Trờng THPT Ngô Gia Tự Đề thithử đại học lần IV môn : toán Thời gian làm bài :180(không kể thời gian giao đề) -------------------o0o------------------ Câu 1: 1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x 3 -6x 2 +9x-1 (C) 2)Cho đờng tròn (S) :x 2 +y 2 -4mx+2my+5m 2 -1=0 .Tìm m để các điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị (C) nằm về hai phía của đờng tròn (S). Câu 2: 1)Giải phơng trình :x 2 +4x= 6 + x 2)Giải bất phơng trình : ( ) ( ) 12.52 6loglog2 22 >+ + xx xx Câu 3: 1)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho Parabol có phơng trình y 2 =4x (P).Giả sử A,B là hai điểm thay đổi trên (P) sao cho các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. 2) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a.Trên các đờng chéo của các mặt bên là BD và ADta lần lợt lấy hai điểm M,N sao cho BM=2MD và ND=2AN. a)Chứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng BD và AD.Tính khoảng cách giữa BD và AD. b)Tính thể tích khối tứ diện DDMN . Câu 4: 1)Tính tích phân I= + 2 1 3 x1x dx 2)Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 9 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt ba lần , chữ số 2 có mặt hai lần , các chữ số khác có mặt một lần . Tính tổng các chữ số tạo ra . Câu 5: Cho tam giác ABC , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = CBA 2cos2 1 2cos2 1 2cos2 1 + + + + ---------------------------------------Hết--------------------------------------------- Đáp án Thang điểm Câu ý Nội dung Điểm Câu 1 1. TXĐ:R Có y=3x 2 -12x+9 ; y=0 == == 13 31 yx yx Hàm số đạt CĐ (1;3) ,đạt CT (3;-1) Có y=6x-12 ; y=0 12 == yx Đồ thị hàm số lồi trên ( )2; ,lõm trên ( ) + ;2 và có điểm uốn (2;1) Đồ thị hàm số không có tiệm cận BBT: x 1 2 3 + y + 0 - - 0 + y 3 + 1 -1 Đồ thị: y 3 A 1 (C) O 1 2 3 x -1 B 0.25 0.25 0.25 0.25 2. Đờng tròn (S) có tâm I(2m;-m) ,bán kính R=1 Đồ thị (C) có CĐ là A(1;3) và CT là B(3;-1).Do đó để đồ thị (C) có các điểm CĐ,CT nằm về hai phía của đờng tròn (S) thì : (IA 2 -1).(IB 2 -1)<0 (5m 2 +2m+9)(5m 2 -14m+9)<0 5m 2 -14m+9<0 1 < m < 5 9 0.25 0.5 0.25 Câu 2 1. Điều kiện : + + 46 0 04 06 2 x x xx x Đặt 6 + x = t +2 (với t -2) .Phơng trình trở thành: 0.25 0.25 0.25 0.25 = = +=+ +=+ +=+ +=+ 5 24 24 62 24 2 2 2 xt tx xtt txx xt txx Với x=t ta có : x 2 +4x=x+2 x 2 +3x-2=0 x= 2 173 Với t=-x-5 ta có x 2 +4x=-x-5+2 x 2 +5x+3=0 x= 2 135 Đối chiếu điều kiện ta đợc x= 2 173 + ; x= 2 135 là nghiệm . 2. Điều kiện :x>0 Ta có 2 x và 2 -x luôn dơng với mọi x nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 2x và 5. 2-x ta có : 1522.5.2.22.52 >=+ xxxx Do đó bất phơng trình tơng đơng với ( ) 06loglog2 22 >+ xx << > > + > + > + 26 3 0 6 6 1 6 0 6 log 222 2 x x x xx x x x x Đối chiếu điều kiện ta đợc nghiệm bất phơng trình là x>3. 0.25 0.5 0.25 Câu 3 1. Giả sử tung độ của các điểm A,B lần lợt là a,b thì A a a ; 4 2 ,B b b ; 4 2 với ba .Phơng trình tiếp tuyến tại A và B là: 0 4 2 2 =+ a ayx (d 1 ) ; 0 4 2 2 =+ b byx (d 2 ) Vì (d 1 ) vuông góc với (d 2 ) nên a.b= - 4. Phơng trình AB: 4x-(a+b)y+ab=0 4x-(a+b)y-4=0. Ta thấy đờng thẳng AB luôn đi qua điểm cố định (1;0) chính là tiêu điểm của (P). 0.25 0.25 0.25 0.25 2a. Chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0),A(0;0;a) (Hình vẽ) Khi đó D(0;a;a),M 0; 3 2 ; 3 aa ,N 3 ; 3 ;0 aa = 3 ; 3 ; 3 aaa MN , ( ) 0;; aaBD = , ( ) aaAD ;;0' = Ta có BDMN aa BDMN =+= 00 33 . 22 '0 33 0'. 22 ADMN aa ADMN =+= Vậy MN là đờng vuông góc chung của BD và AD 0.25 0.25 0.25 0.25 Khoảng cách giữa BD và AD là MN= 3 3 999 222 aaaa =++ 0.25 2b. Ta có ( ) aDD ;0;0' = , = 3 ; 3 2 ;0 aa DM , = 0; 3 ; 3 aa DN [ ] 9 2 .,' 3 a DNDMDD = . Vậy thể tích tứ diện DDMN là 9 2 3 a 0.25 0.25 0.25 Câu 4 1. Ta có I= + = + 2 1 33 2 2 1 3 11 xx dxx xx dx Đặt 3 2 3 12 3 1 x dxx dtxt + =+= và 1 23 = tx Khi 32;21 ==== txtx Do đó I= )12)(13( )12)(13( ln 3 1 1 1 ln 3 1 1 1 1 1 3 1 )1(3 2 3 2 3 2 3 2 2 + + = + = + = t t dt tt t dt 0.25 0.25 0.5 2. Coi 9 chữ số của số có 9 chữ số cần lập đợc xếp vào 9 ô vuông. Chọn 3 ô trong 9 ô đó để xếp chữ số 1 có 3 9 C cách ; Chọn 2 ô trong 6 ô còn lại để xếp chữ số 2 có 2 6 C cách; Bốn ô còn lại xếp 4 chữ số 3,4,5 ,6 có 4! cách. Vậy có tất cả 3 9 C . 2 6 C .4!=30240 số thỏa mãn đề bài. *)Tổng các chữ số ở từng hàng đơn vị,hàng chục, của tất cả các chữ số trên là 9 30240 (1.3+2.2+3+4+5+6)=84000 Do đó tổng các chữ số lập đợc ở trên là : 84000.111 111 111. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5 áp dụng bất dẳng thức Côsi ta có: ( ) 92cos22cos22cos2 2cos2 1 2cos2 1 2cos2 1 ++++ + + + + CBA CBA CBA P 2cos2cos2cos6 9 ++ Đặt Q=cos2A+cos2B-cos2C ta có Q=2cos(A+B)cos(A-B)-2cos 2 C+1 Q=-2[cos 2 C+cosCcos(A-B)+ 4 1 cos 2 (A-B)]+ 2 1 cos 2 (A-B)+1 2 3 0.25 0.25 0.25 0.25 DÊu b»ng x¶y ra °= °== ⇔ =− −−= ⇔ 120 30 1)(cos )cos( 2 1 cos 2 C BA BA BAC 5 6 2 3 6 9 6 9 = + ≥ + ≥⇒ Q P .VËy minP= 5 6 khi °=°== 120;30 CBA . Tæng ®iÓm : 10.0 . Trờng THPT Ngô Gia Tự Đề thi thử đại học lần IV môn : toán Thời gian làm bài :180(không kể thời gian giao