cần xác định. + Thi t. có ABCD vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuông góc với