THUẬT TOÁN mới KIỂM ĐỊNH và mã mở RỘNG

-1- LỜI CAM ĐOAN Luận văn thạc sĩ nghiên cứu thực hướng dẫn thầy giáo TS Hồ Ngọc Vinh Để hoàn thành luận văn này, tài liệu thảm khảo liệt kê, cam đoan không chép toàn văn công trình người khác Hà Nội, ngày 20 tháng 09 năm 2015 Nguyễn Đình Thái -2- MỤC LỤC Trang DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG : KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấu trúc đại số 1.1.2 Đồng cấu 1.1.3 Từ ngôn ngữ 10 1.2 Ngôn ngữ quy Otomat hữu hạn 11 1.2.1 Ngôn ngữ quy Otomat hữu hạn 11 1.2.2 Otomat hữu hạn 17 CHƢƠNG : MÃ CỦA CÁC TỪ HỮU HẠN 21 2.1 Mã tính chất mã 21 2.1.1 Mã vị nhóm tự 21 2.1.2 Thủ tục kiểm tra tính chất mã 25 2.2 Thuật toán Sardinas-Patterson cải tiến 27 2.3 Đỗ trễ giải mã 33 CHƢƠNG : MÃ LUÂN PHIÊN 40 3.1 Tích không nhập nhằng 40 3.2 Mã luân phiên 43 2.3 Đặc trưng mã luân phiên 49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 -3- DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Từ viết tắt Giải nghĩa LC Lớp mã (thông thường) LALT Lớp mã luân phiên LWLALT Lớp mã luân phiên yếu trái LWRALT Lớp mã luân phiên yếu phải LEALT Lớp mã luân phiên chẵn ESPC Thủ tục kiểm tra mã mở rộng (the Extension of SardinasPatterson for Codes) -4- DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Ngôn ngữ có độ trễ giải mã hữu hạn d 34 Hình 2.2 Các lớp cắt Vd Vd+1 37 Hình 3.1 Các Overlap hai phân tích từ w 44 Hình 3.2 Hai phân tích w (XY)+ (XY)+ X –1 51 Hình 3.3 Các lớp thương Ui , Vj hai phân tích 55 Hình 3.4 Các lớp thương Ui , Vj hai phân tích 56 -5- LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết mã bắt nguồn từ lý thuyết thông tin C.E.Shannon khởi xướng đặt móng toán học cho lý thuyết thông tin đại Do nhu cầu thực tiễn, lý thuyết mã phát triển theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn hướng nghiên cứu liên quan đến mã độ dài cố định, điển hình mã sửa sai, mã với từ định biên; ứng dụng để phát sửa lỗi xuất kênh truyền tin; hay mã độ dài biến đổi Một số toán nghiên cứu lý thuyết mã là: tính chất liên quan đến phân tích từ thành dãy từ thuộc tập cho trước; tính chất không nhập nhằng ngôn ngữ quan hệ với mã; mã mối quan hệ với đại số, tổ hợp từ, lý thuyết ngôn ngữ hình thức otomat Luận văn nghiên cứu thuật toán kiểm định tính chất mã lớp mã theo cách tiếp cận mở rộng khái niệm tích Nội dung bố cục ba chương, với cấu trúc sau Chƣơng 1: Khái niệm kết liên quan Trình bày khái niệm cần thiết làm sở lý thuyết thiết lập kết cho chương sau Chƣơng 2: Mã từ hữu hạn Trình bày số khái niệm tính chất mã, mối quan hệ lý thuyết mã với đại số, thuật toán kiểm tra tính chất mã ngôn ngữ quy, độ trễ giải mã Chƣơng 3: Mã luân phiên Tích không nhập nhằng từ hữu hạn từ vô hạn mang lại nhiều tính chất lý thú nhiều người quan -6tâm nghiên cứu chúng có quan hệ gần với mã Như mở rộng khái niệm tích không nhập nhằng, chương trình bày lại khái niệm tích không nhập nhằng, mã luân phiên Từ đó, thiết lập thuật toán kiểm tra mã luân phiên cặp ngôn ngữ quy Hoàn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo TS Hồ Ngọc Vinh nhiệt tình giúp đỡ, hướng dẫn Cảm ơn Tập thể giảng viên Viện CNTT&TT - Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội; Cán bộ, công chức Sở Giáo dục Đào tạo Nghệ An; bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, hỗ trợ thời gian qua -7- Chƣơng KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN Chương trình bày kiến thức sở sử dụng luận văn Cụ thể nhắc lại số khái niệm tính chất đại số, ngôn ngữ hình thức otomat Về kiến thức sở có liên quan, xin xem thêm [1], [3], [5], [9], [11], [13], [16] 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Cấu trúc đại số Cho M tập Một phép toán hai M ánh xạ T : M × M  M Thay viết T(x, y), ta viết xTy, với x, y M Khi T viết theo lối nhân “.” ta viết đơn giản T(x, y) x y (gọi tích x y), T viết theo lối cộng “+” ta viết T(x, y) x + y (gọi tổng x y) Trong toàn luận văn, theo thông lệ, không nói khác ta quy ước phép toán hai T viết theo lối nhân Một phép toán hai T M gọi kết hợp nếu, x, y, z M, (x y)z = x(yz); gọi giao hoán nếu, x, y M, x y = y x Một tập khác rỗng M gọi nửa nhóm M trang bị phép toán hai kết hợp Nửa nhóm giao hoán phép toán giao hoán Một phần tử e nửa nhóm M gọi phần tử đơn vị nếu, x M, x e = x = ex Phần tử đơn vị M có xác định cách Do vậy, ta thường ký hiệu đơn vị M 1M -8Một tập khác rỗng M gọi vị nhóm M nửa nhóm có phần tử đơn vị Vị nhóm M tập N, đóng kín phép toán M chứa phần tử đơn vị M , nghĩa NN  N 1M N Một phần tử x vị nhóm M gọi khả nghịch tồn phần tử x   M cho x x  = 1M = x x Khi đó, x  xác định x gọi phần tử nghịch đảo x, ký hiệu x –1 (nếu phép toán T viết theo lối cộng phần tử nghịch đảo x gọi phần tử đối x, ký hiệu -x ) Một vị nhóm gọi nhóm phần tử khả nghịch 1.1.2 Đồng cấu Một cách tổng quát, đồng cấu hai cấu trúc đại số ánh xạ bảo toàn phép toán Nghĩa là, đồng cấu nửa nhóm ánh xạ  từ nửa nhóm M vào nửa nhóm N cho m1, m2 M  (m1 m2) =  (m1)  (m2) Nếu M = N đồng cấu  gọi tự đồng cấu Nếu  đơn ánh (t.ứng, toàn ánh, song ánh) gọi đơn cấu (t.ứng, toàn cấu, đẳng cấu), tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Tương tự, đồng cấu vị nhóm ánh xạ  từ vị nhóm M vào vị nhóm N thỏa mãn điều kiện  (1M) = 1N với 1M đơn vị M , 1N đơn vị N Đặc biệt, hai nửa nhóm M, N nhóm đồng cấu nửa nhóm từ M đến N đồng cấu vị nhóm đồng cấu nhóm từ M đến N Một đồng cấu  : M  N đẳng cấu tồn đồng cấu  : N  M cho  ∘ = IdN  ∘ = IdM -9Một tương đẳng vị nhóm M quan hệ tương đương θ M cho với m, m  M, u, v  M m  m mod θ  umv  umv mod θ Nếu  : M  N đồng cấu vị nhóm quan hệ (hạt nhân)  θ, cho m  m mod θ   (m) =  (m) tương đẳng M Ngược lại, θ tương đẳng vị nhóm M, tập thương M/θ với phép toán [x ]θ [y ]θ = [xy ]θ, [x ]θ ký hiệu lớp tương đương theo θ chứa x, vị nhóm thương M với tương đẳng θ ta có đồng cấu tự nhiên θ♮ : M  M/θ cho θ♮ (m) = [m]θ với m  M Cho M vị nhóm Với x, y  M, ta có x −1 y = { z  M | x.z = y } x y −1 = { z  M | x = z.y } Với S, T  M, ta định nghĩa phép cắt trái, phải S T T −1S = { u  M | t  T : t.u  S }, ST −1 = { u  M | t  T : u.t  S } Ta có tính chất sau Tính chất 1.1.1 (xem [3]) Cho M vị nhóm, P, K  M, P = K * m  M Khi P −1(m −1 K) = (m.P )−1 K Chứng minh Chứng minh P −1(m −1 K)  (m.P )−1 K Ta có w  P −1(m −1 K)  (p  P, k  K : w = p −1 (m −1 k)  k = m.p.w) Vì w = (m.p)−1 k  (m.P )−1 K Chứng minh (m.P )−1 K  P −1(m −1 K) Ta có w  (m.P )−1 K  (p  P, k  K : w = (m.p)−1 k  k = m.p.w) Vì w = p −1 (m −1 k)  P −1(m −1 K)  - 10 - 1.1.3 Từ ngôn ngữ Cho tập hợp ký tự A gọi bảng chữ Một từ w A xâu hữu hạn phần tử A, w = (a1, a2, , an), A Một ngôn ngữ (hình thức) L tập hợp từ bảng chữ A Tập tất từ bảng chữ A, ký hiệu A* trang bị phép toán kết hợp  phép ghép nối hai xâu: (a1, a2, , an) (b1, b2, , bm) = (a1, a2, , an , b1, b2, , bm) Phép toán ghép nối có tính kết hợp Do đó, ta viết: w = a1 a2 an thay cho cách viết w = (a1, a2, , an) Mỗi phần tử a A gọi chữ Xâu không chứa chữ gọi xâu rỗng (hay từ rỗng), ký hiệu  Từ rỗng phần tử đơn vị phép ghép nối Vì vậy, tập A* trang bị cấu trúc vị nhóm gọi vị nhóm tự sinh A Có thể thấy A* = A0  A1  A2 … An … , với A0 = { }, A1 = A An = An –1 A Tập tất từ khác rỗng A ký hiệu A+ Do đó, ta có: A+ = A*  { } Số tất xuất chữ từ w độ dài w, ký hiệu w, quy ước   = Với số nguyên dương n, ký hiệu A[n ] tập tất từ A* có độ dài nhỏ n Ký hiệu wa số lần xuất chữ a A w Khi đó: w   wa aA Ta nói, từ w A* khúc (factor) từ x A* u, v  A* cho: x = uwv Một từ w A* khúc đầu (prefix) từ x A* v A* cho: x = wv Tương tự, từ w A* khúc đuôi (suffix) từ x A* u A* cho: x = uw Một khúc (khúc đầu, khúc đuôi) thực uv   (t.ứng, v   , u   ) - 49 Xét hai phân tích luân phiên từ theo {A,B}: c1 c2 cn = c1c2 cm, với m, n  1, ci A ci+1 B ci B ci+1 A, i = 1, ,n 1 Và cj A cj +1 B cjB cj+1A, j = 1, ,m 1 Đặt u = c1 c2 cn , u = c1c2 cm Giả sử  (u) =  (u), suy  (c1)  (c2)  (cn) =  (c1)  (c2)  (cm) hai phân tích luân phiên theo {X,Y} Theo giả thiết {X,Y}  LALT , suy m = n  (ui) =  (ui), i = 1, ,n Mặt khác,  |C đơn ánh, suy ui = ui, i = 1, ,n hay u = u (ii)  |V đơn ánh {X,Y}  LEALT  |C đơn ánh Chứng minh tương tự trường hợp (i)  2.3 Đặc trƣng mã luân phiên Khi xây dựng lớp mã mới, toán đặt toán kiểm định tính chất mã ngôn ngữ (chính quy) cho trước Các định lý sau thể đặc trưng cần đủ cặp ngôn ngữ X, Y cho trước có mã luân phiên chẵn, mã luân phiên yếu trái (yếu phải), mã luân phiên hay không định lý tạo sở cho ta thiết lập thuật toán kiểm tra tính chất mã luân phiên chẵn, mã luân phiên yếu trái (yếu phải), mã luân phiên phần sau Định lý 2.3.1 Cho X, Y  A+ Khi đó, {X,Y}  LEALT hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) (X,Y) có tích không nhập nhằng (ii) Z = XY  LC Chứng minh () Ta chứng minh, {X,Y}  LEALT (X,Y) có tích không nhập nhằng Z = XY  LC - 50 Theo định nghĩa tích không nhập nhằng định nghĩa mã luân phiên chẵn, suy (X,Y) có tích không nhập nhằng Nếu Z = XY  LC , tồn từ w Z + có hai phân tích khác Z: w = z1 z2 zn = z1z2 zm , zi = xi yi , zi = xiyi, với xi , xj X , yi , yj Y , i = 1, ,n, j = 1, ,m Rõ ràng, hai phân tích luân phiên kiểu khác từ w theo {X,Y}, mâu thuẫn () Ta chứng minh, (X,Y) có tích không nhập nhằng Z = XY  LC {X,Y}  LEALT Giả sử (X,Y) có tích không nhập nhằng Z = XY  LC Khi đó, từ hệ thức x1 y1 x2 y2 xn yn = x1y1x2y2 xmym, đặt zi = xi yi , zj = xjyj, ta có z1 zn = z1 zm với zi , zj Z, i = 1, ,n , j = 1, ,m Do Z  LC nên m = n, zi = zi hay xi yi = xiyi, i = 1, ,n Từ giả thiết (X,Y) có tích không nhập nhằng từ hệ thức xi yi = xiyi, i = 1, ,n , suy xi = xi, yi = yi Vì vậy, {X,Y}  LEALT  Định lý 2.3.2 Cho X, Y  A+ Khi đó, {X,Y}  LWLALT hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) {X,Y}  LEALT (ii) (XY)+ X –1  (XY)+ =  Chứng minh () Phản chứng, giả sử {X,Y}  LWLALT , {X,Y}  LEALT (XY)+ X –1  (XY)+   Xét hai trường hợp sau: + Trường hợp 1: {X,Y}  LEALT Từ Định nghĩa 3.2.7 Đinh nghĩa 3.2.8, dễ dàng suy mâu thuẫn + Trường hợp 2: (XY)+X –1  (XY)+   , tồn x  X, u  (XY)+X –1  (XY)+ cho u = z1 z2 zn ux = z1 z2 zn x = z1z2 zm , zi , zj XY mà zi = xi yi , zj = xjyj, xi , xj X, yi, yj Y, i=1, ,n, j =1, ,m - 51 u z1 z2 z1 z2 x zn w zm Hình 3.2 Hai phân tích w (XY)+ (XY)+ X –1 Đặt w = u x (XY)+, ta có w = z1z2 zm Mà u (XY)+ suy u = x1 y1 xn yn Do w = x1 y1 xn yn x = x1y1 xmym Suy ra, {X,Y}  LWLALT , mâu thuẫn Vì vậy, (XY)+ X –1  (XY)+   () Phản chứng, giả sử {X,Y}  LEALT (XY)+ X –1  (XY)+ =  , {X,Y}  LWLALT Khi đó, tồn từ w A+ có hai phân tích luân phiên kiểu trái khác theo {X,Y}: w = u1 u2 un = u1u2 um, với u1  u1, m, n  1, ui X ui+1 Y ui Y ui+1 X, i = 1, ,n 1 Và uj X uj +1 Y ujY uj+1X, j = 1, ,m 1 Vì w có hai phân tích luân phiên kiểu trái khác nhau, ta có hai trường hợp: u1 , u1 X u1 , u1 Y, + Trường hợp 1: u1 , u1 X Xét tính chẵn lẻ n m, ta có:  Với n m chẵn (n = 2l, m = 2k) Khi ta có: w = x1 y1 x2 y2 xl yl = x1y1x2y2 xkyk, suy Z = XY  LC hay {X,Y}  LEALT, mâu thuẫn  Với n m lẻ (n = 2l+1, m = 2k+1) Khi ta có: w = x1 y1 x2 y2 xl+1 = x1y1x2y2 xk+1 Nhân y Y vào cuối hai phân tích từ w, ta có: w  = x1 y1 x2 y2 xl+1 y = x1y1x2y2 xk+1y, hai phân tích khác Z =XY Do Z =XY  LC hay {X,Y}  LEALT , mâu thuẫn  Với n chẵn m lẻ (n = 2l, m = 2k+1) Khi ta có: w = x1 y1 x2 y2 yl xl = x1y1x2y2 xk+1 Đặt u = x1y1x2y2 xkyk (XY)+, w = u xk+1  (XY)+ Khi u (XY)+ X –1 , mâu thuẫn với (XY)+ X –1  (XY)+ =  - 52  Với n lẻ m chẵn (n = 2l+1, m = 2k) Khi ta có: w = x1 y1 x2 y2 xl+1 = x1y1x2y2 xkyk Đặt u = x1 y1 x2 y2 xl yl  (XY)+, w = u xl+1  (XY)+ Khi u (XY)+ X –1 , mâu thuẫn với (XY)+ X –1  (XY)+ =  + Trường hợp 2: u1 , u1 Y Lập luận tương tự với vai trò Y thay cho X, ta đạt mâu thuẫn Vì vậy, {X,Y}  LWLALT  Tương tự Định lý 2.3.2 hệ hai điều kiện cần đủ để cặp {X,Y} mã luân phiên yếu trái, ta có định lý sau: Định lý 2.3.3 Cho X, Y  A+ Khi đó, {X,Y}  LWRALT hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) {X,Y}  LEALT (ii) Y –1 (XY)+  (XY)+ =  Nhằm thiết lập đặc trưng để kiểm định hai ngôn ngữ X,Y cho trước có mã luân phiên hay không, [4] tác giả đưa hệ gồm điều kiện cần đủ để hai ngôn ngữ X, Y mã luân phiên Sau ta trình bày lại điều kiện chứng minh tính độc lập chúng Định lý 2.3.4 (xem [5]) Cho X, Y  A+ Khi đó, {X,Y}  LALT bốn điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) {X,Y}  LEALT (ii) (XY)+ X –1  (XY)+ =  (iii) Y –1 (XY)+  (XY)+ =  (iv) (XY)+  (YX)+ =  Định lý 2.3.5 Bốn điều kiện (i), (ii), (iii) (iv) độc lập Chứng minh Cho bảng chữ (hữu hạn) A, ngôn ngữ X, Y  A+ Để chứng tỏ bốn điều kiện độc lập, ta ngôn ngữ thỏa - 53 mãn điều kiện không thỏa mãn điều kiện lại Điều có nghĩa điều kiện suy từ điều kiện lại (1) Các ngôn ngữ X = {a, b } Y = {c, d } thỏa điều kiện XY = { ac, ad, bc, bd } YX = { ca, cb, da, db } Ta kiểm tra điều kiện (i), (ii), (iii) (iv) mã luân phiên: (i) Dễ có XY mã uniform, suy XY  LC Hơn X –1 X = , suy X –1 X  Y Y –1  {} = ; (ii) Do XY prefix nên (XY)+X –1  (XY)+ =  (iii) Có thể thấy Y –1 (XY)+ =  (do (XY)+ tiền tố c, d), suy Y –1 (XY)+  (XY)+ =  (iv) Ta thấy XY có tiền tố a b, YX có tiền tố c d Suy (XY)+  (YX)+ =  Vậy, {X,Y}  LALT (2) Các ngôn ngữ X = {a, aba } Y = {b, abb } thỏa điều kiện (ii), (iii), (iv) không thỏa (i) Thật vậy: XY = {ab, aabb, abab, abaabb } YX = {ba, baba, abba, abbaba } Ta kiểm tra điều kiện (i), (ii), (iii) (iv) mã luân phiên: (i) Ta dễ dàng kiểm tra XY = {ab, aabb, abab, abaabb }  LC Hơn X –1 X = {ba } Y Y –1 = {ab }, suy X –1 X Y Y –1   =  (ii) Có thể thấy (XY)+ X –1 =  nên (XY)+ X –1  (XY)+ =  (iii) Có thể thấy Y –1 (XY)+ =  nên Y –1 (XY)+  (XY)+ =  (iv) Ta thấy XY có tiền tố ab aabb, YX có tiền tố ba abb , suy (XY)+  ( YX)+ =  Vậy, {X,Y}  LALT - 54 (3) Các ngôn ngữ X = {b, ba } Y = {a, ab } thỏa điều kiện (i), (iii), (iv) không thỏa (ii) Thật vậy: XY = {ba, bab, baa, baab } YX = {ab, aba, abb, abba } Ta kiểm tra điều kiện (i), (ii), (iii) (iv) mã luân phiên: (i) Dễ thấy XY = {ba, bab, baa, baab }  LC Hơn X –1 X = {a } Y Y –1 = { }, suy X –1 X  Y Y –1   =  (ii) (XY)+ X –1 = {ba, bab, baa, baab }*  {  , ba, baa } Dễ thấy (XY)+ X –1  (XY)+   ba (XY)+ X –1  (XY)+ (iii) Ta thấy từ w (XY)+ không chứa tiền tố a ab Do Y –1 (XY)+ =  , suy Y –1 (XY)+  (XY)+ =  (iv) Giả sử ngược lại, (XY)+  (YX)+   Khi tồn từ w cho w = x1 y1 x2 y2 xn yn (XY)n w = y1x1 ymxm (YX)m Dễ thấy XY có tiền tố b, YX có tiền tố a nên xảy (iv) Vậy, {X,Y}  LALT (4) Các ngôn ngữ X = {b, ab } Y = {a, ba } thỏa điều kiện (i), (ii), (iv) không thỏa (iii) Thật XY = {ba, bba, aba, abba } YX = {ab, aab, bab, baab } Ta kiểm tra điều kiện (i), (ii), (iii) (iv) mã luân phiên: (i) Dễ có XY mã prefix, suy XY  LC Hơn X –1 X =  , suy X –1 X  Y Y –1 – {} =  (ii) Do XY prefix nên (XY)+ X –1  (XY)+ =  (iii) Y –1 (XY)+ = {  , ba, bba }  {ba, bba, aba, abba }* Dễ thấy Y –1 (XY)+  (XY)+   ba Y –1 (XY)+  (XY)+ - 55 (iv) Ta thấy XY có hậu tố ba, YX có hậu tố ab, suy (XY)+  (YX)+ =  Vậy, {X,Y}  LALT (5) Các ngôn ngữ X = {a, ba } Y = {aa, abb } thỏa điều kiện (i), (ii), (iii) không thỏa (iv) Thật vậy: XY = {aaa, aabb, baaa, baabb } YX = {aaa, aaba, abba, abbba } Ta kiểm tra điều kiện (i), (ii), (iii) (iv) mã luân phiên: (i) Dễ thấy XY = {aaa, aabb, baaa, baabb }  LC Hơn nữa, X –1 X =  , suy X –1 X  Y Y –1   =  (ii) (XY)+ X –1 = {aaa, aabb, baaa, baabb }*  {aa , baa } Giả sử ngược lại, (XY)+ X –1  (XY)+   Khi đó, tồn w A+, x X cho w = x1 y1 x2 y2 xn yn x = x1y1x2y2 xmym với m, n  Không tính tổng quát, giả thiết (x1 y1)  (x1y1) Điều (XY) prefix Do (XY)+X –1  (XY)+ =  (iii) Ta có Y –1 (XY)+ = {a, bb }  {aaa, aabb, baaa, baabb }* Giả sử Y –1 (XY)+  (XY)+   , tồn từ w cho: w = y z1 z2 zn = z1z2 zm , y Y, zi , zj XY y z1 U1 z1 z2 V1 U2 z 2 zn V2 zm Hình 3.3 Các lớp thương Ui , Vj hai phân tích Giả sử |y| < |z1|, có nghĩa y khúc đầu thực z1 Với X, Y cho, xảy trường hợp y = aa, z1 = aaa phần dư U1 = a Tiếp tục, xây dựng phân tích w, với phần dư U1 z1 aaa abb Trong trường hợp z1 = abb, phần dư bb, không tồn z2 cho z2 có tiền tố bb Còn trường hợp z1 = aaa, phần dư V1 = aa, ta khai triển z2 = aaa, phần dư U2 = a - 56 Tiếp tục, quy nạp dẫn đến với k, zk = aaa phần dư Uk = a zk = aaa phần dư Vk = aa, ngược lại zk = aaa phần dư Vk = a zk+1 = aaa phần dư Uk+1 = a Dẫn đến độ dài z1z2 zm 3m, độ dài y z1 z2 zn (2+3n) Mâu thuẫn phải có hệ thức 3m = + 3n w = y z1 z2 zn = z1z2 zm Vậy Y –1 (XY)+  (XY)+ =  (iv) Dễ thấy (XY)+  (YX)+   aaa (XY)+  (YX)+ Vậy, {X,Y}  LALT Nhận xét 2.3.6 Từ Định lý 2.3.4 Định lý 2.3.5, ta có kết sau: + Các điều kiện (i) (ii) Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2 Định lý 2.3.3 độc lập + Cho X, Y  A+  = { },   X Nếu Z = X Y  LC {X,Y}  LALT , {Z, Z}  LWLALT , {Z, Z}  LWRALT {Z, }, {Z, Z}  LEALT Suy LALT , ⊊ LWLALT  LWRALT LWLALT  LWRALT ⊊ LEALT Vì vậy, ta có trật tự lớp mã xét mô tả trực quan sơ đồ sau: (xem Hình 3.4) LC : Bao hàm chặt LALT LWLALT  LWRALT T LWLALT LWRALT LWLALT  LWRALT T LEALT Hình 3.4 Quan hệ lớp mã xét A* - 57 Trong trường hợp X, Y ngôn ngữ quy thỏa đồng cấu vị nhóm  : A*  M  : A*  N tương ứng, Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3 Định lý 2.3.4 cho phép thiết lập thuật toán kiểm định cặp {X,Y} có mã luân phiên chẵn, mã luân phiên yếu trái (yếu phải), mã luân phiên hay không (1) Thuật toán kiểm định mã luân phiên chẵn độ phức tạp B1,1 Kiểm tra Z = XY mã thuật toán ESP (xem [2]) Từ giả thiết,  : A*  M thỏa X,  : A*  N thỏa Y Ta xây dựng hai otomat đơn định hữu hạn A1 có số trạng thái |M| A2 có số trạng thái |N| đoán nhận X, Y tương ứng Tiếp đến, ghép nối hai otomat A A với nhau, ta nhận otomat đa định hữu hạn A có số trạng thái (|M| + |N|) đoán nhận ngôn ngữ tích XY Từ otomat đa định hữu hạn A, ta xây dựng vị nhóm MA có cỡ 2(|M | + |N|) đồng cấu  : A*  MA thỏa XY Từ đó, theo Mệnh đề 1.1.2 Ví dụ 1.1.3, ta xây dựng toàn cấu  : A*  P1 , với P1  MA ×U1 có cỡ 2.2(|M | + |N|) cho  thỏa đồng thời XY { } Do đó, để kiểm tra Z = XY có mã hay không theo thuật toán ESP có độ phức tạp cỡ (|P1|)3  (2.2(|M | + |N|))3  8(|M | + |N|) Vì vậy, bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) B1,2 Kiểm tra X –1 X  Y Y –1 – { } =  Ta xây dựng toàn cấu  : A*  P2 , với P2  M ×N ×U1 có cỡ 2.|M|.|N|, cho  thỏa đồng thời X, Y { } Suy ra, ta có X =  2–1 (B), Y =  2–1 (C), { } =  2–1 (1P2), với B, C  P2 Đặt L = X –1 X  Y Y –1 – {}, theo Hệ 1.1.4, suy L thỏa  , nghĩa L =  2–1 (K), với K = B –1 B  CC –1 – {1P2}  P2 Do đó, độ phức tạp để tính K vị nhóm P2 có cỡ (|P2|.|B| + |P2|.|C| - 58 + |P2|2)  3.(2.|M|.|N|)2 Vì vậy, bước có độ phức tạp cỡ  (|M|2.|N|2) Vậy, tổng hợp lại thuật toán kiểm định mã luân phiên chẵn có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) (2) Thuật toán kiểm định mã luân phiên yếu trái độ phức tạp B2,1 Kiểm tra cặp {X,Y} có mã luân phiên chẵn hay không Bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) B2,2 Kiểm tra (XY)+ X –1  (XY)+ =  Tương tự bước (B1,1), ta xây dựng toàn cấu  =    : A*  P3, với P3  M × MA có cỡ |M |.2(|M | + |N|), cho  thỏa đồng thời X, XY (XY)+ Suy ra, ta có X =  3–1 (B), XY =  3–1 (DXY), với B, DXY  P3 Đặt L = (XY)+ X –1  (XY)+, theo Hệ 1.1.4 Bổ đề 1.1.6  thỏa đồng thời (XY)+ X –1 (XY)+ X –1  (XY)+ Suy L thỏa  , nghĩa L =  3–1 (K), với K = (DXY) + B –1  (DXY) +  P3 Theo Nhận xét 1.1.5, độ phức tạp để tính (DXY) + vị nhóm P3 có cỡ |P3|3 Suy độ phức tạp để tính K cỡ (|P3|3 + |P3|.|P3| + |P3|2)  |P3|3  (|M |.2(|M | + |N|))  M 3.8(|M | + |N|) Vì vậy, bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) Vậy, tổng hợp lại thuật toán kiểm định mã luân phiên yếu trái có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) (3) Thuật toán kiểm định mã luân phiên yếu phải độ phức tạp B3,1 Kiểm tra cặp {X,Y} có mã luân phiên chẵn hay không Bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) B3,2 Kiểm tra Y –1 (XY)+  (XY)+ =  Lập luận bước (B2,2) thuật toán kiểm định mã luân - 59 phiên yếu trái trường hợp (XY)+ Y –1 (XY)+ Vì vậy, bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) Vậy, tổng hợp lại thuật toán kiểm định mã luân phiên yếu phải có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) (4) Thuật toán kiểm định mã luân phiên độ phức tạp B4,1 Kiểm tra cặp {X,Y} có mã luân phiên chẵn hay không Bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) B4,2 Kiểm tra (XY)+ X –1  (XY)+ =  Tương tự bước (B2,2) thuật toán kiểm định mã luân phiên yếu trái Bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) B4,3 Kiểm tra Y –1 (XY)+  (XY)+ =  Tương tự bước (B3,2) thuật toán kiểm định mã luân phiên yếu phải Bước có độ phức tạp cỡ  (8(|M | + |N|)) B4,4 Kiểm tra (XY)+  (YX)+ =  Tương tự bước (B1,1), ta xây dựng hai đồng cấu  : A*  P4  : A*  P5, với P4 P5 hữu hạn cỡ 2(|M | + |N|), cho  thỏa đồng thời XY (XY)+,  thỏa đồng thời YX (YX)+ Theo Mệnh đề 1.1.2, ta xây dựng toàn cấu  =    : A*  P6 , với P6  P4 ×P5 có cỡ (2(|M | + |N|).2(|M| + |N|))  4(|M | + |N|) thỏa đồng thời (XY)+ (YX)+ Do đó, ta có XY =  6–1 (DXY), YX =  6–1 (DYX), với DXY , DYX  P6 Theo Hệ 1.1.4, suy L = (XY)+  (YX)+ thỏa 6 , nghĩa L =  6–1 (K), với K = (DXY)+  (DYX)+  P6 Suy độ phức tạp để tính K có cỡ |P6|2  16(|M | + |N|) Vì vậy, bước có độ phức tạp cỡ  (16(|M | + |N|)) Vậy, tổng hợp lại thuật toán kiểm định mã luân phiên có độ phức tạp cỡ  (16(|M| + |N|)) - 60 - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Thông qua tài liệu nghiên cứu với hướng dẫn TS Hồ Ngọc Vinh đạt số yêu cầu đặt Các kết luận văn: - Trình bày lại số khái niệm tính chất đại số, ngôn ngữ hình thức otomat - Trình bày tính chất mã, mối quan hệ lý thuyết mã với đại số, thuật toán kiểm tra tính chất mã, thuật toán tính độ trễ giải mã - Trình bày khái niệm mã luân phiên đặc trưng mã luân phiên, thuật toán kiểm tra mã luân phiên chẵn, mã luân phiên - Cài đặt thử nghiệm thuật toán trình bày luận văn ngôn ngữ lập trình Visua Basic 6.0 Với thuật toán trình bày luận văn, tác giả mong muốn đóng góp phần nhỏ vào việc xây dựng thuật toán kiểm định mã mới, làm giảm đáng kể độ phức tạp so với thuật toán trước Hƣớng phát triển - Tiếp tục cải tiến thuật ESPC để làm giảm độ phức tập so với thuật toán đề xuất luận văn - Cải tiến thuật toán kiểm tra mã từ định biên (được đề xuất H.N.Vinh, 2011) để áp dụng vào toán kiểm tra mã luân phiên - Với nghiên cứu được, áp dụng để kiểm định thông tin mã hóa hệ thống phần mềm dùng chung Do đó, thời gian tới tác giả tập trung nghiên cứu, tích hợp hệ mã kiểm định phục vụ khâu xác thực, mã hóa thông tin hệ thống thông tin ngành giáo dục./ - 61 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Đình Diệu (1977) Lý thuyết otomat thuật toán NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Nguyễn Đình Hân, Hồ Ngọc Vinh, Phan Trung Huy, Đỗ Long Vân (2011) Thuật toán xác định tính chất mã ngôn ngữ quy Tạp chí Tin học điều khiển học, Tập 27, Số 1, pp 1-8 [3] Nguyễn Đình Hân (2012) Bài toán kiểm định mã phân bậc ngôn ngữ theo độ không nhập nhằng Luận án Tiến sĩ, Thư viện Quốc gia, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [4] Phan Trung Huy, Vũ Thành Nam (2004) Mã luân phiên mã tiền ngữ cảnh Kỷ yếu Hội thảo quốc gia lần thứ VII “Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin Truyền thông”, Đà Nẵng 18 - 20 tháng 8/2004 pp 188-197 [5] Hồ Ngọc Vinh (2012) Về cấu trúc vị nhóm mã Luận án Tiến sĩ, Thư viện Quốc gia, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tiếng Anh [6] M Anselmo (1990) Decidability of zigzag codes Theoretical Computer Science, Vol 74, pp 341-354 [7] M Anselmo, M Madonia (2003) Covering Problems from a Formal Language Point of View, Procs DLT 2003, LNCS 2710, Z Esik, Z Fulop (Eds.) pp.122-133 [8] M Anselmo, M Madonia (2005) A Language - Theoretic approach to Covering problems Journal of Automaton, Languages and Combinatorics, Vol 10, Issue 1, pp 3-24 - 62 [9] J Berstel, D Perrin (1985) Theory of Codes Academic Press Inc., NewYork [10] J Devolder, M Latteux, I Litovsky, and L Staiger (1994) Codes and infinite words Acta Cybernetica, Vol 11, No 4, pp 241-256 [11] S Eilenberg (1974) Automata, languages and Machines Vol A, Academic Press, New York and London [12] E N Gilbert, E F Moore (1959) Variable length binary encodings Bell System Technical Journal, Vol 38, pp 933-967 [13] J E Hopcroft, J D Ulmann (1979) Introduction to Automata Theory Language and Computation Addision Wesley Publishing Company [14] P T Huy, D L Van (2000) On Non-Ambiguous Büchi V-automata Proceedings of the Third Asian Mathematical Conference 2000, Diliman, Philippines 23-27 October 2000, pp 224-233, World Scientific 2002 [15] S Julia, I Litovsky, B Patrou (1996) On codes, -codes and -generators Information Processing Letters, Vol 60(No.1), pp 1-5 [16] G Lallement (1979) Simigroups and combinatorial applications John Wiley & Sons Inc [17] Aldo de Luca (1976) A note on Variable Length Codes Information and Computation, Vol 32, No 3, pp 263-271 [18] M Madonia, S Salemi, T Sportelli (1999) Covering submonoids and covering code Journal of Automaton, Languages and Combinatorics, Vol 4, No 4, pp 333-350 [19] M Madonia, S Salemi, T Sportelli (1991) On z-submonoids and zcode R.A.I.R.O Theoretical Informatics and Applications, Vol 25, No 4, pp 305-322 [20] J E Pin, P Weil (1997) Polynomial closure and unambiguous products Theory of Computing Systems 30, pp 383-422 - 63 [21] A A Sardinas, C W Patterson (1953) A Necessary and Sufficient Condition for the Unique Decomposition of Coded Messages IRE Intern Conv Record 8, pp 104-108 [22] M P Schützenberger (1966) On a question concerning certain free submonoids Journal of Combinatorial Theory, Vol 1, No 4, pp 437-442 [23] D L Van, B L Saec, and I Litovsky (1992) On coding morphisms for zigzag codes Theoretical Informatics and Applications, Vol 26, No 6, pp 565-580 [24] P Weil (1985) Groups, codes and unambiguous automata Theoretical Aspects of Computer Science, 2nd ann Symp., Saarbrcken/Ger 1985, Lect Notes Comput Sci 182, pp 351-362 ... ngữ quan hệ với mã; mã mối quan hệ với đại số, tổ hợp từ, lý thuyết ngôn ngữ hình thức otomat Luận văn nghiên cứu thuật toán kiểm định tính chất mã lớp mã theo cách tiếp cận mở rộng khái niệm... chương sau Chƣơng 2: Mã từ hữu hạn Trình bày số khái niệm tính chất mã, mối quan hệ lý thuyết mã với đại số, thuật toán kiểm tra tính chất mã ngôn ngữ quy, độ trễ giải mã Chƣơng 3: Mã luân phiên Tích... hạn 17 CHƢƠNG : MÃ CỦA CÁC TỪ HỮU HẠN 21 2.1 Mã tính chất mã 21 2.1.1 Mã vị nhóm tự 21 2.1.2 Thủ tục kiểm tra tính chất mã 25 2.2 Thuật toán Sardinas-Patterson