chứng minh điểm cố định

CÂU 4d ĐỀ THI VÀO 10 Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự Vẽ tia Cx vuông góc với CE CA   Đường tròn ngoại tiếp CB CD tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC H khác C Chứng minh rằng: Đường thẳng HC qua điểm cố định C di chuyển đoạn thẳng AB AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E cho Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: Đoạn AB * Yếu tố không đổi: + Góc BEC = 300, Góc ADB = 600 sđ cung BC, cung CA không đổi + B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng hàng Dự đoán điểm cố định: C trùng B (d) tạo với BA góc 600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với tia BA góc 600 C trùng A (d) tạo với AB góc 300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB góc 300 By Az cắt M M điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định 900 => M thuộc đường tròn đường kính AB m b a C D h E Tìm hướng chứng minh: M thuộc đường tròn đường kính AB cố định cần chứng minh sđ cung AM không đổi thật vậy: sđ cung AM = 2sđGóc MCA=2sđGóc CHA =2sđGóc CDA = 1200 Lời giải: CA  => Góc D=600 CD có Góc CHA = Góc CDA = 600 G/s đường tròn đường kính AB cắt CH M Ta có tgD  Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA không đổi lại có đường tròn đường kính AB cố định vậy: M cố định CH qua M cố định Bài 2: Cho đường tròn (O) đường thẳng (d) nằm đường tròn I điểm di động (d) Đường tròn đường kính OI cắt (O) M, N Chứng minh đường tròn đường kính OI qua điểm cố định khác O đường thẳng MN qua điểm cố định Hướng dẫn: tính chất đối xứng nên cố định nằm trục đối hay đường thẳng qua O góc với (d) M O điểm xứng vuông F E Giải: N d Kẻ OH vuông góc với (d) cắt I H MN E ta có H cố định H thuộc đường tròn đường kính OI đường tròn đường kính OI qua K cố định Xét tam giác OEF tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900 Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH đó: OF/ OE = OH/ OI => OE OH = OF OI Lại có góc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OI ) Xét tam giác vuông OMI có đường cao ứng với cạnh huyền MF nên: OF OI = OM2 OM Do đó: OE  = số vây E cố định MN qua E cố định OH Bài 3: Cho đường tròn (O; R) dây AB cố định C điểm chuyển động đường tròn M trung điểm AC Chứng minh đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC qua điểm cố định Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn Giải: Vẽ đường kính BD => D cố định Giả sử đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt AD I Dễ thấy góc BCD = 900 hay MI // CD Xét tam giác ACD có MC = MA; MI // CD => I trung điểm DA cố định hay đường thẳng qua M vuông góc với BC qua I cố định C d M O I B A Bài 4: Cho tam giác ABC hai điểm M, N thứ tự chuyển động hai tia BA, CA cho BM= CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Hướng dẫn: I A M N B Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn C Khi M  B N  C đường trung trực MN trung trực BC Vậy điểm cố định nằm đường trung trực BC Giải: Giả sử trung trực BC cắt trung trực MN I Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-c-c) góc MBI = góc NCI Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đường tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực BC cố định Vậy I cố định hay trung trực MN qua I cố định Bài 5: Cho đường tròn (O; R) dây cung AB = R Điểm P khác A B Gọi (C; R1) đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) A.Gọi (D; R 2) đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) B Các đường tròn (C; R 1) (D; R2) cắt M khác P Chứng minh P di động AB đường thẳng PM qua điểm cố định Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: (O; R), dây AB * Yếu tố không đổi: DPCO hình bình hành Sđ cung BP (D), sđ cung AP (C), Góc BMA không đổi O M B C D P A Dự đoán Khi P  A PM tiếp tuyến (O; R) => điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) A I Khi P  B PM tiếp tuyến (O; R)=> điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) B Do tính chất đối xứng hình => Điểm cố định nằm đường thẳng qua O vuông góc với AB => Điểm cố định nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Lời giải: Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM I AB = R => sđ cung AB (O) 1200 tam giác BDP cân góc OBA = góc DPB tam giác OAB cân góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung BP (D) = sđ cung BA (O) = 1200 tương tự sđ cung PA (C) = 1200 sđ cung BP (D) = 600 ta có góc AMP = sđ cung AP (C) = 600 Vậy góc BMA = góc BMP + góc AMP = 1200 = góc BOA ta có góc BMP = xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOA 1 sđ cung IA = góc IMA = góc PMA = sđ cung PA (C) = 1200 Vậy I 2 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB sđ cung IA = 120 => I cố định hay MP qua I cố định Vậy Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông MADE MBHG Hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định M di chuyển AB Hướng dẫn: Tương tự Giải: Giả sử MN cắt đường tròn đường kính AB I Ta có Góc ANM = Góc ADM = 450( góc nội tiếp chắn cung AM đường tròn ngoại tiếp hình vuông AMDE) Ta có Góc BNM = Góc BGM = 450( góc nội tiếp chắn cung BM đường tròn ngoại tiếp hình vuông MBGH) => gócANB = Góc ANM + Góc BNM = 900 => N thuộc đường tròn đường đường kính AB sđ cung AI = 2sđGóc ANI Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn G H N E A D B M I =2sđGóc ANM = 900 Vậy I thuộc đường tròn đường kính AB số đo cung AI 90 0=> I cố định hay MN qua I cố định Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O Vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC thứ tự E, F Từ E, F vẽ đường thẳng song song với BD, CA chúng cắt I Qua I vẽ đường thẳng (m) vuông góc với EF Chứng minh (m) qua điểm cố định (d) quay quanh O Hướng dẫn: Khi E  A HI qua A vuông với AC E  D HI qua B vuông với BD tính chất đối xứng hình nên điểm cố định nằm đường trung trức AB dự đoán: điểm cố định K nằm đường tròn đường kính AB góc góc C D vẽ F H O E A B I Giải: Dễ thấy I thuộc AB Có góc IHE + góc IAE = 1800 nên tứ giác IHEA nội tiếp k => góc IHA = góc IEA = 45 Có góc IHF + góc IBF = 1800 nên tứ giác IHFB nọi tiếp => góc BHI = góc BFI = 450 Vẽ đường tròn đường kính AB Ta có góc BHA = góc IHA + góc BHI = 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB Giả sử HI cắt đường tròn đường kính AB K ta có: Sđ cung KA = sđ góc KHA = sđ góc IHA = 900 Do K thuộc đường tròn đường kính AB sđ cung KH = 90 nên K cố định hay HI qua K cố định Bài 8: Cho góc vuông xOy Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động cho OA+ OB = a ( a độ dài cho trước) Gọi G trọng tâm tam giác OAB (d) Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn đường thẳng qua G vuông góc với AB Chứng minh (d) qua điểm cố định Gợi ý: Khi B  D (d) đường thẳng vuông góc với OD O cách (d) khoảng a OB = OA = a (d) phân giác góc xOy tính chất đối xứng dự đoán điểm cố định thuộc tia phân giác góc xOy Giải: Trên Ox, Oy thứ tự lấy điểm C, D cho OC = OD = a Phân giác góc xOy cắt CD N, cắt (d) I rễ thấy tam giác NAO = tam giác NBD NF vuông góc với AB Xét tam giác ONF có GI // NF => C n A I f G O D B OG OI 2    OI  ON  a = số OF ON 3 Vậy I cố định hay (d) qua điểm cố định I Bài 9: Cho góc vuông xOy Trên Ox lấy điểm A cố định Trên Oy lấy điểm B di động Đường tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định gợi ý: Tam giác BNM cân B  O góc B  900 nên góc MNB  450 điểm cố định nằm phân giác góc xOy B  vô xa bán kính (I)  song với Ox cách Ox khoảng OA Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn OA MN đường thẳng song Giải: Giả sử tia phân giác Om góc xOy cắt MN F ta có tam giác BMN cân đó: ONM  90  B lại có AIO  90  B Vậy: ONM = AIO Dễ thấy tam giác AIO tam giác FNO đồng dạng Vậy: x m A M F I y O N B OF ON OA = số   cosION   OF  OA OI 2 Vậy F cố định hay MN qua F cố định Bài 10: Cho đoạn thẳng AB điểm M đoạn thẳng Từ M vẽ tia Mx vuông góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D cho MC= MA; MD = MB Đường tròn tâm O[1] qua điểm A, M, C đường tròn tâm O[2] qua điểm B, M, D cắt điểm thứ hai N Chuứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định M chuyển AB (Tương tự 6) Bài 11: Cho ba điểm A, B, C thẳng hành theo thứ tự vẽ đường tròn (O) thay đổi qua A B Từ điểm P cung lớn AB vẽ đường kính PQ cắt AB D.Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I Chứng minh đường tròn (O) thay đổi QI qua điểm cố định Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn p Giải: Giả sử QI cắt AB H ta có tam giác CIH tam giác CDP đồng dạng đó: i CI CD   CH CP d a CI.CP  CH.CD lại có CI.CP  CB.CA Vậy CH.CD = CB.CA h b c q CB.CA => CH  = CD số => H cố định hay đường thẳngQI qua H cố định Bài 12: Cho đường tròn (O; R) có dây cung CD Trên tia đối tia DC lấy M Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O; R) Chứng minh M thay đổi AB qua điểm cố định B o i h c D a k Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn m Gợi ý: M  vô xa AB trở thành đường kính điểm cố định nằm đường thẳng qua O vuông góc với CD Giải: Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CD cắt đường thẳng AB K ta có: OH.OK = OI.OM = OB2 = số mà OH không đổi OK không đổi hay AB qua K cố định Bài 13: Cho đường tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đường tròn, từ M kẻ MH vuông góc với AB (H thuộcAB), gọi E, F hình chiếu vuông góc H MA, MB Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với EF qua điểm cố định M thay đổi đường tròn Giải: m F d E o A B h I Giả sử đường thẳng qua M vuong góc với EF cắt đường tròn O I Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp góc AMH = góc EMH = góc EFH lại có góc EFH = góc IMB (cạnh tương ứng vuông góc) ta có sđ cung IB = sđ góc IMB sđ cung MB = sđ góc MAB lại có góc IMB + góc MAB = góc AMH + góc MAH = 900 sđ cung IM = 1800 hay MI đường kính đường tròn (O) MI qua điểm cố định O Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn Hướng dẫn câu IVc : + AMB ∽ ACM (g-g)  + AME ∽ AIM (g-g)  AM AB   AM2  AB.AC AC AM AM AE   AM2  AI.AE AI AM  AB.AC = AI.AE (*) Do A, B, C cố định nên trung điểm I BC cố định nên từ (*) suy E cố định Vậy đường thẳng MN qua điểm E cố định Bài 30: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a Trên cạnh AD CD lấy điểm M N cho góc MBN= 450, BM BN cắt AC theo thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp b) Gọi H giao điểm MF với NE I giao điểm BH với MN Tính độ dài đoạn BI theo a c) Tìm vị trí M N cho diện tích tam giác MDN lớn HD c) Tìm vị trí M N để diện tích tam giác MDN lớn Do MBG  MBN (theo chứng minh phần b) => MG = MN Do MD + DN + MN = MD + DN + MG = MD + DN + (GA + AM) = MD + DN + CN + AM (vì GA = CN) = (MD + AM) + (DN + NC) = 2a (không đổi) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho MDN (vuông D), ta có MN2 = DN2 + DM2 Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn Mặt khác dễ dàng chứng minh được: DN2 + DM2  ( DM  DN )2 (vì tương đương với (DM – DN)2  đúng) Suy MN  ( DM  DN )2 DM  DN  2 => 2a = MD + DN + MN  MD  DN  MD  DN 1   MD  DN  2 Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 1 1 ( MD  DN )   MD.DN  (2  2) MD.DN 2 2a=MD+DN+ MN   2a  2 => DM DN     2(  1) a  2  => SMDN  DM DN  (  1)2 a ,  DM  DN  DM  DN dấu “=” xảy  MN   DM  DN   a   DM  DN  MN  2a   Vậy để diện tích tam giác MDN lớn M, N cạnh AD, CD cho   DM  DN   a Bài 31:Cho tam giác ABC góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B, C cố định, A di động cung lớn BC) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I a) Chứng minh góc MBC=ABC Từ suy MBIC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE c) Đường thẳng OI cắt (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) T (T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng d) Tìm vị trí điểm A cung lớn BC cho tam giác IBC có diện tích lớn HD c) Ta có góc PTQ=900 POIQ đường kính Và tam giác đồng dạng FIQ FTM có góc đối đỉnh F A E P O I Q F Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn B C T D FI FT  FQ FM (vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ) Nên góc FIQ=FTM mà FIQ=OIM=90 (I nhìn OM góc 900) Nên P, T, M thẳng hàng góc PTM =180 d) Ta có BC không đổi Vậy diện tích S IBC lớn khoảng cách từ I đến BC lớn Vậy I trùng với O yêu cầu toán I nằm cung BC đường tròn đường kính OM Khi I trùng O ABC vuông B Vậy diện tích tam giác ICB lớn AC đường kính đường tròn (O;R) Bài 32: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc đường thẳng cố định HD c) Theo câu b) ta có góc ACF=AEC, suy AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1) Mặt khác góc ACB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy AC  CB (2) Từ (1) (2) suy CB chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định E thay đổi cung nhỏ BC C E F A I O B D Bài 33: Từ điểm A nằm đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI  AB, MK  AC (I  AB,K  AC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP  BC (P  BC) Chứng minh: góc MPK=MBC Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn HD Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội tiếp Suy ra: góc MIP = MBP (4) Từ (3) (4) suy góc MPK=MIP Tương tự ta chứng minh MKP=MPI Suy ra: MPK ~ ∆MIP  MP MI  MK MP A K I B M H C P O  MI.MK = MP  MI.MK.MP = MP Do MI.MK.MP lớn MP lớn (4) - Gọi H hình chiếu O BC, suy OH số (do BC cố định) Lại có: MP + OH  OM = R  MP  R – OH Do MP lớn R – OH O, H, M thẳng hàng hay M nằm cung nhỏ BC (5) Từ (4) (5) suy max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3  M nằm cung nhỏ BC Bài 34: Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ AC, AD thứ tự đường kính hai đường tròn (O) (O) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) (O) thứ tự M N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn HD Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn c) Ta có góc CMA=DNA=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy CM // DN hay CMND hình thang Gọi I, K thứ tự trung điểm MN CD Khi IK đường trung bình hình thang CMND Suy IK // CM // DN (1) CM + DN = 2.IK (2) F E N d A I M O/ O D K C B Từ (1) suy IK  MN  IK  KA (3) (KA số A K cố định) Từ (2) (3) suy ra: CM + DN  2KA Dấu “ = ” xảy IK = AK  d  AK A Vậy đường thẳng d vuông góc AK A (CM + DN) đạt giá trị lớn 2KA Bài 35: Cho đường (O, R) đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB 1) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn 2) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD 3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé HD 3) Ta có tam giác MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích tính: P C A d S  2SOQM  .OD.QM  R(MD  DQ) Từ S nhỏ H B I O  MD + DQ nhỏ Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vuông OMQ ta có DM DQ  OD2  R không đổi nên MD + DQ nhỏ  DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường tròn tâm O bán kính R Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn D Q M Bài 36: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C điểm nằm O A Đường thẳng vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI (K khác C I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tia BM cắt tia CI D Chứng minh: 1) ACMD tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ∆ABD ~ ∆MBC 3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm đường thẳng cố định K di động đoạn thẳng CI HD 3) Lấy E đối xứng với B qua C E cố định góc EDC=BDC=CAK (cùng phụ với B) Do AKDE tứ giác nội tiếp Gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD O’ củng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O A = O E, suy O thuộc đường trung trực đoạn thẳng AE cố định D M I K A E C B O Bài 37: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH  BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO 1O2 đạt giá trị lớn Tính giá trị HD c) Vì O1D = O1B =>  O1BD cân O1 => góc B = BDO1 (2) Từ (1), (2) => ADE+ BDO1=B+BAH=90 => O1D //O2E Vậy DEO2O1 hình thang vuông D E Ta có Sht = A 1 (O1D  O2 E).DE  O1O2 DE  O1O22 (Vì 2 E O1D + O2E = O1H + O2H = O1O2 DE < O1O2 ) D BC2 R Sht  O1O2   Dấu "=" xảy B DE = O1O2  DEO2O1 hình chữ nhật Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn O1 H O O2 C  A điểm cung BC Khi max S DEO O = R2 Bài 38 : Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường tròn (O; R) qua B C (BC  2R) Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N tiếp điểm) Gọi I, K trung điểm BC MN; MN cắt BC D Chứng minh: a) AM2 = AB.AC b) AMON; AMOI tứ giác nội tiếp đường tròn c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp  OID thuộc đường thẳng cố định HD c) Ta có OA  MN K (vì K trung điểm MN), MN cắt AC D Xét tứ giác KOID có K+I = 1800 => tứ giác KOID nội tiếp đường tròn tâm O1 => O1 nằm đường trung trực DI mà AD.AI = AK.AO = AM2 = AB.AC không đổi (Vì A, B, C, I cố định) Do AI không đổi => AD không đổi => D cố định Vậy O1 tâm đường tròn ngoại tiếp  OIK thuộc đường trung trực DI cố định M A B K O D I C N Bài 39: Qua điểm A cho trước nằm đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm), lấy điểm M cung nhỏ BC, vẽ MH  BC; MI  AC; MK  AB a) Chứng minh tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MH2 = MI.MK c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC P, Q Chứng minh chu vi  APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M HDc c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến) Xét chu vi  APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB không đổi Vì A cố định đường tròn (O) cho trước nên chu vi  APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M (đpcm) Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn Bài 40: Cho đường tròn (O), đường kính AB, d 1, d2 các đường thẳng qua A, B vuông góc với đường thẳng AB M, N điểm thuộc d1, d2 cho MON = 900 1) Chứng minh đường thẳng MN tiếp tuyến đường tròn (O) 2) Chứng minh AM AN = AB 3) Xác định vị trí M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ HD S MON  OH MN > OH AB (Vì AMNB N hình thang vuông) Dấu “=” MN = AB hay H điểm cung AB  M, N song song với AB  AM = BN = H M AB Vậy S MON nhỏ AM = BN = A B O AB Bài 41: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E 1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp 2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC 3) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ HD M Theo góc AMN=ACM nên AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp O1 E ECM Nối MB ta có AMB= 90 , tâm O1 đường tròn ngoại tiếp ECM A I phải nằm BM Ta thấy NO1 nhỏ NO1 khoảng N Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn O C B cách từ N đến BM  NO1 BM Gọi O1 chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta O1 tâm đường tròn ngoại tiếp  ECM có bán kính O1M Do để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp  ECM nhỏ C phải giao điểm đường tròn (O1), bán kính O1M với đường tròn (O) O1 hình chiếu vuông góc N BM Bài 42: Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính Tam giác ABC thay đổi ngoại tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua tâm O cắt đoạn AB, AC M N Xác định giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Tp Hồ Chí Minh năm học 2001 – 2002) LỜI GIẢI A Giả sử đường tròn (O) tiếp xúc aB, AC H K S AMN  SOAM  SOAN I 1 AM  AN  OH AM  OK AN  2 Vẽ MI  AB I Ta có: AM  MI Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có: AM  AN  AM AN K N H O M B C Do đó: S AMN  AM AN  MI AN ; S AMN  MI AN  MI AN  2S AMN  2S AMN  S AMN  (do S AMN  ) Vậy: S AMN  2S AMN  S AMN Dấu “= “ xảy  AM = AN = MI, tức BAC  900 AM = AN Vậy GTNN diện tích tam giác AMN Bài 43: Cho đường tròn tâm O, vẽ dây cung BC không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm M Đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) hai điểm N P (N nằm M P) cho O nằm bên góc PMC Trên cung nhỏ NP lấy điểm A cho cung AN cung AP Hai dây cung AB, AC cắt NP lần lược D E Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn a) Chứng minh: MB.MC = MN.MP b) Bán kính OA cắt NP K Chứng minh: MK  MB.MC HD: b) Chứng minh: MB.MC = MN.MP A P E MB MP   MB.MC  MN MP  MBP ~  MCN ( g - g )  MN MC D K N O M c) Chứng minh: MK  MB.MC : B Ta có: OA  NP ( A điểm cung NP) Suy ra: NP = 2.NK Mà: MB.MC = MN.MP ( Theo câu b) Do đó: MB.MC = MN(MN + NP) = MN( MN + 2.NK) = MN  2.MN.NK (1) Mà: MK   MN  NK   MN  2MN NK  NK  MN  2.MN NK (2) Từ (1) (2) suy ra: MK  MB.MC Cách 2: Ta có: MK > MN ( N nằm M K)  MK.NK > MN.NK  MK.NK + MK.MN > MN.NK + MK.MN  MK(NK + MN) > MN(NK + MK)  MK > MN MP ( Vì NK + MK = MK + KP: Do NK = KP) Mà: MB.MC = MN.MP ( Theo câu b) Do đó: MK  MB.MC Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương MN MP, ta có: MN + MP  MN.MP  MK  MN.MP  MK  MN.MP Dấu = xảy MN = MP, điều xảy Cách 4: Do: cung AN=AP nên K trung điểm NP hay KN = KP Đặt KN = KP = a Ta có: MB.MC = MN.MP(câu b); mà MN = MK – KN MP = MK + KP  MB.MC = MN.MP = (MK – a)(MK + a) = MK  a2  MK Vậy MK  MN.MP; hay : MK  MB.MC Bài 44: MN) Cho đường tròn (O) có đường kinh MN PQ(PQ không trùng với a) Chứng minh tứ giác MPNQ hình chữ nhật Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn C b) Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến M đường tròn (O) theo thứ tự E F Chứng minh bốn điểm E, F, P, Q thuộc đường tròn c) Khi MN cố định, PQ thay đổi Tìm vị trí E F diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ Giải F M Q O E P N c) Tìm vị trí E F diện tích tam giác NEF đạt giá trị nhỏ 2 Ta có: S N EF  MN EF  2R  EM  MF   R  EM  MF  Theo bất đẳng thức cô si, ta có: EM + MF  EM MF * Tam giác NEF vuông có NM đường cao, nên: EM.MF = NM (hệ thức lượng tam giác vuông) Vậy *  SN EF  R.2 NM  2.MN  2R.2R  4R2 : không đổi Dấu = xảy  EM  MF  Δ NEF vuông cân N  NM tia phân giác góc QNP  MPNQ hình vuông  PQ  MN Vậy GTNN S N EF 4R  PQ  MN Bài 45: Cho C điểm nằm đường thẳng AB(C khác A B) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, kẻ hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tai Ax lấy điểm I khác A, tia vuông góc với CI C cắt By K Đường tròn đường kính CI cắt IK P a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp b) Chứng minh AI.BK = AC.BC c) Gọi M giao điểm IC AP; N giao điểm KC BP.Chứng minh MN // AB Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn d) Cho A, B, I cố định Tìm vị trí điểm C để diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn HD: d) Cho A, B, I cố định Tìm vị trí điểm C để diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn Ta có: S ABKI  AB  AI  BK  Vì AB, AI không đổi nên S ABKI lớn  BK lớn  CA.CB lớn (vì AI.BK = CA.CB  BK = CA.CB ) AI CA  CB  CA  CB  CA.CB   CA.CB    (không đổi), (Áp dụng BĐT Cô si) 2   Ta có: Dấu = xảy CA = CB Vậy S ABKI lớn C trung điểm AB Cách 2: Ta có: AIKB hình thang vuông có AB đường cao, nên: S ABKI   AI  BK  AB , A, B, I cố định  AI, AB không đổi Vậy S AIKB lớn  BK lớn Dễ thấy hai tam giác vuông AIC BCK có: AIC  BCK (cùng phụ với ACI ) Do đó: ΔAIC ~ ΔBCK  g  g    BK  AI AC  BC BK 1 BC AC   AB  AC  AC   AB AC  AC  AI AI AI  AB AB AB   AC    AC   AI  4  AI  AB  AB   AC        AB AB AB =   AC    không đổi  AI   AI AI Dấu = xảy  AC  AB AB   AC   C trung điểm đoạn AB 2 Vậy S ABKI lớn C trung điểm AB Bài 46: Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d qua O cắt đường tròn hai điểm A B Từ điểm C đường thẳng d(C nằm đường tròn(O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b) Chứng minh KN.KC = KH.KO c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I Chứng minh I cách CM, CN, MN Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ HD: d) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ Ta có: SCEF  2SCOE  CE.OM   CM  ME  R SCEF nhỏ CM + ME nhỏ Mà: CM.ME = OM  R2 không đổi Áp dụng bất đẳng thức cô si, ta có: CM  ME  CM ME = R Dấu = xáy  CM = ME = R  Δ COE vuông cân O Δ COM vuông cân M  MO  MC  R  OC  R Vậy C giao điểm đường tròn(O; R ) với đường thẳng d Bài 47: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi M điểm thuộc đường tròn (O), (M khác A B) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A M cắt E Vẽ MP vuông góc với AB(P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE(Q thuộc AE) a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp APMQ hình chữ nhật b) Gọi I trung điểm PQ Chứng minh O, I, E thẳng hàng c) Gọi K giao điểm EB MP Chứng minh hai tam giác AEO MPB đồng dạng KM = KP d) Đặt AP = x Tính MP theo R x Tìm vị trí điểm M đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Giải E M Q I K 1 A x Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn O P B 2R - x d) Tính MP theo R x Tìm vị trí điểm M đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn Đặt: AP = x  PB = 2R - x (vì AB = 2R) Tam giác AMB vuông M có MP đường cao nên: MP2  PA.PB  x  2R  x   MP  x  2R  x   S MPAQ x    2R  x  x x x x   AP.MP  x x  R  x   x  R  x   x    x  R    3  R   3 3 3      x x  R  3  3 R       x   R  x 3R Dấu = xảy   x x  R x  3 Vậy diện tích HCN: MPAQ lớn M thuộc đường tròn cho P trung điểm OB Cách 2: Trong tam giác vuông ABM, ta có: MP2  PA.PB  x  2R  x   MP  x  2R  x  ; < x < 2R (vì M thuộc đường tròn (O) M khác A, B) Diện tích hình chữ nhật APMQ là: SMPAQ  MP.PA  x x  2R  x   x3  2R  x  Ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a,b,c,d không âm, ta có:  abcd  abcd    Dấu = xảy  a = b = c = d   Ta có: a  b  ab 1 , a, b  ; tương tự c  d  cd  2 Từ (1) (2) suy ra: a  b  c  d   ab  cd  ; ta có: ab  cd  Do đó: a  b  c  d  ab cd  abcd  ab cd   a  b  c  d   42 abcd  abcd      Dấu = xảy  a  b  c  d Áp dụng bổ đề với bốn số: x x x ; ; 2R - x, ta có: 3 Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn x x x     2R  x   x x x R4 x3  R  x   27  R  x   27  3  27  3 16     x x x Dấu = xảy     2R  x  x  3R Vậy diện tích HCN: MPAQ lớn M thuộc đường tròn cho P trung điểm OB Bài 48: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A O) Đường thẳng qua điểm H vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) C Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) D cắt đường thẳng HC E Gọi I giao điểm AD HC Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác DEI tam giác cân Gọi F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD Chứng minh góc ABF có số đo không đổi D thay đổi cung BC (D khác B C) HD Do F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD nên Góc ICF=90-CFI/2; mà ICF/2 = góc ICD = CBA nên góc ICF=90-góc CBA = HCB Vì D nằm cung BC nên tia CF trùng với tia CB cố định Vậy góc ABF có số đo không đổi Nguyễn Chí Thành sưu tầm biên soạn ... vây E cố định MN qua E cố định OH Bài 3: Cho đường tròn (O; R) dây AB cố định C điểm chuyển động đường tròn M trung điểm AC Chứng minh đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC qua điểm cố định Nguyễn... ngoại tiếp tam giác ABC cố định nên F cố định hay đường thẳng DE qua F cố định Bài 18: Cho đường tròn (O; R) cố định đường thẳng (d) cắt (O; R) hai điểm cố định A, B, Một điểm M động (d) phía đoạn... Vậy I cố định hay (d) qua điểm cố định I Bài 9: Cho góc vuông xOy Trên Ox lấy điểm A cố định Trên Oy lấy điểm B di động Đường tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự M, N Chứng minh