hoc sinh gioi 1724 merge

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013 Bài 1(5,0 điểm):  1  cos y    sin x  sin x cos y  Giải hệ phương trình sau:  1  2  sin y  sin y  cos x  cos2 x   20 y x y 20 x x y Bài 2(5,0 điểm): Cho dãy số xác định sau: a    a 2 an1   n an ,  n  Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC D,E,F tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ qua điểm cố định Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết đường thẳng Ta thực bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất cặp số kề có đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất lần đường thẳng trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ hai: 12/01/2013 Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013  x  y   f  f  x   f  f  y      f  x   f  y   f  x   f  y  với x, y  R, f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng  thay đổi qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 đường thẳng qua N vuông góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 thuộc đường tròn cố định Bài 7: (6,0 điểm) Tìm tất thứ tự (a, b, c, a′, b′, c′) thỏa mãn ab  a ' b '  1 mod 15 1   ac  a ' c '  mod 15  bc  b ' c '  mod 15   Với a, b, c, a′, b′, c′  {0,1 14}    2 3 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2013 Bài 1(5,0 điểm):  1 20 y  cos y    sin x  2 x y sin x cos y  Giải hệ phương trình sau:  1 20 x  2  sin y  sin y  cos x  cos2 x  x  y  Cách 1: Cách 2: Bài 2(5,0 điểm): Cho dãy số xác định sau: a    a 2 an1   n an ,  Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn n  Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC D,E,F tiếp điểm (I) với BC,CA,AB Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) L khác F Gọi J trung điểm KL a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi cho tỷ số ABAC=k không đổi Gọi M,N tương ứng giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F) MN cắt IB,IC P,Q Chứng minh đường trung trực PQ qua điểm cố định Giải: a) b) Bài 4(5,0 điểm): Cho trước số số tự nhiên viết đường thẳng Ta thực bước điền số lên đường thẳng sau: bước, trước tiên xác định tất cặp số kề có đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau điền vào cặp số bẳng tổng hai số thuộc cặp Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất lần đường thẳng trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1000? b) Các số cho trước là: 1,2, ,1000 xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Giải: a) Ta cần quan tâm đến số ≤2013, tức số đầu hàng, số >2013 không cần quan tâm: Đầu tiên ta viết 1000 Sau bước đầu 1001 1000 Sau bước 1002 1001 2001 1000 Sau bước 1003 1002 2003 Sau bước 1004 1003 2005 1002 Sau bước 1005 1004 2007 1003 Sau bước 1006 1005 2009 Sau bước 1007 1006 2011 Sau bước 1008 1007 2013 Lúc xuất số 2013, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy trở thành: 2013 2012 4023 Sau toàn số hạng xuất tr0ng dãy > 2013 không số 2013 xuất thêm ! Vậy có lần xuất b) Xét cặp số n n + Khi thực thao tác ta có số 2n + Số tiếp tục thao tác với n n+1 Do số tạo thao tác có dạng an + b(n + 1) xn n + yn, xn, yn∈N*,xn − ≥ yn Khi đó, số số 2013 xuất đường thẳng tổng số nghiệm (xn,yn) pt xn n + yn = 2013 với n chạy từ đến 999 Vì giá trị xn thoả mãn điều kiện tương ứng với giá trị yn nên ta cần tìm số giá trị nhận xn Xét pt xn n + yn = 2013 Ta có Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013  x  y   f  f  x   f  f  y      f  x   f  y   f  x   f  y  với x, y  R, f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) D thuộc cung BC không chứa điểm A Đường thẳng  thay đổi qua trực tâm H tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tam giác ACH M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn b)Kí hiệu d1 đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 đường thẳng qua N vuông góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 thuộc đường tròn cố định Đề thi thử học sinh giỏi môn toán lớp 11 Đề số 20 Câu ( điểm ) 1)Vẽ đồ thị hàm số : y = x2 2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 ) 1) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm ) a) Giải phơng trình : x  x 1  x  x 1  b)Tính giá trị biểu thức S  x  y  y  x với xy  (1  x )(1  y )  a Câu ( điểm ) Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt E F 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng tròn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Câu ( điểm ) Cho F(x) =  x   x a) Tìm giá trị x để F(x) xác định b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn Đề số 21 Câu ( điểm ) 1) Vẽ đồ thị hàm số y  x2 2) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm ( ; -2 ) ( ; - ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị Câu ( điểm ) 1) Giải phơng trình : x  x 1  x  x 1  2) Giải phơng trình : 2x  4x  5 x 2x  Câu ( điểm ) Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác góc BAD cắt DC BC theo thứ tự M N Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC 1) Chứng minh tam giác DAM , ABN , MCN , tam giác cân 2) Chứng minh B , C , D , O nằm đờng tròn Câu ( điểm ) Cho x + y = y  Chứng minh x2 + y2  ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2013 Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013 Bài 1(5,0... bc  b ' c '  mod 15   Với a, b, c, a′, b′, c′  {0,1 14}    2 3 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2013 Bài 1(5,0 điểm):  1 20 y  cos y    sin x  2 x y sin... đường thẳng qua N vuông góc DC Chứng minh giao điểm P d1 d2 thuộc đường tròn cố định Đề thi thử học sinh giỏi môn toán lớp 11 Đề số 20 Câu ( điểm ) 1)Vẽ đồ thị hàm số : y = x2 2)Viết phơng trình đờng