Phạm trù cộng tính và hàm tử cộng tính

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - - PHAN THÀNH NHẤT PHẠM TRÙ CỘNG TÍNH VÀ HÀM TỬ CỘNG TÍNH CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Gia Định Phản biện 1: TS.Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: PGS.TS.Trần Đạo Dõng Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lí chọn ñề tài Nghiên cứu Lý thuyết phạm trù có nhiều công trình khuôn khổ cho phép ñề tài người viết muốn ñề cập ñến khía cạnh lý thuyết phạm trù, ñó Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính Và từ ñó tìm cách khai thác kiến thức Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính ñể bước ñầu kiến giải số phương pháp giải toán sơ cấp hữu hiệu lĩnh vực Nghiên cứu lý thuyết phạm trù ñã có từ năm ñầu kỉ XX nhiều nhà toán học ñã có ñược kết ñáng kể Tuy nhiên, ñây lĩnh vực nhiều vấn ñề mở, hấp dẫn với người yêu thích toán học Hiện nay, phạm trù trở thành ngành toán học quan trọng, ñược sử dụng nhiều lĩnh vực lý thuyết khoa học máy tính, ñó phạm trù tương ứng với kiểu vật lý toán, ñó có phạm trù mô tả không gian vectơ Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin ứng dụng lý thuyết phạm trù thực tế ñời sống ngày nhiều Chính thế, chọn lĩnh vực toán học ñể nghiên cứu thấy ñược lợi ích thiết thực ñến với ñời sống Xuất phát từ nhu cầu ñó ñể góp phần phát triển lý thuyết phạm trù ứng dụng nó, ñịnh chọn ñề tài với tên: Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính ñể tiến hành nghiên cứu Chúng cố gắng xây dựng tài liệu tham khảo tốt cho người bắt ñầu tìm hiểu lý thuyết phạm trù ứng dụng hy vọng tìm ñược số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Footer Page of 126 Header Page of 126 2 Lịch sử vấn ñề Có thể kể ñến công trình nghiên cứu Lý thuyết phạm trù vào năm 1942-1945 Samuel Eilenberg Sauders Mac Lane giới thiệu phạm trù, hàm tử phép biến ñổi tự nhiên phần công trình tôpô, ñặc biệt tôpô ñại số Thật ra, phạm trù hàm tử ñã có ý tưởng xuất phát từ công trình Stanislaw Ulam vào năm 1930, tiếp nối công trình Emmy Noether việc hình thức hoá trình trừu tượng Noether nhận thấy ñể hiểu kiểu cấu trúc toán học, người ta cần hiểu trình bảo toàn cấu trúc ñó Để có ñược hiểu biết này, Eilenberg Mac Lane ñề nghị hình thức hoá tiên ñề mối quan hệ cấu trúc trình bảo toàn chúng Sự phát triển tiếp sau lý thuyết phạm trù ñại số ñồng ñiều, hình học ñại số ñại số phổ dụng Đã có nhiều công trình sáng giá ñóng góp cho lĩnh vực phạm trù hàm tử từ nhà toán học tiếng: Grothendieck (1957), Freyd (1964), Lawvere (1963, 1966), Lawvere & Schanuel (1997), Baez & Dolan (1998), Batanin (1998), Leinster (2002), Hermida (2000, 2001, 2002), Lawvere & Rosebrugh (2003), Khái niệm phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính ñược giới thiệu Alexander Grothendieck báo tiếng Tôhoku vào năm 1957 Cho ñến hai khái niệm ñã có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học vật lý toán Mục ñích nhiệm vụ nghiên cứu Mục ñích ñề tài nhằm nghiên cứu Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính với ứng dụng chúng Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Footer Page of 126 Header Page of 126 Đề tài lấy Lý thuyết phạm trù làm ñối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu ñề tài lĩnh vực phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính với tính chất ñặc ñiểm Phương pháp nghiên cứu Khi thực ñề tài này, sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu khoa học sau: a) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan ñến Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính b) Khảo sát phân tích toán mẫu ñể minh họa cho phần lý thuyết Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính c) Tham gia buổi seminar tuần ñể trao ñổi kết ñang nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài a) Tổng quan kết tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Lý thuyết phạm trù ứng dụng b) Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh ñề, ñưa số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập Kết ñề tài sở khẳng ñịnh tính hiệu việc ứng dụng rộng rãi thành lý thuyết phạm trù vào thực ñời sống phần Phạm trù cộng tính hàm tử cộng tính Bố cục luận văn Ngoài phần Mở ñầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo mục lục, phần Nội dung luận văn gồm chương Chương Phạm trù hàm tử Chương Phạm trù cộng tính Hàm tử cộng tính Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ 1.1 KHÁI NIỆM PHẠM TRÙ Định nghĩa 1.1.1 Cho phạm trù P cho ñiều kiện sau: 1) Cho lớp P phần tử A, B, C, gọi vật phạm trù P 2) Với cặp vật (A, B) P , cho tập hợp (có thể rỗng), kí hiệu [ A, B ]P gọi tập hợp cấu xạ từ A tới B Để f f ∈ [ A, B ]P ta thường viết f: A → B hay A  → B A gọi nguồn, B gọi ñích cấu xạ f 3) Với ba vật A, B, C P , cho ánh xạ  B, C  ×  A, B  →  A, C  P P P ( g , f ) a gf ( hay go f ) gọi phép hợp thành cấu xạ f g Các kiện phải thỏa mãn tiên ñề sau: a) Phép hợp thành có tính kết hợp, nghĩa là: f Nếu A →Bg →Ch →D cấu xạ ñã cho ta có ( hg) f = h( gf ) b) Với vật A P , tồn cấu xạ 1A : A → B gọi cấu xạ ñồng vật A thỏa mãn 1Bf = f, f1A = f , ∀f ∈ [ A, B ]P c) ∀A, B, A’, B’∈ P Nếu (A,B) ≠ (A’,B’) [ A, B]P ∩[ A', B']P = ∅ Chú ý 1.1.1 1) Cấu xạ ñồng 1A ñược xác ñịnh vật A 2) Tập hợp cấu xạ [ A, B ]P ñược ký hiệu M orP (A, B) hay H omP (A, B) Footer Page of 126 Header Page of 126 3) Các tiên ñề phạm trù giống tiên ñề vị nhóm nhân, khác ñiều phép hợp thành phạm trù ñược xác ñịnh 4) Đối với vật A phạm trù, tập hợp [ A, A] vị nhóm ñối với phép hợp thành, ñó phạm trù có vật A thực chất vị nhóm 5) Một phạm trù ñó ñối với cặp vật A, B (A ≠ B) tập hợp [ A, B ] rỗng [ A, A] , ∀A∈ P gồm cấu xạ ñồng gọi phạm trù rời rạc 6) Phạm trù mà lớp vật tập hợp gọi phạm trù nhỏ Định nghĩa 1.1.2 Một phạm trù C gọi phạm trù phạm trù P nếu: a) Mỗi vật phạm trù C vật phạm trù P b) Mỗi cấu xạ phạm trù C cấu xạ phạm trù P c) Hợp thành gf cấu xạ f, g C phạm trù C trùng với hợp thành cấu xạ ñó phạm trù P Đặc biệt, [ A, B ] = [ A, B ] , ∀A, B ∈ C ta nói C phạm C P trù ñầy P Ví dụ 1.1.1 1) Phạm trù tập hợp T h 2) Phạm trù tập hợp ñược thứ tự phận Tt 3) Phạm trù không gian tôpô Top 4) Phạm trù ña tạp Ω-ñại số V L 5) Mọi tập hợp thứ tự ( S , ≤ ) ñều xem phạm trù S 1.2 ĐẲNG XẠ, ĐƠN XẠ, TOÀN XẠ, SONG XẠ Định nghĩa 1.2.1 Một cấu xạ f : A → B phạm trù P gọi khả nghịch hay ñẳng xạ P tồn cấu xạ g : B → A P cho ta có ñồng thời: gf =1A , fg =1B Footer Page of 126 Header Page of 126 Chú ý 1.2.1 1) Nếu cấu xạ g tồn 2) Nếu f : A → B g : B → C ñẳng xạ hợp thành chúng gf : A → C ñẳng xạ ta có ( gf ) = f −1 g −1 −1 Ví dụ 1.2.1 1) Trong phạm trù tập hợp T h , ñẳng xạ song ánh 2) Trong phạm trù ña tạp Ω-ñại số V L, ñẳng xạ trùng với ñẳng cấu 3) Trong phạm trù tập hợp ñược thứ tự phận Tt, ñẳng xạ song ánh f : A→ B cho ∀a1 , a2 ∈ A, a1 ≤ a2 ⇔ f ( a1 ) ≤ f ( a2 ) 4) Trong phạm trù không gian tôpô Top, ñẳng xạ ñồng phôi, tức song ánh liên tục f cho ánh xạ ngược f −1 liên tục Định nghĩa 1.2.2 Một cấu xạ f : A → B phạm trù P gọi ñơn xạ ñối với vật X ∈ P cặp cấu xạ g , h : X → A mà fg = fh kéo theo g = h Vậy nói f ñơn xạ có nghĩa f “giản ước trái ñược” Chú ý 1.2.2 1) Mọi ñẳng xạ ñều ñơn xạ 2) Nếu f : A → B g : B → C ñơn xạ hợp thành chúng gf : A → C ñơn xạ 3) Nếu hợp thành gf ñơn xạ f ñơn xạ Ví dụ 1.2.2 1) Trong phạm trù tập hợp T h , cấu xạ f : A → B ñơn xạ f ñơn ánh Footer Page of 126 Header Page of 126 2) Trong phạm trù V-môñun trái vM od, ñối với cấu xạ f : A → B khẳng ñịnh sau tương ñương: i) f ñơn cấu ii) f ñơn xạ iii) Kerf = {0} Định nghĩa 1.2.3 Một cấu xạ f : A → B phạm trù P gọi toàn xạ ñối với vật X ∈ P cặp cấu xạ g , h : B → X mà gf = hf kéo theo g = h Vậy nói f toàn xạ có nghĩa “ f giản ước phải ñược” Chú ý 1.2.3 1) Mọi ñẳng xạ ñều toàn xạ 2) Nếu f : A → B g : B → C toàn xạ hợp thành chúng gf : A → C toàn xạ 3) Nếu hợp thành gf toàn xạ g toàn xạ Ví dụ 1.2.3 1) Trong phạm trù tập hợp Th, cấu xạ f : A → B toàn xạ f toàn ánh 2) Trong phạm trù V-môñun trái vM od, ñối với cấu xạ f : A → B khẳng ñịnh sau tương ñương: i) f toàn cấu ii) f toàn xạ iii) Cokerf = B = Imf { } 3) Trong phạm trù ña tạp Ω-ñại số V L, toàn cấu ñều toàn xạ Chú ý 1.2.4 Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 1) Trong phạm trù có cấu trúc ñại số phạm trù N h nhóm, V a vành, vM od V-môñun trái, cấu xạ f : A → B ñơn xạ f ñơn ánh 2) Trong phạm trù V a vành tồn toàn xạ mà không toàn ánh Định nghĩa 1.2.4 Một cấu xạ f : A → B phạm trù P gọi song xạ f vừa ñơn xạ vừa toàn xạ Chú ý 1.2.5 1) Mọi ñẳng xạ ñều song xạ 2) Hợp thành hai song xạ song xạ 3) Nếu hợp thành gf hai cấu xạ song xạ f ñơn xạ g toàn xạ Ví dụ 1.2.4 1) Trong phạm trù tập hợp Th, phạm trù nhóm N h, phạm trù V-môñun, vM od, song xạ ñều ñẳng xạ 2) Trong phạm trù vành V a tồn song xạ ñẳng xạ 1.3 VẬT KHỞI ĐẦU VÀ VẬT TẬN CÙNG Định nghĩa 1.3.1 Một vật K phạm trù P ñược gọi vật khởi ñầu P ñối với vật X P tồn cấu xạ từ K tới X Một vật T phạm trù P ñược gọi vật tận P ñối với vật X P tồn cấu xạ từ X tới T Mệnh ñề 1.3.1 Hai vật khởi ñầu K K’ (tận T T’) phạm trù ñẳng xạ tồn ñẳng xạ từ vật lên vật Ví dụ 1.3.1 Footer Page 10 of 126 Header Page 12 of 126 10 xạ f: A→B phạm trù P cấu xạ H(f): H(A) →H(B) phạm trù P ' Các ánh xạ phải thỏa mãn hai ñiều kiện sau: 1) H(1A) = 1H(A) ñối với ñồng 1A P 2) H(gf) = HgHf ñối với hợp thành gf xác ñịnh P Ví dụ 1.4.1 1) Nếu P P ' vị nhóm hàm tử hiệp biến H: P →P’ ñồng cấu vị nhóm 2) Giả sử P = vM od E V-môñun phải cố ñịnh Khi ñó: H(X) = E ⊗ v X H(f) = 1E ⊗ f xác ñịnh hàm tử H: vM od → A b 3) Hàm tử ñồng 1P 4) Hàm tử bao hàm 5) Hàm tử không ñổi 6) Hàm tử quên 7) Hàm tử Hom hiệp biến HA: P → T h Định nghĩa 1.4.2 Giả sử H: P → Q K: Q → R hàm tử Khi ñó KH: P → R A a K(H(A)) f a K(H(f)) xác ñịnh hàm tử, gọi hợp thành hàm tử H K Định nghĩa 1.4.3 Giả sử H , G : P → T h hai hàm tử từ phạm trù P tới phạm trù tập hợp Th G gọi hàm tử H với vật A P , G(A) tập H(A) với cấu xạ f P , G(f) thu hẹp H(f) Ví dụ 1.4.2 G ánh xạ - vật hàm tử G H Định nghĩa 1.4.4 Một hàm tử phản biến K từ phạm trù P tới phạm trù P ' cặp ánh xạ, gồm ánh xạ - vật ánh xạ - Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 11 cấu xạ Ánh xạ - vật cho ứng với vật A phạm trù P vật K (A) phạm trù P ' Ánh xạ - cấu xạ cho ứng với cấu xạ f: A → B phạm trù P cấu xạ K ( f ): K ( B) →K ( A) phạm trù P ' theo chiều ngược lại Các ánh xạ thỏa mãn hai ñiều kiện: 1) K (1A ) =1K ( A ) với ñồng 1A P 2) K ( gf ) =K ( f ) K ( g ) với hợp thành gf xác ñịnh P Định nghĩa 1.4.5 Phạm trù P o gọi phạm trù ñối ngẫu phạm trù P Ta ñồng hóa P oo ( ) = P o o với P - Khái niệm hàm tử hàm tử phản biến từ phạm trù tới phạm trù tập hợp ñược ñịnh nghĩa cách tương tự trường hợp hiệp biến Ví dụ 1.4.3 1) Hàm tử không ñổi lại xem hàm tử phản biến 2) Hàm tử tập tập 3) Hàm tử Hom phản biến H A : P → T h Định nghĩa 1.4.6 Giả sử H, K: P → P' hai hàm tử từ phạm trù P tới phạm trù P' Một phép biến ñổi tự nhiên f từ H tới K ánh xạ cho tương ứng với vật A P cấu xạ f ( A):H( A) →K( A) P' cho ñối với xạ ϕ : A → B P biểu ñồ giao hoán Một phép biến ñổi tự nhiên gọi cấu xạ hàm tử Một phép biến ñổi tự nhiên f gọi ñẳng xạ tự nhiên tương ñương tự nhiên ñẳng xạ hàm tử với vật A P , f(A) ñẳng xạ Khi ñó ta viết f: H ≅ K Footer Page 13 of 126 Header Page 14 of 126 12 Ví dụ 1.4.4 1) f : J → S phép biến ñổi tự nhiên 2) Hα phép biến ñổi tự nhiên từ H A tới H A' 3) Phép biến ñổi tự nhiên ñồng H ñược ký hiệu 1H Định nghĩa 1.4.7 Giả sử f : H → K phép biến ñổi tự nhiên g : K → L phép biến ñổi tự nhiên Với vật A P , ta ñặt gf(A) =g(A)f(A) ta dễ thấy gf phép biến ñổi tự nhiên từ H tới L Phép biến ñổi tự nhiên gf : H → L gọi hợp thành phép biến ñổi tự nhiên f g Phép hợp thành dĩ nhiên kết hợp Mệnh ñề 1.4.1 Một phép biến ñổi tự nhiên f : H → K ñẳng xạ tự nhiên từ H tới K tồn phép biến ñổi tự nhiên g : K → H cho ta có gf = 1H , fg = 1K 1.5 HÀM TỬ BIỂU DIỄN ĐƯỢC Định nghĩa 1.5.1 Giả sử H : P → T h hàm tử Một phần tử «chỉ mũi tên» ñối với H cặp (u, R) gồm vật R P phần tử u ∈ H (R) thỏa mãn tính chất sau: với vật X P phần tử v ∈ H (X) tồn cấu xạ f: R → X cho H (f)(u)=v Định lí 1.5.1 Nếu u ∈ H (R) phần tử «chỉ mũi tên» ñối với hàm tử H ñối với vật X P tồn song ánh ϕ ( X ): [ R, X ]P → H (X) f a H (f)(u) tự nhiên ñối với X Nói cách khác ϕ tương ñương tự nhiên hàm tử HR H Định nghĩa 1.5.2 Giả sử H : P → T h hàm tử Một biểu diễn H (trong phạm trù tập hợp) cặp (R, ϕ ) gồm vật R Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 13 P họ song ánh ∀X ∈ P , ϕ X : [ R,X ]P → H ( X ) tự nhiên X - Một hàm tử có biểu diễn gọi biểu diễn ñược ta nói ñược biểu diễn R Nói tóm lại, biểu diễn hàm tử H :P → T h tương ñương tự nhiên ϕ : H R ≅ H Chú ý 1.5.1 Ta ñã thấy hàm tử H :P → T h có phần tử «chỉ mũi tên» có biểu diễn Đảo lại, hàm tử H :P → T h biểu diễn ñược ta thấy có phần tử «chỉ mũi tên» Định lý 1.5.2 Giả sử H :P → T h hàm tử Khi ñó công thức u = ϕR (1R ) , ϕX ( f ) = H ( f )( u ) ñó 1R ñồng R, f: R → X cấu xạ P , xác ñịnh song ánh từ tập hợp biểu diễn ( R, ϕ ) H lên tập hợp phần tử «chỉ mũi tên» ( u, R ) ñối với H Ví dụ 1.5.1 1) Xét hàm tử quên Q: N h → T h Hàm tử quên Q biểu diễn ñược (bởi Z ) 2) Cho P phạm trù, A1 , A ∈ P Xét hàm tử H :P → T h X a [ A1 ,X ]P × [ A ,X ]P Nếu phạm trù P có ñối tích A1 C A H biểu diễn ñược họ song ánh j1:A1 → A1 C A , j2 :A → A1 C A với họ A1 C A ñối tích A1 A Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 14 Định lý 1.5.3 Nếu ( R,ϕ , u ) ( R ', ϕ ', u ') hai biểu diễn hàm tử H :P → T h , tồn ñẳng xạ f : R → R ' P cho H ( f )( u ) = u ' ϕ ' hợp thành [ X] ϕ ϕo [ f ,1X ] : [ R',X ]P  → [ R,X ]P  →H (X) f,1 Nói riêng hai vật biểu diễn R R’ H ñẳng xạ P ≅ ñẳng xạ f : R  →R' 1.6 HẠT NHÂN VÀ ĐỐI HẠT NHÂN Định nghĩa 1.6.1 Nếu phạm trù P tồn vật vừa khởi ñầu vừa tận vật ñó gọi vật không P , kí hiệu Như vật khởi ñầu tận cùng, vật không nhất, sai khác ñẳng xạ Cấu xạ ñồng 0, phần tử [ 0,0]P gọi cấu xạ không Nếu P có vật không ñối với cặp vật A, B P , ta ñịnh nghĩa cấu xạ không từ A tới B sau Vì vật tận nên tồn cấu xạ A → , vật khởi ñầu nên tồn cấu xạ → B Hợp thành xạ ñó phần tử [ A,B]P Ta gọi cấu xạ không từ A tới B, ký hiệu 0AB , nhầm lẫn Chú ý 1.6.1 1) Nếu hợp thành hai cấu xạ có cấu xạ cấu xạ không hợp thành cấu xạ không 2) Trong phạm trù có vật không, giả sử họ vật ( Ai )I ñều     có tích  ∏ A i , p k  có tổng  C A i , jk  Khi ñó tồn  I   I  cấu xạ f từ tổng tới tích cho p k fji = δ ik (ký hiệu Kronecker), tức δ ik cấu xạ ñồng 1Ai i=k cấu xạ không i ≠ k Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 15 Định nghĩa 1.6.2 Xét phạm trù P có vật không cấu xạ f: A → B P Với vật X P , xét tập hợp H ( X,f ) = {g:X → A fg = 0} Nếu g ∈ H ( X, f ) k: X' → X cấu xạ tùy ý P [ k,A ] ( g ) = gk thuộc H ( X', f ) , ta có f ( gk ) = ( fg ) k = 0k = Do ñó H ( X, f ) ánh xạ - vật hàm tử hàm tử Hom phản biến HA Nếu hàm tử ñó biểu diễn ñược song ánh tự nhiên: ϕX : [ X, K ]P ≅ H (X, f) phần tử «chỉ mũi tên» tương ứng (u, K) gọi hạt nhân f ñược ký hiệu Kerf Mệnh ñề 1.6.1 Trong phạm trù P có vật không, cho cấu xạ f: A → B Giả sử u: K → A cấu xạ cho fu = Với u f vật X P , dãy cấu xạ P : K  → A  → B cảm sinh [ ] [ ] dãy ánh xạ tập hợp [ X, K ]P  → [ X, A ]P  → [ X, B]P X, u X, f Khi ñó, khẳng ñịnh sau tương ñương: 1) ( u, K ) = Kerf 2) ∀X ∈ P , [ X, u ] ñơn ánh Im [ X, u ] = [ X, f ] −1 ( 0) Chú ý 1.6.2 1) Nếu ( u, K ) = Kerf u ñơn xạ 2) Ta dễ thấy phạm trù N h, A b, vM od, xạ f: A → B ñều có hạt nhân Định nghĩa 1.6.3 Giả sử P phạm trù tùy ý giả sử f, g: A → B hai cấu xạ P Với vật X P , xét tập hợp: H ( X; f, g ) = {h: X → A fh=gh} Nếu h ∈ H ( X; f, g ) với cấu xạ k: X' → X, [ k, X ] ( h ) = hk thuộc H ( X; f, g ) ta có f ( hk ) = ( fh ) k = ( gh ) k = g ( hk ) Do ñó X a H ( X; f, g ) ánh xạ - vật hàm tử hàm tử Hom phản biến HA Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 16 Khi hàm tử ñó biểu diễn ñược nhờ song ánh tự nhiên ϕ x : [ X, K ]P ≅ H ( X; f, g ) phần tử «chỉ mũi tên» tương ứng (u, K) gọi hiệu hạt nhân hay ñẳng hóa cặp (f, g) ñược ký hiệu Ker(f, g) Chú ý 1.6.3 1) Nếu ( u, K ) = Ker ( f, g ) u ñơn xạ 2) Hạt nhân f : A → B phạm trù có vật không hiệu hạt nhân cặp f , : A → B 3) Trong phạm trù tập hợp Th, hiệu hạt nhân hai ánh xạ f , g : A → B tập K A gồm tất phần tử a ∈ A cho f ( a ) = g ( a ) với phép nhúng tắc u: K A 4) Trong phạm trù nhóm N h, hiệu hạt nhân hai ñồng cấu f , g : A → B nhóm K A gồm phần tử a ∈ A cho f ( a ) = g ( a ) với phép nhúng tắc u: K A 5) Trong phạm trù V-môñun, vM od, hiệu hạt nhân hai V-ñồng cấu f , g : A → B hạt nhân hiệu f − g Định nghĩa 1.6.4 Trong phạm trù P có vật không, cho cấu xạ f: A → B Đối hạt nhân f, kí hiệu Cokerf , cặp (u, C) (nếu có) gồm vật C cấu xạ u: B → C thỏa mãn ñiều kiện sau: 1) uf = 2) ∀X ∈ P , ∀v:B → X vf = 0, ∃!h:C → X v = hu Mệnh ñề 1.6.2 Giả sử X vật P u: B → C f u cấu xạ cho pu = Dãy cấu xạ P : A  → B  →C [ ] [ ] →[ B, X]P  →[ A, X]P cảm sinh dãy ánh xạ tập hợp [ C, X]P  u, X f, X Khi ñó khẳng ñịnh sau tương ñương: 1) ( u,C ) = Cokerf 2) ∀X ∈ P , [ u, X ] ñơn ánh Im [ u, X ] = [ f, X ] (0) -1 Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 17 Chú ý 1.6.4 1) Nếu ( u, C ) = Cokerf u: B → C toàn xạ 2) Trong phạm trù có cấu trúc ñại số N h, A b, vM od, ñối hạt nhân f: A → B tồn (u, C) ñó C = B Imf phép chiếu u: B → B Imf Định nghĩa 1.6.5 Trong phạm trù P , giả sử ñã cho hai cấu xạ f, g: A → B Hiệu ñối hạt nhân hay ñối ñẳng hóa cặp cấu xạ f g , kí hiệu Coker ( f, g ) cặp (u, C) (nếu có), gồm vật C cấu xạ u: B → C cho ñiều kiện sau ñược thỏa mãn: 1) uf = ug 2) ∀X ∈ P , ∀v: B → X vf = vg, ∃!h:C → X v = hu Chú ý 1.6.5 1) Nếu ( u, C ) = Coker(f, g) u toàn xạ 2) Quan hệ R có tính phản xạ ñối xứng, gọi R bao ñóng bắc cầu R R quan hệ tương ñương, ký hiệu C= B u: B → B phép chiếu ( u, C ) = Coker(f, g) R R 3) Nhóm thương nhóm B theo nhóm chuẩn tắc N B sinh phần tử dạng f ( a ) g -1 ( a ) ( a ∈ A ) với ñồng cấu tự nhiên u: B → B hiệu ñối hạt nhân cặp (f, g) N 4) Trong phạm trù V-môñun, vM od, hiệu ñối hạt nhân cặp V-ñồng cấu f, g: A → B ñối hạt nhân f − g Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 18 Chương PHẠM TRÙ CỘNG TÍNH VÀ HÀM TỬ CỘNG TÍNH 2.1 PHẠM TRÙ CỘNG TÍNH Định nghĩa 2.1.1 Một phạm trù cộng tính phạm trù C ñó tập hợp [ A, B]C ñược trang bị cấu trúc nhóm Abel cộng, thỏa mãn ba tiên ñề sau C1- Phép hợp thành cấu xạ phân phối ñối với phép cộng cấu xạ, tức ñối với g1 , g : B → C; f: A → B; h: C → D ta có ( g1 +g ) f = g1f + g f, h ( g1 +g ) = hg1 + hg C2- C có vật không, ký hiệu C3- Đối với cặp vật A1 A2, tồn vật B bốn cấu xạ: j1 j2 A1 p B p2 A2 thỏa mãn ñẳng thức p1 j1 = 1A1 , p j2 = 1A2 , j1p1 + j2 p = 1B Tính chất 2.1.1 - Vì tập hợp [ A, B]C nhóm cộng nên tồn cấu xạ từ vật A tới vật B (chẳng hạn, phần tử không nhóm) - Nếu ta kí hiệu phần tử không nhóm [ A, B]C ta có f = = g , hợp thành ñó ñược xác ñịnh - Vì [ 0, 0]C , ñó vật không phạm trù C nhóm có phần tử nên phần tử ñó, cụ thể cấu xạ ñồng vật không, phải phần tử không nhóm - Phần tử không nhóm [ A, B]C cấu xạ từ A tới B - Với cấu xạ f : A → B vật X C , ánh xạ cảm [ ] →[ X, B]C , g a fg ñồng cấu nhóm Abel sinh [ X, A]C  X, f [ ] → [ A, X ]C - Tương tự, ánh xạ cảm sinh [ B, X ]C  f, X ñồng cấu nhóm Abel h Footer Page 20 of 126 a hf Header Page 21 of 126 19 Chú ý 2.1.1 Bây ta suy vài hệ tiên ñề C3 Ta có p1 j2 =p1 ( j1p1 +j2 p ) j2 = 1A1 p1 j2 + p1 j21A = p1 j2 + p1 j2 Từ ñẳng thức p1 j2 =p1 j2 + p1 j2 suy p1 j2 =0 Tương tự ta có p j1 =0 Nếu f1: C → A1 , f : C → A cặp cấu xạ chung nguồn C tương ứng ( f1 , f ) a g , ñó g = j1f1 +j2 f : C → B ánh xạ: [C, A1 ]C ⊕ [C, A ]C → [C, B]C (dấu ⊕ ñây tổng trực tiếp nhóm Abel) Ánh xạ ñồng cấu nhóm cộng Hơn nữa, ñẳng cấu nghịch ñảo rõ ràng g a ( p1g, p g ) Vậy ta có [ C, A1 ]C ⊕ [ C, A ]C ≅ [ C, B]C Chú ý 2.1.2 (Hạt nhân ñối hạt nhân phạm trù cộng tính) Định nghĩa 2.1.2 Sau ñây ta giả thiết phạm trù cộng tính C cấu xạ ñều có hạt nhân ñối hạt nhân Giả sử f: A → B cấu xạ C, ( K, u ) = Kerf , ( C, p ) = Cokerf , ( D, q ) = Cokeru , ( I, v ) = Kerp ( D, q) =Coker ( kerf ) gọi ñối ảnh f ñược ký hiệu Coimf ( I, v ) = Ker ( Cokerf ) gọi ảnh f ñược ký hiệu Imf Mệnh ñề 2.1.1 (Sự phân tích tắc cấu xạ) Ví dụ 2.1.1 Trong phạm trù vM od, giả sử f: A → B V-ñồng cấu Khi ñó ta có: K = Kerf = f -1 ( ) , u: K A B C = Cokerf = , p: B → B Kerf (ñồng cấu tự nhiên) Imf D = Coimf = A Kerf = A Imu = Cokeru , q: A → A Kerf (ñồng cấu tự nhiên) I = Imf = Kerp , imf B Ánh xạ tắc f: Coimf = A Kerf → Imf ñẳng cấu Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 20 2.2 PHẠM TRÙ ABEL Định nghĩa 2.2.1 Một phạm trù A gọi phạm trù Abel thỏa mãn tiên ñề sau: Ab1 A cộng tính Ab2 Mọi cấu xạ A ñều có hạt nhân ñối hạt nhân Ab3 Đối với cấu xạ f: A → B A, cấu xạ tắc f phân tích tắc f = vfq ñẳng xạ Tính chất 2.2.1 1) Trong phạm trù Abel A song xạ ñều ñẳng xạ 2) Trong phạm trù Abel A cấu xạ f: A → B ñều phân tích ñược dạng f = hg , ñó g toàn xạ, h ñơn xạ 3) Trong phạm trù Abel A ñơn xạ ñều hạt nhân, toàn xạ ñều ñối hạt nhân 4) Đảo lại, A phạm trù cộng tính, ñó cấu xạ f ñều có hạt nhân ñối hạt nhân ñều phân tích ñược dạng f = hg , với g toàn xạ, h ñơn xạ ñó u ñơn xạ u = Ker ( Cokeru ) , v toàn xạ v = Coker ( Kerv ) A phạm trù Abel Định lý 2.2.1 Trong phạm trù Abel, dãy hai cấu xạ: f g A  → B  → C gọi dãy khớp thỏa mãn ñiều kiện tương ñương: i) Imf = Kerg ii) Coimg = Cokerf 2.3 HÀM TỬ CỘNG TÍNH Định nghĩa 2.3.1 Giả sử C C’ hai phạm trù cộng tính H hàm tử (hiệp biến phản biến từ C tới C’) Hàm tử H gọi cộng tính với cặp vật A, B C, ánh xạ [ A, B]C →  H ( A ) , H ( B )  C ' , f a H ( f ) ñồng Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 21 cấu nhóm Abel, nói cách khác với cặp vật f, g từ A tới B, ta có H ( f+g ) = H ( f ) + H ( g ) Ví dụ 2.3.1 Nếu C phạm trù cộng tính với vật A C hàm tử H A : C → A b, X a H A ( X ) = [ A, X ]C cộng tính ( ) Tương tự hàm tử: HA: Co →Ab, Xo aHA Xo =[ X, A]C cộng tính Tính chất 2.3.1 Nếu H hàm tử cộng tính từ phạm trù cộng tính C tới phạm trù cộng tính C’ ta có: - H ( ) = 0, H ( -f ) = - H ( f ) , - H ( A1 C A ) ≅ H ( A1 ) C H ( A ) , ( H ( A1 ∏ A ) ≅ H ( A1 ) ∏ H ( A ) ) Định nghĩa 2.3.2 Một liên hợp hàm tử H với hàm tử K ≅ song ánh tập hợp ϕ = ϕAB : H ( A) , BB  →[ A, K (B)]A xác ñịnh với vật A A, vật B B tự nhiên biến A B Khi ñó ta nói H liên hợp (hay liên hợp trái) K K ñối liên hợp (hay liên hợp phải) H Định lý 2.3.1 Giả sử M A phạm trù T : M o × A → Th song hàm tử cho với vật M M, hàm tử T(M, -) có biểu diễn ( R M , ϕ M ) Khi ñó, tồn hàm tử R : M → A , với ánh xạ - vật R ( M ) =R M cho song ánh ϕM : [ R M , A]A → T ( M, A ) tự nhiên M A Tính chất 2.3.2 Một hàm tử K : B → A có liên hợp trái ñối với vật A A, hàm tử: [ A, K -]A = H A K : B → T h biểu diễn ñược Nếu ( H ( A ) ,ϕ ) biểu diễn hàm tử ñó - vật liên hợp ϕ H ánh xạ liên hợp tương ứng Tính chất 2.3.3 Giả sử K : B → A hàm tử (hiệp biến) giả sử K có liên hiệp trái H : A → B Khi ñó: 1) Nếu K cộng tính H cộng tính ñảo lại Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 22 2) Trong trường hợp K (và ñó H) cộng tính, song ánh liên ≅ →  A, K ( B )  A ñẳng cấu nhóm Abel hợp  H ( A ) , B B  2.4 HÀM TỬ KHỚP Định nghĩa 2.4.1 Giả sử C C’ hai phạm trù cộng tính H hàm tử hiệp biến cộng tính từ C tới C’ - Hàm tử H gọi khớp trái H biến hạt nhân thành hạt nhân Định nghĩa 2.4.2 Một hàm tử hiệp biến cộng tính H : C → C ' f g khớp trái ta có dãy cấu xạ A  →B →C với f = Kerg phạm trù C vật X’ C’ dãy ñồng cấu nhóm Abel sau khớp X', H ( f )  X', H ( g )      →  X', H ( A )  C'  →X', H ( B)  C'  → X', H ( C)  C' - Ta ñịnh nghĩa hàm tử hiệp biến cộng tính H : C → C ' khớp phải biến ñối hạt nhân thành ñối hạt nhân - Một hàm tử phản biến cộng tính K : C → C ' gọi khớp trái biến ñối hạt nhân thành hạt nhân - Một hàm tử phản biến cộng tính K : C → C ' gọi khớp phải biến hạt nhân thành ñối hạt nhân - Một hàm tử (hiệp biến hay phản biến) cộng tính gọi khớp khớp trái khớp phải Ví dụ 2.4.1 - Các hàm tử H A : v M od → A b khớp trái - Nếu A V-môñun phải cố ñịnh hàm tử A ⊗ v khớp phải - Tương tự, B V-môñun trái cố ñịnh hàm tử - ⊗ v B khớp phải Footer Page 24 of 126 Header Page 25 of 126 23 Tính chất 2.4.1 Giả sử K : B → A hàm tử hiệp biến cộng tính giả sử K có liên hiệp trái H : A → B Khi ñó K khớp trái H khớp phải Tính chất 2.4.2 Giả sử K : B → A hàm tử hiệp biến cộng tính giả sử K có liên hiệp trái H : A → B Nếu với vật A A vật B B cấu xạ u A : A → K ( H ( A ) ) u'B: H ( K ( B) ) → B ñẳng xạ hàm tử K H khớp 2.5 HÀM TỬ KHỚP TRONG CÁC PHẠM TRÙ ABEL Định nghĩa 2.5.1 Nếu H : A → A ' hàm tử hiệp biến cộng tính H khớp trái biến dãy khớp → A → B → C thành dãy khớp → H ( A) → H ( B) → H ( C) Mệnh ñề 2.5.1 Một hàm tử hiệp biến cộng tính từ phạm trù Abel A tới phạm trù Abel A’ khớp có ñủ ñối với f g dãy khớp ngắn → A  → B  → C → dãy ( ) ( ) → H ( A )  → H ( B )  → H ( C ) khớp H f H g Mệnh ñề 2.5.2 Một hàm tử hiệp biến cộng tính H : A → A ' khớp trái, có ñủ biến dãy khớp ngắn 0→A→B→C→0 thành → H ( A ) → H ( B) → H ( C ) → Footer Page 25 of 126 dãy khớp ngắn Header Page 26 of 126 24 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết phạm trù, luận văn ñã hoàn thành ñạt ñược mục tiêu nghiên cứu ñề tài với kết cụ thể sau: - Tổng quan hệ thống cách ñầy ñủ kiến thức sở phạm trù hàm tử ñẳng xạ, ñơn xạ, song xạ, vật khởi ñầu, vật tận cùng, phép biến ñổi tự nhiên, hàm tử biểu diễn ñược, hạt nhân, ñối hạt nhân Ngoài ra, hệ thống ví dụ minh họa ñược trình bày nhằm làm sáng tỏ vấn ñề liên quan - Trình bày cách ñầy ñủ chi tiết phạm trù cộng tính, phạm trù Abel, hàm tử cộng tính, hàm tử khớp hàm tử khớp phạm trù Abel, ñồng thời ñưa ví dụ mang tính minh họa ñể làm sáng tỏ cho vấn ñề nghiên cứu Với vấn ñề ñã khảo sát ñược, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục ñi sâu nghiên cứu sau hy vọng luận văn nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu lý thuyết phạm trù Trong ñiều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa ñi nghiên cứu sâu ứng dụng lý thuyết phạm trù hàm tử ñại số ñồng ñiều (xem [5] [7]) Đó hướng phát triển luận văn Footer Page 26 of 126 ... chương Chương Phạm trù hàm tử Chương Phạm trù cộng tính Hàm tử cộng tính Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ 1.1 KHÁI NIỆM PHẠM TRÙ Định nghĩa 1.1.1 Cho phạm trù P cho... gọi phạm trù phạm trù P nếu: a) Mỗi vật phạm trù C vật phạm trù P b) Mỗi cấu xạ phạm trù C cấu xạ phạm trù P c) Hợp thành gf cấu xạ f, g C phạm trù C trùng với hợp thành cấu xạ ñó phạm trù. .. C phạm trù cộng tính với vật A C hàm tử H A : C → A b, X a H A ( X ) = [ A, X ]C cộng tính ( ) Tương tự hàm tử: HA: Co →Ab, Xo aHA Xo =[ X, A]C cộng tính Tính chất 2.3.1 Nếu H hàm tử cộng tính