chuyên đề pt-bpt mũ và log×pt luong giac nang cao lop 11×tài liệu luyện thi đại học và thpt chuyên; môn toán; chuyên đề phương trình và bất phương trìnhbài tập sử dụng đánh giá – bất đẳng thức – hàm số phần 1 pdf×tài liệu luyện thi đại học và thpt chuyên; môn toán; chuyên đề phương trình và bất phương trìnhbài tập sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa phần 1 pptx× Để có kết quả cao tại thứ hạng tìm kiếm sơ đồ tính toán và hệ phương trinhg mô tả quá trìnhphương trinhg và hệ phương trìnhtầm quan trọng của chủ đề bất phương trình và mục đích yêu cầu dạy học bất phương trình11dạy phương trìnhbất phương trìnhứng dụng đạo hàm vào giải một số bài toán phương trìnhhệ phương trìnhphương trìnhhệ phương trìnhhệ thống bài tập về bất phương trình30giải phương trìnhbất phương trình
MỤC LỤC Trang PHẦN – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH - A – Phương trình & Bất phương trình - I – Kiến thức II – Các thí dụ - Bài tập tương tự 12 B – Đưa tích số (biến đổi đẳng thức, liên hợp) - 23 I – Kiến thức 23 II – Các thí dụ - 24 Sử biến đổi đẳng thức - 24 Bài tập tương tự 31 Tổng hai số không âm - 33 Bài tập tương tự 34 Nhân liên hợp 35 Bài tập tương tự 47 Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn 56 Bài tập tương tự 57 C – Đặt ẩn số phụ 59 I – Kiến thức 59 II – Các thí dụ - 60 Đặt ẩn phụ - 60 Đặt hai ẩn phụ 70 Bài tập tương tự 77 D – Sử dụng bất đẳng thức hình học - 91 I – Kiến thức 91 II – Các thí dụ - 93 Bài tập tương tự 101 E – Lượng giác hóa 105 I – Kiến thức 105 II – Các thí dụ - 106 Bài tập tương tự 114 F – Sử dụng tính đơn điệu hàm số 118 I – Kiến thức 118 II – Các thí dụ - 119 Bài tập tương tự 127 G – Bài toán chứa tham số 131 I – Kiến thức 131 II – Các thí dụ 133 Bài tập tương tự 142 PHẦN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH - 149 A – Hệ phương trình 149 I – Kiến thức 149 II – Các thí dụ 151 Bài tập tương tự 166 B – Biến đổi phương trình thành tích số kết hợp phương trình lại - 176 I – Kiến thức 176 II – Các thí dụ 176 Bài tập tương tự 181 C – Đặt ẩn phụ đưa hệ - 185 Các thí dụ - 185 Bài tập tương tự 191 D – Dùng bất đẳng thức - 203 Các thí dụ - 203 Bài tập tương tự 205 E – Lượng giác hóa Số phức hóa - 208 Các thí dụ - 208 Bài tập tương tự 213 F – Sử dụng tính đơn điệu hàm số 217 Các thí dụ - 217 Bài tập tương tự 222 G – Bài toán chứa tham số hệ phương trình - 227 Các thí dụ - 227 Bài tập tương tự 239 Tài liệu tham khảo - 248 Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths Lê Văn Đoàn PHẦN – PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH A – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Phương trình – Bất phương trình thức B ≥ A = B ⇔ A = B B ≥ A = B ⇔ A = B A ≥ B < A > B ⇔ B ≥ A > B2 B > A < B ⇔ A ≥ A < B2 B ≥ A > B ⇔ A > B Lưu ý Đối với phương trình, bất phương trình thức dạng chuẩn trên, ta thực theo bước: Bước Đặt điều kiện cho thức có nghĩa Bước Chuyển vế cho hai vế không âm Bước 2/ Bình phương hai vế để khử thức Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối B ≥ A = B ⇔ A = B A = −B A = B A = B ⇔ A = −B A > B ⇔ (A − B)(A + B) > B > A < B ⇔ A < B A > −B B < A có nghĩa A > B ⇔ B ≥ A < −B A>B Lưu ý Đối với phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng chuẩn trên, ta thường sử dụng định nghĩa phương pháp chia khoảng để giải 3/ Một số phương trình – Bất phương trình thường gặp khác Page - - Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Dạng ● Thay Dạng (1) A+3B= 3C ● Ta có: (1) ⇔ ( Ths Lê Văn Đoàn A+3B ) = C ⇔ A + B + 3 AB ( ) A+3B =C (2) A + B = C vào (2) ta được: A + B + 3 ABC = C f (x ) + h (x ) = g (x ) + k (x ) f (x) + g (x) = h (x ) + k (x ) với f (x ).h (x ) = g (x ).k (x ) ● Biến đổi dạng: f (x ) − h (x ) = g (x ) − k (x ) ● Bình phương, giải phương trình hệ Lưu ý Phương pháp biến đổi hai dạng đưa phương trình hệ Do đó, để đảm bảo không xuất nghiệm ngoại lai phương trình, ta nên thay kết vào phương trình đầu đề nhằm nhận, loại nghiệm xác II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ Giải phương trình: −x + 4x − = 2x − (∗) Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TW1 năm 2004 Bài giải tham khảo 2x − ≥ (∗) ⇔ 2 −x + 4x − = (2x − 5) x ≥ x ≥ 14 ⇔ ⇔ x = ⇔ x = 5x − 24x + 28 = x = 14 Vậy nghiệm phương trình x = Thí dụ Giải phương trình: 14 − x2 + x x + = − 2x − x (∗) Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Thuận Thành – Bắc Ninh Bài giải tham khảo −3 ≤ x ≤ 3 − 2x − x ≥ (∗) ⇔ 7 − x2 + x x + = − 2x − x2 ⇔ x + = − x + x −3 ≤ x ≤ −3 ≤ x ≤ −2 ≤ x < x+2 ⇔ − ≥0 ⇔ −2 ≤ x < ⇔ x = −1 ⇔ x = −1 x 2 x + x − 16x − 16 = x = ±4 x (x + 5) = (x + 2) Vậy nghiệm phương trình x = − Page - - Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Thí dụ Giải phương trình: 3x − − x + = Ths Lê Văn Đoàn (∗) Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Ninh Bình khối M năm 2004 Bài giải tham khảo 3x − ≥ ● Điều kiện: ⇔x≥ x + ≥ (∗) ⇔ 3x − = x + + ⇔ 3x − = x + + x + ⇔ x +7 = x−5 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔ x = x + = x − 10x + 25 x = ∨ x = ● Kết hợp điều kiện, nghiệm phương trình x = Thí dụ Giải phương trình: x+8− x = x+3 (∗) Trích đề thi Cao đẳng Hóa chất năm 2004 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ (∗) ⇔ x + = x + + x ⇔ x + = 2x + + x (x + 3) x ≤ x = 5 − x ≥ x = ⇔ x ( x + 3) = − x ⇔ ⇔ ⇔ x = − 25 4x ( x + 3) = (5 − x ) 25 x = − ● So với điều kiện, nghiệm phương trình x = Thí dụ Giải bất phương trình: ( ) x2 − ≤ x + (∗) Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế Kỹ Thuật Thái Bình năm 2004 Bài giải tham khảo x ≤ −1 ∨ x ≥ 2 x − ≥ x = −1 ∨ x ≥ ⇔ x ≥ −1 ⇔ ⇔ (∗) ⇔ x + ≥ − 1≤x ≤3 x − 2x − ≤ 2 x − ≤ (x + 1) ( ) ( ) x = −1 x ∈ 1; 3 ● Vậy tập nghiệm phương trình x ∈ 1; 3 x = − Thí dụ Giải bất phương trình: x − 4x > x − (∗) Trích đề thi Cao đẳng bán công Hoa Sen khối D năm 2006 (Đại học Hoa Sen) Bài giải tham khảo x ≤ x − 4x ≥ x − ≥ x ≤ ∨ x ≥ x ≥ ∨ ⇔ (∗) ⇔ x − < ∨ 2 ⇔ x > x > x − 4x > (x − 3) x < 2 Page - - Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số ● Thí dụ Ths Lê Văn Đoàn 9 Vậy tập nghiệm hệ S = (−∞; 0 ∪ ; +∞ Giải bất phương trình: x − 4x + + 2x ≥ (∗) Trích đề thi Cao đẳng Kỹ thuật Y tế I năm 2006 Bài giải tham khảo (∗) ⇔ x − 4x + ≥ 3 − 2x ≥ x − 4x + ≥ − 2x ⇔ ∨ 2 x − 4x + ≥ (3 − 2x ) 3 − 2x < x ∈ ℝ x ≤ 3 x ≤ 2 ⇔ ∨ ⇔x> ∨ ⇔x≥ x > 2 ≤x ≤2 3x − 8x + ≤ ● Thí dụ 2 Vậy tập nghiệm hệ S = ; +∞ 3 Giải bất phương trình: x − 4x + < x + (∗) Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2006 Bài giải tham khảo x ≤ ∨ x ≥ −3 x − 4x + ≥ ⇔ x > −1 ⇔ (∗) ⇔ x + > 2 x − 4x + < (x + 1) x > ● Thí dụ 1 < x ≤1 3 x ≥ 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ;1 ∪ 3; +∞) Giải bất phương trình: x + 11 ≥ x − + 2x − (∗) Trích đề thi Cao đẳng Điều dưỡng qui (Đại học điều dưỡng) năm 2004 Bài giải tham khảo x + 11 ≥ x ≥ −11 ● Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ 2x − ≥ x ≥ 0, (∗) ⇔ x + 11 ≥ 3x − + (x − 4)(2x − 1) ⇔ (x − 4)(2x − 1) ≤ − x x ≤ x − ≥ ⇔ ⇔ −12 ≤ x ≤ ⇔ (x − 4)(2x − 1) ≤ (8 − x ) x + 7x − 60 ≤ ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: S = 4;5 Page - - Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Thí dụ 10 Giải bất phương trình: Ths Lê Văn Đoàn x + − x − ≥ 2x − (∗) Trích đề thi Đại học Thủy sản năm 1999 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ (∗) ⇔ x + ≥ 2x − + x − ⇔ x + ≥ 3x − + (x − 1)(2x − 3) x ≥ ≤x≤3 ⇔ 2x − 5x + ≤ − x ⇔ 3 − x ≥ ⇔ 2 2x − 5x + = (3 − x )2 x + x − ≤x≤3 ⇔ 2 ⇔ ≤ x ≤ −3 ≤ x ≤ ● 3 Tập nghiệm bất phương trình x ∈ ;2 2 Thí dụ 11 Giải bất phương trình: 5x + − 4x − ≤ x (∗) Trích đề thi Đại học An Ninh Hà Nội khối D năm 1999 Bài giải tham khảo ● 5x + ≥ Điều kiện: 4x − ≥ ⇔ x ≥ x ≥ (∗) ⇔ 5x + ≤ 4x − + x ⇔ 5x + ≤ 9x + 4x − + 4x − x ⇔ 4x − x ≥ − 8x (∗ ∗) ⇒ − 8x ≤ ⇒ (∗ ∗) thỏa ● Do x ≥ ● 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình x ∈ ; +∞ 4 Thí dụ 12 Giải bất phương trình: x + − − x < − 2x (∗) Trích đề thi Đại học Thủy Lợi Hà Nội hệ chưa phân ban năm 2000 Bài giải tham khảo ● x + ≥ Điều kiện: 3 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ 5 − 2x ≥ Page - - Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số (∗) ⇔ Ths Lê Văn Đoàn x + < − 2x + − x ⇔ x + < − 3x + (5 − 2x )(3 − x ) 2x − < − 2x − x ≥ )( ) ( ⇔ (5 − 2x )(3 − x ) > 2x − ⇔ 2x − ≥ (5 − 2x )(3 − x ) > (2x − 3) x < ⇔ x≤ x ≥ 3 x≥ 2 ∨ ⇔x< ∨ ⇔ x < 2 ∨x≥3 − hay x − > (2) ⇔ x − + x + ≤ 4x − ⇔ 2x + x − 25 ≤ 4x − ⇔ x2 − 25 ≤ x − ⇔ x − 25 ≤ x − 6x + ⇔ x ≤ ⇒5≤x≤ ● (1) 17 17 (3) Với x ≤ −5 ⇔ −x ≥ ⇔ − x ≥ > hay − x > (2) ⇔ (5 − x)(3 − x) + (−x − 5)(3 − x) ≤ (3 − x)(6 − 4x) ⇔ − x + −x − ≤ − 4x ⇔ −2x + (5 − x )(−x − 5) ≤ − 4x ⇔ x2 − 25 ≤ − x ⇔ x − 25 ≤ x − 6x + ⇔ x ≤ ⇒ x ≤ −5 ● 17 (4 ) 17 Từ (1), (3), (4) ⇒ tập nghiệm bất phương trình x ∈ (−∞; −5 ∪ {3} ∪ 5; 3 Thí dụ 16 Giải phương trình: x − x + 2x − = (∗) Trích đề thi Cao đẳng Hải quan – Hệ không phân ban năm 1999 Bài giải tham khảo ● Bảng xét dấu Page - - Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số ● −∞ x Ths Lê Văn Đoàn x2 − x + 2x − − + − − + + − Trường hợp x ∈ (−∞; 0 ∪ (1;2 x = − (∗) ⇔ x2 − x − (2x − 4) = ⇔ x2 − 3x + = ⇔ x = + ( ● +∞ ) (L) (L ) Trường hợp x ∈ (0; −1 x = −1 − (∗) ⇔ − x2 − x − (2x − 4) = ⇔ x2 + x − = ⇔ − + x = ● Trường hợp x ∈ (2; +∞) ( ) x = −1 − 29 (∗) ⇔ x2 − x + (2x − 4) = ⇔ x2 + x − = ⇔ − + 29 x = ( ● ) Vậy phương trình có hai nghiệm: x = (N ) (L) (N ) −1 + −1 + 29 ∨ x= 2 x + x −1 + x − x −1 = Thí dụ 17 Giải phương trình: (L) x+3 (∗) Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2004 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ (∗) ⇔ ( x −1 + x −1 +1 + ) ⇔ ( x −1 + + ⇔ x −1 +1 + ) ( ) x − − x − + = ) x −1 −1 x −1 −1 = = x+3 x+3 x+3 (1) x+3 ⇔ x = x+3 x −1 + + x −1 −1 = ⇔ x −1 = x + ● Với ≤ x ≤ 2, ta có: (1) ⇔ ● Với x > 2, ta có: (1) ⇔ ( x −1 +1+1− x −1 = x ≥ −3 x ≥ −3 x ≥ −3 ⇔ x = ⇔ ⇔ ⇔ 16x − 16 = x + 6x + x − 10x + 25 x = Page - - ... − − x − + = ) x −1 −1 x −1 −1 = = x+3 x+3 x+3 (1) x+3 ⇔ x = x+3 x −1 + + x −1 −1 = ⇔ x −1 = x + ● Với ≤ x ≤ 2, ta có: (1) ⇔ ● Với x > 2, ta có: (1) ⇔ ( x −1 +1+1− x −1 = x ≥ −3 x ≥ −3... trình x = Thí dụ Giải phương trình: 14 − x2 + x x + = − 2x − x (∗) Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Thuận Thành – Bắc Ninh Bài giải tham khảo −3 ≤ x ≤ 3 − 2x − x ≥ (∗) ⇔ 7 − x2 + x... khác Page - - Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Dạng ● Thay Dạng (1) A+3B= 3C ● Ta có: (1) ⇔ ( Ths Lê Văn Đoàn A+3B ) = C ⇔ A + B + 3 AB ( ) A+3B =C (2) A + B = C vào (2) ta