Phương pháp hàm năng lượng cho phương trình hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————– NGUYỄN THÁI NGỌC PHƯƠNG PHÁP HÀM NĂNG LƯỢNG CHO PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC Chuyên ngành: Toán Công Nghệ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Toán Công Nghệ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN Hà Nội - 2010 i Mục lục Lời cảm ơn iv Lời mở đầu v Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Holder 1.1.2 Không gian Sobolev 1.2 Các khái niệm giải tích Fourier 1.2.1 Chuỗi Fourier 1.2.2 Biến đổi Fourier Phương trình hyperbolic 2.1 Phương trình đạo hàm riêng 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các phương trình 10 2.1.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 11 2.1.4 Các vấn phương trình đạo hàm riêng 12 2.2 Phương trình hyperbolic 12 2.2.1 Bài toán Cauchy 12 2.2.2 Bài toán hỗn hợp 17 ii Phương pháp hàm lượng cho phương trình hyperbolic 19 3.1 Các khái niệm 19 3.2 Một số trường hợp đặc biệt phương trình (3.1) 22 3.2.1 Trường hợp a(t) = a=const 22 3.2.2 Trường hợp a′ (t) ∈ L1 ([0, ∞)) 24 3.2.3 Phương trình Klein-Gordon 26 3.2.4 Phương trình sóng tắt dần 27 3.3 Đánh giá hàm lượng tổng với phương trình sóng tắt dần 28 3.3.1 Biểu diễn nghiệm biến đổi Fourier 28 3.3.2 Đánh giá lượng tổng 30 3.4 Đánh giá lượng trường hợp a(t) ∈ C (Rn) 35 3.5 Đánh giá lượng với a(t) ∈ C m 44 3.6 Đánh giá lượng cho toán biên giá trị ban đầu (IBVP) phương trình hyperbolic 50 3.6.1 Tách biến 50 3.6.2 Đánh giá lượng 52 Tài liệu tham khảo 54 iii Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS.TSKH Lê Hùng Sơn, người tận tình bảo đưa nhiều dẫn quý báu để luận văn hoàn thành Tác giả gửi lời cảm ơn tới thầy cô tận tình giảng dạy lớp cao học Toán Công Nghệ khóa 2008-2010 thầy cô Xemina Phương trình đạo hàm riêng giải tích phức giúp đỡ, cho kiến thức bổ ích kinh nghiệm quý báu nghiên cứu Các giảng Giáo sư Micheal Ressig từ Đại học Freiberg, Đức Giáo sư Fumihiko Hirosawa từ Đại học Yamaguchi, Nhật Bản Khoa Toán Tin ứng dụng - Đại học Bách khoa Hà Nội có định hướng tốt cho tác giả bước đầu trình nghiên cứu khoa học Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến Giáo sư Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô, người điều hành Viện Đào tạo Sau đại học, Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo môi trường học tập nghiên cứu tốt Học viên : Nguyễn Thái Ngọc : Toán Công Nghệ 2008-2010 Lớp iv Lời mở đầu Phương trình đạo hàm riêng cấp hai chủ đề nhà toán học người làm ứng dụng kỹ thuật nghiên cứu từ lâu có nhiều ứng dụng vấn đề thực tế Ba dạng phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu nhiều là: Phương trình eliptic (điển hình phương trình Laplace) mô tả tượng vật lý ứng dụng điện từ trường, học chất lỏng; Phương trình parabolic mô tả tượng truyền nhiệt; Phương trình hyperbolic mô tả tượng truyền sóng Luận văn nghiên cứu vấn đề quan tâm phương trình hyperbolic đánh giá hàm lượng phương trình hyperbolic Hàm lượng có vai trò quan trọng việc đánh giá nghiệm phương trình Các vấn đề toán đặt chỉnh, đánh giá tiệm cận nghiệm rút từ đánh giá hàm lượng Ngoài Lời cảm ơn, phần Mở đầu, Phụ lục danh mục Tại liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày ba chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức sở cho phương trình đạo hàm riêng: Không gian Sobolev, chuỗi Fourier biến đổi Fourier Như biết, không gian Sobolev không gian làm việc phương trình đạo hàm riêng, biến đổi Fourier biến đổi quan trọng phương trình đạo hàm Chương 2: Phương trình hyperbolic Giới thiệu phân loại phương trình đạo hàm riêng đặc biệt sâu vào việc tìm hiểu phương trình hyperbolic v Chương 3: Phương pháp hàm lượng cho phương trình hyperbolic Là phần làm trọng tâm luận án Chương ba trình bày định nghĩa hàm lượng cho phương trình hyperbolic, đánh giá cho hàm lượng với toán Cauchy miền bị chặn toàn không gian Mặc dù cố gắng song luận văn thiếu xót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện vi Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm tính chất không gian Sobolev Ngoài ra, kiến thức giải tích Fourier trình bày làm sở cho việc xét toán đánh giá hàm lượng phương trình hyperbolic Nội dung chương tham khảo [8] 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian Holder Trước xem xét khái niệm không gian Sobolev, ta tìm hiểu không gian Holder Định nghĩa 1.1 Cho tập mở U ⊂ Rn (i) Hàm số u : U → R gọi liên tục Lipschitz thỏa mãn |u(x) − u(y)| ≤ C |x − y| (∀x, y ∈ U ), C số không phụ thuộc vào x, y (ii) Hàm số u : U → R gọi liên tục Holder với số mũ γ với < γ ≤ thỏa mãn γ |u(x) − u(y)| ≤ C |x − y| (∀x, y ∈ U ) C số không phụ thuộc vào x, y γ Chú ý 1.1 Một hàm liên tục Lipschitz liên tục Holder với số mũ γ hàm liên tục Định nghĩa 1.2 (i) Cho hàm u : U → R liên tục bị chặn Ta định nghĩa u := sup |u(x)| C (U ) x∈U (ii) Nửa chuẩn cấp γ hàm u cho |u(x) − u(y)| ν |x − y| [u]C 0,γ := sup x,y∈U x=y (iii) Chuẩn cấp γ hàm u cho u C 0,γ := u C (U ) + [u]C 0,γ Định nghĩa 1.3 Không gian Holder C k,γ U u ∈ C k U thỏa mãn điều kiện u C k,γ Dαu := |α| k C (U ) không gian chứa hàm [D α u]C 0,γ + |α|=k hữu hạn Chú ý 1.2 Không gian Holder C k,γ U chứa hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục bị chặn, đồng thời đạo hàm cấp k liên tục Holder với số mũ γ Không gian Holder có nhiều tính chất không gian hàm liên tục Định lý 1.1 Không gian Holder không gian Banach 1.1.2 Không gian Sobolev a Đạo hàm yếu Ký hiệu C0∞ (U ) tập hợp hàm có đạo hàm cấp vô hạn có giá compact U Ta gọi C0∞ (U ) không gian hàm thử Một hàm φ thuộc C0∞ (U ) gọi hàm thử Với hàm u ∈ C (U ) hàm φ ∈ C0∞ (U ) ta có đẳng thức tích phân uφxi dx = − U uxi φdx (i = 1, 2, , n) U (1.1) Công thức (1.1) có cách tích phân phần có hàm φ triệt tiêu ∂U Tổng quát, với hàm u ∈ C k đa số α = (α1 , α2 , , αn ), đặt |α| = α1 + α2 + + αn = k ta có công thức uD α φdx = (−1)|α| U ký hiệu D α := D α uφdx (1.2) U ∂ α1 ∂ αn α1 n ∂xα ∂x1 n Trong dạng công thức (1.2), u ∈ C k nên đạo hàm D α u có nghĩa Nếu u ∈ / C k việc viết D α u nghĩa Ta mong muốn có biểu thức có dạng với hàm u ∈ / C k Ký hiệu Lploc (U ) (1 ≤ p ≤ ∞) tập hợp hàm khả tích địa phương U , tức với giá trị x ∈ U tồn lân cận Ω x thỏa mãn Ω ⊂ U u ∈ Lp (Ω) Định nghĩa 1.4 Cho hàm u, v ∈ L1loc (U ) Ta nói v đạo hàm yếu cấp α u, ký hiệu Dαu = v u thỏa mãn đẳng thức tích phân uD α φdx = (−1)|α| vφdx (1.3) U U với hàm thử φ ∈ C0∞ (U ) Nhận xét 1.1 (i) Đạo hàm yếu hàm tồn (theo nghĩa mở rộng) (ii) Nếu hàm u ∈ C m với đa số α thỏa mãn |α| ≤ m, đạo hàm cổ điển ∂ α u đạo hàm yếu cấp α hàm v Ví dụ 1.1 Hàm trị tuyệt đối u(x) = |x| đạo hàm theo nghĩa cổ điển, nhiên có đạo hàm yếu hàm v xác định công thức    1, x >   v(x) = −1, x <     c , x = 0, c0 giá trị Mệnh đề 1.1 (i) Cho α đa số , c1 , c2 ∈ R Nếu ∂ α u ∂ α v tồn có ∂ α (c1 u + c2 v) ∂ α (c1 u + c2 v) = c1 ∂ α u + c2 ∂ α v (ii) Cho p, q ∈ (1, ∞) thỏa mãn 1/p + 1/q = Giả sử u, uxi ∈ Lploc v, vxi ∈ Lqloc Khi ta có (uv)xi = uxi v + uvxi b Không gian Sobolev Cho số cố định ≤ p ≤ ∞ số nguyên không âm k Định nghĩa 1.5 Không gian Sobolev W k,p (U ) tập hợp hàm u cho đa số α với |α| ≤ k đạo hàm yếu D α u tồn D α u ∈ Lp (U ) Chuẩn không gian Sobolev W k,p xác định  1/p   p  α  ∂ u Lp (U ) , 1≤p Đặt M1 = I + N1 với I ma trận đơn vị N1 xác định   m1−  N1 =  m1+ 0, m1+ chọn cho:m1+ ∈ S1−1 tồn M1−1 có det(M1 ) = − m1+ m1− = + S−2 Ta có M1−1 = 1 − det(M1 ) (I − N1 ) = I − N1 + (I − N1 ) det(M1 ) M1 Vì I − N1 ∈ S00 , − detM1 = m1+ m1− ∈ S2−2 nên M1−1 = I − N1 + S2−2 Vậy M1−1 A1 M1 = M1−1 (Φ1 + B1 ) M1 = I − N1 + S2−2 (Φ1 + B1 ) (I − N1 ) = Φ1 + B1 + Φ1 N1 − N1 Φ1 + S2−1 Từ phương trình (3.36), ta có M1−1 ∂t M1 V2 = M1−1 (Φ1 + B1 ) M1 V2 ⇒ ∂t V2 = −M1−1 M1′ + Φ1 + B1 + Φ1 N1 − N1 Φ1 + S2−1 V2 42 Chọn giá trị m1± thỏa mãn B1 + Φ1 N1 − N1 Φ1 = Khi đó, m1± β1 ia′ =± =± ∈ S1−1 4|ξ|a φ1 − φ1 Vì m± ∈ S1−1 nên M1 ′ ∈ S2−1 Suy M1−1 M1 ′ ∈ S2−1 Vậy ta có phương trình (3.38) ∂t V2 = (Φ1 + Q2 ) V2 , với Q2 ∈ S2−1 Biến đổi eliptic Dùng biến đổi trường hợp trận  t exp φ1 ds  Θ1 =  t  φ1 ds exp Đặt W2 = Θ−1 V2 , từ (3.38) ta có chéo hóa lần với ma     (3.39) ∂tW2 = Θ−1 Q2 Θ1 W2 ˜ Đặt Q˜2 = Θ−1 Q2 Θ1 Q2 ≈ Q2 Trong miền ZH , áp dụng Bổ đề 3.2 cho phương trình (3.38), với t ≥ tξ    t  exp −C   Q2 ds W (ξ, tξ ) ≤ W (ξ, t) ≤ exp C tξ  t tξ C số đương  Q2 ds W (ξ, tξ ) Vì Q2 ∈ S2−1 nên Q2 ≤ C1 |ξ|−1 (1 + t)−2 với C1 số dương Vậy t tξ Q2 ds ≤ C1 |ξ| −1 (1 + tξ )−1 = C1 L−1 Mặt khác |W2 | ≈ |V2 | |V2 | ≈ ε nên    t  exp −C tξ   Q2 ds ε(ξ, tξ ) ≤ ε(ξ, t) ≤ exp C Vậy định lý chứng minh 43 t tξ   Q2 ds ε(ξ, tξ ) 3.5 Đánh giá lượng với a(t) ∈ C m Xét toán Cauchy     utt − a2 (t)∆u = 0, x ∈ Rn , t ∈ (0, ∞)    u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ Rn      ut (x, 0) = ψ (x) , x ∈ Rn (3.40) với hệ số < a0 ≤ a(t) ≤ a1 Khi ta có định lý Định lý 3.8 Giả thiết a(t) ∈ C m [0, ∞) thỏa mãn điều kiện a(k) (t) ≤ Ck (1 + t)−βk Đồng thời hệ số a(t) thỏa mãn điều kiện: Tồn giá trị a∗ thỏa mãn t |a(s) − a∗ | ds ≤ C(1 + t)α C số dương ≤ α < Điều kiện gọi điều kiện tương thích Khi với β ≥ α + 1−α m toán bảo toàn lượng tổng quát (GEC) Chứng minh Trước tiên, ta xét điều kiện tương thích Chú ý 3.5 Các tính chất điều kiện tương thích t |a(s) − a∗ | ds ≤ C(1 + t)α i) Điều kiện tương thích thỏa mãn với giá trị a∗ α = ii) Với ≤ α < hệ số a∗ iii) Có bất đẳng thức a0 ≤ a∗ ≤ a1 Chia miền: Ta chia làm miền sau: Miền hyperbolic α ZH = {(ξ, t) : |ξ| (1 + t) > L} 44 Miền giả vi phân α Zψ = {(ξ, t) : |ξ| (1 + t) ≤ L} , giá trị L >> cố định Đặt giá trị tξ giá trị t phụ thuộc vào ξ thỏa mãn phương trình (1 + tξ )α |ξ| = L Xét miền Zψ Đặt 1 2 |vt | + a2∗ |ξ| |v(ξ, t)| 2 Từ giả thiết < a0 ≤ a(t) ≤ a1 , ta có ε0 (ξ, t) ≈ ε(ξ, t) Vậy ε0 (ξ, t) = ∂t ε0 (ξ, t) = vt vtt + a2∗ |ξ| vvt Vì vtt = −|ξ|2 a2 (t)v nên ∂t ε0 (ξ, t) = (a2∗ − a2 (t))|ξ|2 vvt = a2∗ − a2 (t) a2 − a2 (t) |ξ| a∗ |ξ| vvt ≤ ∗ |ξ| ε0 (ξ, t) a∗ a∗ Theo bất đẳng thức Gronwall, ta có   t 2 a∗ − a (s) |ξ|ds ε0 (ξ, 0) ε0 (ξ, t) ≤ exp  a∗  0 t ≤ exp C |a(s) − a∗ | |ξ|ds ε0 (ξ, 0) ≤ exp (C |ξ| (1 + t)α ) ε0 (ξ, 0) Trong miền Zψ , ta có |ξ|(1 + t)α < L nên ε0 (ξ, t) ≤ C1 ε0 (ξ, 0) C1 số Xét miền ZH Thực chéo hóa m lần: ∂ t V1 = (Φ1 + B1 ) V1 ; ∂ t V2 = (Φ2 + B2 ) V2 ; ∂ t Vm = (Φm + Bm ) Vm 45 Bổ đề 3.4 Cho ma trận Ak Mk xác định     φk rk mk rk  , Mk =   , mk = Ak =  , φk − φk rk φk mk giả sử Mk khả nghịch Khi ma trận Ak+1 cho Ak+1 = −Mk−1 (Mk )′ + Mk−1 Ak Mk thỏa mãn (Ak+1 )11 = (Ak+1 )22 (Ak+1 )21 = (Ak+1 )12 Hơn nữa, ký hiệu Re{(Al )11 } = φl,R, Im{(Al )11 } = φl,I với l = k, k + (Ak+1 )21 = rk+1 có biểu diễn sau: φk+1,R = φk,R − ′ (log(det Mk )) , φk+1,I = φk,I + Re (m′k mk ) − det Mk |rk |2 2φk,I , rk+1 −m′k + rk |mk | = det Mk Chứng minh Ta có    −mk φ r   k k  det Mk −mk rk φk   φk − mk rk + mk rk − |mk | φk = det Mk rk − mk φk + mk φk − m2 rk Mk−1 Ak Mk = k Dễ thấy mk mk   rk − mk φk + mk φk − mk rk φk − mk rk + mk rk − |mk | φk 2 |mk | φk − φk + 2iIm {mk rk } φk − mk rk + mk rk − |mk | φk = φk + det Mk det Mk i |rk | = φk − 2φk,I det Mk rk − mk φk + mk φk − m2k rk = rk |mk | 46   Ta có ′  −m′k mk  m′k ′   = −Re {mk mk } I+ det Mk − |mk | m′k −m′k mk   ′ ′ mk  −iIm {mk mk }  + ′ ′ det Mk mk iIm {mk mk }   ′ ′ mk  −iIm {mk mk } 1 ′  = (log (det Mk )) I + ′ ′ det Mk det Mk mk iIm {mk mk } Mk−1 (Mk ) = Vậy ta có kết Bổ đề p p Định nghĩa 3.6 Sβ,q gọi lớp ký hiệu ZH,α Sβ,q cho p −β(q+k) p f ∈ Sβ,q ⇔ ∂tk f ≤ Ck |ξ| (1 + t) Bổ đề 3.5 Với giá trị t ≥ T , T đủ lớn ma trận Mk khả nghịch −m+1 rm ∈ Sβ,m −k+1 với Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp rk ∈ Sβ,k −k k ≤ m mk ∈ Sβ,k với k ≤ m Vì r1 ∈ Sβ,1 φ1,I −1 nên m1 = ∈ Sβ,0 φk+1,I = φk,I + ta có −1 φk,I ∈ Sβ,0 −k+1 Sβ,k mk −ir1 2φ1,I ∈ S1−1 Từ biểu thức φk+1,I Re (m′k mk ) − det Mk |rk |2 2φk,I , với k ≤ m Từ biểu thức rk , mk , ta có −k+1 −k rk ∈ ∈ Sβ,k Với giá trị mk ∈ Sβ,k T đủ lớn ma trận Mk khả nghịch với t ≥ T Biến đổi eliptic Sau m bước chéo hóa ta hệ phương trình sau: d −1 Vm = Am Vm = (Φm + Bm ) Vm , Vm = Mm−1 M1−1 V1 dt −m+1 Áp dụng biến đổi eliptic cho phương trình với với rm ∈ Sβ,m   t φm (s) ds   exp  Θm =  t   φm (s)ds exp 47 φm = φm,R + iφm,I Ký hiệu ˜m = −Θ−1 (Θm )′ + Θ−1 Am Θm = B m m   = t  rm exp −2i φm,I (s) ds  t rm exp −2i φm,I (s) ds    0 Vậy hệ đưa d ˜m Wm , Wm = Θ−1 Vm Wm = B m dt Theo Bổ đề 3.2, ta có    t  exp −2 tξ Kết hợp với  ˜m ds B  |Wm (ξ, tξ )| ≤ |Wm (ξ, t)| ≤ exp 2 t tξ  ˜m ds B  |Wm (ξ, tξ )| ˜m = |rm | , B −m+1 , suy rm ∈ Sβ,m  t   −m+1 −βm  |ξ| (1 + s) ds |Wm (ξ, tξ )| ≤ |Wm (ξ, t)| , exp −C   tξ Xét t      |Wm (ξ, t)| ≤ exp C tξ −m+1 −m+1 |ξ| −m+1 t tξ |ξ| −βm (1 + s) ds = |ξ| ≤ C |ξ| −βm (1 + s) ds |Wm (ξ, tξ )| −βm+1 −βm+1 (1 + tξ ) − (1 + t) βm − −m+1 (1 + tξ ) −βm+1 Từ định nghĩa miền ZH , ta có |ξ|−m+1 ≤ L−m+1 (1 + t)α(m−1) Do |ξ| −m+1 −βm+1 (1 + tξ ) α(m−1)−βm+1 ≤ C (1 + tξ ) C số cố định 48 Từ giả thiết β ≥ α + 1−α m nên α(m − 1) − βm + ≤ nên C −1 |Wm (ξ, tξ )| ≤ |Wm (ξ, t)| ≤ C |Wm (ξ, tξ )| ∀t ≥ tξ Mặt khác |Wm | ≈ |Vm | ≈ |V1 | ≈ |V0 | ≈ ε Vậy ta có kết luận toán Chú ý 3.6 Nếu ta xét toán     utt − a2 (t)∆u = 0, x ∈ Rn , t ∈ (0, ∞)    u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ Rn      ut (x, 0) = ψ (x) , x ∈ Rn với hệ số < a0 ≤ a(t) ≤ a1 điều kiện tương thích Hệ số a(t) thỏa mãn điều kiện a(k) (t) ≤ Ck (1 + t)−βk Khi đó, ta chia miền thành ZH Zψ sau: Miền hyperbolic ZH = {(ξ, t) : |ξ| (1 + t) > L} Miền giả vi phân Zψ = {(ξ, t) : |ξ| (1 + t) ≤ L} Trong miền Zψ , toán (GEC) Trong miền ZH , thực thủ tục chéo hóa −m+1 rm ∈ Sβ,m Khi đó,   t  ε(ξ, t) ≤ exp C tξ ≤ exp C |ξ| |ξ| −m+1 −m+1 −βm (1 + s) −βm+1 (1 + tξ ) −βm+m = exp CL−m+1 (1 + tξ )  ds ε(ξ, tξ ) Vậy điều kiện để toán (GEC) β ≥ Theo Định lý 3.7, với a(t) ∈ C , β = toán (GEC) Như điều kiện tương thích cần thiết trường hợp Chú ý 3.7 Với điều kiện β < α + toán không (GEC) 1−α m trường hợp tổng quát 49 3.6 Đánh giá lượng cho toán biên giá trị ban đầu (IBVP) phương trình hyperbolic Xét toán biên giá trị ban đầu (IBVP)    utt − a2 (t)∆u = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, ∞),       u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × [0, ∞)    u(x, 0) = ϕ(x),      u (x, 0) = ψ (x) , x∈Ω x ∈ Ω, t với < a0 ≤ a(t) ≤ a1 Ω miền bị chặn R noindent Hàm lượng cho E(u)(t) = 2 |∂t u(x, t)| + a2 (t) |∇u(x, t)| dx Ω ∂t u(., t) = L2 (Ω) + a2 (t) ∇u(., t) L2 (Ω) Khi ta có định lý sau Định lý 3.9 Với điều kiện a(t) ∈ C m ([0, ∞)) thỏa mãn a(k) (t) ≤ Ck (1 + t)−βk , (k = 1, 2, , m) Khi với β > m toán (GEC) Để chứng minh định lý ta dùng phương pháp tách biến kết hợp với thủ tục chéo hóa ma trận 3.6.1 Tách biến ∞ Gọi {λj }∞ j=1 {yj (x)}j=1 trị riêng véctơ riêng tương ứng toán   −∆y = λy, x ∈ Ω  y(x) = 0, 50 x ∈ ∂Ω Theo lý thuyết phương trình đạo hàm riêng λi thực dương inf j {λj } > 0, supj {λj } = ∞ Như vậy, giả sử < λ1 ≤ λ2 ≤ ··· Ta có {yj (x)}∞ j=1 hệ trực chuẩn đầy đủ L (Ω) Giả sử có nghiệm toán thỏa mãn u(x, t) ∈ ∩ C l [0,∞), H l−2 l=1 (Ω) , H l không gian Sobolev Từ điều kiện ∂Ω, suy tồn hàm vj (t) ∈ C ([0, ∞))(j = 1, 2, ) thỏa mãn có biểu diễn Fourier u(x, t) = ∞ vj (t)yj (x) − ∆u(x, t) = j=1 ξi = ∞ ξi2 vj (t)yj (x), j=1 λj Từ đẳng thức Parseval, ta có u (·, t) L2 (Ω) = ∞ j=1 |vj (t)| (−∆u(·, t), u(·, t))L2 (Ω) = ∇u(., t) L2 (Ω) = ∞ j=1 ξi2 |vj (t)| , (·, ·)L2 (Ω) ký hiệu tích vô hướng L2 (Ω) Như hàm lượng phương trình viết lại dạng E(u)(t) = ∞ ε(vj )(t), j=1 2 vj′ (t) + a2 (t)ξi2 |vj (t)| Vậy toán bảo toàn lượng tổng quát (GEC) chuyển ước lượng ε(vj )(t) = ε(vj )(t) ≈ ε(vj )(0) Ta có vj nghiệm phương trình vi phân vj′′ + ξj2 a2 (t)vj = với j = 1, 2, · · · 51 3.6.2 Đánh giá lượng Ký hiệu vj = v ξj = ξ (3.41) v ′′ + ξj2 a2 (t)v = Phương trình (3.41) có dạng trường hợp toán miền Rn phầ phần 3.5 Ta thực bước sau: Bước 1: Chuyển từ phương trình vi phân bậc hệ phương trình vi phân bậc Bước 2: Thực m bước chéo hóa phần 3.4 thu phương trình d Vm = Am Vm , dt −1 Vm = Mm−1 · · · M1−1 V1 Ta có rm ∈ Sβm với Sβk định nghĩa f ∈ Sβp ⇔ ∂ k f ≤ C(1 + t)−β(p+k) Bước 3: Thực biến đổi eliptic, ta có d ˜m Wm , Wm = Θ−1 Vm Wm = B m dt Từ biểu thức đánh giá   t exp −2  ˜m ds |Wm (ξ, 0)| ≤ |Wm (ξ, t)| ≤ exp 2 B t  ˜m ds |Wm (ξ, 0)| B ˜ = rm mà rm ∈ L1 ([0, ∞)), suy toán (GEC) B Chú ý 3.8 Trong trường hợp toán Cauchy cho miền bị chặn với điều kiện biên, ta chia miền để đánh giá hàm lượng Hơn giá trị số mũ tốt so với trường hợp toán với miền không bị chặn Ngoài điều kiện tương thích không cần đến Như trường hợp miền bị chặn điều kiện nới lỏng Kết luận: Chương đưa số lớp toán Cauchy cho phương trình hyperbolic với đánh giá hàm lượng Trong có việc xét tính bảo toàn lượng tổng quát (GEC) Ta có phân biệt toán miền Ω bị chặn miền Rn 52 Kết luận Trong khuôn khổ Luận văn thạc sỹ, tác giả tìm hiểu hướng nghiên cứu phương trình hyperbolic Hiện việc đánh giá lượng hướng có nhiều ứng dụng việc đánh giá nghiệm phương trình Bài toán bảo toàn lượng tổng quát xét nhiều đến toán phương trình đạo hàm riêng phương trình hyperbolic Ngoài tính chất bảo toàn lượng ta xét đến tính đặt chỉnh toán 53 Tài liệu tham khảo [1] M Cicognani, F Hirosawa, "On the Gevrey well-posedness for strickly hyperbolic Cauchy problems under the influence of the regularity ofthe coefficients", Math Scand., 102 (2008), 283-304 [2] F Hirosawa, "Global solvability for Kirchhoff equation in special classes of non-analytic functions", J Differential Equations, 230 (2006), 49-70 [3] F Hirosawa, "On the asymptotic behavior of the energy for the wave equations with time depending coefficients", Math Ann., 339 (2007), 819-893 [4] F Hirosawa, "Energy estimates for wave equations with time dependent propagation speeds in the Gevrey class", J Differential Equations, in press, 2010 [5] M Ressig, J Smith, "Lp − Lq estimates for wave equation with bounded time dependent coefficient", Hokkaido Math J., 34 (2005), 541-586 [6] F Hirosawa, "Energy estimates of wave equations with variable propagation speed in bounded domain ", ICFIDCAA, in press, 2010 [7] F Hirosawa, "On the Cauchy problem for second order strictly hyperbolic equations with non-regular coefficient", Math Nachr., 256 (2003), 29-47 [8] Lawrence C Evans, Partial differential equations, American Mathematical Society, 1997 54 ... đạo hàm Chương 2: Phương trình hyperbolic Giới thiệu phân loại phương trình đạo hàm riêng đặc biệt sâu vào việc tìm hiểu phương trình hyperbolic v Chương 3: Phương pháp hàm lượng cho phương trình. .. đề phương trình hyperbolic hàm lượng phương trình Chương Phương trình hyperbolic Chương dành để giới thiệu số khái niệm kết phương trình hyperbolic, phương trình mà ta quan tâm 2.1 2.1.1 Phương. .. chia phương trình đạo hàm riêng, ta dễ dàng nhận thấy phương trình Poission phương trình eliptic, phương trình sóng phương trình hyperbolic, phương trình nhiệt parabolic 11 2.1.4 Các vấn phương trình