Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN MỘT VÀI VÍ DỤ MỞ ĐẦU VỀ GTLN, NN TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: PHAN HUY KHẢI Trong mục tơi giới thiệu vài tốn GTLN, GTNN hàm số, thơng qua tơi muốn đề cập đến phương pháp để giải tốn chúng trình bày kỹ lưỡng giảng thuộc chuyên đề Bài toán (TSĐH B 2002) Cho hàm số y x x2 Tìm GTLN, GTNN hàm số tập xác định Lời giải: Cách 1: Phương pháp bất đẳng thức TXĐ: 2 x f ( x) 2 x 2 Ta có: f ( x) 2 x = -2 x f (2) 2 Ta CM f ( x ) 2 : f ( x) 2 x2 2 x x2 (2 x)2 ( x 2)2 (vì x 2 x ) Vậy max f x 2 x Nhận xét: Cách giải gọi phương pháp bất đẳng thức Ta sử dụng BĐT Bunhiacopski để giải sau: f ( x) ( x.1 x 1)2 x (4 x ) 11 12 f ( x) 2 Vậy max f x 2 x Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN Cách 2: Phương pháp chiều biến thiên x2 x 2 x f '( x) x2 Ta có: x2 x 0 2x2 f '( x) x2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f ( x) f ( 2) 2 f ( x) min{ f (2); f (2)} 2 Cách 3: Phương pháp lượng giác hóa Đặt: x 2sin (do x 2), F ( ) 2sin 4sin 2sin cos 2sin cos 2 cos( ) 3 Do cos( ) 2 4 4 F ( ) 2 max f ( x) 2 f ( x) 2 Bài toán (TSĐH D 2008) Cho x, y khơng âm Tìm GTLN, GTNN P ( x y )(1 xy ) (1 x) (1 y ) Lời giải: Cách 1: Phương pháp BĐT Ta có: ( x y )(1 xy ) x y 2 (1 x) (1 y ) (1 x) (1 y ) x y 2 (1 x) (1 y ) P x (1 x) y 2 4(1 x) (1 y ) (1 x) y y, x 4(1 x) (1 y ) Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN Tương tự: P ( x y )(1 xy ) (1 x) (1 y ) (1 y ) x 1 y, x 2 4(1 y ) (1 x) Tóm lại: x 1; y P x 0; y max P Cách 2: Phương pháp BĐT Ta có: P ( x y)(1 xy) (1 x)2 (1 y)2 Dễ thấy: ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) ( x y )(1 xy ) ( x y )(1 xy ) 2 (1 x) (1 y ) ( x y xy ) ( x y )(1 xy ) P 4( x y )(1 xy ) 1 P 4 P x 1; y P xy xy Lại có: P x y xy x y x 0; y P x 1; y P x 0; y max P Cách 3: Phương pháp lượng giác hóa Ta có: P ( x y )(1 xy ) x y 2 (1 x) (1 y ) (1 x) (1 y) Do x, y khơng âm nên ta đặt Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải x tan , y tan , , P Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN tan tan tan cos tan cos 2 2 (1 tan ) (1 tan ) 2 (sin 2 sin 2 ) 1 P 4 Lại có: sin 2 x 1 P sin y sin 2 x P sin y 1 x 1; y P x 0; y max P Bài toán (TSĐH B 2008) Giả sử x y Tìm GTLN, GTNN P 2( x xy ) xy y Lời giải: Cách 1: Phương phép miền giá trị 2( x xy ) 2( x xy ) P x y 1 2 xy y x xy y TH1: y = suy P = TH2 y khác 0, ta có: x x ( ) y 2(t 6t ) 2( x xy) y P m x xy y ( x )2 x t 2t y y Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Bài tốn trở thành tìm m để phương trình Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN 2(t 6t ) m có nghiệm t 2t Phương trình (m 2)t 2(m 6)t 3m (*) Nếu m = 2, (*) có nghiệm nên m = thỏa mãn Nếu m khác 2, (*) có nghiệm khi: ' 6 m , kết hợp với TH1 ta có: GTLN P 3; GTNN P -6 Cách 2: Phương pháp lượng giác hóa: Do x y nên ta đặt x sin ; y cos , Khi đó: 2sin 12sin cos cos 2 6sin 2 P m 2sin cos cos sin 2 cos 2 (6 m) sin 2 (1 m) cos 2 2m Phương trình có nghiệm khi: (6 m) (1 m) (2m 1) 6 m Từ ta có GTLN P 3; GTNN P -6 Giáo viên : Phan Huy Khải Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - ... chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN Cách 2: Phương pháp chi? ??u biến thiên x2 x ? ?2 x f '( x) x2 Ta có: x2 x 0 2? ??x? ?2 f '(... , P Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN tan tan tan cos tan cos 2 2 (1 tan ) (1 tan ) 2 (sin 2? ?? sin 2 ) 1 P 4 Lại có: sin 2? ?? x 1 ... 1900 58-58- 12 - Trang | - Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải Bài tốn trở thành tìm m để phương trình Bài 02 Một vài ví dụ mở đầu GTLN, NN 2( t 6t ) m có nghiệm t 2t Phương