chứng minh điểm cố định

Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định... M C D Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC

CÂU 4d ĐỀ THI VÀO 10

Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự đó Vẽ tia Cx vuông góc với

AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho   3

CD

CA CB

CE Đường tròn ngoại tiếp

tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C Chứng minh rằng: Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng

khi C trùng B thì (d) tạo với BA một góc

600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với

tia BA một góc 600

khi C trùng A thì (d) tạo với AB một góc

300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với

có Góc CHA = Góc CDA = 600

m

h D

E

C

ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA không đổi

lại có đường tròn đường kính AB cố định vậy:

M cố định do đó CH luôn qua M cố định

Bài 2: Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn I là điểm di

động trên (d) Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M, N Chứng minh đường tròn đường kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

tròn đường kính OI luôn đi qua K cố định

Xét tam giác OEF và tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900

Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH do đó: OF/ OE = OH/ OI => OE OH

OH

 = hằng số vây E cố định do đó MN đi qua E cố định

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định C là một điểm chuyển động trên

đường tròn và M là trung điểm của AC Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định

d

E F

H N

M

O

I

Bài 4: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA, CA

sao cho BM= CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm

A B

C

N I

C B

A

M

M

C D

Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I

Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-c-c) vậy góc MBI = góc NCI

Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đường tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I

cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định

Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R 3 Điểm P khác A và B Gọi (C;

R1) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A.Gọi (D; R2) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B Các đường tròn (C; R1) và (D; R2) cắt nhau tại M khác P Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đường thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định

Tìm hiểu đề bài:

* Yếu tố cố định: (O; R), dây AB

* Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình

hành Sđ cung BP của (D), sđ cung AP của

(C), Góc BMA không đổi

Dự đoán

Khi P  A thì PM là tiếp tuyến của (O; R)

=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của

(O; R) tại A

Khi P  B thì PM là tiếp tuyến của (O;

R)=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến

của (O; R) tại B

Do tính chất đối xứng của hình => Điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O và vuông góc với AB

=> Điểm cố định nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

Lời giải:

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM tại I

vì AB = R 3 => sđ cung AB của (O) bằng 1200

tam giác BDP cân do đó góc OBA = góc DPB

tam giác OAB cân do đó góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung

BP của (D) = sđ cung BA của (O) = 1200

tương tự sđ cung PA của (C) = 1200

=> I cố định hay

MP đi qua I cố định

Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động trên AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB vẽ hai hình vuông MADE và MBHG Hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt nhau tại N Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên AB

Hướng dẫn:

Tương tự bài 1

Giải:

Giả sử MN cắt đường tròn đường kính AB tại I

Ta có Góc ANM = Góc ADM = 450( góc nội

tiếp cùng chắn cung AM của đường tròn ngoại

tiếp hình vuông AMDE)

M

D E

=2sđGóc ANM = 900

Vậy I thuộc đường tròn đường kính AB và số đo cung AI bằng 900

=> I cố định hay

MN đi qua I cố định

Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O Vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD,

BC thứ tự tại E, F Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BD, CA chúng cắt nhau tại I Qua I vẽ đường thẳng (m) vuông góc với EF Chứng minh rằng (m) luôn đi qua một điểm cố định khi (d) quay quanh O

nên điểm cố định nằm trên

đường trung trức của AB

đường tròn đường kính AB

Giải:

Dễ thấy I thuộc AB

tứ giác IHEA nội tiếp

=> góc IHA = góc IEA = 450

tứ giác IHFB nọi tiếp

=> góc BHI = góc BFI = 450

góc BHA = góc IHA + góc BHI = 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB

Giả sử HI cắt đường tròn đường kính AB tại K ta có:

Sđ cung KA = 2 sđ góc KHA = 2 sđ góc IHA = 900

Do K thuộc đường tròn đường kính AB và sđ cung KH = 900

nên K cố định hay HI đi qua K cố định

Bài 8: Cho góc vuông xOy Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động sao

cho OA+ OB = a ( a là độ dài cho trước) Gọi G là trọng tâm tam giác OAB và (d) là

E

đường thẳng qua G vuông góc với AB Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định

do tính chất đối xứng dự đoán điểm cố định

thuộc tia phân giác của góc xOy

2 OI 3

2 ON

Vậy I cố định hay (d) đi qua điểm cố định I

Bài 9: Cho góc vuông xOy Trên Ox lấy điểm A cố định Trên Oy lấy điểm B di

động Đường tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự tại M, N Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

1 OA khi đó MN là đường thẳng song

song với Ox và cách Ox một khoảng

2

1

OA

n C

I

G f A

B



Vậy: ONM= AIO

Dễ thấy tam giác AIO và tam

giác FNO đồng dạng

Vậy:

2

OAOF

2

1IONcos

OI

ON

OA

OF       = hằng số

Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định

Bài 10: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng ấy Từ M vẽ tia

Mx vuông góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D sao cho MC= MA; MD = MB Đường tròn tâm O[1] qua 3 điểm A, M, C và đường tròn tâm O[2] qua 3 điểm B, M,

D cắt nhau tại điểm thứ hai N Chuứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M đi chuyển trên AB

(Tương tự bài 6)

Bài 11: Cho ba điểm A, B, C thẳng hành theo thứ tự đó vẽ đường tròn (O) thay đổi đi

qua A và B Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB vẽ đường kính PQ cắt AB tại D.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I

Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi thì QI luôn đi qua một điểm cố định

y

x

m

F M

N

I

O A

B

CH  . = hằng

số => H cố định hay

đường thẳngQI luôn đi qua H cố định

Bài 12: Cho đường tròn (O; R) có dây cung CD Trên tia đối của tia DC lấy M bất kì

Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O; R) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì

AB luôn đi qua một điểm cố định

h

i p

q

d

i h

Gợi ý: khi Mvô cùng xa thì AB trở thành đường kính vậy điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O và vuông góc với CD

Giải: Kẻ đường thẳng qua O và vuông góc với CD cắt đường thẳng AB tại K ta có:

OH.OK = OI.OM = OB2 = hằng số mà OH không đổi do đó OK không đổi hay AB đi qua K cố định

Bài 13: Cho đường tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn,

từ M kẻ MH vuông góc với AB (H thuộcAB), gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA, MB Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn

Giải:

Giả sử đường thẳng qua M và vuong góc với EF cắt đường tròn O tại I

Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp do đó góc AMH = góc EMH = góc EFH

lại có góc EFH = góc IMB (cạnh tương ứng vuông góc)

m

Bài 14: Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên

cung lớn BC của đường tròn (O), ( A khác B và C) Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại điểm D khác C, lấy I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB Chứng minh rằng đường thẳng AI luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

giả sử AI cắt đường tròn (O) tại G

vì góc ACD = góc BCD => cung AD = cung DB => AD = DB mà DB = DI nên DA

= DI => Tam giác DAI cân do đó góc DAI = góc DIA lại có: góc DAI =

hay sđ cung DB + sđ cung BG = sđ cung AD + sđ cung CG mà sđ cung DB = sđ cung

AD vậy sđ cung BG = sđ cung CG hay G là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của đường tròn (O) Vậy AI đi qua điểm chính giữa của cung BC cố định

Bài 15: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau I bất

kì trên đoạn CD trên AD, AC lấy hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1 điểm cố định khác

A

G i

D

o

B C

A

Giải:

Tam giác AMN vuông tại A => IA là trung tuyến ứng với cạnh huyền => IA = IM =

IN lại có IA = IB nên tứ giác AMBN nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua B cố định

Bài 16: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự đó Một đường tròn (O) thay đổi

nhưng luôn đi qua B và C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) Đường thẳng MN cắt hai đoạn AO, AC lần lượt tại H và K Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua hai điểm cố định

giải:

Qua O Kẻ đường thẳng

vuông góc với BC tại I ta có I là trung điểm của BC nên I cố định

lại có tứ giác OHKI nội tiếp ( góc OHK = góc OIK = 900

) => góc IOH = góc HKA hay tam giác AOI đồng dạng với tam giác AKH => AK.AI AO.AH

AI

AOAH

E

o2 o1

C B

AB.ACAK.AI   = hằng số => K cố định

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK đi qua hai điểm cố định I, K

Bài 17: Cho tam giác ABC và điểm D tuỳ ý trên BC Vẽ đường tròn (O1) qua D tiếp xúc với AB tại B và đường tròn (O2) qua D tiếp xúc với AC tại C, hai đường tròn (O1) và (O2) cát nhau tại E khác D Chứng minh khi D di động trên BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định

Giải:

Giả sử DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F

ta có: góc BED = góc ABC ( góc nội tiếp và góc tạo bới tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD của (O1))

Tương tự góc CED = góc ACB

mà gócABC + gócACB + góc BAC =1800

nên gócBEC + góc BAC = 1800

do đó tứ giác ABEC nội tiếp hay E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy sđ cung BF = 2 sđ góc BEF = 2sđ gócBED =2sđ góc ABC = hsố mà đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cố định nên F cố định hay đường thẳng DE đi qua F cố định

Bài 18: Cho đường tròn (O; R) cố định và đường thẳng (d) cắt (O; R) tại hai điểm cố

định A, B, Một điểm M đi động trên (d) và ở phía ngoài đoạn AB Qua M vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O; R) ( N, P là hai tiếp điểm) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định

giải:

Dễ thấy tứ giác MNOP nội tiếp

Kẻ OK vuông góc với AB ( K thuộc AB) => K cố định và tứ giác MPOK nội tiếp hay

5 điểm MNKOP cùng thuộc một đường tròn

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua 2 điểm cố định O, K

Bài 19: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên nửa

đường tròn.Vẽ một đường tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính

AB tại D Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên nửa đường tròn

do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O

và vuông góc với AB Kẻ đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt CD tại K Ta phải chứng minh K cố định bằng cách chỉ ra K thuộc một đường cố định

 mà IC = ID nên OC = OK hay K thuộc đường tròn

(O) Vậy CD đi qua K cố định

Bài 20: Cho đường tròn (O) và một điểm A  O nằm trong đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) tại M và N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O

K

I

D

O A

B C

Hướng dẫn: Do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trên đường thẳng OA G/s

đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cắt đường thẳng OA tại D ta phải chứng minh

OM

 =>

OA

R OA

OM

OD

2 2



 = hsố Vậy D cố định hay đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua D cố định

Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC Điểm D di động trên cạnh BC Gọi (E), (F) lần lượt

là hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A

I

F E

A

Khi D  B thì F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi D  C thì E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có hai vị trí đi qua I

Dự đoán điểm cố định là I Ta phải chứng minh I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF hay tứ giác AEIF ngoại tiếp

Lời giải sơ lược:

1Góc AIB( góc ở tâm và góc nội tiếp của (I))

Vậy Góc AIE = Góc AFE nên tứ giác AFIE nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp

tam giác AEF đi qua I cố định

Bài 22: Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường

tròn (B, C là tiếp điểm) M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (MB, MC) Gọi D, E,

F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF

1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất

Bài 23: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trên cạnh

BC( M khắc B ) và N là điểm trên CD ( N khác C ) sao cho góc MAN=45 Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh rằng ABMQ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP Chứng minh rằng AH vuông góc với MN c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất

Bài 24: Cho đường tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm B là một điểm

bất kì trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Kẻ đường kính BB’ Gọi

H là trực tâm của tam giác ABC

1) Chứng minh AH // B’C

2) Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC

3) Khi điểm B chạy trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một cung tròn cố định

Giải

1) AH //B/C vì cùng vuông góc với BC 2) AHCB/

là hình bình hành

3) Gọi E, F là chân các đường cao hạ từ A và C

Tứ giác HEBF nội tiếp => AHC = EHF = 180o –ABC = không đổi

Bài 25: Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm Trên cung nhỏ Ab lấy điểm

M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H Kẻ MK vuông góc với AN (KAN)

1 Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tròn

2 Chứng minh: MN là tia phân giác của góc BMK

3 Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất

1 Tứ giác AHMK nội tiếp vì góc AKM=AHM=90

2 Góc KMN=NMB ( = góc HAN)

3 AMBN nội tiếp => góc KAM=MBN suy ra góc MBN=KHM=EHN

=> MHEB nội tiếp => góc MNE=HBN =>HBN đồng dạng EMN (g-g) =>ME.BN

= HB MN (1)

Ta có AHN đồng dạng MKN => MK.AN = AH.MN (2)

(1) và (2) => MK.AN + ME.BN = MN.AH + MN.HB = MN(HB+AH) = MN.AB

=> MK.AN + ME.BN lớn nhất khi MN lớn nhất => MN là đường kính của đường tròn tâm O.=> M là điểm chính giữa cung AB

Bài 26: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy hai

điểm C, D (C thuộc cung AD) sao cho CD = R Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với

CD cắt AB ở M Tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt

BD ở K

a Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông