Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp : 9 Năm học 2007 - 2008 Bài 1: Hãy chọn đáp án đúng. Câu 1: Phơng trình 2 4 4x x+ + = x - 2 a. Vô nghiệm b. Vô số nghiệm c. Có 1 nghiệm âm d. Có 1 nghiệm dơng Câu 2: giá trị của biểu thức. 5 2 5 2 3 2 2 5 1 N + + = + bằng a. 1 ; b. 2 2 - 1 ; c. 5 2 ; d. 5 2 Câu 3: Cho tam giác ABC, biết B = 2 C; AC - AB = 2 BC = 5 Độ dài cạnh AB là: a. 3 ; b. 4 ; c. 5 ; d. 6 , Độ dài cạnh AC là. a. 6 ; b. 7 ; c. 8 ; d. 9 Câu 4: Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Biết AC. BC = 2AD . DB. Số đo góc C là a. 30 0 ; b. 60 0 ; c. 90 0 ; d. 120 0 Bài 2: (2,5đ) Cho biểu thức: P = 4 8 1 2 : 4 2 2 x x x x x x x x + ữ ữ ữ ữ + a. Rút gọn P b. Tính gía trị của x để P = -1 c. Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m ( 3x )P > x + 1 Bài 3: (2,5đ) Cho phơng trình y = |2 - x| + |2x + 1| a. Vẽ đồ thị của phơng trình. b. Minh hoạ nghiệm của phơng trình trên đồ thị trong trờng hợp y = 2 1 2 c. Dùng đồ thị biện luận theo y về số nghiệm của phơng trình Bài 4: (2,5đ) Cho nửa đờng tròn tâm O. đờng kính AB từ một điểm M trên nửa đ- ờng tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD xy và Bc xy. a. Chứng minh MC = MD b. Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không đổi. c. Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Đáp án và biểu điểm Bài 1: (2,5đ) hãy chọn đáp án đúng Câu 1: Đúng là a (0,5đ) Câu 2: Đúng là a (0,5đ) Câu 3: Đúng là b (0,5đ) Đúng là a (0,5đ) Câu 4: Đúng là c (0,5đ) Bài 2: (2,5đ) a. Rút gọn P (1,5đ) (0,5đ) Điều kiện a O ; x 4 và x 9 (0,5đ) P = 4 (2 ) 8 ( 1) 2( 2) : (2 )(2 ) ( 1) x x x x x x x x x + + (0,25đ) = 8 4 3 : (2 )(2 ) ( 2) x x x x x x x + + (0,25đ) = 8 4 ( 2) . (2 )(2 ) 3 x x x x x x x + + (0,25đ) = 4 3 x x (0,25đ) b. (0,5đ) P = -1 4x + x - 3 = 0 (0,25đ) ( x + 1) (4 x - 3)= 0 x = 3 4 x = 9 16 (0,25đ) c. Biết phơng trình đa về dạng 4mx > x + 1 (4m - 1) x > 1 (0,25đ) Nếu 4m - 1 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9; Nếu 4m - 1 > 0 thì nghiệm bất phơng trình là x > 1 4 1m . do đó bất phơng trình thoả mãn với mọi x > 9 9 1 4 1m và 4m - 1 > 0 Ta có m 5 18 (0,25đ) Bài 3: Vẽ đờng thẳng của phơng trình: y = |2 - x| + | 2x + 1| với x - 1 2 ta có thể y = 2 - x - 2x - 1 y = -3x + 1 (1/4đ) với - 1 2 < x 2 ta có y = 2 - x + 2x + 1 y = x + 3 (1/4đ) với x > 2 ta có y = x - 2 + 2x + 1 y = 3x - 1 (1/4đ) ta đi vẽ đờng thẳng y = |2 - x| + |2x+ 1| 1 3 1 2 1 3 2 2 3 1 2 x x x x x x + + < > nếu nếu nếu Vậy đồ thị y = |2 - x| + | 2x + 1| là. đờng ABCE b. Phơng trình đã cho. Khi y = 2,5 thì x = - 1 2 c. Dùng đồ thị biện luận theo y về số nghiệm. của phơng trình nhìn vào đồ thị. Ta nhận thấy: y = 2,5 phơng trình có 1 nghiệm x = - 1 2 y < 2,5 phơng trình vô nghiệm y > 2,5 phơng trình có 2 nghiệm Bài 4: (2,5đ) a. AD // BC // CM (vì OM xy . AB xy) BC xy tứ giác ABCD là hình thang. và OM là đờng trung bình Suy ra M là trung điểm của DC và MC = MD (1/2đ) b. Theo tính chất đờng tròn của hình thang ta có 20M = AD + BC mà 20M = AB ; AB là đờng kính của đờng tròn (O) nên không đổivậy. AB = AD + BC không đổi. c. SABCD = 1 2 CD (AD + BC) = 1 2 AB . CD (theo chứng minh trên AB = AD + BC) AB không đổi SABCD lớn nhất khi CD lớn nhất. Mà CD AB vậy CD lớn nhất khi CD = AB. tức là lúc ấy M là điểm chính giữa cung AB SABCD đặt giá trị lớn nhất là 1 2 AB 2 khi M là điểm chính giữa của cung AB Ghi chú (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) y E 6 A 5 C 4 3 2,5 y = 2,5 B 2 1 -3 -1 -1/2 0 1/2 1 2 x y C M D x A H O D . ; c. 8 ; d. 9 Câu 4: Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Biết AC. BC = 2AD . DB. Số đo góc C là a. 30 0 ; b. 60 0 ; c. 90 0 ; d. 120. = 9 16 (0,25đ) c. Biết phơng trình đa về dạng 4mx > x + 1 (4m - 1) x > 1 (0,25đ) Nếu 4m - 1 0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9;