Nghiên cứu phương pháp lọai trừ nhiễu ảnh bằng biến đổi wavelet thế hệ II

LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành sau thời gian nghiên cứu tìm hiểu nguồn tài liệu học, sách báo chuyên ngành thông tin Internet mà theo hoàn toàn tin cậy Tôi xin cam đoan luận văn không giống với công trình nghiên cứu hay luận văn trước mà biết Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015 Người thực Doãn Hữu Phúc Lời nói đầu Khoảng mười năm trở lại đây, phần cứng máy tính thiết bị liên quan có tiến vượt bậc tốc độ tính toán, dung lượng chứa, khả xử lý v.v giá giảm đến mức máy tính thiết bị liên quan đến xử lý ảnh không thiết bị chuyên dụng Khái niệm ảnh số trở nên thông dụng với hầu hết người xã hội việc thu nhận ảnh số thiết bị cá nhân hay chuyên dụng với việc đưa vào máy tính xử lý trở nên đơn giản Trong hoàn cảnh đó, xử lý ảnh lĩnh vực quan tâm trở thành môn học chuyên ngành sinh viên ngành công nghệ thông tin - điện tử viễn thông nhiều trường đại học nước Quá trình xử lý ảnh xem trình thao tác ảnh đầu vào nhằm cho kết mong muốn Kết đầu trình xử lý ảnh ảnh “tốt hơn” kết luận Xử lý ảnh bao gồm vấn đề nắn chỉnh biến dạng , khử nhiễu , chỉnh mức xám , trích chọn đặc điểm , nhận dạng , nén ảnh … Đã có nhiều thuật toán khác sử dụng trình xử lý ảnh nói chung thuật toán có ưu điểm nhược điểm riêng Nổi bật lên phương pháp đó, phương pháp biến đổi Wavelet biết đến công cụ mạnh hiệu việc xử lý ảnh Tuy nhiên hệ phép biến đổi Wavelet gặp phải vài thiếu sot cấu trúc Các hạn chế wavelet hệ hoạt động tốt cho tín hiệu vô hạn định kỳ với miền tín hiệu giới hạn thig điều không rõ ràng, đồng thời độ phức tạp tính toán lớn, công suất tiêu thụ cao Từ hệ thứ hai phép biến đổi Wavelet đời với mong muốn giữ lại thuộc tính “tốt đẹp” hệ đầu tiên, đông thời nâng cao hiệu suất, giảm độ phức tạp tính toán nâng cao tính đa dang việc xử lý dạng tín hiệu Trong khuôn khổ đồ án này, em xin phép giới thiệu vấn đề phép biến đổi Wavelet hệ (wavelet transform) sâu vào phương thức biến đổi Wavelet hệ thứ ( The Second Generation Wavelets) ứng dụng việc xử lý ảnh cách sử dụng biến đổi Wavelet phức kép (Dual Tree Complex Wavelet) Trong trình thực báo cáo không tránh khỏi nhiều thiếu sót, em mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy cô giáo, bạn để báo cáo hoàn thiện mang tính thực tế Qua lời mở đầu, em xin gửi lời trân trọng cảm ơn PSG.TS Nguyễn Hữu Trung TS Nguyễn Thuý Anh tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt luận văn MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1: Lý thuyết Wavelet 1.1 Lịch sử hình thành lý thuyết Wavelet 1.2 Biến đổi Fourier biến đổi Wavelet 10 1.2.1 Biến đổi Fourier 10 1.2.2 Biến đổi Fourier nhanh (STFT) 10 1.2.3 Biến đổi Wavelet 13 1.2.4 So sánh biến đổi Wavelet biến đổi Fourier 14 1.2.4.1 Sự giống 14 1.2.4.2 Sự khác 14 1.3 Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) 16 1.3.1 Cơ sở toán học 16 1.3.2 Tính chất CWT 18 1.4 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform) 20 1.4.1 Cơ sở toán học 21 1.4.2 Tính chất DWT 22 1.5 Biến đổi Wavelet rời rạc băng lọc 23 1.5.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) 23 1.5.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc 26 1.5.3 Biểu diễn ma trận DWT 30 Chương 2: The Second Generation Wavelets 35 2.1 Giới thiệu 35 2.2 Cây kép (Dual tree) khung lifting 37 2.3 Thuật toán 46 CHƯƠNG 3: MÔ PHỎNG, ĐÁNH GIÁ VÀ KẾT LUẬN .50 3.1 Giới thiệu 50 3.2 Biến dịch chuyển gần DWT kép 51 3.3 Tính chọn hướng xử lý ảnh 57 3.4 Biểu diễn biên với DWT chiều 58 3.5 Khử nhiễu ảnh 61 3.6 Kết luận 67 Danh mục hình Hình 1.1: Cửa sổ Fourier hẹp, rộng độ phân giải mặt phẳng tần số-thời gian Hình 1.2: Độ phân giải mặt phẳng thời gian - tần số Trục hoành biểu diễn thời gian, trục tung biểu diễn tần số Hình 1.3: Biểu diễn CWT theo biểu thức (1.6) Hình 1.4: Các hàm Fourier sở, ô ngói thời gian - tần số, hội tụ mặt phẳng thời gian - tần số Hình 1.5: Các hàm sở Wavelet Daubechies, ô ngói thời gian - tần số, hội tụ mặt phẳng thời gian - tần số Hình 1.6: Không gian không gian đa phân giải Không gian L2 biểu diễn toàn không gian V j biểu diễn không gian con, Wj biểu diễn chi tiết Hình 1.7: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng (a) Quá trình phân tích (b) Quá trình tổng hợp Hình 1.8: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử Hình 1.9: Băng lọc hai kênh Hình 2.1(a): Biến đổi wavelet thực Hình 2.1(b): Biến đổi wavelet ảo Hình 2.2: Mô tả bước lifting Hình 2.3: Biến đổi wavelet nhanh cách sử dụng cấu trúc lifting Hình 2.4: Cấu trúc lifting (a) thực (b) ảo: phương pháp lọc băng sóng cổ điển sau dịch chuyển băng thông thấp với giúp đỡ băng thông cao Hình 2.5: Cấu trúc lifting kép (a) thực (b) wavelet ảo Đầu tiên lọc băng sóng cổ điển sau dịch băng sóng thông cao với giúp đỡ băng sóng thông thấp Hình 2.6a: Biến đổi wavelet xuôi sử dụng cấu trúc lifting hình 2.6b: Biến đổi wavelet ngược sử dụng cấu trúc lifting Hình 3.1: So sánh thay đổi tín hiệu DWT DWT kép Hình 3.2: Tín hiệu ECG Hình 3.3: Tín hiệu ban đầu hệ số wavelet bậc Hình 3.4: Tín hiệu ban đầu hệ số kép bậc Hình 3.5: Sự thay đổi lượng hệ số bậc với CS DWT Hình 3.6: Sự thay đổi lượng hệ số bậc với CDT DWT Hình 3.7: Các wavelet phân giải 2-D DWT lấy mẫu đánh giá Hình 3.8: Các wavelet 2-D kép định hướng phức Hình 3.9: Ảnh biên thẳng ban đầu Hình 3.10: Biên khôi phục sử dụng 2-D CODT DWT DWT Hình 3.11: Ảnh biên hypebol ban đầu Hình 3.12: Kết đường cong kỳ dị Hình 3.13: Ảnh thực nghiệm text3D Hình 3.14: RMSE PSNR ảnh text3D Hình 3.15: Ảnh thực nhiệm alpha Hình 3.16: RMSE PSNR ảnh alpha Hình 3.17: Ảnh thực nghiệm rubic Hình 3.18: RMSE PSNR ảnh rubic Hình 3.19: Kết khử nhiễu với ảnh thực nghiệm Chương 1: Lý thuyết Wavelet Wavelet công cụ toán học để phân chia liệu thành thành phần tần số khác nhau, sau nghiên cứu thành phần với độ phân giải tương ứng với thang tỷ lệ thành phần phổ 1.1 Lịch sử hình thành lý thuyết Wavelet Ý tưởng Wavelet phân tích theo tỷ lệ Các hàm Wavelet thoả mãn yêu cầu mặt toán học sử dụng để biểu diễn liệu hay hàm khác.Ý tưởng phép xấp xỉ sử dụng hàm xếp chồng tồn từ đầu kỉ 18 Joseph Fourier phát xếp chồng hàm sin cosin với để biểu diễn hàm khác Tuy nhiên, phân tích Wavelet, tỷ lệ sử dụng để phân tích liệu theo cách đặc biệt Các thuật toán Wavelet xử lý liệu theo tỷ lệ khác độ phân giải khác Khi quan sát tín hiệu với cửa sổ lớn, nhận đặc điểm chung Tương tự, quan sát liệu với cửa sổ nhỏ hơn, nhận đặc điểm chi tiết Quy trình phân tích wavelet chọn hàm Wavelet nguyên mẫu, gọi Wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay Wavelet mẹ (mother wavelet) Phân tích thời gian thực với dạng (version) co lại, tần số cao Wavelet mẹ, phân tích tần số thực với dạng giãn ra, tần số thấp Wavelet mẹ Vì tín hiệu nguyên hay hàm biểu diễn dạng khai triển Wavelet (sử dụng hệ số tổ hợp tuyến tính hàm Wavelet), tính toán liệu thực sử dụng hệ số Wavelet tương ứng Và chọn Wavelet phù hợp với liệu, hay bỏ bớt hệ số ngưỡng đó, thu liệu biểu diễn rời rạc Mã hoá rời rạc (sparse coding) làm cho Wavelet trở thành công cụ tuyệt vời lĩnh vực nén liệu Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng Wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, fractals, turbulence, dự báo động đất, radar, ứng dụng tuý toán học giải phương trình vi phân phần (partial differential equation) Hầu hết nghiên cứu Wavelet thực vào năm 1930, nhiên thời điểm đó, nỗ lực riêng biệt không đưa lý thuyết chặt chẽ, thống Trước 1930, nhánh toán học nghiên cứu Wavelet ban đầu với Joseph Fourier (1807) lý thuyết ông giải tích tần số (frequency analysis), thường nhắc đến với biến đổi Fourier (FT)  a0   (ak cos kx  bk sin kx) (1.1) k 1 với hệ số a0, ak, bk: 2 2 1 a0  f ( x)dx, ak   f ( x) cos(kx)dx,  2  2 bk   f ( x) sin(kx)dx  (1.2) Sau 1807, với khám phá ý nghĩa hàm, hội tụ dãy Fourier, hệ thống trực giao, nhà toán học dần từ khái niệm giải tích tần số tới khái niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis) Ý tưởng xây dựng hàm gốc, dịch thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với tín hiệu để thu xấp xỉ tín hiệu Người ta nhận rằng, dạng phân tích tỷ lệ nhạy cảm với nhiễu phân tích tỷ lệ tính biến đổi trung bình tín hiệu tỷ lệ khác Khái niệm Wavelet xuất phụ lục lý thuyết A Haar (1909) Wavelet Haar triệt tiêu bên khoảng hữu hạn Và Wavelet Haar không khả vi liên tục, điều làm hạn chế ứng dụng Wavelet Haar Trong thập kỉ 1930, vài nhóm nhà toán học độc lập nghiên cứu biểu diễn hàm sử dụng hàm sở tỷ lệ thay đổi Bằng cách sử dụng hàm sở tỷ lệ thay đổi gọi hàm gốc Haar, Paul Levy, nhà vật lý nghiên cứu chuyển động Brownian, dạng tín hiệu ngẫu nhiên Paul Levy nhận thấy hàm gốc Haar tốt hàm sở Fourier nghiên cứu chi tiết nhỏ phức tạp chuyển động Brownian Và nghiên cứu khác năm 1930 Littlewood, Paley, Stein thực yêu cầu tính toán lượng hàm f (x): Năng lượng   f ( x) dx (1.3) Các nhà nghiên cứu tìm hàm thay đổi theo tỷ lệ bảo toàn lượng tính toán lượng hàm David Marr đưa với thuật toán hiệu cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet Từ năm 1960 đến 1980, nhà toàn học Guido Weiss Ronald R.Coifman nghiên cứu phần tử đơn giản không gian hàm, gọi atom (nguyên tử), với mục đích tìm nguyên tử cho hàm chung tìm quy tắc tập hợp “assembly rules” cho phép tái xây dựng yếu tố không gian hàm sử dụng atoms Năm 1980, Grossman Morlet, nhà vật lý kỹ sư, định nghĩa chung Wavelets lĩnh vực vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu đưa cách quan niệm Wavelet dựa sở vật lý Năm 1985, Stephane Mallat tạo bước nhảy vọt nghiên cứu Wavelet với công trình nghiên cứu lĩnh vực xử lý tín hiệu số Stephane Mallat khám phá mối liên hệ lọc (quadrature mirror filters), thuật toán hình chóp (pyramid algorithm), sở Wavelet trực chuẩn Dựa kết này, Y.Meyer xây dựng Wavelet Y.Meyer Khác với Wavelet Haar, Wavelet Meyer khả vi liên tục Sau vài năm, Ingrid Daubechies ứng dụng nghiên cứu Mallat để xây dựng tập hợp hàm sở trực chuẩn Wavelet, sở cho ứng dụng Wavelet ngày 1.2 Biến đổi Fourier biến đổi Wavelet 1.2.1 Biến đổi Fourier Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp J.Fourier chứng minh hàm tuần hoàn biễu diễn tổng xác định hàm mũ phức Nhiều năm sau, Fourier khám phá tính chất đặc biệt hàm, ý tưởng ông tổng quát hoá với hàm không tuần hoàn, sau cho tín hiệu tuần hoàn không tuần hoàn rời rạc theo thời gian Sau tổng kết trở thành công cụ hoàn toàn phù hợp cho tính toán máy tính Năm 1965, thuật toán gọi biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) phát triển biến đổi FT (Fourier Transform) trở thành công cụ phổ biến Định nghĩa FT:  F ( w)   f (t )e jwt dt  (1.4)  f (t )   F ( w)e dw iwt  Thông tin chia khoảng tương ứng với toàn trục thời gian tích phân từ -∝ tới +∝ Do biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary) Điều có nghĩa biến đổi Fourier cho biết có hay không tồn thành phần tần số đó, nhiên thông tin độc lập với thời điểm xuất thành phần phổ 1.2.2 Biến đổi Fourier nhanh (STFT) Biến đổi Fourier nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) biểu diễn tần số thời gian tuyến tính Trong biến đổi STFT, tín hiệu chia thành đoạn đủ nhỏ, tín hiệu đoạn phân chia coi dừng (stationary) Với mục đích này, hàm cửa sổ lựa chọn Độ rộng cửa sổ phải với đoạn tín hiệu mà giả thiết dừng tín hiệu phù hợp 10 Hình 3.4: Tín hiệu ban đầu hệ số kép bậc Nhận xét: hai phương pháp biến đổi wavelet kép lấy mẫu đánh giá nhóm thành tính quan trọng dạng sóng ECG cho nhóm tương tự Một ứng dụng quan trọng tín hiệu wavelet chiều để thu phân giải sai khác theo nhóm Điều cho thấy lý phân giải chênh lệch không nhạy cảm dịch vòng tín hiệu vào Nhưng không may trường hợp DWT lấy mẫu đánh giá Để mô điều này, dịch vòng mẫu tín hiệu ECG, phân giải tín hiệu dịch không dịch với DWT lấy mẫu đánh giá (CS DWT), tính toán phân giải lượng qua nhóm 55 Hình 3.5: Sự thay đổi lượng hệ số bậc với CS DWT Ta thấy hệ số wavelet bậc cho thấy xấp xỉ 3% thay đổi lượng tín hiệu ban đầu tín hiệu dịch Tiếp theo lặp lại phân tích sử dụng biến đổi wavelet kép phức (CDT DWT) Hình 3.6: Sự thay đổi lượng hệ số bậc với CDT DWT 56 Từ biểu đồ kết trên, ta dễ dàng thấy biến đổi kép tạo phân giải phù hợp sai lệch theo scales tín hiệu ban đầu phiên dịch vòng 3.3 Tính chọn hướng xử lý ảnh Việc thực tiêu chuẩn DWT sử dụng lọc phân giải cột hàng hình ảnh Các wavelet LH , HL , HH cho Daubechies ' bất đối xứng pha wavelet với khoảnh khắc biến ( sym4 ) thể hình Hình 3.7: Các wavelet phân giải 2-D DWT lấy mẫu đánh giá Lưu ý wavelets LH HL có định hướng ngang dọc rõ ràng tương ứng Tuy nhiên , wavelet HH kết hợp bên phải hai hướng +45 -45 độ , sinh tạo tác bàn cờ Sự kết hợp định hướng việc sử dụng lọc phân giải giá trị thực Các lọc giá trị thực HH có dải phổ tất bốn góc tần số cao mặt phẳng tần số - D DWT kép đạt tính chọn hướng cách sử dụng wavelet xấp xỉ phân giải Điều có nghĩa chúng hỗ trợ nửa trục tần số DWT kép, có băng cho phần thực phần ảo Sáu phần thực hình thành cách cộng vào đầu lọc cột theo sau liên tiếp lọc hàng ảnh 57 đầu vào hai Sáu phần ảo hình thành cách trừ đầu lọc cột theo sau liên tiếp lọc hàng Kết biểu diễn tính định hướng 12 wavelet tương ứng với phần thực ảo DWT kép định hướng phức Hình 3.8: Các wavelet 2-D kép định hướng phức 3.4 Biểu diễn biên với DWT chiều Các phân giải gần định hướng chọn lọc wavelet kép phức cho thấy hoạt động vượt trội so với tiêu chuẩn 2-D DWT biểu diễn biên ảnh Để minh họa điều này, phân tích ảnh test với biên bao gồm đường thẳng đường cong kỳ dị theo nhiều hướng sử dụng biến đổi kép định hướng phức chiều DWT chiều ( 2-D DWT 2-D CODT DWT) Đầu tiên, phân tích ảnh khối hộp tam giác với đường thẳng kỳ dị 58 Hình 3.9: Ảnh biên thẳng ban đầu Phân giải ảnh xuống bậc khôi phục ảnh xấp xỉ dựa hệ số chi tiết bậc (a) Cây kép định hướng phức (b) DWT Hình 3.10: Biên khôi phục sử dụng 2-D CODT DWT DWT Tiếp theo, phân tích hình bát giác với cạnh hyperbolic Các cạnh bát giác đường cong kỳ dị 59 Hình 3.11: Ảnh biên hypebol ban đầu Chúng ta lại thực phân giải ảnh xuống bậc khôi phục ảnh xấp xỉ dựa hệ số chi tiết bậc hai phương pháp (c) Cây kép định hướng phức (d) DWT Hình 3.12: Kết đường cong kỳ dị 60 Nhận xét: hệ số vòng hiển nhiên DWT lấy mẫu đánh giá chiều không xuất biến đổi kép phức chiều ảnh DWT kép định hướng phức khôi phục đường thẳng đưởng cong kỳ dị tốt nhiều 3.5 Khử nhiễu ảnh Bởi khả cô lập định hướng rõ ràng băng riêng biệt, nên DWT kép thường làm tốt DWT phân giải tiêu chuẩn ứng dụng khử nhiễu ảnh Để minh họa điều này, thực phần mô khử nhiễu ảnh, với ảnh đầu vào tác động nhiễu nhiễu Gauss trắng zero-mean với delta = 25 Hàm khử nhiễu so sánh sử dụng ngưỡng mềm DWT lấy mẫu đánh giá, DWT kép định hướng thực, DWT kép định hướng phức Với giá trị ngưỡng, lỗi RMS tỷ lệ nhiễu đỉnh tín hiệu (PSNR) tính toán hiển thị Chúng ta làm thực nghiệm với ảnh đưa bảng tổng kết so sánh khả khử nhiễu phương pháp với ảnh Đầu tiên, tính toán RMSE PSNR cho ảnh biểu diễn theo giá trị ngưỡng, so sánh phương pháp với Bức ảnh thực nghiệm “text3D.jpg” Hình 3.13: Ảnh thực nghiệm text3D Kết tính toán: 61 Hình 3.14: RMSE PSNR ảnh text3D Bức ảnh thực nghiệm thứ hai “alpha.jpg” Hình 3.15: Ảnh thực nhiệm alpha Kết tính toán: 62 Hình 3.16: RMSE PSNR ảnh alpha Bức ảnh thực nghiệm thứ ba “rubic.jpg” Hình 3.17: Ảnh thực nghiệm rubic Kết tính toán: Hình 3.18: RMSE PSNR ảnh rubic 63 Nhận xét: nhìn vào biểu đồ kết quả, rõ ràng hai phương pháp DWT kép định hướng phức định hướng thực làm tốt RMSE PSNR Tiếp theo, làm thực nghiệm với ba ảnh quan sát khả khử nhiễu ảnh với giá trị ngưỡng 25, với độ lệch tiêu chuẩn nhiễu cộng 64 65 Hình 3.19: Kết khử nhiễu với ảnh thực nghiệm Bảng 3.1 Kết tính toán ảnh khử nhiễu với giá trị ngưỡng 25 Standard 2-D Ảnh RMSE PSNR Real Oriented 2-D DT Complex Oriented 2-D DT RMSE PSNR RMSE PSNR text3D.jpg 11.39 27.00 8.12 29.94 6.59 31.75 alpha.jpg 11.40 27.00 8.11 29.95 6.57 31.79 rubic.jpg 11.91 26.61 8.71 29.33 7.34 30.82 Nhận xét: với giá trị ngưỡng độ lệch tiêu chuẩn nhiễu cộng, biến đổi kép định hướng phức cho kết PSNR cao 2-D DWT tiêu chuẩn dB 66 3.6 Kết luận Trong đồ án phát triển thuật toán kết hợp tính bật khai triển nhị phân định hướng, bất biến chuyển dịch dựa biến đổi wavelet phức kép triển khai dãy lọc khôi phục hoàn hảo thuật toán khai triển nhanh, thích ứng tuyến tính dựa cấu trúc lifting chống nhiễu để khử nhiễu ảnh tăng tốc kể việc khai triển giữ tính bật mặt hiệu biến đổi wavelet phức kép Thuật toán làm giảm thời gian khai triển trung bình, công suất trung bình yêu cầu cho việc khai triển nhân tố phân biêt từ thuật toán khai triển wavelet phức kép Với cấu trúc kép dịch chuyển này, hiệu mã hóa độ lợi mã hóa tăng lên đáng kể Thuật toán tìm thừa số lọc kết hợp với kiểu wavelet lựa chọn dựa thuật toán Euclidean xây dựng cấu trúc lifting 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M G Bellangerand J L Daguet TDM-FDM transmultiplexer: Digital polyphase and FFT IEEE Trans Commun., 22(9):1199.1204, 1974 [2] S.G.Mallat.Multifrequency channel decompositions of images and wavelet models IEEE Trans Acoust Speech Signal Process., 37(12):2091.2110, 1989 [3] C Herley and M Vetterli Wavelets and recursive filter banks IEEE Trans Signal Process., 41(8):2536.2556, 1993 [4] W Sweldens The lifting scheme: A custom-design construction of biorthogonal wavelets Appl Comput Harmon Anal.,3(2):186.200, 1996 [5] W Sweldens The lifting scheme: A construction of second generation wavelets SIAM J Math Anal., 29(2):511.546,1997 [6] A Grossmann and J Morlet Decompostion of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape SIAM J Math Anal., 15(4):723.736, 1984 [7] A Harten Multiresolution representation of data: A general framework SIAM J Numer Anal., 33(3):1205.1256, 1996 [8] W Sweldens and P Schr¨oder Building your own wavelets at home In Wavelets in Computer Graphics, pages 15.87.ACM SIGGRAPH Course notes, 1996 [9] T Q Nguyen and P P Vaidyanathan Two-channel perfectreconstruction FIR QMF structures which yield linear-phase analysis and synthesis _lters IEEE Trans Acoust Speech Signal Process., 37:676.690, 1989 68 [10] P P Vaidyanathan and P.-Q Hoang Lattice structures for optimal design and robust implementation of two-band perfect reconstruction QMF banks IEEE Trans Acoust Speech Signal Process., 36:81.94, 1988 [11] G Strang and T Nguyen Wavelets and Filter Banks Wellesley, Cambridge, 1996 [12] T A C M Kalker and I Shah Ladder Structures for multidimensional linear phase perfect reconstruction filter banks and wavelets In Proceedings of the SPIE Conference on Visual Communications and Image Processing (Boston), pages 12.20, 1992 [13] L M G Tolhuizen, H D L Hollmann, and T A C M Kalker On the realizability of bi-orthogonal M- dimensional 2-band filter banks IEEE Transactions on Signal processing,1995 [14] T G Marshall A fast wavelet transform based upon the Euclidean algorithm In Conference on Information Science and Systems, Johns Hopkins, MD, 1993 [15] T G Marshall U-L block-triangular matrix and ladder realizations of subband coders In Proc IEEE ICASSP, volume III, pages 177.180, 1993 [16] Https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform [17] Https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_wavelet_transform [18] Https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_wavelet_transform 69 ... thiệu vấn đề phép biến đổi Wavelet hệ (wavelet transform) sâu vào phương thức biến đổi Wavelet hệ thứ ( The Second Generation Wavelets) ứng dụng việc xử lý ảnh cách sử dụng biến đổi Wavelet phức kép... xử lý ảnh nói chung thuật toán có ưu điểm nhược điểm riêng Nổi bật lên phương pháp đó, phương pháp biến đổi Wavelet biết đến công cụ mạnh hiệu việc xử lý ảnh Tuy nhiên hệ phép biến đổi Wavelet. .. dụng nghiên cứu Mallat để xây dựng tập hợp hàm sở trực chuẩn Wavelet, sở cho ứng dụng Wavelet ngày 1.2 Biến đổi Fourier biến đổi Wavelet 1.2.1 Biến đổi Fourier Thế kỉ 19, nhà toán học người Pháp