Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC BA (Phần 2) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Cho hàm số y x3 (1 2m) x (2 m) x m (C) Tìm m để hàm số có CĐ, CT thỏa mãn x1 x2 , với x1 ; x2 hoành độ điểm cực trị Lời giải: Ta có: y ' 3x 2(1 2m) x (2 m) Hàm số có CĐ, CT y ' có nghiệm phân biệt m ' (1 2m) 3(2 m) 4m m (*) m 1 2 Với điều kiện (*), gọi x1 x2 nghiệm phân biệt y’ = Hàm số đạt cực trị điểm x1 ; x2 2(1 2m) x1 x2 Áp dụng định lí viet, ta có: x x m Ta có: x1 x2 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 1 2m 12 m 16m 4m 21 m Kết hợp (*), ta suy m 85 85 m 8 29 m 1 1 3sin 2a Bài Cho hàm số f ( x) x3 (sin a cosa) x x Tìm a để hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 x12 x22 Lời giải: Ta có: f ( x) x (sin a cosa) x 3sin 2a Hàm số có CĐ, CT f ( x) có nghiệm phân biệt a không thỏa mãn (1) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chun đề 02 Hàm số toán liên quan Với điều kiện f’(x) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , hàm đạt cực trị x1 , x2 Théo viet ta có: x1 x2 sin a cos a; x1.x2 3sin2a Điều kiện x1 x2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1.x2 sin a cos a sin a cos a 3sin2a (2) Đặt t sin a cos a 2cos a sin 2a t , đk nên t t 2 4 t Khi (2) trở thành: t t (t 1) t 2t t 3 So sánh điều kiện suy có t = thỏa mãn, nên a k 2 cos a cos (k Z ) a k 2 4 Bài Cho họ đường cong bậc ba (Cm) có phương trình y = x3 + mx2 m a Với m=3 Gọi A B điểm cực đại cực tiểu (C) M điểm cung AB với M khác A, B Chứng minh (C) ta tìm hai điểm có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến M với (C) b Định m để (Cm) có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Lời giải: a Gọi n hồnh độ M Vì hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = nên < n < 2; y' = – 3x2 + 6x hệ số góc tiếp tuyến M k1 = – 3n2 + 6n (0, 3] (vì n (0, 2)) Đường thẳng vng góc với tiếp tuyến M có hệ số góc k2 = (với < k1 3) k1 Hồnh độ tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến M nghiệm – 3x2 + 6x = (= k2) 3x2 – 6x k1 = k1 Phương trình có a.c < 0, k1 (0, 3] nên có nghiệm phân biệt, k1 (0, 3] Vậy (C) ln có điểm phân biệt mà tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến M b Hàm có cực trị y' = có nghiệm phân biệt 3x2 = 2mx có nghiệm phân biệt x = x = 2m nghiệm phân biệt Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan m Khi đó, ta có : 2 1 y m2 x m x m y ' 9 3 phương trình đường thẳng qua cực trị là: y m2 x m (với m 0) Bài Cho hàm số: y mx 3mx (2m 1) x m (Cm ) Tìm tất giá trị m cho hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu (Cm ) qua điểm cố định Lời giải: y 3mx 6mx 2m Hàm số có cực đại, cực tiểu y có nghiệm phân biệt m 9m2 3m(2m 1) m m Chia y cho y’, ta kết quả: x 1 2m 10 m 2m 10 m phương trình đường thẳng qua điểm cực y x y x 3 3 trị Đường thẳng qua điểm I ( ;3) cố định y Bài Cho hàm số y f x 2x3 - 3 2m 1 x 6m m 1 x (1) a Tìm quỹ tích điểm uốn b Tìm quĩ tích điểm cực đại c Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại cực tiểu đồ thị Lời giải: a y’ 6x - 2m 1 x 6m m 1 y” 12x - 2m 1 , y” x 2m y” đổi dấu x biến thiên qua (2m + 1)/2 2m Vậy điểm uốn U , Từ x 2m f 2m 2x 1 suy m , thay vào phương trình y = f(x) ta thu y x3 x 2 Vậy quĩ tích đồ thị hàm y x3 x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH đảm bảo mơn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên đề 02 Hàm số toán liên quan x m b y’ x - 2m 1 x m m 1 , y’ x m 1 Đó hai nghiệm phân biệt rõ ràng y’(x) < x (m, m + 1) y’(x) > x (, m) (m 1, +) Vậy hàm ln có cực đại cực tiểu x = m x = m + tương ứng Điểm cực đại (m, f(m)) Khử m cách thay m = x, vào (1) ta y = 2x3 + 3x2 + Vậy đồ thị hàm y = 2x3 + 3x2 + quĩ tích điểm cực đại hàm số m thay đổi c Trung điểm đoạn nối điểm cực đại cực tiểu điểm uốn, mà quĩ tích biết câu a Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - ... đề 02 Hàm số tốn liên quan Với điều kiện f’(x) có nghiệm phân biệt x1 , x2 , hàm đạt cực trị x1 , x2 Théo viet ta có: x1 x2 sin a cos a; x1.x2 3sin2a Điều kiện x1 x2 x 12 x 22 ... Lời giải: a y’ 6x - 2m 1 x 6m m 1 y” 12x - 2m 1 , y” x 2m y” đổi dấu x biến thiên qua (2m + 1) /2 2m Vậy điểm uốn U , Từ x 2m f 2m 2x... +) Vậy hàm có cực đại cực tiểu x = m x = m + tương ứng Điểm cực đại (m, f(m)) Khử m cách thay m = x, vào (1) ta y = 2x3 + 3x2 + Vậy đồ thị hàm y = 2x3 + 3x2 + quĩ tích điểm cực đại hàm số m