Phân dạng và bài tập trắc nghiệm Vectơ hình học 10

Tài liệu về chuyên đề vectơ (HH10). Tài liệu gồm 29 trang bao gồm lý thuyết, phân dạng rất chi tiết và bài tập trắc nghiệm phong phú về chủ đề vectơ. Nội dung tài liệu phân theo 4 chủ đề: Các định nghĩa của vectơ Tổng hiệu của hai vectơ Tích của vectơ với một số Hệ trục tọa độ Tài liệu phù hợp để các giáo viên sử dụng là tài liệu giảng dạy, học sinh có thể dễ dàng tự học

Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Vấn đề Chủ đề: VECTƠ Các định nghĩa vectơ A Các kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng - Vectơ có điểm đầu (gốc) , điểm cuối (ngọn) hiệu ⃗ (đọc vectơ ) - Một vectơ xác định ký hiệu ⃗, ⃗, ⃗, ⃗,…  Chú ý: ⃗ ≠ ⃗ - ký Vectơ – không: vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng II/ Vectơ phương, vectơ hướng - Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Mọi đường thẳng qua điểm giá vectơ – không ⃗ - Hướng vectơ hướng từ điểm đầu đến điểm cuối vectơ Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng  Chú ý:  Hai vectơ hướng phương Điều ngược lại không  Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Vectơ – không phương, hướng với vectơ  Ba điểm phân biệt , , thẳng hàng hai vectơ ⃗ ⃗ phương III/ Hai vectơ - Độ dài vectơ: khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài vectơ ⃗ ký ⃗ = hiệu | ⃗|, độ dài vectơ ⃗ ⃗ = - Hai vectơ chúng có hướng độ dài - Nếu ⃗ ⃗ ta viết ⃗ = ⃗ - ⃗= ⃗ = 0⃗, 0⃗ = B Bài tập trắc nghiệm Dạng Xác định vectơ  Phương pháp:    Để xác định vectơ a  ta cần biết điểm đầu điểm cuối vectơ a Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề không đúng? A Vectơ đoạn thẳng có hướng B Vectơ đoạn thẳng không phân biệt thứ tự hai điểm mút C Vectơ đoạn thẳng xác định điểm đầu, điểm cuối D Vectơ đoạn thẳng phân biệt thứ tự hai điểm mút Đáp án: B Bài Với hai điểm phân biệt A, B ta có vectơ khác vectơ – điểm đầu điểm cuối A B A B C D Đáp án: C  Bài Cho tứ giác ABCD Số vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh tứ giác là: A 12 B C D 12 Đáp án: D Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 1 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế  Bài Bài Bài Bài Cho tam giác ABC , xác định vectơ khác vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C A B C D Đáp án: B Số vectơ có điểm đầu điểm cuối điểm phân biệt cho trước là: A 12 B 21 C 27 D 30 Đáp án: D  Cho điểm phân biệt A, B, C , D E Có vectơ khác có điểm đầu điểm cuối điểm cho? A 12 B 20 C 24 D 30 Đáp án: B Cho hai đường thẳng song song d1 , d Trên d1 lấy điểm phân biệt, d lấy điểm phân biệt Số vectơ có điểm đầu d1 điểm cuối d là: A 30 B 25 C 24 D 15 Đáp án: A Dạng Phương hướng vectơ Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề không đúng? A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba phương  B Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác phương C Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba hướng  D Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ hướng Đáp án: A Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có vectơ phương với vectơ thứ ba phương B Có hai vectơ phương với vectơ C Có vô số vectơ phương với vectơ D Không có vectơnào phương với vectơ Đáp án: A – vectơ Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai vectơ có giá vuông góc phương B Hai vectơ phương giá chúng song song C Hai vectơ phương hướng D Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba hướng Đáp án: D Bài Cho ba điểm phân biệt A, B, C Khi khẳng định sau nhất?   A A, B, C thẳng hàng AB AC phương   B A, B, C thẳng hàng AB BC phương  Bài  C A, B, C thẳng hàng AC BC phương D Cả A, B, C Đáp án: D Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Tìm mệnh đề đúng?   A AB AC ngược hướng A không nằm B, C   B AB AC hướng A không nằm B, C   C AB BC hướng A không nằm B, C   D AB CA ngược hướng A không nằm B, C Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 2 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Đáp án: B  Bài Cho tam giác ABC Gọi A ', B ', C ' trung điểm cạnh BC , CA, AB Vectơ A ' B ' phương với vectơ vectơ sau đây?     A AB B AB ' C BA D C ' B Đáp án: C Bài Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, N nằm hai điểm M P Khi cặp vectơ sau hướng?         A MN PN B MN MP C MP PN D NM NP Đáp án: B   Bài Cho lục giác ABCDEF có tâm O Số vectơ khác phương với OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác bằng: A B C D Đáp án: D Dạng Quan hệ vectơ  Phương pháp  Sử dụng  định nghĩa hai vectơ phương, hai vectơ  Vectơ phương với vectơ, hướng với vectơ Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?   A Hai vectơ a b gọi chúng có hướng độ dài   B Hai vectơ a b gọi chúng có phương độ dài   C Hai vectơ AB CD gọi tứ giác ABCD hình bình hành  Bài Bài Bài Bài  D Hai vectơ a b gọi chúng có độ dài Đáp án: A Nếu hai vectơ chúng: A Có độ dài B Cùng phương C Cùng điểm gốc D Cùng hướng Hãy tìm khẳng định sai Đáp án: C Chọn câu sai câu sau Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi là: A Vectơ có hướng tùy ý B Vectơ có phương tùy ý C Vectơ – không D Vectơ có độ dài không xác định Đáp án: D Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Vectơ đoạn thẳng định hướng B Vectơ – không vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng C Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài D Hai vectơ phương chúng có giá song song Đáp án: D Cho ba điểm A, B, C phân biệt Khi đó:   A Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng AB phương với AC  B Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng với điểm M MA phương với  C Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng với điểm M MA phương với   Bài  MB  AB D Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng AB  AC Đáp án: D Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Mỗi vectơ có độ dài khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 3 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế   B Độ dài a ký hiệu a    C  , PQ  PQ  D AB  AB  BA Đáp án: C   Bài Cho ba điểm A, B, C phân biệt Nếu AB  BC có nhận xét ba điểm A, B, C ? A B trung điểm AC B B nằm AC C B nằm AC D Không tồn Đáp án: A  Bài Cho lục giác ABCDEF có tâm O Số vectơ vectơ OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác bằng: A B C D    Đáp án: B - FO, AB, ED ABCD hình bình hành khi: Bài         A AB  CD B BC  DA C BA  CD D AC  BD Đáp án: C     Bài 10 Cho AB  điểm C , có điểm D thỏa mãn AB  DC A B C D Vô số Đáp án: B     Bài 11 Cho AB  điểm C , có điểm D thỏa mãn AB  CD A B C D Vô số Đáp án: D   Bài 12 Điều kiện điều kiện cần đủ để AB  CD A ABCD hình bình hành B ABDC hình bình hành C AD BC có trung điểm D AB  CD AB  CD Đáp án: B Bài 13 Cho hình bình hành ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?         A AD  CB B AD  CB C AB  DC D AB  CD Đáp án: A Bài 14 Cho lục giác ABCDEF tâm O Khẳng định sau nhất?       A AB  EF B AB  OC C AB  FO D Cả A,B,C Đáp án: D Bài 15 Cho hình vuông ABCD Khi đó:         A AC  BD B AB  CD C AB  BC D AB, AC tùy ý Đáp án: C Bài 16 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ năm điểm A, B, C , D, O   AB, OB         A AB  AC , OB  AO B AB  OC , OB  DO         C AB  DC , OB  AO D AB  DC , OB  DO Đáp án: D Bài 17 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ năm điểm điểm A, B, C , D, O có  độ dài OB    A BC , DO, OD    B BO, DC , OD Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ    C BO, DO, OD    D BO, DO, AD Page 4 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Đáp án: A Bài 18 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai?       A AB  CD B BC  DA C AC  BD   D AD  BC Đáp án: C Bài 19 Cho hình bình hành ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?         A AD  CB B AD  CB C AB  DC D AB  CD Đáp án: A Bài 20 Cho lục giác ABCDEF , tâm O Khẳng định sau nhất?       A AB  ED B AB  OC C AB  FO D Cả A, B, C Đáp án: D Bài 21 Cho hình vuông ABCD Khi đó:         A AC  BD B AB  CD C AB  BC D AB, CD hướng Đáp án: C Bài 22 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M điểm Mệnh đề sau đúng?      A M , MA  MB B M , MA  MB  MC      C M , MA  MB  MC D M , MA  MB Đáp án: C Bài 23 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD DA Trong khẳng định sau, khẳng định sai?         A MN  QP B MQ  NP C MN  PQ D MN  AC   AC Bài 24 Cho tam giác ABC , mệnh đề sau sai?   A AB  BC B   C AB  BC D Đáp án: D MN    AC  BC   AC , BC không phương Đáp án: A Bài 25 Cho tam giác ABC cạnh a Mệnh đề sau đúng?     A AC  a B AC  BD C AB  a   D AB, BC phương Đáp án: C Bài 26 Gọi C trung điểm đường thẳng AB Hãy chọn khẳng định khẳng định sau?     A CA  CB B AB AC phương   C AB AC ngược hướng   D AB  CB Đáp án: B Dạng Các toán chứng minh vectơ  Phương pháp Để chứng minh hai vectơ ta dùng ba cách sau:      a b   a b  a vµ b cïng ph­¬ng       Tứ giác ABCD hình bình hành  AB DC BC  AD        Nếu a  b, b  c a  c Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 5 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Bài Cho tam giác ABC có trực tâm H D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định sau khẳng định đúng?         A HA  CD, AD  CH B HA  CD, AD  HC           C HA  CD, AC  CH D HA  CD, AD  HC , OB  OD Đáp án: B Ta có: CH  AB DA  AB ( A thuộc đường tròn tâm O bán kính BD )  CH  AD (1) Lại có: AH  BC DC  BC ( C thuộc đường tròn tâm O bán kính BD )  AH  CD (2) (1)(2)  ABC D hình bình hành  Bài Bài Bài Bài     AB  HC, HA  CD Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN , K giao điểm DM CN Khẳng định sau sai?         A AM  NC , DK  NI B AM  NC , DK  IN         C BI  KD, NI  DK D AI  NK , NK  KC Đáp án: B Cho tam giác ABC điểm M tam giác Gọi A ', B ', C ' trung điểm BC , CA, AB N , P, Q điểm đối xứng với M qua A ', B ', C ' Khẳng định sau sai?         A AM  PC , QB  MN B AC  QN , AM  PC         C AB  CN , AP  QN D AB '  BN , MN  BC Đáp án: B Ta có: AMBQ hình bình hành (giao đường chéo trung điểm đường)   Suy ra: AQ  BM   BMCN hình bình hành  BM  NC   Do AQ  NC Tương tự AMPC hình bình hành   Suy AM  PC Cho đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác ABC , gọi H trực tâm tam giác ABC K trung điểm BC Đường thẳng HK cắt  O  D cho H , D nằm khác phía so với BC Khẳng định sau đúng?         A BD  AC B CD  AB C HK  AB D HC  BD Đáp án: D K  H D  CB, K trung điểm HD, CB  CHBD hình bình hành Cho tứ giác ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AD, BC , O giao điểm AC BD Điều kiện sau để ABCD hình bình hành?       A MN  AB, MN  DC B MN  AB, O trung điểm AC BD         C MN  BN , DN  AB D MB  DC , DN  AB Đáp án: A Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 6 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Vấn đề Tổng – hiệu hai vectơ A Các kiến thức cần nhớ I/ Tổng vectơ - Định nghĩa: Cho hai vectơ ⃗ ⃗ Lấy điểm A tùy ý, dựng ⃗ = ⃗, ⃗ = ⃗ Khi đó: ⃗ + ⃗ = ⃗ - Quy tắc ba điểm: Cho A, B, C tùy ý, ta có: ⃗+ ⃗= ⃗ - Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành thì: ⃗+ ⃗= ⃗ II/ Vectơ đối - Cho vectơ ⃗ Vectơ có độ dài ngược hướng ⃗ gọi vectơ đối vectơ ⃗, kí hiệu − ⃗ Ta có ⃗ + (− ⃗ ) = 0⃗ - Mọi vectơ có vectơ đối, ví dụ ⃗ có vectơ đối ⃗, nghĩa là: ⃗ = − ⃗ - Vectơ đối 0⃗ 0⃗ III/ Hiệu vectơ (phép trừ) Quy tắc hiệu vectơ: với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước, ta có: IV/ Tính chất Với ⃗, ⃗, ⃗ bất kì, ta có: - Giao hoán: ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ - Kết hợp: ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ - ⃗− ⃗= ⃗ ⃗ + 0⃗ = 0⃗ + ⃗ = ⃗ ⃗ + ( − ⃗ ) = − ⃗ + ⃗ = 0⃗ ⃗ + ⃗ ≤ | ⃗| + ⃗ , dấu “=” xảy ⃗, ⃗ hướng ⃗ = ⃗⇔ ⃗+ ⃗= ⃗+ ⃗  Chú ý:   trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác ⇔ ⇔ ⃗ + ⃗ = 0⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗ = 0⃗ B Bài tập trắc nghiệm Dạng Tổng hai vetơ tổng nhiều vectơ  Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng hai vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành tính chất tổng vectơ Bài Cộng vectơ có độ dài giá ta kết sau:  A Cộng vectơ ta kết  B Cộng vectơ đôi ngược hướng ta  C Cộng 121 vectơ ta vectơ  D Cộng 25 vectơ ta vectơ      Bài Cho a, b vectơ khác a  b Xét phát biểu sau:      (1) Nếu a b phương a  b phương với a Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 7 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế  Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài     (2) Nếu a b hướng a  b hướng với a      (3) Nếu a b ngược hướng a  b hướng với a      (4) Nếu a b ngược hướng a  b ngược hướng với a Số phát biểu là? A B C Cho điểm phân biệt A, B, C Đẳng thức sau đúng?    D    A AB  AC  BC B AB  CA  CB       C CA  BA  CB D AA  BB  AB      Vectơ tổng MN  PQ  RN  NP  QR bằng:     A MR B MN C PR D MP Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD     MC  NC AM  CD bằng:         A MN , AC B AC , NC C AC , BM D CD, MD Cho hình bình hành ABCD với tâm O Đẳng thức sau đúng?       A AB  AD  BD B AB  AD  AC       C AB  AD  DB D AB  AD  CA Cho hình bình hành ABCD với tâm O Đẳng thức sau sai?       A AB  OA  OB B OA  OC  AC         C OA  OB  OC  OD  D AB  CD  Cho điểm M , N , P, Q Đẳng thức sau sai?         A PQ  NP  MN  MQ B NP  MN  QP  MQ         C MN  PQ  MQ  PN D PQ  NP  MN  MQ Cho tam giác ABC , I trung điểm BC Xét mệnh đề sau:          (1) AB  AI  IB (2) AI  AB  AC (3) AC  BI  AI Mệnh đề là: A Chỉ (1) B (1) (2) C (3) D (2) (3) Bài 10 Với bốn điểm A, B, C , D ba điểm thẳng hàng Chọn câu đúng:      B ABCD hình bình hành AB  AD  AC   A ABCD hình bình hành AB  DC C ABCD hình bình hành AD  BC D Cả ba câu Bài 11 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?    A Với ba điểm I , J , K ta có: IJ  JK  IK    B Nếu AB  AC  AD ABCD hình bình hành   C Nếu OA  OB O trung điểm AB     D Nếu G trọng tâm ABC GA  GB  GC  Bài 12 Cho tam giác ABC Tìm khẳng định đúng:     A BA  AC  BC B AB  BC  CA      C AB  BC  AB  BC    D AB  AC  BC Bài 13 Cho ngũ giác ABCDE tâm O Khẳng định sau đúng? Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 8 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế     A OA  OB OC  OE phương     B OA  OB OC  OE hướng   C AB EC không phương   D OA OC phương Dạng Vectơ đối hiệu hai vectơ  Phương pháp:    Theo định nghĩa, để tìm hiệu a  b , ta làm hai bước sau:   Tìm vectơ đối b     Tính tổng a  b   Bài Bài Bài    Vận dụng quy tắc OA  OB  BA với ba điểm O, A, B    Nếu a b vectơ khác a vectơ đối b chúng: A Cùng phương B Cùng độ dài C Ngược hướng Hãy chọn khẳng định sai? Cho mệnh đề sau:   (1) Vectơ đối vectơ  a vectơ a   (2) Vectơ đối vectơ vectơ     (3) Vectơ đối vectơ a  b a  b     (4) Vectơ đối vectơ a  b a  b Số mệnh đề là: A B C Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?    D  A a vectơ đối b a  b  D Có chung điểm đầu    Bài B a b ngược hướng điều kiện cần để b vectơ đối a     C b vectơ đối a  b  a     D a b hai vectơ đối  a  b  Nếu MN vectơ cho với điểm O ta có:       A MN  OM  ON B MN  ON  OM       C MN  MO  NO D MN  OM  ON Hãy chọn đẳng thức đúng?       A AB  AC  BC B AM  BM  AB       C PM  PN  NM D AA  BB  AB Cho hai điểm phân biệt A B Điều kiện để I trung điểm đoạn thẳng AB là:       A IA  IB B IA  IB C IA   IB D AI  BI Cho hình bình hành ABCD với tâm O Cho khẳng định sau: Bài (1) OA  OB  AB (2) CO  OB  BA (3) AB  AD  AC        (4) AB  AD  BD (5) CD  CO  BD  BO Có khẳng định đúng, khẳng định sai? A sai B đúng, sai C đúng, sai D đúng, sai Cho ba điểm A, B, C Đẳng thức đúng? Bài A AB  CB  CA B BC  AB  AC       C AC  CB  BA D CA  CB  AB Cho ba điểm A, B, C Đẳng thức sai? Bài Bài Bài       Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ          Page 9 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế    A CA  BA  BC B AB  CB  CA       C BC  AC  BA D AB  BC  CA Bài 10 Cho tam giác ABC , I , J , K trung điểm AB, BC , CA Mệnh đề sau sai?    A JK , BI , IA ba vectơ    B Vectơ đối IK CJ JB    C Trong ba vectơ I J , AK , KC có hai vectơ đối    D IA  KJ  Bài 11 Cho ba điểm I , J , K Đẳng thức sau sai?       A IJ  JK  IK B JK  IK  IJ   C Nếu I trung điểm JK I J vectơ đối IK    D KJ  KI  I J K tia đối I J Bài 12 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?          A AB  BC  BD  B AC  BD  CB  DA     C AD  DA      Dạng Tính độ dài a  b, a  b  Phương pháp:      D OA  BC  DO     Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB : AB  BA  AB       Tính a  b  AB , a  b  CD Sau tính độ dài đoạn thẳng AB CD cách gắn vào đa giác mà ta tính độ dài cạnh phương pháp tính trực tiếp khác  Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  Độ dài vectơ AC là: A B C D   Cho tam giác ABC có cạnh a Độ dài tổng hai vectơ AB AC bao nhiêu? a A 2a B a C a D   Cho tam giác vuông cân ABC có AB  AC  a Độ dài tổng hai vectơ AB AC bao nhiêu? a A a B C 2a D a   Cho tam giác ABC vuông A AB  3, AC  Vectơ CB  AB có độ dài bao nhiêu? A B 13 C D 13  Bài Bài Bài Bài   Bài Bài Cho tam giác ABC có cạnh a , H trung điểm cạnh BC Vectơ CA  HC có độ dài bao nhiêu? a 3a 2a a A B C D 2   Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 Tổng hai vectơ GA  GC có độ dài bao nhiêu? A B C D Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 10 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế 1 B k   C k  D k  5  Bài Cho vectơ a số k Kết luận sau đúng?     A ka vectơ hướng với a B ka vectơ ngược hướng với a     C ka vectơ phương với a D ka vectơ đối vectơ a   Bài Điểm M gọi chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1, k  MA  k MB Lúc đó, M chia đoạn thẳng BA theo tỉ số nào? 1 A B k C k D  k k Bài Nếu M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1, k  B chia đoạn thẳng MB theo tỉ số: k k A B C D 1 k k 1 k 1 1 k Bài Nếu M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1, k  B chia đoạn thẳng MA theo tỉ số: k k A B C D 1 k k 1 k 1 1 k Bài Cho tam giác ABC , cặp vectơ sau phương?         A 2BC  AC BC  AC B 5BC  AC 10 BC  AC         C BC  AC 2BC  AC D BC  AC BC  AC Dạng Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số  Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vuông để tính độ dài chúng   Bài Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 Tổng hai vectơ GB  GC có độ dài bao nhiêu? A B C D   Bài Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài CB  MA : A a B 2a C 3a D 4a   Bài Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài BA  BC : a a a a A B C D Bài Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài   MA  2,5MB : a 127 a 127 a 127 a 127 A B C D  21   Bài Cho tam giác vuông cân ABC với OA  OB  a Độ dài u  OA  2,5OB là: a 321 a 541 a 140 a 321 A B C D 4  11   Bài Cho tam giác vuông cân ABC với OA  OB  a Độ dài u  OA  OB là: 4 A k  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 16 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế 6073 5785 C D a a a 28 28 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức sau sai? A 2a Bài   A AB  AC  a Bài B   B AB  AC  a    C GA  GB  GC    D GB  GC  a Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài   AB  AC : a 21 a 21 a 21 a 21 B C D Dạng Phân tích (biểu diễn) vectơ theo hai vectơ không phương  Phương pháp: Phối hợp linh hoạt quy tắc:  Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hiệu vectơ tính chất, kỹ thuật tách, gộp, chọn gốc  Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB     MA  MB      OA  OB  2OM với O điểm tùy ý  Tính chất trọng tâm: G trọng tâm tam giác ABC      GA  GB  GC       OA  OB  OC  3OG với O điểm tùy ý Bài Cho tam giác ABC , E điểm cạnh BC , cho BE  BC Hãy chọn đẳng thức đúng:       A AE  AB  AC B AE  AB  AC 4       C AE  AB  AC D AE  AB  AC 4      Bài Cho tam giác ABC điểm I cho I A  IB Biểu thị vectơ CI theo hai vectơ CA CB sau:    CA  2CB    A CI  B CI  CA  2CB      CA  2CB  CA  2CB C CI  D CI  3      Bài Cho tam giác ABC điểm I cho I A  IB  Biểu thị vectơ CI theo hai vectơ CA  CB sau:    CA  2CB    A CI  B CI  CA  2CB      CA  2CB  CA  2CB C CI  D CI      3   Bài Cho tam giác ABC với trọng tâm G Đặt CA  a, CB  b Biểu thị vectơ AG theo hai vectơ a  b sau:          a  b  2a  b  a  2b  2 a  b A AG  B AG  C AG  D AG  3       Bài Cho G trọng tâm tam giác ABC Đặt CA  a , CB  b , biểu thị vectơ CG theo hai vectơ a b sau: A Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 17 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế             Bài  a  b  a  b  a  b ab A CG  B CG  C CG  D CG  3 3 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC  NA Gọi K trung điểm MN Khi đó:       A AK  AB  AC B AK  AB  AC 4       C AK  AB  AC D AK  AB  AC 6   Cho tam giác ABC , N điểm xác định CN  BC , G trọng tâm tam giác ABC Hệ    thức AC theo AG AN là:       A AC  AG  AN B AC  AG  AN 3       C AC  AG  AN D AC  AG  AN 4 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N trung điểm AD BC Hãy tìm m, n để Bài MN  m AB  nDC 1 1 1 1 A m  , n  B m   , n  C m  , n   D m   , n   2 2  2 2 Cho hình bình hành ABCD Gọi I điểm xác định BI  k BC  k  1 Hệ thức AI ,  Bài Bài      AB, AC k là:    A AI  (k  1) AB  k AC          D AI  (k  1) AB  k AC B AI  (1  k) AB  k AC C AI  (k  1) AB  k AC Bài 10 Cho tam giác ABC , biết AC  9, M trung điểm BC , N điểm đoạn AC cho AN  x   x   Tìm hệ thức hệ thức sau:   x      x    A MN     AC  AB B MN     AC  AB 2 2 9 9 2   x      x    C MN     AC  AB D MN     AC  AB 2 2 9 9 2   Bài 11 Điểm M gọi chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  MA  k MB Lúc đó, với điểm O thì:          kOA  OB  OA  kOB  OA  kOB  kOA  OB A OM  B OM  C OM  D OM  k 1 1 k k 1 1 k Bài 12 Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu có điểm I số t cho    IA  t IB  1  t  IC với điểm I ' bất kì, hệ thức sau đúng?       A I ' A  t I ' B  1  t  I 'C B I ' A  1  t  I ' B  t I 'C       C I ' A  t I ' B  t I 'C D I ' A  1  t  I ' B  t I 'C Dạng Đẳng thức vectơ  Phương pháp Để chứng minh đẳng thức ta làm theo cách sau:  Biến đổi vế thành vế  Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 18 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế  Đưa vế biến đổi đẳng thức Phối hợp quy tắc:  Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hiệu vectơ tính chất, kỹ thuật tách, gộp, chọn gốc  Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB     MA  MB      OA  OB  2OM với O điểm tùy ý G trọng tâm tam giác ABC   Tính chất    trọng  tâm:   GA  GB  GC       OA  OB  OC  3OG với O điểm tùy ý Cho hai tam giác ABC A ' B ' C ' có trọng tâm G G ' Đẳng thức sau sai?       A 3GG '  AA '  BB '  CC ' B 3GG '  AB '  BC '  CA '       C 3GG '  AC '  BA '  CB ' D 3GG '  A ' A  BB '  CC ' Cho tam giác ABC có G trọng tâm, I trung điểm đoạn BC Đẳng thức sau đúng?           A GA  2GI B IG   IA C GB  GC  2GI D GB  GC  GA Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đúng?             A AC  BD  BC B AC  BC  AB C AC  BD  2CD D AC  AD  CD Gọi AM trung tuyến tam giác ABC I trung điểm AM Đẳng thức sau đúng?                 A IA  IB  IC  B  IA  IB  IC  C IA  IB  IC  D IA  IB  IC  Cho hình chữ nhật ABCD , I K trung điểm BC CD Hệ thức sau đúng?        A AI  AK  AC B AI  AK  AB  AD       C AI  AK  IK D AI  AK  AC Cho tứ giác ABCD I , J trung điểm BC , CD Hãy chọn hệ thức đúng?   Bài Bài Bài Bài Bài Bài              AB  AI  JA  AD   3DB A AB  AI  AJ  AD  3DB C Bài Bài Bài             D  AB  IA  AJ  AD   3DB B BA  IA  JA DA  3DB Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Hãy chọn hệ thức đúng?           A MA  MB  3MC  AC  BC B MA  MB  3MC  AC  BC           C MA  MB  3MC  2CA  CB D MA  MB  3MC  2CB  CA Cho tam giác ABC , tâm O M điểm tam giác Hình chiếu M xuống ba     cạnh tam giác D, E , F Hệ thức vectơ M D, ME, MF , MO là:         A M D  ME  MF  MO B M D  ME  MF  MO         C M D  ME  MF  MO D M D  ME  MF  MO Cho tam giác ABC có trực tâm H , O tâm đường tròn ngoại tiếp Chọn khẳng định đúng:         A HA  HB  HC  HO B HA  HB  HC  HO Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 19 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế         HO D HA  HB  HC  3HO Bài 10 Cho tam giác ABC có trực tâm H , O tâm đường tròn ngoại tiếp Chọn khẳng định đúng:         A OA  OB  OC  OH B OA  OB  OC  OH         C OA  OB  OC  OH D OA  OB  OC  2OH Bài 11 Cho tam giác ABC với cạnh AB  c, BC  a, CA  b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Đẳng thức sau đúng?         A aI A  bIB  cIC  B I A  IB  IC  a b  c      C bI A  cIB  aIC  D aI A  bIB  cIC  Dạng Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức cho trước  Phương pháp Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm Thông thường ta biến đổi đẳng    thức vectơ cho dạng OM  a, O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về:  Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k  Hình bình hành  Trung điểm đoạn thẳng  Trọng tâm tam giác…     Bài Cho tam giác ABC I điểm IA  IB  IC  A Trung điểm AB B Trọng tâm tam giác ABC C Đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI D Đỉnh thứ tư hình bình hành ABCI     Bài Cho hình bình hành ABCD , điểm M thỏa mãn AM  AB  AC  AD Khi đó, điểm M là: A Trung điểm AC B Điểm C C Trung điểm AB D Trung điểm AD   Bài Cho ba điểm A, B, C thỏa AB  2 AC Chọn câu trả lời sai: A Ba điểm A, B, C thẳng hàng B Điểm B nằm AC đoạn AC C Điểm C trung điểm đoạn thẳng AB D Điểm B trung điểm đoạn thẳng AC      Bài Cho tam giác ABC Điểm N thỏa mãn NA  NB  NC  là: A Trọng tâm ABC B Trung điểm đoạn BC C Trung điểm đoạn AK với K trung điểm đoạn BC D Đỉnh thứ tư hình bình hành nhận AB AC làm hai cạnh    Bài Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm I thỏa mãn IB  3IC  A I trung điểm BC B I không thuộc BC C I nằm BC đoạn BC D I thuộc đoạn BC BI  IC     Bài Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  A Trọng tâm ABC B Đỉnh hình bình hành ABCM C Trùng điểm B D Trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Trên cạnh BC lấy hai điểm M , N cho BM  MN  NC Điểm G điểm tam giác AMN ? A Trực tâm B Tâm đường tròn ngoại tiếp C Tâm đường tròn nội tiếp D Trọng tâm Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E , F trung điểm AB CD Điểm G thỏa mãn      GA  GB  GC  GD  Xét mệnh đề: C HA  HB  HC  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 20 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế I G trung điểm AC II G trung điểm EF Mệnh đề đúng: A Chỉ I B I, II C Chỉ II D I, II sai     Bài Cho tứ giác ABCD Điểm P thỏa mãn hệ thức 3PA  PB  PC  A P trung điểm AG , G trọng tâm ACD B P trung điểm AG , G trọng tâm BAD C P trung điểm AG , G trọng tâm BCD D P trung điểm AG , G trọng tâm ABC Dạng Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ  Phương pháp Phân tích định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, dấu hiệu nhận biết hình… Bài Tứ giác ABCD hình thoi có đáy AB CD khi:   C AB  kCD với k  Tứ giác ABCD hình thoi khi:   A AB  DC AC  BD D AB  kCD với k  C BA  CD BA  BC D Các kết A, B, C        Bài  B AB  kCD với k   \ 0  Bài  A AD  BC     B BC  AD AC phân giác  BAD Cho tam giác ABC có AB  AC  AB  AC tam giác ABC : A Cân B Đều C Vuông A D Vuông B    Bài Tứ giác ABCD hình thỏa hệ thức AD  BD  DC ? A Hình thang B Hình chữ nhật C Hình bình hành D Hình vuông    Bài Tứ giác ABCD thỏa hệ thức AC  k AD  AB tứ giác hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình thang D Hình thoi Bài Gọi M , N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng     AN BM cắt P Biết PM  BM ; AP  AN Tứ giác ABCD hình gì? 5 A Hình bình hành B Hình thang C Hình chữ nhật D Hình vuông Bài Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G thỏa mãn     a GA  b2 GB  c GC  Tam giác ABC tam giác gì? A Đều B Cân A C Thường D Vuông B Dạng Quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức cho trước  Phương pháp Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện vectơ ta quy dạng sau:       MA  MB : tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB   MA  k BC : tập hợp điểm M đường thẳng qua A song song BC   AM  k AB : tập hợp điểm M đường thẳng AB  AM  k  : tập hợp điểm M đường tròn tâm A , bán kính k Biến đổi hệ thức vectơ dạng Bài    Cho tam giác ABC cố định, M điểm di động thỏa MA  MB  MC  Lúc đó, quỹ tích điểm M là: A Đoạn thẳng B Đường thẳng Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ C Đường tròn D Các kết a, b, c sai Page 21 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G , I trung điểm BC Quỹ tích điểm M di động thỏa      mãn NA  NB  NC  NB  NC là: Bài A Đường trung trực IG B Đường thẳng qua G vuông góc IG C Đường thẳng qua G song song với IG D Đường tròn tâm G , bán kính IG    Cho ba điểm cố định O, A, B Tập hợp điểm M thỏa OM  mOA  1  m  OB là: A Đường thẳng qua A B B Trung trực đoạn thẳng AB C Đường thẳng vuông góc AB A D Đường thẳng vuông góc AB A Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện sau: MA  MB  MA  MC Bài A Tập hợp điểm M đường trung trực EF , E , F trung điểm AB, AC B Tập hợp điểm M đường thẳng qua A song song với BC AB C Tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính D Tập hợp điểm M đường thẳng vuông góc với AC     Cho hai điểm cố định A, B Tập hợp điểm M thỏa mãn MA  MB  MA  MB :   A Đường tròn đường kính AB C Đường tròn tâm I , bán kính AB Bài B Trung trực đoạn thẳng AB D Nửa đường tròn đường kính AB      Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện MA  MB  MC  AB  AC là: A Đường tròn tâm G đường kính BC Bài   B Đường tròn tâm G đường kính BC BC C Đường tròn tâm G bán kính D Đường tròn tâm G đường kính 3MG        Cho hai vectơ a b không phương cho a  b  1, a  b  Khi đó, vectơ a  b có giá: A Trùng B Song song với C Vuông góc với D Cắt không vuông góc với Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 22 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Vấn đề Hệ trục tọa độ A Các kiến thức cần nhớ I/ Trục tọa độ:  Trục tọa độ (trục, trục số) đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vectơ   đơn vị e Kí hiệu trục O; i x ' Ox    Tọa độ vectơ điểm trục:     Cho điểm M nằm trục O, e Khi có số k cho OM  ke Số k gọi  tọa độ điểm M trục cho (nó tọa độ OM )      Cho điểm u nằm trục O, e Khi có số k cho u  ke Số k gọi tọa  độ vectơ u trục cho  Độ dài đại số vectơ trục     Cho hai điểm A B trục O, e Khi có số a cho AB  ae Số a gọi    độ dài đại số vectơ AB trục cho kí hiệu a  AB Như AB  AB.e  Nhận xét:    Nếu AB hướng i AB  AB    Nếu AB ngược hướng i AB   AB   Nếu hai điểm A B trục O, e có tọa độ a b thì: AB  a  b         II/ Hệ trục tọa độ:  Định nghĩa     Hệ trục tọa độ Oxy hay O; i, j hệ trục tọa độ vuông góc Ox, Oy    Trục Ox gọi trục hoành có vectơ đơn vị i , trục Oy gọi trục tung có vectơ đơn vị j  Mặt phẳng tọa độ Oxy mặt phẳng cho hệ trục tọa độ Oxy  Tọa độ vectơ hệ trục tọa độ          Đối với hệ trục tọa độ O; i, j , a  a1 i  a2 j  a   a1 ; a2   a1 gọi hoành độ, a2 gọi tung độ a     a  b  Tọa độ hai vectơ nhau: Cho a   a1 ; a2  ; b   b2 ; b2  Ta có: a  b   1 a2  b2      Điểm M mặt phẳng tọa độ O; i, j Cặp số  x; y  gọi tọa độ điểm M , kí hiệu M  x; y      OM  xi  y j Vậy: M  x; y   OM  xi  y j  Chú ý:  x; y  tọa độ vectơ OM   Cho hai điểm A  xA ; y A  B  xB ; yB  Ta có: AB   xB  x A ; yB  y A        Tọa độ vectơ u  v, u  v, ku   Cho u   u1 ; u2  ; v   v1 ; v2  Khi đó:   u  v   u1  v1 ; u2  v2    u  v   u1  v1 ; u2  v2  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 23 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế     Hai vectơ u   u1 ; u2  ; v   v1 ; v2  ku   ku1 ;k u2  , k     với v  phương có số k cho u1  kv1 u2  kv2  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác  Cho đoạn thẳng AB có A  x A ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ trung điểm I  xI ; yI  đoạn thẳng AB là: x x y  yB xI  A B ; y I  A 2  Cho tam giác ABC có A  x A ; y A  ; B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  Khi đó, tọa độ trọng tâm G  xG ; yG  tam giác ABC là: x x x y  yB  yC xG  A B C ;yG  A 3 B Bài tập trắc nghiệm  Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số vectơ trục O, e    Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:    Điểm M có tọa độ a  OM  ae     Vectơ AB có độ dài đại số m  AB  AB  me  Nếu a, b tọa độ A, B AB  b  a  Các tính chất:   AB   BA    AB  CD  AB  CD  Bài    A; B; C  O, e : AB  BC  AC (hệ thức Sa-lơ)    Trên trục tọa độ O, e Cho hai điểm A B có tọa độ a b Tìm tọa độ điểm  M cho MA  k MB  k  1 Bài kb  a kb  a kb  a kb  a B xM  C xM  D xM  2k  k 2 k 1 k 1  Trên trục tọa độ O, e Cho hai điểm A B có tọa độ a b Tìm tọa độ điểm Bài trung điểm I AB a b 2a  b ab ab A xI  B xI  C xI  D xI  2  Trên trục tọa độ O, e Cho hai điểm A B có tọa độ a b Tìm tọa độ điểm Bài N cho NA  5 NB 4a  2b 5a  2b 5a  4b 5a  3b A xN  B xN  C xN  D xN  7 7  Trên trục tọa độ O, e cho ba điểm A, B, C có tọa độ a, b, c Tìm điểm I cho A xM            IA  IB  IC  a  b  c A xI  B xI  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ abc C xI  abc D xI  a bc Page 24 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế    Bài Cho ba điểm A, B, C trục tọa độ O, e có tọa độ 2;  6; Hệ thức sau Bài sai?      A OA  2e B CA  6 C BC  10 D AB  BC     Trên trục, cho ba điểm A, B, I có tọa độ 4;  m Nếu IA  IB  m bằng: A 1 B C 2 D Bài Cho ba điểm A, B, C trục tọa độ O, e có tọa độ 5;  2;  Nếu điểm M Bài thỏa mãn MA  3MB  MC  tọa độ điểm M là: 9 A B C D  Cho ba điểm A, B, C trục tọa độ O, e có tọa độ a, b, c Xét mệnh đề sau:      I AB  b  a II MA  MB   2OM  a  b III MA  MB  MC   OM  a  b  c Mệnh đề đúng? A Chỉ I II B Chỉ I III C Chỉ II III  Bài   D Cả I, II III Trên trục O, e cho điểm M có tọa độ 2 Mệnh đề sau sai?     A OM  2e B OM  C OM e ngược hướng  D OM  Dạng Xác định tọa độ vectơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy  Phương pháp Sử dụng định nghĩa tọa độ tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy   Để tìm tọa độ vectơ a ta làm sau:   Vẽ vectơ OM  a Gọi M M hình chiếu vuông góc M Ox Oy Khi đó,      a   a1 ; a2  a1  OM , a2  OM Bài   Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA Như A có tọa độ  x; y   x  OA1 , y  OA2 ; A1 A2 tương ứng chân đường vuông góc hạ từ A xuống Ox Oy  Nếu biết tọa độ hai điểm A, B ta tính tọa độ vectơ AB theo công thức  AB   xB  xA ; yB  y A    Trong hệ trục O; i, j , cho OA   x; y  Mệnh đề sau sai?   A OA  x  y  B A  x; y  C A  y ' Oy  x  D A  x ' Ox  y  Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  x; y  Tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M qua trục hoành là: A M '   x;  y  B M '  x; y  C M '  x;  y  D M '   x; y  Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  x; y  Tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M qua trục tung là: A M '   x;  y  B M '  x; y  C M '  x;  y  D M '   x; y  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 25 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Bài Bài Bài Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  x; y  Tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là: A M '   x;  y  B M '  x; y  C M '  x;  y  D M '   x; y   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;4  B  3; 5 Khi đó, tọa độ vectơ BA cặp số nào? A  2; 1 B  4;9  C  4; 9  D  4;9  Cho tam giác ABC có B  9;7  ; C 11; 1 ; M N trung điểm AB AC  Tọa độ MN A  2; 8 B 1; 4  C 10;6  D  5;3   Cho hình vuông ABCD tâm I có A 1;3 Biết điểm B thuộc trục O; i BC  phương với i Khẳng định sau đúng:    A AB   0; 3 ; I  2;1 B AB   0;3 ; BC   3;0       C BC   3;0  ; AC   3; 3 Bài Bài D AC   3; 3 ; I  2;1    Cho hình vuông ABCD tâm I có cạnh a  Chọn hệ trục A; i, j i AD   hướng, j AB hướng Tọa độ đỉnh tâm hình vuông là:  5 A A  0;0  , B  0; 5 , C  5;5 , D  5;0  , I   ;   2  5 B A  0;0  , B  0;5 , C  5;5 , D  5;0  , I  ;  2 2  5 C A  0;0  , B  5;0  , C  5;5 , D  0;5 , I  ;  2 2  5 D A  0;0  , B  5;0  , C  5;5 , D  0; 5 , I  ;   2 2 Cho hình bình hành ABCD có AD  chiều cao ứng với cạnh AD , góc     BAD  600 Chọn hệ trục tọa độ A; i, j cho i AD phương Lúc đó:          3;3 , BC  4;0 , CD  3;  , AC 4;3  AB    3;3 , BC   4;0  , CD    3;   , AC    3;3     AB   3;3 , BC   4;0  , CD    3; 3 , AC    3;3     AB   3;3 , BC   4;0  , CD    3; 3 , AC   3;3 A AB  B C D Bài 10 Cho hình thoi ABCD cạnh a  BAD  600 Biết A trùng với gốc tọa độ O , C thuộc Ox xb  0, yb  Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD a a a a ;  , C a 3; a , D  ;  A A  0;0  , B   2  2      a a  a a B A  0;0  , B   ;  , C a 3; a , D   ;     2 2       Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ  Page 26 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế a a a a C A  0;0  , B  ; , C a 3; a , D  ;   2   2     a a a a D A  0;0  , B  ;  , C a 3; a , D  ;   2  2          Dạng Tìm tọa độ vectơ u  v, u  v, ku Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương  Phương pháp:       Dùng công thức tính tọa độ u  v, u  v, ku       u  v   u1  v1 ; u2  v2   ku   ku1 ;k u2  , k     Bài Bài  Bài Bài Bài  C u   9;5  B  3;4   D u   1;5  C  2;1   D 0;  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba vectơ a   3;2  , b   1;5 , c   2; 5 Tọa độ     u   a  2b  5c là:     A u   15; 17  B u   9; 13 C u   17; 15 D u   13; 9          Cho a  1;2  , b   3;4  , c   1;3 Tìm tọa độ u biết 2u  3a  b    A u   2;1 Bài  B u   9; 11 Cho M  5; 3 Kẻ MM1 vuông góc với Ox , MM vuông góc với Oy Khẳng định sau đúng?      A OM  5 B OM  C OM  OM   5;3 D OM  OM   5; 3      i j hai vectơ đơn vị hệ trục tọa độ O; i, j Tọa độ độ vectơ 2i  j là: A 1; 2  Bài     a1 x  b1 y  c1 ta giả sử c  xa  yb Khi ta quy giải hệ phương trình  a2 x  b2 y  c2      Cho a   2; 4  , b   5;3 Tọa độ vectơ u  a  b là: A u   7; 7  Bài  Để phân tích c   c1 ; c2  qua hai vectơ a   a1 ; a2  b   b1 ; b2  không phương,  B u   3;1 C u   3;1  D u   3;2      Cho ba điểm A  4;0  , B  0;3 , C  2;1 Tìm điểm M cho MA  MB  3MC  1 3  3 1 3 1 3 A M  ;  B M   ;   C M  ;  D M  ;  2 2  2 3 2 3 4 Cho ba điểm A  2;5 , B 1;1 , C  3;3 , điểm E mặt phẳng tọa độ thỏa    AE  AB  AC Tọa độ điểm E là: A  3; 3 B  3;3 C  3; 3 D  2; 3       Cho a   3; 7  , b   5;4  , c  1;2  Hãy biểu diễn a theo b c :   13  23    13  23  23  13  13  13  b c B a  b  c C a   b  c D a   b  c 14  24 14  24 14 24 14 14     Cho ba vectơ a   2;1 , b   3;4  , c   7;2  Giá trị h; k để c  k a  hb là: A a   Bài A k  2, 5; k  1,3 C k  4, 4; k  0,6 D k  3, 4; k  0,2    Bài 10 Cho ba vectơ a   3;5 , b   2; 4  , c  1;1 Giá trị h; k để 5c  k a  hb là:  B k  4,6; k  5,1  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ  Page 27 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế 15 15 21 11 15 ; n B m  ; n  C m  ; n  D m  ; n  11 11 11 11 11 11 11 Dạng Bài toán liên quan đến phương hai vectơ, ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song tọa độ  Phương pháp        Cho u   u1 ; u2  ; v   v1 ; v2  Vectơ u phương với vectơ v v  A m      Bài  u1  kv1 tồn k cho  u2  kv2   Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB  k AC   Hai vectơ song song u  kv hai vectơ điểm chung    Để phân tích c   c1 ; c2  qua hai vectơ a   a1 ; a2  ; b   b1 ; b2  không phương, ta    a1 x  b1 y  c1 giả sử c  xa  yb Khi ta quy giải hệ phương trình  a2 x  b2 y  c2   Cho u   3; 2  , v  1;6  Khẳng định sau đúng?      A u  v a   4;4  ngược hướng B u v hướng       C u  v b   6; 24  hướng D 2u  v u hướng    Bài Cho a  1;2  , b   2;3 , c   6; 10  Hãy chọn đẳng thức đúng?        A a  b c hướng B a  b a  b hướng C a  b c hướng D a  b c ngược hướng Cho ba điểm A  0;3 , B  1; 2  , C  3; 3 Chọn khẳng định đúng? Bài A A, B, C không thẳng hàng B A, B, C thẳng hàng   C Điểm B điểm A C D AB AC phương Cho bốn điểm A  0;1 , B  1; 2  , C 1;5 , D  1; 1 Khẳng định sau đúng? Bài Bài Bài Bài A Ba điểm A, B, C thẳng hàng B Hai đường thẳng AB CD song song C Ba điểm A, B, D thẳng hàng D Hai đường thẳng AD BC song song Cho bốn điểm A  3; 2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8; 5 Khẳng định sau đúng?     A AB CD đối B AB CD phương ngược hướng   C A, B, C , D thẳng hàng D AB CD phương hướng     Cho a   5;0  , b   4; x  Hai vectơ a b phương số x là: A 5 B C D 1 Khẳng định khẳng định sau đúng:   A Hai vectơ a   5;0  b   4;0  phuơng   B Vectơ c   7;3 vectơ đối d   7;3     C Hai vectơ u   4;2  v   8;3 phương D Hai vectơ a   6;3 b   2;1 ngược hướng Bài Cho ba điểm A  6;3 , B  3;6  Xác định điểm C trục hoành cho ba điểm A, B, C thẳng hàng A C 15;0  B C 1;0  C C  6;0  D C  5;0  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 28 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế Dạng Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác  Phương pháp: Sử dụng công thức tính trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác  Cho đoạn thẳng AB có A  x A ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ trung điểm I  xI ; yI  đoạn thẳng AB là: x x y  yB xI  A B ; yI  A 2  Cho tam giác ABC có A  xA ; y A  ; B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  Khi đó, tọa độ trọng tâm G  xG ; yG  tam giác ABC là: x A  xB  xC y  yB  yC ;yG  A 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  0;5 , B  2; 7  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB cặp số nào? A  2; 2  B  2;12  C  1;6  D 1; 1 xG  Bài Bài Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M  8; 1 , N  3;2  Nếu P điểm đối xứng với điểm M qua điểm N tọa độ điểm P cặp số nào?  11  A  2;5 B  ;  C 13; 3 D 11; 1  2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A  5; 2  , B  0;3 , C  5; 1 Khi đó, trọng tâm tam giác ABC cặp số nào? A 1; 1 B  0;0  Bài Trong mặt phẳng tọa độ C  0;11 Oxy , cho tam giác D 10;0  ABC trọng tâm G Biết A  1;4  , B  2;5 , G  0;7  Hỏi tọa độ điểm C cặp số nào? A Bài  2;12  B  1;12  D 1;12  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bốn điểm A  3;1 , B  2;2  , C 1;6  , D 1; 6  Hỏi điểm G  2; 1 trọng tâm tam giác nào? A Tam giác ABC B Tam giác ABD Bài C  3;1 C Tam giác ACD D Tam giác BCD Cho hai điểm A  3; 5 , B 1;7  Chọn khẳng định đúng? A Trung điểm đoạn thẳng AB điểm  4;2   B Tọa độ vectơ AB  2; 12   C Tọa độ vectơ AB  2;12  D Trung điểm đoạn thẳng AB điểm  2; 1 Bài Cho tam giác ABC , trọng tâm gốc tọa độ, biết tọa độ hai đỉnh A  3;5 , B  0;4  Tọa độ đỉnh C là: A  5;1 B  3;7  C  3; 9  D 5;0   Dạng Xác định tọa độ điểm hình  Phương pháp: dựa vào tính chất hình công thức tính tọa độ Bài Cho M 1; 1 , N  3;2  , P  0; 5 trung điểm cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Tọa độ đỉnh A là: Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ Page 29 Gv: ThS Gia Quyền – ThS Phương Chi (sưu tầm và biên soạn) SĐT: 01224525776 – 01224525773 Giáo viên luyện thi môn Toán tại Huế A Bài  2; 2  B  5;1 C  5;0   D 2;  Cho hình bình hành ABCD có A  2;3 , B  0;4  , C  5; 4  Tọa độ đỉnh D là: A  7;2  B  3; 5 C  3;7   D 3;  Bài Cho điểm A  3; 1 , B  1;2  , I 1; 1 Xác định tọa độ điểm C , D cho tứ giác Bài ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác ABC Tâm O hình bình hành ABCD là: 7 5 5     5 A O  0;   B O  2;   C O  2;   D O  2;  2 2 2     2 Cho tam giác ABC có A  3;4  , B  1;2  , C  4;1 A ' điểm đối xứng A qua B , B ' điểm đối xứng B qua C , C ' điểm đối xứng C qua A Tọa độ A ', B ', C ' là: A A '  5;0  , B '  0;9  , C '  2;7  B A '  5;0  , B '  9;0  , C '  2;7  C A '  5;0  , B '  0;9  , C '  2;7  Luyện thi THPT – Chuyên đề Vectơ D A '  5;0  , B '  9;0  , C '  7;2  Page 30