anton deitmar analysis

Anton Deitmar Analysis 2., durchgesehene Auflage Springer-Lehrbuch Anton Deitmar Analysis 2., durchgesehene Auflage Anton Deitmar Mathematisches Institut Universitọt Tỹbingen Tỹbingen, Deutschland ISSN 0937-7433 Springer-Lehrbuch ISBN 978-3-662-53351-2 ISBN 978-3-662-53352-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-53352-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detailư lierte bibliografische Daten sind im Internet ỹber http://dnb.d-nb.de abrufbar Springer Spektrum â Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014, 2017 Das Werk einschlieòlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschỹtzt Jede Verwertung, die nicht ausdrỹcklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags Das gilt insbesondere fỹr Vervielfọltigungen, Bearbeitungen, ĩbersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw 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sind ein- und mehrdimensionale Differentiation und Integration, die Theorie metrischer Răaume, metrische und abstrakte Topologie, Maòtheorie und Lebesgue-Integral, sowie Differentialformen und Integration auf Mannigfaltigkeiten Besonderer Wert wurde auf eine kurze und prăagnante Darstellung gelegt, sowie auf Vollstăandigkeit und Klarheit der Argumente Die Sprache wurde von unnotigen Floskeln befreit, prozesshafte Schilderungen wurden ă zugunsten prăagnanter Zustandsbeschreibungen gekurzt Insgesamt kann ă man die hinter dem Buch stehende Auffassung in drei Săatzen so formulieren: Was gesagt werden kann, kann kurz gesagt werden Die beste Motivation fur ă einen mathematischen Sachverhalt ist ein klarer und einfacher Beweis Fur ă einen guten Text ist es nicht nur wichtig, was gesagt, sondern auch, was verschwiegen wird Das Buch eignet sich zum Selbststudium, als Vorlage fur ă Lehrveranstaltungen oder als Begleittext Fur ă Anregungen, Bemerkungen und Korrekturen bedanke ich mich bei den Kollegen Christian Hainzl, Frank Loose und Reiner Schăatzle, sowie bei Alheydis Geiger, Lukas Epple, Stefan Koberle, Frank Monheim und einem ă anonymen Leser v Inhaltsverzeichnis Mengentheoretische Grundlagen 1.1 Aussagen 1.2 Mengen und Abbildungen 1.3 Komposition 10 1.4 Produkte und Relationen 13 1.5 Vollstăandige Induktion 15 1.6 Aufgaben und Bemerkungen 21 I Differential- und Integralrechnung 25 Die reellen Zahlen 27 2.1 Zahlbereiche 27 2.2 Korper ă 29 2.3 Anordnung 33 2.4 Intervalle und beschrăankte Mengen 37 2.5 Dedekind-Vollstăandigkeit 38 2.6 Aufgaben und Bemerkungen 41 Folgen und Reihen 45 3.1 Konvergenz 45 3.2 Intervallschachtelung 55 vii viii INHALTSVERZEICHNIS 3.3 Teilfolgen 58 3.4 Reihen 59 3.5 Konvergenzkriterien fur ă Reihen 60 3.6 Absolute Konvergenz 62 3.7 Umordnung 65 3.8 Die Exponentialreihe 69 3.9 Aufgaben 70 Funktionen und Stetigkeit 75 4.1 Funktionen 75 4.2 Stetige Funktionen 76 4.3 Săatze uber stetige Funktionen ă 79 4.4 Der Logarithmus 84 4.5 Die Exponentialfunktion im Komplexen 87 4.6 Trigonometrische Funktionen 92 4.7 Aufgaben 96 Differentialrechnung 99 5.1 Differenzierbarkeit 99 5.2 Lokale Extrema, Mittelwertsatz 105 5.3 Die Regeln von de lHospital 111 5.4 Aufgaben 113 Integralrechnung 115 6.1 Treppenfunktionen und Integrierbarkeit 115 6.2 Riemannsche Summen 124 6.3 Hauptsatz der Infinitesimalrechnung 126 6.4 Uneigentliche Integrale 132 6.5 Aufgaben 139 INHALTSVERZEICHNIS II Funktionenfolgen ix 143 7.1 Gleichmăaòige Konvergenz 143 7.2 Potenzreihen 148 7.3 Taylor-Reihen 151 7.4 Fourier-Reihen 156 7.5 Aufgaben und Bemerkungen 161 Metrische Răaume und Topologie 163 8.1 Metrik und Vollstăandigkeit 163 8.2 Metrische Topologie 168 8.3 Stetigkeit 172 8.4 Zusammenhang 175 8.5 Kompaktheit 176 8.6 Der Satz von Arzela-Ascoli 180 8.7 Normierte Vektorrăaume 183 8.8 Aufgaben 187 Mehrdimensionale Reelle Analysis Differentialrechnung im Rn 189 191 9.1 Partielle Ableitungen 191 9.2 Totale Differenzierbarkeit 194 9.3 Taylor-Formel und lokale Extrema 200 9.4 Lokale Umkehrfunktionen 206 9.5 Implizite Funktionen 210 9.6 Aufgaben 211 10 Integration im Rn 10.1 Parameterabhăangige Integrale 215 215 x INHALTSVERZEICHNIS 10.2 Stetige Funktionen mit kompakten Trăagern 218 10.3 Die Transformationsformel 226 10.4 Der Igelsatz 232 10.5 Aufgaben 235 11 Gewohnliche ă Differentialgleichungen 239 11.1 Existenz und Eindeutigkeit 239 11.2 Lineare Differentialgleichungen 248 11.3 Aufgaben 250 12 Allgemeine Topologie 253 12.1 Abstrakte Topologie 253 12.2 Stetigkeit 256 12.3 Kompaktheit und das Lemma von Urysohn 257 12.4 Erzeuger und Abzăahlbarkeit 261 12.5 Initial- und Final-Topologien 263 12.6 Das Zornsche Lemma 266 12.7 Der Satz von Tychonov 268 III 12.8 Der Satz von Stone-Weierstraò 269 12.9 Hilbert-Răaume 275 12.10Konvergenz von Fourier-Reihen 279 12.11Der Satz von Baire 282 12.12Tietzes Fortsetzungssatz 283 12.13Netze 284 12.14Aufgaben und Bemerkungen 289 Maò und Integration 13 Maòtheorie 293 295 INHALTSVERZEICHNIS 13.1 -Algebren xi 295 13.2 Messbare Abbildungen 297 13.3 Maòe 302 13.4 Das Lebesgue-Maò 305 13.5 Aufgaben 316 14 Integration 319 14.1 Integrale positiver Funktionen 319 14.2 Integrale komplexer Funktionen 324 14.3 Parameter und Riemann-Integrale 328 14.4 Der Rieszsche Darstellungssatz 331 14.5 Komplexwertige Maòe 338 14.6 Aufgaben und Bemerkungen 15 Lp -Răaume 343 15.1 Einige Ungleichungen 343 15.2 Vollstăandigkeit 345 15.3 Der Satz von Lebsgue-Radon-Nikodym 348 15.4 Aufgaben 351 16 Produktintegral IV 340 355 16.1 Vorbemerkungen 355 16.2 Produktmaòe 357 16.3 Der Satz von Fubini 360 16.4 Aufgaben und Bemerkungen 363 Integration auf Mannigfaltigkeiten 17 Differentialformen 17.1 Mannigfaltigkeiten 365 367 367 Anhang A Existenz der reellen Zahlen Die reellen Zahlen wurden in diesem Buch als Dezimalzahlen ohne NeunerEnden eingefuhrt, wobei ein strenger Beweis, dass sie zum Beispiel den ă Korperaxiomen genugen, nicht gefuhrt wurde Dies ist in der Tat moglich, ă ă ă ă aber sehr muhsam und nicht besonders lehrreich Wenn man die reellen ă Zahlen effektiv konstruieren mochte, geht man daher meist einen anderen ă Weg Eine gebrăauchliche Methode ist die der sogenannten Dedekindschen Schnitte Hierbei nutzt man aus, dass eine reelle Zahl x durch die rationalen Zahlen, die groòer als x sind, eindeutig festgelegt ist, die Zahl x ist also ă durch die Menge (x, ) Q bestimmt Diese Konstruktion von R wird in diesem Kapitel ausgefuhrt, gefolgt von dem Beweis, dass der Korper der ă ă reellen Zahlen durch die Eigenschaft, ein Dedekind-vollstăandiger Korper zu ă sein, eindeutig festgelegt ist Am Ende wird schlieòlich aus den Axiomen gefolgert, dass reelle Zahlen Dezimalentwicklungen haben A.1 Existenz der reellen Zahlen Ausgehend von der Menge der rationalen Zahlen Q wird hier eine Konstruktion des Korpers der reellen Zahlen angegeben, die es ermoglicht, die ă ă Korperaxiome und die Vollstăandigkeit leicht nachzuweisen Die Konstruktiă on beginnt mit dem angeordneten Korper der rationalen Zahlen Es werden ă also im folgenden die Intervalle (a, b) als Teilmengen von Q aufgefasst Zur besseren Unterscheidung schreibt man dann (a, b)Q fur ă die Menge aller rationalen Zahlen r Q mit a < r < b Definition A.1.1 Ein Dedekindscher Schnitt ist eine Teilmenge S Q, die kein Minimum hat und fur ă die unter der Anordnung nach oben abge407 â Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9 408 ANHANG A EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN schlossen ist, d.h., es gilt x S, x < y y S Beispiele A.1.2 Fur ă jede rationale Zahl r Q ist das offene Intervall Sr = (r, )Q ein Dedekindscher Schnitt Hingegen ist das abgeschlossene Intervall [r, )Q kein Dedekindscher Schnitt, da es ein Minimum hat Sei T = {x Q : x > 0, x2 > 2} Es ist leicht einzusehen, dass T ein Dedekindscher Schnitt ist Dieser wird die Rolle von spielen Sei R die Menge aller Dedekindschen Schnitte Die Abbildung : Q R, die r Q auf Sr abbildet, ist injektiv, also kann man Q als Teilmenge von R auffassen Es wird im Folgenden gezeigt, dass R ein Dedekind-vollstăandiger angeordneter Korper ist und dass Q ein angeordneter Unterkorper von R ă ă ist Lemma A.1.3 Sind S, T Q zwei Dedekindsche Schnitte, so ist S + T = s + t : s S, t T ein Dedekindscher Schnitt Die Menge R wird mit dieser Verknupfung ă eine abelsche Gruppe Das neutrale Element ist S0 Fur ă zwei rationale Zahlen r, s Q gilt Sr + Ss = Sr+s Beweis Das Assoziativgesetz S + (T + U) = (S + T) + U und das Kommutativgesetz S + T = T + S gelten fur ă Elemente und damit auch fur ă Dedekindsche Schnitte Um einzusehen, dass das Element S0 neutral ist, muss man fur ă einen beliebiges S R zeigen, dass S + S0 = S gilt Sei hierzu s S und r S0 , also r > 0, dann ist s + r > s S, also s + r S und so S + S0 S Sei umgekehrt s S Da S kein Minimum hat, gibt es s S mit s < s, also s = s + r mit r > 0, so dass S + S0 S folgt, insgesamt also S + S0 = S Damit ist S0 neutral in R Zur Konstruktion des Inversen: sei S ein Dedekindscher Schnitt Sei S die Menge aller s Q so dass es ein (s ) > in Q gibt mit der Eigenschaft dass s + s > (s ) fur ă jedes s S gilt Es ist nun zu zeigen, dass S ein Die Inklusion S + S S0 Dedekindscher Schnitt ist, der S + S = S0 erfullt ă ist nach Definition klar Sei also r S0 , also r > Ist s S und ist auch s r S, so ersetze s durch s r und wiederhole diesen Vorgang Da S Q, bricht dieses Verfahren ab und man erhăalt ein s S, so dass s r S Wegen r = s + (r s) reicht es zu zeigen, dass r s in S liegt Sei also s1 S, so ist zu A.1 EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN 409 zeigen, dass s1 + (r s) > ist Dies ist aber gleichbedeutend mit s1 > s r, was wegen s r S klar ist Insgesamt folgt also S + S = S0 , so dass S das Inverse zu S ist Es bleibt zu zeigen, dass S auch ein Dedekindscher Schnitt ist Die Eigenschaft y > x S y S ist nach Definition klar Dass S nichtleer und ungleich Q ist, ist leicht einzusehen und soll dem ă Leser als Ubungsaufgabe uberlassen bleiben Bleibt zu zeigen, dass S kein ă Minimum hat, dies folgt allerdings daraus, dass mit s S und einem (s ) gewăahlten (s ) > das Element t = s ebenfalls in S liegt Man kann in diesem Fall (t) = (s )/2 wăahlen Als năachstes sei die Anordnung auf R definiert durch ST S T Fur ă r, t Q ist dann r t aă quivalent zu Sr St Aus der Definition Dedekindscher Schnitte folgt sofort, dass R mit dieser Ordnung linear geordnet ist, d.h., fur ă zwei Dedekindsche Schnitte S, T gilt stets S T oder S T Die Multiplikation wird zunăachst auf der Teilmenge R+ aller S > S0 definiert Seien also S, T > Dedekindsche Schnitte, also insbesondere S, T S0 Setze ST = st : s S, t T Analog zum Fall der Addition stellt man fest, dass R+ mit dieser Multiplikation eine Gruppe bildet, das neutrale Element ist S1 und das Inverse zu S R+ ist S1 = {s1 : s S} Da Multiplikation und Addition elementweise distributiv sind, gilt fur ă S, T, U R+ , S(T + U) = ST + SU Hieraus ergibt sich leicht, dass man die Multiplikation auf ganz R eindeutig zu einer assoziativen Verknupfung fortsetzen kann, die das Distributivgeă setz auf ganz R erfullt ă Satz A.1.4 Mit diesen Verknupfungen ă ist R ein Dedekind-vollstăandiger Kăorper Beweis Die Korperaxiome und die Anordnungsaxiome sind klar Es ist nur ă die Vollstăandigkeit zu beweisen Ist M eine nach unten beschrăankte Menge von Dedekindschen Schnitten, dann ist S= T TM 410 ANHANG A EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN ebenfalls ein Dedekindscher Schnitt, der eine untere Schranke zu M ist Ist S eine zweite untere Schranke, dann enthăalt S jedes T M, also folgt S S, damit ist S die groòte untere Schranke, also das Infimum Es hat also jede ă nach unten beschrăankte Menge ein Infimum und durch Multiplikation mit (1) folgt, dass jede nach oben beschrăankte Menge ein Supremum hat, damit ist R ein Dedekind-vollstăandiger Korper ă A.2 Eindeutigkeit Satz A.2.1 Seien K und L zwei Dedekind-vollstăandige Kăorper, dann existiert eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung : K L so dass (a + b) = (a) + (b), und (ab) = (b)(b), sowie (1) = und ab (a) (b) Man sagt dazu, dass K und L als angeordnete Kăorper isomorph sind Es hat zur Folge, dass K und L in der Theorie der angeordneten Kăorper nicht mehr unterscheidbar sind Beweis Zunăachst zur Existenz Sei a K Das Intervall (, a) ist nach oben beschrăankt Also ist auch die Menge Ma = (, a) Q nach oben beschrăankt Da es zwischen a und a + rationale Zahlen gibt, existiert auch obere Schranke fur der rationalen Zahlen liegt ă M, die in Q liegt Der Korper ă kanonisch sowohl in K als auch in L Die Menge M kann also auch als Teilmenge von L aufgefasst werden und da sie obere Schranken in Q hat, ist sie auch in L nach oben beschrăankt Damit ist die folgende Definition einer Abbildung : K L sinnvoll: (a) = sup (Q (, a)) L Da a b Ma Mb , folgt a b (a) (b) Zu jedem a K existiert eine monoton wachsende Folge (an ) in Q, die in K gegen a konvergiert und fur ă jede solche Folge gilt (a) = (limn an ) = limn (an ) Hiermit folgt wegen Satz 3.1.16, dass (a + b) = (a) + (b) und (ab) = (b)(b) gilt Damit ist die Existenzaussage des Satzes bewiesen Zum Beweis der Eindeutigkeit sei eine weitere solche Abbildung, dann stimmen und wegen der Additivităat auf Z und dann wegen der Multiplikativităat auch auf Q uberein ă A.3 DEZIMALZAHLEN 411 Da bijektiv und ordnungstreu ist, gilt sup (M) = (sup M) fur ă jede nach oben beschrăankte Menge M und damit folgt = A.3 Dezimalzahlen Die Menge R der reellen Zahlen wird hier als die Menge aller Dedekindschen Schnitte wie in Abschnitt A.1 betrachtet Dann ist R ein Dedekindvollstăandiger Korper ă Satz A.3.1 Fur ă jede reelle Zahl a gibt es genau eine regulăare Dezimalzahl j (a j ) jN so dass die Reihe Nj= a j 10 j = j=N aj 10 gegen a konvergiert Beweis Sei a in R gegeben Fur ă jedes k N ist die Gauò-Klammer [10k a] eine ganze Zahl, die sich in der Form [10k a] = ak, j 10 j j=0 mit eindeutig bestimmten Koeffizienten ak, j {0, , 9}, die fast alle Null sind, schreiben lăasst Es wird nun gezeigt, dass fur ă jedes N und j gilt ak+, j+ = ak, j Hierzu beachte, dass fur ă jedes x gilt x [x] [0, 1) Indem man dies fur ă x = 10 a anwendet und dann durch 10 dividiert, erhăalt man [10 a] a 10 [0, 10 ) Es folgt [10 a] [10 a] [a] = a [a] a (10 , 1) 10 10 Nun ist [10 a] 10 = j j= ak+, j+ 10 j=0 Es folgt, dass die Zahl (ak+, j+ ak,j )10 j + ak+, j+ 10 j j= im Intervall (1, 1) liegt, was fur ă j die Behauptung ak+, j+ = ak, j impliziert Man kann nun die Koeffizienten a j aus dem Satz definieren Zu gegebenem j Z und k N so dass j + k gilt, hăangt der Ausdruck a j = ak, j+k nicht 412 ANHANG A EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN von der Wahl von k ab Ferner gilt a j = 0, falls j N, wobei N N mit a < 10N gewăahlt ist Es ist nun zu zeigen, dass N a j 10 j a= j= gilt Da die Koeffizienten beschrăankt sind, konvergiert die Reihe in R Fur ă beliebiges k N gilt N a j=1k a j 10 j = a j=1k a j 10 j = 10k 10k a = 10k 10k a j=1 a j 10 j+k j=1k a jk 10 j = 10k 10k a ak, j 10 j j=1 = 10k 10k a [10k a] + ak,0 101k Der Beweis, dass die so definierte Dezimalzahl regulăar ist und eindeutig ă bestimmt sei dem Leser zur Ubung gelassen Anhang B Vollstăandigkeit In manchen Lehrbuchern findet sich statt der Dedekind-Vollstăandigkeit der ă reellen Zahlen die Forderung, dass Cauchy-Folgen konvergieren, also Folgenvollstăandigkeit Dieser Vollstăandigkeitsbegriff hat den Vorteil, im Wesentlichen mit dem analogen Begriff fur ă metrische Răaume ubereinzustimmen, ă aber den Nachteil, dass man das archimedische Prinzip als separates Axiom fordern muss B.1 Cauchy-Vollstăandigkeit Ein angeordneter Korper K heiòt Cauchy-vollstăandig, wenn jede Cauchyă Folge in K konvergiert Beispiele B.1.1 Der Korper der reellen Zahlen ist Cauchy-vollstăandig, wie in Satz ă 3.1.30 bewiesen wurde Der Korper Q ist nicht Cauchy-vollstăandig Um dies einzusehen wăahle ă eine reelle Zahl a R, die nicht in Q liegt, etwa a = Nach Satz 3.1.8 existiert eine Folge (rn ) in Q, die in R gegen a konvergiert Dann ist (rn ) eine Cauchy-Folge nach Satz 3.1.30 Sie konvergiert aber nicht in Q, da ihr eindeutig bestimmter Limes in R Q liegt Definition B.1.2 Sei K ein angeordneter Korper Dann kann man die Menge ă N der naturlichen Zahlen als eine Teilmenge von K auffassen Man sagt, K ă ist archimedisch oder archimedisch angeordnet, falls in K die Menge N nach oben unbeschrăankt ist, falls es also zu jedem x K ein n N mit n > x gibt 413 â Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9 ă ANHANG B VOLLSTANDIGKEIT 414 Nach Satz 2.5.5 ist R und damit auch Q archimedisch angeordnet Beispiel B.1.3 Zur Vervollstăandigung des Weltbildes hier nun ein Beispiel eines nicht-archimedisch angeordneten Korpers Sei Q[x] die Menge aller ă De in der Unbestimmten x Man kann De addieren und multiplizieren und es gelten die Korperaxiome bis auf die Tatsache, dass nicht jedes Element ă invertierbar ist Man sagt in diesem Fall, dass Q[x] ein Ring ist Fur ă diesem Ring definiert man eine Anordnung in der x groòer ist als jede rationale ă Zahl Genauer sei p(x) = a0 + a1 x + ã ã ã + an xn ein D mit an 0, so definiert man p(x) > an > Fur ă zwei De p, q setzen wir p(x) > q(x) p(x) q(x) > Man verifiziert nun leicht die Anordnungsaxiome fur ă Q[x] Sei Q(x) der p(x) Korper aller rationaler Funktionen q(x) wobei p und q De sind und q nicht ă das NullD ist Formal ist Q(x) die Menge aller Paare (p, q) in Q[x]ì(Q[x] {0}) ă modulo der Aquivalenzrelation (p, q) (, ) p = q p Man schreibt die Elemente von Q(x) in der Form q statt (p, q) und verifiziert, p dass Q(x) ein Korper ist und Q[x] ein Unterring Da stets gilt q = ă man stets q > annehmen Unter dieser Maògabe definiert man p < q (1)p (1)q , kann p < q Dann ist Q(x) ein angeordneter Korper Da x > r fur ă ă jedes r Q gilt, ist insbesondere x > n fur also nicht archimedisch ă jedes n N, der Korper ă angeordnet Satz B.1.4 Sei K ein angeordneter Kăorper Dann sind aă quivalent: (a) K ist Dedekind-vollstăandig, (b) K ist Cauchy-vollstăandig und archimedisch Nach Satz A.2.1 sind beide Eigenschaften dann auch aă quivalent dazu, dass K isomorph zu R ist ă B.1 CAUCHY-VOLLSTANDIGKEIT 415 Beweis Ist K Dedekind-Vollstăandig, so ist K isomorph zu R und damit archimedisch nach Satz 2.5.5 und Cauchy-vollstăandig nach Satz 3.1.30 Sei nun umgekehrt K Cauchy-vollstăandig und archimedisch Es ist zu mussen zeigen, dass K Dedekind-vollstăandig ist Sei also M K ă nach oben beschrăankt und sei b0 eine obere Schranke Sei a0 M beliebig Man konstruiert nun eine Folge von Intervallen [an , bn ] so dass [an+1 , bn+1 ] [an , bn ], dass jedes bn eine obere Schranke fur ă M ist und je1 des an in M liegt Es gilt bn an 2n (b0 a0 Ferner sind beide Folgen Cauchy-Folgen mit einem gemeinsamen Limes, der ein Supremum fur ă M ist n Die Konstruktion ist induktiv Sei [an , bn ] bereits konstruiert Sei = an +b das arithmetische Mittel Ist eine obere Schranke zu M, so setze an+1 = an und bn+1 = Andernfalls setze an+1 = und bn+1 = bn Es ist nun an an+1 bn+1 bn und bn+1 an+1 12 (bn an ) so dass induktiv bn an 21n (b0 a0 ) folgt Da nach dem archimedischen Prinzip die Folge 21n eine Nullfolge ist, folgen die Behauptungen Der Korper K ist also ă Dedekind-vollstăandig Literaturverzeichnis [BJ90] Theodor Brocker and Klaus Jăanich, Einfuhrung ă in die Differentialtopologie, Univeră sitext, Springer, Heidelberg, 1990 ă [Con83] John H Conway, Uber Zahlen und Spiele, Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1983 (German) Translated from the English by Brigitte Kunisch [Deis04] Oliver Deiser, Einfuhrung ă in die Mengenlehre, 2nd ed., Springer-Lehrbuch [Springer Textbook], Springer-Verlag, Berlin, 2004 (German) Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo [The set theory of Georg Cantor and its axiomization by Ernst Zermelo] [Deit05] Anton Deitmar, A first course in harmonic analysis, 2nd ed., Universitext, SpringerVerlag, New York, 2005 MR2121678 (2006a:42001) [DE09] Anton Deitmar and Siegfried Echterhoff, Principles of harmonic analysis, Universitext, Springer, New York, 2009 [EHH+ 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Seebach Jr., Counterexamples in topology, Dover Publications Inc., Mineola, NY, 1995 Reprint of the second (1978) edition [vQ79] Boto von Querenburg, Mengentheoretische Topologie, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1979 (German) Hochschultext [University Text] [War83] Frank W Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol 94, Springer-Verlag, New York, 1983 Corrected reprint of the 1971 edition MR722297 (84k:58001) 417 â Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9 Index C1 -invertierbar, 228 O(n), 227 N, N0 , Q, T, 94 Z, --Kriterium, 81 -messbar, 306 d dx j f , 192 x j f , 192 à-Nullmenge, 313 à-fast uberall, 313 ă à-singulăarer Teil, 349 -Algebra, 295 -additiv, 302 -endlich, 318, 349 -positive Menge, 339 ek (x) = e2ikx , 160 k-mal partiell differenzierbar, 193 k-mal stetig partiell differenzierbar, 193 k-te Wurzel, 84 n-Sphăare, 368 C, 87 ă Aquivalenzklasse, 14 ă Aquivalenzrelation, 13 aă quivalent, 14, 187 aă uòeres Maò, 305 Abbildung, abelsche Gruppe, 29 abgeschlossen, 170 abgeschlossene Abbildung, 256 abgeschlossene Intervall, 37 abgeschlossenen Ball, 170 Ableitung, 99 Abschluss, 171, 255 absolut gleichmăaòig, 146 absolut konvergent, 62, 90 absolut stetig, 348 Absolutbetrag, 36 Abstandsfunktion, 163 abzăahlbar, 56 abzăahlbar subadditiv, 305 abzăahlbar-coabzăahlbar, 296 Addition, 29 Additionstheoreme, 92 Algebra, 272, 316 allgemeine Potenz, 85 Allquantor, am Ende konstant, 47 angeordneter Korper, 33 ă archimedisch, 413 archimedisch angeordnet, 413 assoziativ, 11 asymptotisch gleich, 138 axiomatische Darstellung, 27, 28 Axiome, 28 Baire-Raum, 282 Ball, 168 Banach-Raum, 185, 270, 346 Basis, 267 Basis der Topologie, 262 beschrăankt, 37, 49, 177 beschrăankte Funktion, 80, 118 Bestimmten Divergenz, 48 Betrag, 89 bijektiv, Bild, Binomialkoeffizient, 18 Binomialkoeffizienten, 20 Borel--Algebra, 296 Borel-Maò, 303 Borel-messbar, 298 Borel-messbare Mengen, 296 Cantor-Diskontinuum, 313 418 â Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9 INDEX Cauchy-Folge, 54, 90, 164 Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 276 Cauchy-vollstăandig, 413 charakteristische Funktion, 8, 316 Co-endlich-Topologie, 172, 254 de Rham Kohomologie, 400 Dedekind-vollstăandig, 39 Dedekindscher Schnitt, 407 dicht, 282 Dichte, 73 dichte Teilmenge, 165 Diffeomorphismus, 370 Differential, 194 Differentialgleichung, 239 differenzierbar, 99, 194 Dirac-Folge, 224 Dirac-Kamm, 332 disjunkt, diskrete Metrik, 163 diskrete Topologie, 172, 254 divergent, 48 divergiert gegen +, 48 dominierte Konvergenz, 326 Dreiecksungleichung fur ă Integrale, 122 Dreieckszahlen, 46 Durchmesser, 177 Durchschnitt, Dynkin-System, 355 Einbettungssatz von Whitney, 384 einfache Funktion, 302 Einheitskreis, 164 Einpunktkompaktifizierung, 271 einschlieòendes Oder, einseitige Limiten, 77 einseitigen Ableitung, 100 Elemente, endliche Schnitteigenschaft, 258 endliche Teiluberdeckung, 176 ă endliches Maò, 303 ersten Abzăahlbarkeitsaxiom, 262 erweiterten reellen Zahlen, 48 erzeugte -Algebra, 296 erzeugte Dynkin-System, 356 erzeugte Topologie, 261 euklidische Abstand, 184 euklidische Norm, 184 419 Eulersche Zahl, 70 Existenzquantor, Exponentialreihe, 69 Fakultăat, 17 Faltung, 222 Faltungsprodukt, 161 Familie, fast uberall, 313 ă fast alle, 90 Feinheit, 124 Fibonacci-Zahlen, 22, 46 Final--Algebra, 363 Final-Topologie, 265 Fixpunkt, 114, 208 Folge, 45 Folgenglieder, 45 Folgenvollstăandigkeit, 413 Folgerung, Fourier-Koeffizienten, 156 Fourier-Reihe, 156 Fourier-Transformierte, 159 Funktion, 8, 75 Funktional-Matrix, 195 ganze Zahlen, Gauò-Klammer, 41 geometrische Reihe, 60 gerechte Teilung, 236 gerichtet, 285 glatt, 140, 153 glatte Abbildung, 370 glatte Karte, 369 gleich, gleichgradig stetig, 181 gleichmăaòig, 143, 174 gleichmăaòig beschrăankt, 182 gleichmăaòig stetig, 82, 180 globales Maximum, 105 globales Minimum, 105 Grad, 52 Gradient, 198 Grenzwert, 47 Hăaufungspunkt, 72, 187, 318 Holder-Ungleichung, 344 ă halbstetig von unten, 140 Hausdorff-Raum, 254 Hesse-Matrix, 202 420 Hilbert-Raum, 276 holomorphe Funktion, 395 homoomorph, 256 ă Homoomorphismus, 256 ă homogenes System, 248 Identităat, Imaginăarteil, 88 indefinit, 204 Indexmenge, Indikatorfunktion, 8, 76 Infimum, 40 inhomogenes System, 248 Initial--Algebra, 363 Initialtopologie, 263 injektiv, Integral, 116, 319, 320 Integral uber K, 231 ă integrierbar, 324 inverse Abbildung, 12 invertierbar, 12 isolierter Punkt, 77 isoliertes lokales Maximum, 204 Isometrie, 165 isomorph, 410 Isomorphismus metrischer Răaume, 165 Jacobi-Matrix, 195 Korper, 29 ă kartesische Produkt, 13 Kegel, 325 Koeffizienten, 51 kommutatives Diagramm, 11 kompakt, 176, 258 Kompakt-Offen-Topologie, 290 kompakter metrischer Raum, 176 kompaktes Intervall, 80 Kompaktifizierung, 271 Komplement, 21 komplexe Konjugation, 88 komplexe Zahlen, 87 komplexwertiges Maò, 338 Komposition, 10 konkav, 108 konstante Folge, 45 Kontraktion, 209 konvergent, 46, 90 konvergent gegen z C, 89 INDEX Konvergenzradius, 149 konvergiert, 285 konvergiert gegen +, 48 konvex, 108, 236 Koordinatenableitungen, 372 kritischen Streifen, 135 Lăange, 37 Lagrange-Form, 151 Laplace-Operator, 405 Laurent-Polynom, 289 Lebesgue, Satz von, 326 Lebesgue--Algebra, 309 Lebesgue-integrierbar, 324 Lebesgue-Maò, 303 Lebesgue-messbar, 309 Lebesgue-Nullmenge, 313 Lebesgue-Zerlegung, 350 Lebesguesche aă uòere Maò, 308 Limes, 47 Limes inferior, 72, 300 Limes superior, 72, 300 linear geordnet, 266 linear unabhăangig, 267 lineare Abbildung, 174 Lipschitz-Bedingung, 242 Lipschitz-Konstante, 172 Lipschitz-Konstanten, 242 Lipschitz-stetig, 172 logarithmisch konvex, 136 lokal gleichmăaòig, 188 lokal-endlich, 332 lokal-gleichmăaòige Konvergenz, 180 lokale Koordinaten, 372 lokalen Lipschitz-Bedingung, 242 lokales Extremum, 105, 204 lokales Maximum, 105, 203 lokales Minimum, 105, 203 lokalkompakt, 259 lokalkonstant, 243 Maòraum, 303 maximales Element, 266 Maximum, 36, 38, 80 Menge, Mengendifferenz, messbare Abbildung, 297 messbare Funktion, 299 INDEX messbare Mengen, 296 Messraum, 296 Metrik, 163 metrischer Raum, 164 Minimum, 38 Minkowski-Ungleichung, 344 monoton, 53, 304 monoton fallend, 53 monoton wachsend, 53 nach oben beschrăankt, 37, 49 naturlichen Zahlen, 3, 6, 27 ă negativ, 34 negativ definit, 204 negativ semidefinit, 204 Negativteil, 122 Netz, 285 nimmt ihr Maximum an, 80 nirgends dicht, 318 Norm, 183, 276 normierter Vektorraum, 183 Nullfolge, 49 Nullfunktion, 313 Nullmenge, 313, 338 Nullstelle, 79 obere Schranke, 37, 266 Oberintegral, 118 ă offene Uberdeckung, 176 offene Abbildung, 256 offene Intervall, 37 offene Teilmenge, 168 offene Umgebung, 169, 254 offenen Mengen, 172, 253 offenen Rechtecke, 264 offenen Umgebungsbasis, 262 offener Ball, 169 ONB, 277 ONS, 277 orthogonal, 227 Orthogonalraum, 278 Orthonormalbasis, 277, 279 Orthonormalsystem, 277 paarweise disjunkt, Parităat, 13 Partialsummen, 59 partiell differenzierbar, 191 partielle Ableitung, 191 421 partielle Differentialgleichungen, 239 partielle Ordnung, 284 Partition, 318 perfekt, 318 Periode, 156 periodisch, 156 Permutation, 13 Picard-Lindelof-Methode, 246 ă Poissonsche Summenformel, 160 Polarkoordinaten, 95, 229 Polynomfunktion, 51 positiv, 34 positiv definit, 204 positiv orientiert, 387 positiv semidefinit, 204 positive Maòe, 338 positives Funktional, 220 positives lineares Funktional, 331 Positivteil, 122 Potenzmenge, Potenzreihe, 148 Prăa-Hilbert-Raum, 276 Prinzip der guten Mengen, 361 Produkt, 13 Produktmaò, 358 Produkttopologie, 263 Produktzeichen, 17 Punktderivationen, 372 Punktmaò, 303 punktweise, 143 punktweise Limes, 300 Quotiententopologie, 265 Radon-Maò, 333 Radon-Nikodym-Dichte, 350 rationale Funktion, 75 rationalen Zahlen, 6, 27 Realteil, 88 Regelfunktion, 162 regulăar von auòen, 311 regulăar von auòen , 333 regulăar von innen, 311 Reihe, 59 Relation, 13 relativ kompakt, 260 relativ zu T disjunkt, 175 Richtungsableitung, 198 422 Riemann Hypothese, 135 Riemann-integrierbar, 118 Riemannsche Summe, 124 Riemannsche Zeta-Funktion, 134 Ring, 414 Russelsche Antinomie, 23 Sattelpunkt, 205 Satz von Lebesgue, 326 schnell fallend, 157 schnittstabil, 355 schwach regulăar von innen , 333 Schwartz-Funktion, 159 Skalarprodukt, 276 stuckweise stetig differenzierbar, 280 ă Stammfunktion, 127 starke Cauchy-Folge, 166 stetig, 91, 256 stetig differenzierbar, 129, 197, 233 stetig im Punkt, 76 stetig im Punkt x, 257 stetig in a X, 172 stetig partiell differenzierbar, 191 stetig von oben, 304 stetig von unten, 304 stetige Abbildung, 172, 173 stetige Funktion, 76 streng cofinal, 286 strenges lokales Maximum, 107 strikt negativ, 34 strikt positiv, 34 subadditiv, 73 Summenzeichen, 17 summierbar, 66 Supremum, 38 Supremumsaxiom, 40 Supremumsnorm, 146, 184 surjektiv, symmetrische Differenz, 21 System von Differentialgleichungen, 240 Tangens, 95 Tangentialraum, 370 Taylor-Reihe, 153 Teilfolge, 58 Teilmenge, Teilnetz, 286 Teilraumtopologie, 255 INDEX Topologie, 171, 253 Topologie-Basis, 262 topologischer Raum, 172, 253 Torus, 368 Totalvariation, 339 Trăager, 218 translatierte Funktion, 219 translationsinvariant, 220 Treppenfunktion, 115 triviale Topologie, 172, 253 Umgebung, 169, 254 Umgebungsbasis, 262 Umkehrabbildung, 12 umkehrbar, 12 Umordnung, 65 Unteralgebra, 272 Unterintegral, 118 Urbild, 21, 173 Urysohns Lemma, 260 Vektorfeld, 232, 374 Vereinigung, Verfeinerung, 115 Verklebung, 265 verschwindet im Unendlichen, 269 Vertretersystem, 310 Vervollstăandigung, 165, 315 vollstăandig, 90, 164 vollstăandiges ONS, 277 Volumen, 231 von zweiter Kategorie, 282 Wahrheitstafeln, Weg, 175 wegzusammenhăangend, 175 wesentliche Schranke, 345 wohlgeformte Formeln, 23 wohlgeordnet, 22 Wurzelkriterium, 73 Zăahlmaò, 303 zentriert, 374 Zerlegung, 115 Zuruckziehung, 381 ă zusammenhăangend, 175 Zusammenhangskomponente, 188 zweimal partiell differenzierbar, 193 zweiten Abzăahlbarkeitsaxiom, 262 ...Springer-Lehrbuch Anton Deitmar Analysis 2., durchgesehene Auflage Anton Deitmar Mathematisches Institut Universitọt Tỹbingen Tỹbingen, Deutschland... Mathematiker das Zeichen verwendet, das man als wenn dann â Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9_1 KAPITEL MENGENTHEORETISCHE GRUNDLAGEN... 183 8.8 Aufgaben 187 Mehrdimensionale Reelle Analysis Differentialrechnung im Rn 189 191 9.1 Partielle Ableitungen 191