SÁCH lớp 8 tháng 8 2015

SÁCH LỚP PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC §1 Nhân đơn thức với đa thức I Tóm tắt lí thuyết Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với Nếu kí hiệu đơn thức chữ A, B, C, D,… viết gọn quy tắc sau: A (B + C) = A.B + A.C Phép nhân đơn thức với đa thức tương tự phép nhân số với tổng ý đến dấu đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” dấu “–” cho thích hợp : A.(B + C – D) = A.B + A.C – A.D Ví dụ: 3x2 (4x2 – x + 1) = 12x4 – 3x3 + 3x2 II Các dạng tập Dạng 1: Thực phép nhân đơn thức với đa thức VD1: Làm tính nhân : a) 4x2(5x3 – 2x + 3)  2 1 b) 3y2  4y + y –  3 ÷   Hướng dẫn giải: a) 4x2(5x3 – 2x + 3) = 4x2 (5x3 – 2x + 3) = 4x2.5x3 + 4x2(–2x) + 4x2.3 = 20x5 – 8x3 + 12x2  2 1 b) 3y2  4y + y − ÷ 3  = 3y2.4y3 + 3y2 2 y +3y  − ÷=12y +2y +2y − y  3 Dạng 2: Đơn giản biểu thức tính giá trị biểu thức VD2 Đơn giản biểu thức tính giá trị chúng với a = − b) 25x – 4(3x – 1) + 7(5 – 2x) với x = 2,1 HD: a) 3(2a – 1) + 5(3 – a) = 6a – + 15 – 5a = a + 12 3 21 Với a = − giá trị biểu thức là: − + 12 = = 10,5 2 b) 25x – 4(3x – 1) + 7(5 – 2x) = 25x – 12x +4 +35 – 14x = –x + 39 a) 3(2a – 1) + 5(3 – a) Với x = 2,1 giá trị biểu thức – 2,1 + 39 = 36,9 Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước VD3: Tìm x biết: a) 5x(12x + 7) –3x(20x – 5) = – 100; b) 4x(9x+11) – 6x(6x +3) = 104 ĐS: a) Rút gọn biểu thức cho vế trái, ta có 5x(12x + 7) –3x(20x – 5) = 60x2 + 35x – 60x2 +15x = 50x Đẳng thức cho trở thành 50x = – 100 , x = −100 = −2 50 b) Rút gọn biểu thức cho vế trái, ta có 4x(9x+11) – 6x(6x +3) = 36x2 + 44x – 36x2 – 18x = 26x Đẳng thức cho trở thành 26x = 104 , x = 106 = 26 Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x VD3: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x +3) b) x(3x2 – x + 5) – (2x3 + 3x – 16) – x (x2 –x + 2) Giải: a) Thực phép nhân đa thức rút gọn ta được: x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x +3) = 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + = Giá trị biểu thức với giá trị biến Vậy giá trị biểu thức cho phụ thuộc vào giá trị biến x b) Thực phép nhân đa thức rút gọn ta được: x(3x2 – x + 5) – (2x3 + 3x – 16) – x (x2 –x + 2) = 3x3 – x2 + 5x – 2x3 – 3x + 16 + x3 – 2x = 16 Giá trị biểu thức với giá trị biến Vậy giá trị biểu thức cho phụ thuộc vào giá trị biến x III Luyện tập Bài 1: a) ( −5x ) ( 2x +3x − ) b) 4x + 2x ( −1,5x ) 3  c) 7y − 4y  3y+ ÷   12 d) 3x(x – 4y) – y ( y − 5x ) e) 2u(1 + u – v) – v(1 – 2u + v) g) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) h) 3x(2x – 7) + 2x(5 – 3x) Bài 2: Thực phép nhân a) (1 + 2x – x2).5x b) (a2b – ab + ab2 + b3).3ab2 c) a b(15a – 0,9b + 6) d) − x (2,1y − 0,7x + 35) Bài 3: Thực phép tính sau: a) 3y2(2y – 1) + y – y(1 – y + y2) – y2 + y b) 2x2.a – a(1 + 2x2) – a – x (x + a) c) 2p.p2 – (p3 – 1) + (p + 3).2p2 – 3p5 d) –a2(3a – 5) + 4a(a2 – a) Bài 4: Đơn giản biểu thức: a) (3b2)2 – b3(1 – 5b); b) y(16 – y3) – (2y2)2 2  3  c)  − x ÷− x 1− x − x ÷; d) (0,2a3)2 – 0,01a4(4a2 – 100)     Bài 5: Rút gọn tính giá trị biểu thức : 12 a) 3x ( x − y ) − y ( y − x ) x = 4, y = −5 b) 2u(1 + u – v) – v(1 – 2u + v) u = − ; v = − 3 Bài 6: Rút gọn tính giá trị biểu thức: a) 3x(x – 2y) – y (y – 6x) x = 3; y = 2 b) ( x + y ) − x ( 3x + ) + ( x − y ) x = 2; y = − Bài 7: Tìm x biết a) 5x(2x – 7) + 2x(8 – 5x) = b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x (2x + 1,3) = 0,38  1 c) x  x − ÷− x(2 x − 3) =  3 2 d) 6x – (2x + 5)(3x – 2) = Bài 7, 8, trang tham khảo TIẾT 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC I Lý thuyết Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với nhau: (A + B)(C + D) = A.D + A.D + A.C + C.D Phép nhân hai đa thức tổng kết nhân đơn thức đa thức với đa thức (A + B).(C + D – E) = A (C + D – E) + B (C + D – E) = A.C + A.D – A.E + B.C + B.D – B.E Ví dụ: (3x – 1) (x2 – 2x – 4) = 3x (x2 – 2x – 4) – 1(x2 – 2x – 4) = 3x3 – 6x2 – 12x – x2 + 2x + II Một số dạng tập Dạng 1: Thực phép nhân đa thức với đa thức VD1: Thực phép nhân : a) (2x2 – y)(x2 + y) b) (11x2 – 9)(3x – 2) c) (7x2 + y2)(x2 – 3y2) d) (5x – 3x3)(4x – 1) HDG: a) (2x2 – y)(x2 + y) = 2x4 + 2x2y – x2y – y2 b) (11x2 – 9)(3x – 2) = 33x3 – 22x2 – 27x + 18 c) (7x2 + y2)(x2 – 3y2) = 7x4 – 21x2y2 + x2y2 – 3y4 = 7x4 – 20x2y2 – 3y4 d) (5x – 3x3)(4x – 1) = 20x2 – 5x – 12x4 + 3x2 Dạng 2: Đơn giản tính giá trị biểu thức VD2: Rút gọn tính giá trị biểu thức : a) (a2 – ab + b2) (a + b) a = –1; b = –2 b) (x – 5) (2x + 3) – 2x(x – 3) + x + x = –8 c) (x2y + y3) (x2 + y2) – y(x4 + y4) x = –1; y = 2; z = Lời giải a) Trước hết ta rút gọn : (a2 – ab + b2) (a + b) = a3 +a2b – a2b – ab2 + ab2 +b3 = a3 + b3 Thay a = –1; b = –2 vào ta a3 + b3 = (– 1)3 +(– 2)3 = – b) Trước hết ta rút gọn : (a2 – ab + b2) (a + b) = a3 +a2b – a2b – ab2 + ab2 +b3 = a3 + b3 Thay a = –1; b = –2 vào ta a3 + b3 = (– 1)3 +(– 2)3 = – Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước VD3: Tìm x biết: a) (3x – 5) (7 – 5x) – (5x + 2) (2 – 3x) =  1 1  b) x  x + ÷ -  x +4 ÷ (2x - 5) = c) (x + 2) (x2 – 2x + 4) – x (x2 + 5) = Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc biến: VD4: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến a) y(y3 + y2 – y – 2) – (y2 – 2) (y2 + y + 1) b) (2x + 3) (4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1) VD5: Chứng minh đẳng thức VD5: Chứng minh rằng: a) (a + b) (a – b) = a2 – b2 b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Giải toán cách đặt ẩn x VD6: Cho ba số tự nhiên liên tiếp Tích hai số đầu nhỏ tích hai số sau 62 Tìm số III Bài tập Bài 1: có phần mềm Bài 2: Bài 15: Cho bốn số lẻ liên tiếp Chứng minh hiệu tích hai số cuối với tích hai số đầu chia hết cho 16 Bài 16: Xác định hệ số a, b, c biết rằng: a) (2x – 5)(3x + b) = ax2 + x + c b) (ax + b)(x2 – x – 1) = ax3 + cx2 – § 3, 4, 5: Những đẳng thức đáng nhớ I Lý thuyết Dạng Phương trình dạng A(x) B(x) = Phương pháp giải: - Giải hai phương trình A(x) = B(x) = - Lấy tất nghiệm thu - Viết tập hợp nghiệm S Ví dụ 1: (Bài 21, trang 17 SGK) Giải phương trình: a) (3x – 2)(4x + 5) = 0; b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0; c) (4x + 2)(x + 1) = 0; d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = Giải: a) (3x – 2)(4x + 5) = ⇔ 3x – = 4x + = • 3x – = ⇔ 3x = ⇔ x = 23 • 4x + = ⇔ 4x = –5 ⇔ x = – 54 { } Vậy tập nghiệm phương trình là: S = − ; b) (2,3x – 6,9) (0,1x + 2) = ⇔ 2,3x – 6,9 = 0,1x + = • 2,3x – 6,9 = ⇔ 2,3 x = 6,9 ⇔ x = • 0,1x + = ⇔ 0,1x = –2 ⇔ x = –20 Vậy: S = { −20;3} c) (4x + 2) (x2 + 1) = ⇔ 4x + = x2 + = • 4x + = ⇔ 4x = –2 ⇔ x = − 12 • x2 + = ⇔ x2 = –1 : vô nghiệm (vì x2 ≥ 0, với x) { } • Vậy : S = − • 2x + = ⇔ x = − 72 ; • x – = ⇔ x = 5; • 5x + = ⇔ x = − 15 { } Vậy: S = − ;5; − II Một số dạng tập Dạng 1: Áp dụng đẳng thức đáng nhớ: VD1: Bài (Trang 2) mục a, b, c sách tham khảo 2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức: VD2: Chứng minh đẳng thức sau: a) a + b2 = (a + b)2 – 2ab b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 Dạng 3: Tính nhẩm VD3: Tính nhẩm a) 292 : 812 b) 29.31 ; 49.51 Giải: a) 292 = (30 – 1)2 = 302 – 2.30.1 + 12 = 900 – 60 + = 841 812 = (80 + 1)2 = 802 + 2.80.1 + 12 = 6400 + 160 + = 6561 b) 2931 = (30 – 1)(30+1) = 302 – = 900 – = 899 49.51 = (50 – 1)(50 + 1) = 502 – = 2500 – = 2499 Dạng Rút gọn tính giá trị biểu thức: Dạng :Rút gọn tính giá trị biểu thức VD4: Đơn giản biểu thức sau tính giá trị chúng: a) 126y3 + (x – 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = –5; y = –3 b) a3 + b3 – (a2 – 2ab + b2)(a – b) với a = –4; b = HDG: a) 126y3 + x3 –(5y)3 = 126y3 + x – 125y3 = x3 + y3 Với x = –5; y = –3 ta có (–5)3 + (–3)3 = –125 – 27 = –152 b) a3 + b3 – (a – b)3 = a3 + b3 – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) =a3 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 Với a = –4; b = ta có: 2.43 + 3(–4)2 = –152 Dạng 5: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến VD5: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến a) 5(x + 4)2 + 4(x – 5)2 – 9(4 + x)(x – 4); b) (x + 2y)2 + (2x – y)2 – 5(x + y)(x – y) – 10(y + 3)(y – 3) HD: a) Rút gọn biểu thức kết 324 (không phụ thuộc vào biến) b) Rút gọn biểu thức kết 90 (không phụ thuộc vào biến) Dạng 6: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước VD6: Bài trang mục a, b sách tham khảo Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức VD7: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 – 4x + b) Tìm giá trị lớn B = + 6x – x2 Giải: a) A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = (x – 2)2 + Vì (x – 2)2 ≥ với x nên A = (x – 2)2 + ≥ suy giá trị nhỏ A a – = hay x = b) B = + 6x – x2 = 12 – + 6x + x2 = 12 – (x2 – 6x + 9) = –(x – 3)2 + 12 Vì –(x – 3)2 + 12 ≤ 12 suy giá trị lớn B 12 x – = hay x = Dạng Chứng minh bất đẳng thức: VD8: Chứng minh biểu thức sau có giá trị dương với giá trị x: a) 3x2 – 6x + b) (x – 3)(x – 5) + 44 c) –9x2 + 24x – 18 LG III Bài tập Bài Rút gọn biểu thức sau: 1) (2x + 5)(x – 2) – 3(x + 2)2 + (x + 1)2 2) (x + 3)(x – 3) – (x + 5)(x – 1) – (x – 4)2 3) 2x(x + 1)2 – (x – 1)3 – (x – 2)(x2 + 2x + 4) 4) (x + 5)(x – 5)(x + 2) – (x + 2)3 5) (x – 3)3 + (x – 5)(x2 + 5x + 25) – (x – 1)(x2 + x + 1) 6) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1) 7) (–x – 3)3 + (x + 9)(x2 + 27) 8) (x – 1)3 + (x + 2)(x2 – 2x + 4) + 3x2 + 2x 9) (x + 2) (x2 – 2x + 4) – x(x2 + 2) 10) (x – 1)3 + (2 – x)(4 + 2x + x2) 11) (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8x(x2 + 1) – 12) 5x(x – 3)2 – 5(x – 1)2 + 15(x + 4)(x – 4) 13) (x2 + 2)2 – (x + 2)(x – 2)(x2 + 4) Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: 1) (3x + 5)2 + (3x – 5) – (3x + 2)(3x – 2) 2) (x + 2)3 – x(x2 + 6x – 5) – 3) (x – 1)3 – (x + 2)(x2 – 2x + 4) + 3x2 – 2x 4) (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8x(x2 + 1) – 5) (x2 – 1)3 – (x4 + x2 + 1) (x2 – 1) Bài 3: Viết biểu thức sau dạng tổng hai bình phương 1) x2 – 4x + + y2 + 2y 2) 2a2 + 2ab – 2ax + x2 + b2 3) 2x2 + y2 – 2xy + 20x + 25 4) x2 – 2x + y2 + 6y + 10 5) a2 + 2ab + 5b2 + 4b + 6) x2 + 10x + 26 + y2 + 2y 7) 2x2 + 2y2 8) 4x2 + 4x + 10 + 6y + y2 9) x4 + 13 – 6x2 + 4y + y2 9) –6x + 9x2 – 8y + 4y2 Bài 4: Chứng minh đẳng thức sau: 1) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 3) (a + b + c)2 + (b + c –a )2 + (c + a – b)2 = 4(a2 + b2 + c2) 4) (a + b + c + d)2 + (a + b + c + d)2 + (a + c – b –d)2 + (a + d – b –c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2) 5) (a2 – b2 – c2 – d2) + 2(ab – bc + cd +da)2 = (a2 + b2 + c2 + d2) – 2(ab – ad + bc + dc)2 6) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 = (c + a)2 Bài 5: Tính nhẩm theo đẳng thức số sau: a) 19.21; 29.31; 39.41, b) 292 – 82; 562 – 462; 672 – 562 Bài 6: trang s tham khảo Bài 7: Tính giá trị biểu thức sau: 1) (x – 2)2 – (x + 7)(x – 7) x = 2) (x – 3)2 – (x + 4)(x – 4) x = –1 3) (3x + 2y)2 – 4y(3x + y) x = – 3 4) 8x + 12x + 6x + x = –2 5) 8x3 – 12x2 + 6x – x = − 2 6) (1 – 2x) – (3x + 1) x = –2 1 ;y= − Bài 8: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: 7) (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) x = – 1) (2x + y) (4x2 – 2xy + y2) – 8x3 – y3 – 16 2) (3x – 2y)2 + (3x + 2y)2 – 18x3 – 8y2 + 3) (–x – 3)3 + (x + 9) (x2 + 27) + 19 Bài 9: Tìm x, biết: 1) (x – 1)3 + (2 – x)(4 + 2x + x2) + 3x(x + 2) = 17 2) (x – 2)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2 = 15 3) 6x2 – 6x (–2 + x) = 36 4) (3x – 5)(7 – 5x) – (5x + 2)(2 – 3x) = 5) (x + 2)2 + (x – 3)2 – 2(x – 1)(x + 1) = 6) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – x3 = 2x 7) 3x(2x – 7) + 2x(5 – 3x) = 8) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,38 9) (x – 2)3 – x3 + 6x2 = 10) 6x2 – (2x + 5)(3x – 2) = 11) (2x – 1)(3x + 1) + (3x – 4)(3 – 2x) = 12) (4x + 7)(2 – 3x) – (6x + 2)(5 – 2x) =  1 1  13) x  x + ÷−  x + ÷( 2x − ) =  3   14) (3x + 7)(2x – 1) – (x – 2)(6x + 3) = 52 Bài 10: 20,21 trang sách tham khảo Bài 11: b 19 trang sách tyham khảo Bài 12: Chứng minh rằng: a) Biểu thức A = x2 + x + luôn dương với x; b) Biểu thức B = x2 – xy + y2 luôn dương với x , y không đồng thời 0; c) Biểu thức C = 4x – 10 – x2 luôn âm với x Bài 13: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 25x2 + 3y2 – 10x + 11; b) B = (x – 3)2 + (x – 11)2; c) C = (x + 1)(x – 2)(x – 3)(x – 6) Bài 14: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = 2x – x2; b) B = 19 – 6x – 9x2 Bài 14 đên 18, Bài 22 đến 25, Bài 29 đến 35 trang 3,4 s tham khảo Bài 18: Xác định hệ số a, b để đa thức A = x4 – 2x3 + 3x2 + + ax + b bình phương đa thức Bài 19: Cho a + b + c = 0; a2 + b2 + c2 = Chứng minh a4 + b4 + c4 = Bài 20: Cho a2 – b2 = 4c2 1) Chứng minh (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 2) Cho a + b + c = Chứng minh (a3 + b3 + c3) = 3ac 3) Cho a + b + c = Chứng minh (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4) 4) Cho a + b + c + d = Chứng minh a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab – cd) 11 15 11 19 5) Cho a = 14 43 b = Chứng minh ab + số phương n ch n s n n ch?so N–n 10 Ví dụ Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình trục số a) x < b) x > –5 c) x ≤ d) x ≥ Giải b) x x ) //////////////// | -5 ( ////// c) | | | | | ] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x d) a) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x [ Ví dụ Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? a) b) c) d) Giải a) x ≤ c) x ≥ –1 | -4 ///////// ( | | x x ]/ / / / / / / / / / / / / / | | | | -1 ////////////// | | [ | x | | ) /////////////////// x b) x > –4 d) x < Dạng Chứng minh x nghiệm bất phương trình Ví dụ Chứng minh x nghiệm bất phương trình: x2 – 8x + 20 > Giải Ta có x2 – 8x + 20 = x2 – 8x + 16 + = (x – 4)2 + Vì (x – 4)2 ≥ với x nên ta có (x – 4)2 + > với x Vậy x thỏa mãn bất phương trình nên x nghiệm bất phương trình III Bài tập tự luyện Bài Xét xem x = –1 có phải nghiệm bất phương trình sau hay không? a) 2x – > 5x + b) –4x – > x + c) – 3x < – 2x d) 3(x – 1) > 2x + 55 Bài Hãy ba nghiệm nguyên bất phương trình : a) |3x – 1| ≤ b) 5x > 150; Bài Cho tập hợp A = {–3; – c) –4x < 12; d) –6x > –24 ; –1; 0; 1; 2} Giá trị x tập A nghiệm bất phương trình 3x2 + 4x ≥ Bài Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số: a) x ≥ 2,5; b) x ≤ 3,4; c) x ≥ 8; d) x < –1,5 Bài Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình trục số: a) < x ≤ 1; b) > x ≥ 3; c) –1 ≤ x < 5; d) –3 ≤ x < –1 Bài Chứng minh x nghiệm bất phương trình : a) –2x2 + 6x – < b) x2 – 7x + 16 > c) x2 – x > 3x – d) – x2 < x + Bài Chứng minh bất phương trình (x + 6)(8 – x) < nghiệm x mà – ≤ x ≤ Bài Tìm m để x = – nghiệm bất phương trình: x − 13 m−x – m < 2x – ; 10 b) 4x2 – (m – 1)x + – m ≥ a) 56 § BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I Nhắc lại lí thuyết Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình có tập nghiệm hai bất phương trình tương đương Quy tắc chuyển vế Khi chuyển hạng tử từ vế sang vế bất phương trình ta phải đổi dấu hạng tử Quy tắc nhân Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác số 0, ta phải: • Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương • Đổi chiều bất phương trình số âm II Các dạng tập Dạng Giải bất phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: a) + x < – 2x; b) 5x + 18 ≤ 5x – 3; c) + 12x > + 13x; d) 7x ≥ 9x + Giải 3 Do a + b + c = (gt) ⇒ a + b + c = 3abc Mặt khác, a + b + c = (gt) ⇔ a + b = –c ⇔ (a + b)2 = (–c)2 ⇔ a2 + 2ab + b2 = c2 ⇔ a2 + b2 = c2 – 2ab 2 2 2 Tương tự: a + c = b – 2ac, b + c = a – 2bc 5 Để có a + b + c , ta thực phép tính từ: (a + b3 + c3 ) ( a + b2 + c ) 44 43 abc 3 3 = a + a b + a c + b a + b + b c + c a +c b + c a (b + c ) + b ( a + c ) + c ( a + b ) = a + b + c + 422 43 422 43 422 43 5 5 5 a − bc b −2 ac c −2 ab = a + b + c + a (a – 2bc) + b (b – 2ac) + c (c – 2ab) 5 5 5 = a + b + c + a – 2a bc + b – 2ab c + c – 2abc ⇔ 3abc(a2 + b2 + c2) = 2(a5 + b5 + c5) –2abc (a2 + b2 + c2) ⇔ 5abc(a2 + b2 + c2) = 2(a5+ + b5 + c5) (đpcm) Ví dụ 2: a) Với giá trị a giá trị biểu thức 3a – bé giá trị biểu thức 15 – 4a b) Với giá trị m giá trị biểu thức 2,5m – lớn biểu thức + 2,1m Giải 3 Xét hiệu: B = ( a1 + a2 + + an ) − ( a1 + a2 + + an ) 3 n = ( a1 − a1 ) + ( a2 − a2 ) + + ( a3 − an ) 2 = a1 ( a1 −1) + a2 ( a2 −1) + + an ( an −1) = (a1 −1) a1 ( a1 +1) + ( a2 −1) a2 ( a2 +1) + + ( an −1) an ( an +1) 57 Vì số hạng (a1 – 1) a1(a1 + 1) với i = 1; 2; …; n ba số nguyên dương liên tiếp nên chia hết cho 3, mà a1 + a2 + …+an chia hết cho ⇒ đpcm Dạng 3: Bất phương trình tương đương Ví dụ Các bất phương trình sau có tương đương không a) 3x – > –5x + 2x − < x −2 b) 4(2 + x) > + 2x 2(x + 8) – 5x < 20 – x Giải a) 3x – > –5x + ⇔ 3x + 5x > + ⇔ 8x > ⇔ x > 2x − < x − ⇔ 2x – < 3(x – 2) ⇔ – + < 3x – 2x ⇔ < x Vậy hai bất phương trình cho tương đương b) 4(2 + x) > + 2x ⇔ + 4x > + 2x ⇔ 4x – 2x > – ⇔ 2x > –2 ⇔ x > –1 2(x + 8) – 5x < 20 – x ⇔ 2x + 16 – 5x < 20 – x ⇔ –3x + x < 20 – 16 ⇔ –2x < ⇔ x < –2 Vậy hai phương trình cho không tương đương III Bài tập tự luyện Bài Giải bất phương trình a) 12 + x < 18; b) – 5x ≤ 2; c) – 12x ≥ Bài Giải bất phương trình a) 4(2 + x) > + 2x; b) 4(x – 1) + 2(2x – 2) < 0; c) –(5 – x) ≤ 3(2 + x); d) –(3x – 2) + 3(8 + x) ≥ Bài Giải bất phương trình 1) 3) 5) 7) 9) x + x − x +1 − < x − x + 12 + < −4  2x  8x – <  + ÷   5x x x x− −3 > − 6 x + 2x x > − + 15 15 x −1 5 x − x −12 x +18 4) −4 + < x +1 6) 2x + > x − x + x −1 x + + ≤ −1 8) x 2) x – – ≥ Bài4 Giải bất phương trình 1) 2(x – 1) – x ≥ 3(x – 1) – 2x – 2) (x + 1)2 ≥ (x – 1)x + 3) (x –1)2 + (x – 3)x < x2 + (x – 1)2 4) 5(x – 1) – x(7 – x) < x2 5) 5x + – 2(3x + 2) < 4(x + 3) 58 6) 3(4x + 1) – 2(5x + 2) < 4x + 7) x2 + (x + 1)2 > (x – 1)2 + (x + 3)2 8) 9x2 + 4x – (3x + 2)2 > Bài Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: a) x – ≥ 4,7(x – 2) – 2,7(x – 1) b) 3,2(6 – y) + 1,2y > 3(y – 8) Bài Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: a) ≥ 1,5(4 – 2y) + 0,5(2 – 6y) b) 2,5(2 – x) – 1,5(x – 4) < – x Bài 2a − a −1 dương? 3b −1 + 5b b) Tìm số b để hiệu hai phân thức âm? 2a − a −1 c) Tìm số a để tích hai phân thức âm? 3b −1 + 5b d*) Tìm số b để tích hai phân thức âm? a) Tìm số a để tổng hai phân thức Bài Giải bất phương trình a) (x + 1)(x – 1) < b) (x – 5)(x – 2) > Bài 10 Tìm giá trị x thỏa mãn hai bất phương trình : x − x 3x + x − x 3x − + ≥ + ≥ 2 Bài 11 Tìm số nguyên x thỏa mãn hai bất phương trình : 3x − x 2x − − x ≥ + 0,8 – > Bài 12 Tìm giá trị m để nghiệm bất phương trình 4mx > x + là: a) x > 9; b) x < –5 59 § PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I Nhắc lại giá trị tuyệt đối neu a ≥ a Với a ∈ ¡ , ta có: |a| = −a neu a ≤  II Các dạng tập Dạng |A(x)| = B(x) (I) Phương pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách chia khoảng giá trị – Nếu A(x) ≥ (I) trở thành A(x) = B(x) Giải phương trình kiểm tra điều kiện A(x) ≥ Nếu A(x) < (I) trở thành –A(x) = B(x) Ví dụ Giải phương trình 1) |8x| = 10x + 24 2) |x + 4| = 2x – Giải 1) |8x| = 10x + 24 8 x = 10 x + 24 x ≥ −8 x =10 x + 24 x < ⇔  −2 x = 24 x ≥ −18 x = 24 khix < ⇔   x = −12 x ≥  ⇔ x=  x =− x <    x = −12 ( L)  ⇔  x = − (TM )    4 Vậy: Tập nghiệm phương trình S = −    2) |x + 4| = 2x –  x + = x − x + ≥ −( x + 4) = x − x + <  x = 11 x ≥ − ⇔   x =1 x < − ⇔  Dạng |A(x) = B(x)|(II)  A( x) = B ( x) Phương pháp giải (II) ⇔  A( x) = − B( x)  Ví dụ Giải phương trình a) |1 – 4x| = |2| b) |x + 1| = |x – 1| c) |2x|= |x (x – 2)| 60 Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình 1) |x – 5| = 2x + 3; 2) |x – 7| = 2x – 3; 3) |x + 4| = 2x – 5; 4) |x – 8| = 3x – 1; 5) |x + 3| = 3x + 2; 6) |x – 4| + 3x = 5; 7) |x – 9| – 18 = 3x – 5; 8) |x – 5| = x + 5; 9) |x + 2| = 2x – 10; 9) |–x + 7| = –3x + 15 Bài Giải phương trình 1) |x – 5| = 2x + 3; 2) |x – 7| = 2x – 3; 3) |x – 9| –18 = 3x – 5; 4) |x – 5| = x + 5; 5) |x + 2| = 2x – 10; 6) |–x + 7| = –3x + 15 Bài Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức 1) |2x| – x + x ≥ 0; 2) |–4x| + 3x – x ≥ 0; 3) |6x| – 5x – 18 x > 0; 4) |–10x| + |–7x| + 8x – 10 x < 0; 5) |x| + |x + 1| x > Bài Giải phương trình x - |x + 1| + 2|x – 1| = 61 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I Nhắc lại lí thuyết Một cách khác giải phương trình dạng |A(x)| = B(x) (*) Với x mà B(x) < 0, không thỏa mãn phương trình (*) Do đó: Điều kiện: B(x) ≥  A( x ) = B ( x ) (*) ⇔  A( x ) = B ( x)  Giải phương trình kiểm tra điều kiện B(x) ≥ Ví dụ 1: Giải phương trình a) Điều kiện: 4x – ≥ ⇔ x ≥ (loại) Trường hợp 2: 2(x – 1) = –4x + ⇔ 6x = ⇔ x = (thỏa mãn) 5  Vậy S =     b) Điều kiện: –5x + ≥ ⇔ x ≤ Trường hợp 1: x + = –5x + ⇔ 6x = –2 ⇔ x = − (thỏa mãn) 3 Trường hợp 2: x + = 5x – ⇔ 4x = ⇔ x = (loại) Trường hợp 1: 2(x –1) = 4x – ⇔ 2x = ⇔ x = Phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối |A(x) + B(x)| = C(x) Phương pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối phương pháp chia khoảng Ví dụ 2: Giải phương trình sau: |x + 2| + |x – 3| = (1) Giải: Lập bảng xét dấu ta có: x |x+2| |x–3| –x – –x –2 x+2 3–x x+2 x– (1) –2x + = 0x + = 2x – = TH1: Nếu x < –2 (1) ⇒ –2x + = ⇔ –2x = ⇔ x = –2 (loại) TH2: Nếu – ≤ x < 0x + = ⇔ 0x = ⇒ phương trình vô số nghiệm TH3: Nếu x ≥ 2x – = ⇔ 2x = ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình là: – ≤ x ≤ 3 Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ Tìm giá trị nhỏ A = |2x + 1| + |2x –3| Giải 62 Áp dụng tính chất |A| + |B| ≥ |A+B|, dấu “=” xảy A – B ≥ Ta có |2x – 3| = |–2x + 3| Do A = |2x + 1| + |–2x + 3| ≥ |2x + – 2x + 3| Hay A ≥ Dấu “=” xảy (2x + 1) (–2x + 3) ≥ Vậy A đạt giá trị nhỏ (2x + 1)(–2x + 3) ≥ ⇔ – ≤ x ≤ Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải áp dụng số tính chất sau: (1) |A| ≤ B ⇔ –B ≤ A ≤ B; |A| ≥ B ⇔ A ≥ B A ≤ –B (2) |A| ≥ |B| ⇔ A2 ≥ B2 ⇔ (A – B) (A + B) ≥ (3) Nếu bất phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối chia khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải bất phương trình Ví dụ: Giải bất phương trình: a) |3x + 1| < x + b) |x + 5| > −2 x +1 c) |x –1| +|2x + 1| > x – Giải i) Nếu |3x + 1| < x + (1) x ≥ − |3x+1| = 3x + Khi trở thành: 1 3x + < x + ⇔ 2x < ⇔ x < Vậy − ≤ x < 1 ii) Nếu x < − |3x + 1| = –3x – Vậy − ≤ x < 3 Vậy − < x < − 4 3 Kết luận: Nghiệm bất phương trình : − < x < −2 x +1 b) |x + 5| > (2) Nếu x ≥ |x + 5| = x + 5, bất phương trình trở thành x +1 ⇔ 3x + 15 > –2x + ⇔ 5x > –14 5+x> 14 Vậy x < − –3x – < x + ⇔ –4x < ⇔ x > − ii) Nếu x < –5 |x + 5| = –(x – 5), bất phương trình trở thành: –x – > −2 x + ⇔ –3x – 15 > –2x + ⇔ –x > 16 ⇔ x < –16 Vậy x < –16 Kết luận: nghiệm bất phương trình x > − 14 ; x < –16 c) |x – 1| + |2x + 1| > x + (3) i) 63 , (3) trở thành – (x – 1) + (2x + 1) > x + ⇔ –3x > x + 3 ⇔ –4x > ⇔ x < − Vậy x < − ≤ x ≤ 1, (3) trở thành –(x –1) + 2x + > x + ⇔ x + > x + ii) x< − ⇔ –1 > (vô lý) (Loại) iii) x > 1, (3) trở thành x – + 2x + > x + ⇔ 3x > x + ⇔ 2x > –2 ⇔ x > (nhận) Vậy nghiệm bất phương trình x < − III Bài tập tự luyện Bài Giải phương trình a) |2x| = 4x c) |x – 3| = – x ; x > b) |3x – 1| = –2 d) |5x – 3| = 2x2 Bài Giải phương trình sau: a) |3x – 1| + |2x + 5| = b) |x2 – 5x – 6| = x2 + x – 24 Bài Giải phương trình 1) |x| + |x – 2| = 0; 2) |x| + |x – 2| = 2; 3) |x – 2003| + |x – 2004| = 1; 4) |2x + 3| + |2x – 5| = Bài Giải phương trình 1) |x – 3| + |x – 2| = 7; 2) |x – 4| + |x – 9| = 5; 3) |x| + |2x – 3| = x – 1; 4) x – |x + 1| + 2|x – 1| = Bài Tìm GTNN A = |x + 1| + |2x – 1| Bài Tìm GTLN – GTNN biểu thức sau: A = |x – 2| + |x – 3| B = |x2 – x + 1|+|x2 – x – 2| Bài Giải bất phương trình sau: a) 3|x – 1| + |x – 4| = b) |3x – 1| + |2x + 5| = c) |x2 – 5x – 6| = x2 + x – 24 Bài Giải biện luận phương trình theo tham số m a) 2|x – m| + |x + 2m| = 7m với m > b) m − 2m | x + m | =x x Bài Tìm giá trị lớn biểu thức A = –4|x – 2| + – 4x Bài 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = |5x – 1| + |5x + 6| + 64 ÔN TẬP CHƯƠNG Bài Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định đúng, khẳng định sai? Khẳng định Đúng Sai a) Phương trình x – = m + có nghiệm dương m > –4 b) Phương trình 2x – = m + có nghiệm âm m < –8 c) Phương trình x – = m + có nghiệm m = 10 Bài Với m chứng tỏ: a) + m < + m b) –2 – m < –1 – m Bài Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số? Vì sao? a) 4.(–3).(–1) > 11; b) (–3)(–5) ≥ 15; c) 5.(–2) > 10 Bài Cho a, b, c, d số dương a > b, d < b, c > a Chứng tỏ: 1 < ; a b 1 c) > ; b c 1) a) 1 < ; a d 1 d) > d c b) e) 1 > d b Bài Kiểm tra xem –3 nghiệm bất phương trình bất phương trình sau: a) –4x + > –3 b) – 2x < 12 c) 2x2 – > 50 d) |x| < Bài Giải bất phương trình x −1 3x + − 2x > x − x +1 + > c) x – a) b) 8x2 – 2x(4x + 1) ≤ x Bài Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số: x − x −1 + >2 z −1 z + − > c) z – 10 a) x – b) y −1 y −1 −1 + ≤y Bài 2a − a −1 dương? 3b −1 + 5b b) Tìm số b để hiệu hai phân thức âm? 2a − a −1 c) Tìm số a để tích hai phân thức dương? 3b −1 + 5b d) Tìm số b để tích hai phân thức âm? a) Tìm số a để tổng hai phân thức Bài Tìm giá trị nguyên x nghiệm hai bất phương trình sau: 65 x −1 2x + x x+4 x +3 x −2 − x +5 > − (2) < + – (1) 3 x + 24 x x −2 7x +3 x −3 − > x− + ≥ (2) b) (1) 12 a) x – – Bài 10 Tìm giá m để phương trình sau có nghiệm dương x + x − x + m 2( x − m) + = + 1− m 1+ m 1+ m 1− m b) – m = x +1 a) Bài 11 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm âm: a) 0,5(5x – 1) = 4,5 – 2m (x – 2) b) 3mx +12m +5 x − 3 x − m = − m −1 3m + 1 − 3m Bài 12 Giải biện luận phương trình sau: a) m(2x – m) ≥ 2(x – m) + b) m(2 – x) + (m – 1)2 > 2x + b) (m2 – m – 1)x – 5m > (3 – m)x d) – mx < 2(x – m) – (m + 1)2 e) m( x − 2) x − m x + + > Bài 13 Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: ab bc ca + + ≥ a + b + c c a b Bài 14 Cho x, y hai số khác 0, chứng minh rằng:  x y   x2 y2   + ÷−  + ÷ ≤ x  y x y Bài 15 a) |x + 5| = c) |x – 1| = 3x + b) |x + 1| = 2x d) |5 – x| = 3x – Bài 16 | x −1| = 3x −1; 6+7 c) | x −1| = a) b) |3− x | = x +1 d) |x + 1| = |x(x + 1)| Bài 17 Giải phương trình sau: a) |3x| + 2x – = b) 5x – + |–3x| = 13 c) |1 – x| + 4x(x –1) = 4x + 3x d) (x – 2)2 + x(x + 1) = 2x2 – |x + 1| Bài 18 Giải bất phương trình sau: a) |x + 5| > 3; b) |2 – x| ≥ c) |x – 6| < 3; d) |5 – 2x| ≤ 66 ÔN TẬP CUỐI NĂM Bài Phân tích thành nhân tử: 1) 3x – 3y + x2 – y2 2) (2xy + 1)2 – (2x + y)2 3) (x2 + y2– 5)2 4(x2y2 + 4xy + 4) 4) (x2 + y2 – z2)2 – 4x2y2 5) 9x2 + 90x + 225 – (x – 7)2 6) x2(x – 2)2 – (x – 2)2 – x2 + 7) x3 – 4x2 + 8x – 8) + 6x – 6x2 – x3 9) x3 – y3 – 3x2 + 3x – 10) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 Bài Phân tích thành nhân tử (bằng phương pháp đặt biến phụ) a) (x2 + 4x)2– 2(x2 + 4x) – 15 b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 24 Bài Phân tích thành nhân tử a) A = (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) – b) B = (x2 + 2x)2 – 2x2 – 4x – c) C = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 d) D = x2 – 2xy + y2 – 7x + 7y + 12 Bài Chứng minh với n ∈ Z, biểu thức sau bình phương số nguyên a) A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + b) B = n4 – 4n3 – 2n2 + 12n + Bài Tìm số nguyên dương liên tiếp, biết: a) Tích chúng 120 b) Tích chúng 1680 Bài Thực phép chia x2y4) : (–2x2y2) 1 b) (–3x5y3z2 + 2x4y4z – x3 y ): (– x3y2) a) (2x4y2 – 3x3y3 + Bài Làm tính chia (x3 – 4x2 – 2x + 8) : (x – 4) Bài Cho đa thức: A = x4 – 2x3 + 3x2 – 5x + 10 B = x2 – x + Tìm đa thức Q R cho A = B Q + R Bài Thực phép tính: a2 2a + − a) a + a − a −1 2x − + b) 2 x + 3x + x + x + x x + 5x + xy x−y c) x − y − x3 − y + x + xy + y 4( x + 3) x − 25 (2 x + 3) − x − − d) (3 x + 5) − x x − (2 x + 5) (4 x + 15) − x Bài 10 Chứng minh đẳng thức sau: 67 2x x x +2 − = + (với x ≠ 1; x ≠ 3) x −3 x − 4x + − x x − x+2 x −2 + 2 b) x + x +x1 − x = (x ≠ 0; ±1 ) x + x − x −1 x+2 2 x2 + − − Bài 11 Cho biểu thức: N = x + x + x −1 − x a) a) Rút gọn N b) So sánh N Bài 12 Cho biểu thức: N = x −10 2x − + x − x + 10 x − − x a) Tìm giá trị x để N có giá trị xác định b) Rút gọn N c) Tìm giá trị x để giá trị N nguyên Bài 13 Giải phương trình: a) (x – 1)(x + 5) – 2(2x – 1)= (x – 2)2 b) (2x – 3)(2x + 3) – 4(x + 5)2 = –9(1 + 5x) + 7x 12,5 x + 4,5 = (9 x + 0, 2) − (1,2 – x) – 10 20 2(3 − x) − 3x x+ 7x + + x − 4( x −1) d) 5 +2 − = 20 12 c) Bài 14 Giải phương trình x + 2001 x + 1999 x +1997 x +1995 + + + = −4 11 x −15 x −10 x − x −100 x −100 x −110 + + = + + b) 100 105 110 15 10 5 x −1 x −1 x −1 + + − 2006( x − 1) = c) x + x +1 x + x + x + x +1 x + x + x + x3 + x + x +1 a) Bài 15 Tìm nghiệm phương trình theo tham số m a) m2(x – 1) = 2(2x – 3) + m m(m − 5) m −14 +6 = x −2 x −2 x( m − x ) 10 x + x − m = 10 − c) x +m x+m b) Bài 16 Giải phương trình x+2 3 a) x +1 + x − = ( x +1)( x − 2) + 68 x2 − + = x −1 x −1 x + x +1 2x + x −1 +1 = − c) x +3 x + 2x −3 1− x 13 + + =0 d) 2 x + x − 21 x + − x b) Bài 17 Hai người xe đạp từ A đến B cách 60 km với vận tốc thời điểm xuất phát Đi quãng đường người thứ phải dừng lại 20 phút xe hỏng đón xe buýt A 40 phút Biết xe buýt chạy nhanh xe đạp 30 km/h Hãy tính vận tốc xe đạp Bài 18 Trong quý I năm 2005 Hai xí nghiệp Công ty làm 900 sản phẩm Quý II xí nghiệp thứ sản xuất vượt mức 15%, xí nghiệp thứ hai sản xuất vượt mức 20% nên hai xí nghiệp làm 1045 sản phẩm Hỏi quý xí nghiệp sản xuất sản phẩm? 69 ... = 8xyz (1) Chứng minh x = y = z Bài 7: Phân tích thành nhân tử (Thêm bớt hạng tử) 1) a4 + a2 + 2) a2 + 64 3) a4 + 4b4 4) x4 + 5) 64x4 + 6) 81 x4 + 7) x8 + x7 + 8) x8 + x + 9) x8 + x4 + Bài 8: ... (30 – 1)2 = 302 – 2.30.1 + 12 = 900 – 60 + = 84 1 81 2 = (80 + 1)2 = 80 2 + 2 .80 .1 + 12 = 6400 + 160 + = 6561 b) 2931 = (30 – 1)(30+1) = 302 – = 900 – = 89 9 49.51 = (50 – 1)(50 + 1) = 502 – = 2500... 34n+ – 43n+3 chia hết cho 17 (n∈¥ ) LG: + + + 1 A = (34)n – (43)n = 81 n – 64n+ = (81 – 64) (81 n + 81 n – 1.64 + …+ 64n) = 17 (81 n + 81 n – 1.64 + …+ 64n) Điều chứng tỏ A chia hết cho 17 Các đa thức