Một nghiên cứu phân loại về tập thô suy rộng

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN HUỲNH TIỂU MY MỘT NGHIÊN CỨU PHÂN LOẠI VỀ TẬP THÔ SUY RỘNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Phản biện 1: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 2: TS.NGUYỄN NGỌC CHÂU Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tư tưởng lý thuyết tập thô dựa quan hệ không phân biệt (là quan hệ tương đương) nhằm mô tả tính không phân biệt đối tượng Phương pháp đóng vai trò quan trọng tạo nhiều ứng dụng lý thú lĩnh vực trí tuệ nhân tạo khoa học nhận thức Khái niệm sở đặc trưng lý thuyết tập thô toán tử xấp xỉ Lý thuyết tập thô nghiên cứu nhiều phương diện toán học, tin học khoa học khác Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu cấu trúc đại số tập thô, toán tử xấp xỉ tập thô xây dựng tập thô suy rộng dựa quan hệ hai hệ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài khảo sát cấu trúc đại số tập thô, toán tử xấp xỉ tập thô Đề tài đề cập đến tập thô suy rộng dựa quan hệ hai hệ Phương pháp nghiên cứu • Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến lý thuyết tập thô, cụ thể xấp xỉ tập thô, cấu trúc đại số tập thô xây dựng tập thô suy rộng dựa quan hệ hai hệ • Tham gia buổi seminar hàng tuần để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài • Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Cấu trúc đại số tập thô, xấp xỉ tập thô tập thô suy rộng nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu lý thuyết tập thô • Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh họa đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương, đó: Chương Tập thô xấp xỉ tập thô Chương Tập thô suy rộng Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương TẬP THÔ VÀ XẤP XỈ TẬP THÔ 1.1 Không gian xấp xỉ Pawlak Định nghĩa 1.1.1 Cho U tập vũ trụ R quan hệ tương đương U Khi đó: 1) Cặp (U, R) gọi không gian xấp xỉ Pawlak (hay gọi tắt không gian xấp xỉ) 2) Quan hệ tương đương R phân hoạch tập U thành tập rời nhau, kí hiệu U/R 3) Nếu x, y ∈ U thuộc lớp tương đương ta nói x y không phân biệt 4) Mỗi lớp tương đương R U gọi tập sơ cấp 5) Tập ∅ hợp tập sơ cấp gọi tập hợp thành (U, R) Kí hiệu: Com(U ) họ tất tập hợp thành (U, R) Nhận xét 1.1.1 Đặt 2U := {X|X ⊆ U }, gọi tập lũy thừa U Khi đó, nói chung ta có Com(U ) = 2U Tức là, có tập hợp tập U không tập hợp thành, chẳng hạn, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.1.1 Xét U = N∗ quan hệ R U xác định sau: ∀x, y ∈ U : xRy ⇔ x ≡ y (mod 2) Rõ ràng R quan hệ tương đương U (U, R) không gian xấp xỉ Tuy nhiên Com(U ) = {∅, [1]R , [2]R , U } = 2U Vì {1, 2} ∈ 2U {1, 2} ∈ / Com(U ) Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2 Xấp xỉ tập thô Định nghĩa 1.2.1 Cho U tập vũ trụ R quan hệ tương đương U Xét ánh xạ R, R : 2U −→ 2U xác định bởi: ∀X ⊆ U, R(X) :=tập hợp thành lớn chứa X , R(X) :=tập hợp thành nhỏ chứa X Khi đó, R(X), R(X) gọi R−xấp xỉ R−xấp xỉ X ; R R gọi toán tử xấp xỉ toán tử xấp xỉ không gian xấp xỉ (U, R) Hình 1.1: Hình vẽ minh họa toán tử xấp xỉ Ví dụ 1.2.1 Xét U R Ví dụ 1.1.1 Khi ta có: R({1, 2}) = ∅ R({1, 2}) = U Định nghĩa 1.2.2 Đối với tập X ⊆ U không gian xấp xỉ (U, R), hiệu R− xấp xỉ R− xấp xỉ gọi R−vùng biên X kí hiệu BNR (X) Như ta có BNR (X) = R(X) − R(X) Nhận xét 1.2.1 1) ∀X ⊆ U , ta có R(X) ⊆ X ⊆ R(X) 2) Nếu X ∈ Com(U ) R(X) = X = R(X) Khi BNR (X) = ∅ 1.3 1.3.1 Nghiên cứu cấu trúc lý thuyết tập thô Định nghĩa dựa hệ Theo quan điểm này, xấp xỉ tập X mô tả sau: Footer Page of 126 Header Page of 126 1.3.2 R(X) = {Y ∈ σ(U/R)|Y ⊆ X}, R(X) = {Y ∈ σ(U/R)|Y ⊇ X} Định nghĩa dựa phần tử Cho U tập vũ trụ R quan hệ tương đương U Với X ⊆ U , xấp xỉ X mô tả lại sau: R(X) = {x ∈ U |[x]R ⊆ X} = {x ∈ U |∀y ∈ U, xRy ⇒ y ∈ X} = {x ∈ U |∀y, y ∈ [x]R ⇒ y ∈ X} R(X) = {x ∈ U |[x]R ∩ X = ∅} = {x ∈ U |∃y ∈ U, xRy y ∈ X} = {x ∈ U |∃y, y ∈ [x]R y ∈ X} 1.3.3 Định nghĩa dựa quan hệ tương đương Khi xem xét tập X theo lớp tương đương, ta định nghĩa xấp xỉ X sau: 1.4 R(X) = {[x]R |[x]R ⊆ X}, R(X) = {[x]R |[x]R ∩ X = ∅} Các tính chất xấp xỉ tập thô Mệnh đề 1.4.1 Các tính chất toán tử xấp xỉ R (L0) (L1) (L2) (L3) (L4) (L5) (L6) (L7) R(X) = (R(X c))c, R(U ) = U, R(X ∩ Y ) = R(X) ∩ R(Y ), R(X ∪ Y ) ⊇ R(X) ∪ R(Y ), X ⊆ Y ⇒ R(X) ⊆ R(Y ), R(∅) = ∅, R(X) ⊆ X, X ⊆ R(R(X)), Footer Page of 126 Header Page of 126 (L8) R(X) ⊆ R(R(X)), (L9) R(X) ⊆ R(R(X)) Mệnh đề 1.4.2 Các tính chất toán tử xấp xỉ R (U 0) (U 1) (U 2) (U 3) (U 4) (U 5) (U 6) (U 7) (U 8) (U 9) R(X) = (R(X c))c, R(∅) = ∅, R(X ∪ Y ) = R(X) ∪ R(Y ), R(X ∩ Y ) ⊆ R(X) ∩ R(Y ), X ⊆ Y ⇒ R(X) ⊆ R(Y ), R(U ) = U, X ⊆ R(X), R(R(X)) ⊆ X, R(R(X)) ⊆ R(X), R(R(X)) ⊆ R(X) Ngoài ra, toán tử xấp xỉ thỏa mãn tính chất sau: (K) R((X ∪ Y )c) ⊆ (R(X) ∪ R(Y ))c, (K ) R((X ∩ Y )c) ⊇ (R(X) ∩ R(Y ))c, (LU ) R(X) ⊆ R(X) Nhận xét 1.4.1 1) Qua tính chất (L0) (U 0) ta thấy hai toán tử xấp xỉ R R có tính chất đối ngẫu với qua phép lấy phần bù c Hai tính chất viết lại dạng sau: (L0) (U 0) (R(X))c = R(X c), (R(X))c = R(X c) 2) Các tính chất không độc lập Chẳng hạn tính chất (L3) suy từ (L2) (U 3) suy từ (U 2) Các tính chất (L8), (L9), (U 8) (U 9) biểu diễn bao hàm thức Khi kết hợp tính chất Mệnh đề 1.4.1 1.4.2 ta thu số tính chất khác, chẳng hạn: Từ (L6) (L8) ta có: (L68) R(X) = R(R(X)) Từ (U 6) (U 8) ta có: (U 68) R(X) = R(R(X)) Footer Page of 126 Header Page of 126 Từ (L6) (L9) ta có: (L69) R(X) = R(R(X)) Từ (U 6) (U 9) ta có: (U 69) R(X) = R(R(X)) Ví dụ 1.4.1 Xét U R Ví dụ 1.1.1 Đặt: X = {1, 5, 9, 13, } = {x = 4k + 1|k = 0, 1, 2, 3, }, Y = {3, 7, 11, 15, } = {y = 4l − 1|l = 1, 2, 3, 4, } Khi đó, ta có: X ∪ Y = [1]R ; X ∩ Y = ∅, R(X) = ∅ = R(Y ), R(X) = [1]R = R(Y ), R(X ∪ Y ) = [1]R , R(X ∩ Y ) = ∅ Do đó: ∅ = R(X) ∪ R(Y ) ⊆ R(X ∪ Y ) = [1]R [1]R = R(X) ∩ R(Y ) ⊇ R(X ∩ Y ) = ∅ Mệnh đề 1.4.3 Cho (U, R) không gian xấp xỉ, X Y tập U , X ∈ Com(U ) Khi đó: (L10) R(X ∪ Y ) = R(X) ∪ R(Y ), (U 10) R(X ∩ Y ) = R(X) ∩ R(Y ) 1.5 Lượng gia chắn lượng giảm không chắn Định nghĩa 1.5.1 Cho U tập vũ trụ, R quan hệ tương đương U X ⊆ U Với x ∈ X , kí hiệu: H(X) := {hX (x)|x ∈ BNR (X) ∩ X}, L(X) := {lX (x)|x ∈ BNR (X) ∩ X}, đó, hX (x) := [x]R − X lX (x) := [x]R − hX (x) Khi H(X) L(X) gọi vùng thô R−cảm sinh vùng tương quan thô R−cảm sinh X Footer Page of 126 Header Page of 126 Hình 1.2: Vùng thô R-cảm sinh vùng tương quan thô R-cảm sinh Nhận xét 1.5.1 1) Với x ∈ X ta có: i) lX (x) = [x]R ∩ X, ii) hX (x) ∩ lX (x) = ∅ hX (x) ∪ lX (x) = [x]R 2) H(X) ∩ L(X) = ∅ H(X) ∪ L(X) = BNR (X) 3) H(X) = R(X) − X L(X) = X − R(X) Định nghĩa 1.5.2 Cho U tập vũ trụ R quan hệ tương đương U Với X, Y ⊆ U , tập hợp RX (Y ) := {[x]R |x ∈ L(X), lX (x) Y, hX (x) ⊆ Y } gọi lượng gia chắn X Y Nhận xét 1.5.2 Với X, Y ⊆ U , ta có RX (Y ) = ∅ ∃A ∈ Com(U ), ∅ A U cho A ⊆ X ∪ Y A X A Y Mệnh đề 1.5.1 Cho (U, R) không gian xấp xỉ X, Y ⊆ U Khi đó, ta có RX (Y ) = RY (X) Mệnh đề 1.5.2 Cho (U, R) không gian xấp xỉ X ⊆ U Khi đó, ta có: 1) RX (∅) = ∅ 2) RX (X) = ∅ 3) RX (X c ) = BNR (X) = R(X) − R(X) Định nghĩa 1.5.3 Cho (U, R) không gian xấp xỉ Với X, Y ⊆ U , tập hợp RX (Y ) := Footer Page of 126 {[x]R |x ∈ L(X), lX (x) ∩ Y = ∅, hX (x) ∩ Y = ∅} Header Page 10 of 126 gọi lượng giảm không chắn X Y Định lý 1.5.1 Cho (U, R) không gian xấp xỉ Với X, Y ⊆ U , ta có: (L11) R(X ∪ Y ) = R(X) ∪ R(Y ) ∪ RX (Y ), (U 11) R(X ∩ Y ) = R(X) ∩ R(Y ) − RX (Y ) Ví dụ 1.5.1 Cho U = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 } R quan hệ tương đương U với lớp tương đương sau: E1 = {x1, x4, x8}, E2 = {x2, x5, x7}, E3 = {x3}, E4 = {x6} Tức tập thương U/R = {E1 , E2 , E3 , E4 } a) Xét X1 = {x1 , x4 , x7 } X2 = {x2 , x8 } tập U Khi ta có: X1 ∪ X2 = {x1, x2, x4, x7, x8} = E1 ∪ {x2, x7} Vì E1 ∈ Com(U ) nên R(X1 ∪ X2) = R(E1) ∪ R({x2, x7}) = E1 ∪ ∅ = E1 (1.5c) Do R(X1 ) = ∅ R(X2 ) = ∅ nên R(X1 ) ∪ R(X2 ) = ∅ Từ suy R(X1 ) ∪ R(X2 ) R(X1 ∪ X2 ) Bây ta tính RX1 (X2 ) Ta có BNR (X1 ) = R(X1 ) − R(X1 ) Do R(X1 ) = E1 ∪ E2 nên từ R(X1 ) = ∅ ta suy BNR (X1 ) = E1 ∪ E2 Vì X1 ⊆ E1 ∪ E2 nên BNR (X1 ) ∩ X1 = (E1 ∪ E2 ) ∩ X1 = X1 = {x1, x4, x7} Theo Định nghĩa 1.5.1, ta có: L(X1) = {x1, x4, x7}, lX1 (x1) = {x1, x4}, lX1 (x4) = {x1, x4}, lX1 (x7) = {x7}, hX1 (x1) = {x8}, hX1 (x4) = {x8}, hX1 (x7) = {x2, x5} Do đó, theo Định nghĩa 1.5.2, ta có: RX1 (X2) = [x1]R ∩ [x4]R = E1 Từ suy R(X1) ∪ R(X2) ∪ RX1 (X2) = ∅ ∪ E1 = E1 Footer Page 10 of 126 (1.5d) 10 Header Page 12 of 126 2) Giả sử R quan hệ tương đương U cho lớp tương đương chứa phần tử Khi đó, với A, B ∈ Com(U ) mà A ⊆ B tồn tập X ⊆ U cho R(X) = A R(X) = B , tức cặp (A, B) tập thô (U, R) Định nghĩa 1.6.2 Cho U tập vũ trụ, R quan hệ tương đương U X, Y ⊆ U Khi đó: 1) X gọi R−bao hàm Y R(X) ⊆ R(Y ) R(X) ⊆ R(Y ) Lúc ta viết R(X) R R(Y ) 2) X Y gọi R−bằng (bằng theo nghĩa thô, ta viết: R(X) = R(Y )) R(X) = R(Y ) R(X) = R(Y ) Nhận xét 1.6.2 Quan hệ R−bao hàm tự RR (U ) R quan hệ thứ Ví dụ 1.6.1 Cho U = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 } R quan hệ tương đương U Ví dụ 1.5.1 Lấy Z1 = {x1 }, Z2 = {x3 , x4 } Z3 = {x1 , x3 } tập U Ta có: R(Z1) = ∅, R(Z2) = {x3}, R(Z3) = {x3}, R(Z1) = {x1, x4, x8}, R(Z2) = {x1, x3, x4, x8}, R(Z3) = {x1, x3, x4, x8} Vì R(Z1) ⊆ R(Z2) = R(Z3) R(Z1) ⊆ R(Z2) = R(Z3) nên R(Z1) R R(Z2) R(Z2) = R(Z3) Vậy Z1 R−bao hàm Z2 , Z3 , Z2 Z3 R−bằng 1.6.2 Các phép toán tập thô Định nghĩa 1.6.3 Cho U tập vũ trụ R quan hệ tương đương U Khi RR (U ) ta xây dựng phép toán sau: 1) Hợp hai tập thô R(X) R(Y ) := R(X ∪ Y ) = (R(X) ∪ R(Y ) ∪ RX (Y ), R(X) ∪ R(Y )), Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 2) Giao hai tập thô R(X) R(Y ) := R(X ∩ Y ) = (R(X) ∩ R(Y ), R(X) ∩ R(Y ) − RX (Y )), 3) Hiệu hai tập thô R(X) − R(Y ) : = R(X) R(Y c) = R(X ∩ Y c) = (R(X) − R(Y ), R(X) − R(Y ) − RX (Y c)), 4) Phần bù tập thô (R(X))c := R(X c) = ((R(X))c, (R(X))c) Mệnh đề 1.6.1 Cho (U, R) không gian xấp xỉ Với X, Y, Z ⊆ U, ta có: 1) Luật giao hoán (a) R(X) R(Y ) = R(Y ) R(X), (b) R(X) R(Y ) = R(Y ) R(X) 2) Luật kết hợp (c) [R(X) R(Y )] R(Z) = R(X) [R(Y ) R(Z)], (d) [R(X) R(Y )] R(Z) = R(X) [R(Y ) R(Z)] 3) Luật phân phối (e) R(X) [R(Y ) R(Z)] = [R(X) R(Y )] [R(X) (f) R(X) [R(Y ) R(Z)] = [R(X) R(Y )] [R(X) 4) Luật lũy đẳng (g) R(X) R(X) = R(X), (h) R(X) R(X) = R(X) 5) Luật bù (i) R(X) R(X c ) = R(U ), (j) R(X) R(X c ) = R(∅) 6) Luật 0-1 (k) R(X) R(∅) = R(X), (l) R(X) R(U ) = R(X) 7) Luật De Morgan (m) [R(X) R(Y )]c = R(X c ) R(Y c ), (n) [R(X) R(Y )]c = R(X c ) R(Y c ) 1.7 R(Z)], R(Z)] Nghiên cứu đại số lý thuyết tập thô Định nghĩa 1.7.1 Cho L, H : 2U −→ 2U hai toán tử tập lũy thừa 2U Chúng gọi toán tử đối ngẫu nếu: (L0) L(X) = (H(X c))c, (H0) H(X) = (L(X c))c, với X ⊆ U Footer Page 13 of 126 12 Header Page 14 of 126 Mệnh đề 1.7.1 Cho L, H : 2U −→ 2U cặp toán tử đối ngẫu Khi L, H thỏa tính chất sau: (K) (K ) (L1) (L2) (H1) (H2) (D) (T ) (T ) (B) (B ) (4) (4 ) (5) (5 ) L((X ∪ Y )c) ⊆ (L(X) ∪ L(Y ))c, (H(X ∩ HY ))c ⊆ H((X ∩ Y )c), L(U ) = U, L(X ∩ Y ) = L(X) ∩ L(Y ), H(∅) = ∅, H(X ∪ Y ) = H(X) ∪ H(Y ), L(X) ⊆ H(X), L(X) ⊆ X, X ⊆ H(X), X ⊆ LH(X), HL(X) ⊆ X, L(X) ⊆ LL(X), HH(X) ⊆ H(X), H(X) ⊆ LH(X), HL(X) ⊆ L(X) Định lý 1.7.1 Giả sử L, H : 2U −→ 2U cặp toán tử đối ngẫu Nếu H thỏa mãn tính chất (H1) (H2) tồn quan hệ hai R U cho với X ⊆ U , ta có L(X) = R(X) H(X) = R(X) Ở đây, R(X) = {x|xR ⊆ X} R(X) = {x|xR ∩ X = ∅} với xR = {y|xRy} Nhận xét 1.7.1 Vì L H hai toán tử đối ngẫu nên (H1) ⇔ (L1) (H2) ⇔ (L2) Định lý 1.7.2 Giả sử L, H : 2U −→ 2U cặp toán tử đối ngẫu Nếu H thỏa tính chất (H1), (H2), (T ), (4 ) (B) tồn quan hệ tương đương R U cho L(X) = R(X) H(X) = R(X) với X ⊆ U R, R toán tử xấp xỉ xác định bới quan hệ tương đương R Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 Chương TẬP THÔ SUY RỘNG 2.1 Xây dựng tập thô suy rộng dựa quan hệ hai 2.1.1 Không gian xấp xỉ suy rộng Cho R ⊆ U × U quan hệ hai tùy ý tập vũ trụ U Khi đó, cặp (U, R) gọi không gian xấp xỉ suy rộng Cho x, y ∈ U , xRy ta nói y R−quan hệ với x (hay y có quan hệ R với x).Một quan hệ hai R định nghĩa cách sử dụng ánh xạ r sau: r : U −→ 2U , x −→ r(x) := xR = {y ∈ U |xRy}, ∀x ∈ U Ở đây, r(x) tập U mà chứa tất phần tử có quan hệ R với x Nó gọi lân cận liền sau x (có thể xem [21], [26]) Ví dụ 2.1.1 Xét tập vũ trụ U = {a, b, c} quan hệ hai R cho sau: aRa, Khi đó: 2.1.2 r(a) = {a, b}, aRb, bRc, r(b) = {c}, cRb r(c) = {b} Toán tử xấp xỉ suy rộng Định nghĩa 2.1.1 Cho R quan hệ hai tùy ý tập vũ trụ U r(x) tập hợp tất phần tử có quan hệ R với x Một cặp toán tử xấp xỉ R, R xác định sau: Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 R(X) = {x ∈ U |r(x) ⊆ X}, R(X) = {x ∈ U |r(x) ∩ X = ∅} với X ⊆ U Nhận xét 2.1.1 Theo định nghĩa này, ta có x ∈ R({y}) ⇔ r(x)∩{y} = ∅ ⇔ y ∈ r(x) Quan hệ hai xây dựng lại từ xấp xỉ tập U : r(x) = {y|x ∈ R({y})} Ví dụ 2.1.2 Xét U R Ví dụ 2.1.1 Khi đó, ta có: R(∅) = ∅, R({a}) = ∅, R({b}) = {c}, R({c}) = {b}, R({a, b}) = {a, c}, R({a, c}) = {b}, R({b, c}) = {b, c}, R(U ) = U, R(∅) = ∅, R({a}) = {a}, R({b}) = {a, c}, R({c}) = {b}, R({a, b}) = {a, c}, R({a, c}) = {a, b}, R({b, c}) = U, R(U ) = U Mệnh đề 2.1.1 Cho R quan hệ hai tập U Khi đó: 1) Nếu R có tính nối tiếp ta có R(X) ⊆ R(X) 2) Nếu R có tính phản xạ ta có R(X) ⊆ X 3) Nếu R có tính đối xứng ta có X ⊆ R(R(X)) 4) Nếu R có tính bắc cầu ta có R(X) ⊆ R(R(X)) 5) Nếu R có tính Euclid ta có R(X) ⊆ R(R(X)) 2.2 2.2.1 Xây dựng tập thô suy rộng dựa tôpô Không gian tôpô Pawlak Cho không gian xấp xỉ Pawlak (U, R) với U tập hữu hạn khác rỗng R quan hệ tương đương, ta có không gian tôpô (U, Com(U )) Ngoài Com(U ) đóng phép lấy phần bù nên họ tất tập mở trùng với họ tất tập đóng Kiểu không gian tôpô gọi tôpô Pawlak [21] Khi đó, ta phát biểu lại định nghĩa dựa hệ sau: Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 2.2.2 R(X) = {Y |Y ∈ Com(U ), Y ⊆ X}, R(X) = {Y |Y ∈ Com(U ), X ⊆ Y } Không gian tôpô Định nghĩa 2.2.1 Cho tập U , họ O(U ) tập U gọi tôpô U thỏa tiên đề sau: (O1) ∅ ∈ O(U ), U ∈ O(U ), (O2) O(U ) đóng theo phép hợp, (O3) O(U ) đóng theo phép giao hữu hạn Khi (U, O(U )) gọi không gian tôpô Các phần tử O(U ) gọi tập mở Họ tất tập đóng C(U ) = {X c |X ∈ O(U )} xác định tiên đề sau: (C1) ∅ ∈ C(U ), U ∈ C(U ), (C2) C(U ) đóng theo phép giao, (C3) C(U ) đóng theo phép hợp hữu hạn Mở rộng định nghĩa toán tử xấp xỉ, ta có: 2.3 R(X) = {Y |Y ∈ O(U ), Y ⊆ X}, R(X) = {Y |Y ∈ C(U ), X ⊆ Y } Xây dựng tập thô suy rộng dựa hệ bao đóng Định nghĩa 2.3.1 Một họ C(U ) tập U gọi hệ bao đóng U ∈ C(U ) đóng phép giao Tức là: ◦ U ∈ C(U ), ◦ Với tập D ⊆ C(U ), ta có: D ∈ C(U ) Bằng cách lấy phần bù phần tử tập C(U ), ta thu hệ khác tập O(U ) = {X c |X ∈ C(U )} Cặp hệ O(U ) O(U ) tương ứng với họ tập mở đóng không gian tôpô Định nghĩa suy rộng để hình thành toán tử xấp xỉ hệ bao đóng sau: Footer Page 17 of 126 R(X) = {Y |Y ∈ O(U ), Y ⊆ X}, R(X) = {Y |Y ∈ C(U ), X ⊆ Y } 16 Header Page 18 of 126 Trên thực tế, toán tử xấp xỉ toán tử bao đóng thỏa tính chất sau: (j1) (j2) (j3) Nếu X ⊆ Y R(X) ⊆ R(Y ), X ⊆ R(X), R(R(X)) = R(X) Toán tử xấp xỉ thỏa tính chất sau: (j1 ) (j2 ) (j3 ) Nếu X ⊆ Y R(X) ⊆ R(Y ), R(X) ⊆ X, R(R(X)) = R(X) Định nghĩa 2.3.2 Cho R quan hệ hai tập hợp U X ⊆ U Lân cận liền sau X tập U xác định R(X) = xR x∈X Mệnh đề 2.3.1 Cho R quan hệ hai tập hợp U Khi với X, Y ⊆ U ta có: 1) 2) 3) 4) R(∅) = ∅; R(X ∪ Y ) = R(X) ∪ R(Y ); X ⊆ Y ⇒ R(X) ⊆ R(Y ); R(X ∩ Y ) ⊆ R(X) ∩ R(Y ) Định nghĩa 2.3.3 Cho R quan hệ hai tập hợp U Với X ⊆ U, ký hiệu: O(U ) = {R(X)|X ⊆ U }, C(U ) = {X c|X ∈ O(U )} Họ O(U ) gọi họ lân cận R(X) C(U ) gọi họ phần bù O(U ) Mệnh đề 2.3.2 Các họ O(U ) C(U ) Định nghĩa 2.3.3 thỏa mãn tính chất sau: (O1) (C1) (O2) (C2) Footer Page 18 of 126 ∅ ∈ O(U ); U ∈ C(U ); O(U ) đóng phép hợp; C(U ) đóng phép giao 17 Header Page 19 of 126 2.4 Xây dựng tập thô suy rộng dựa đại số Boole Định nghĩa 2.4.1 Cho B tập khác rỗng, ∨ ∧ hai phép toán hai ngôi, ¬ phép toán B, hai phần tử phân biệt B Một hệ (B, ∨, ∧, ¬, 0, 1) gọi đại số Boole thỏa mãn tiên đề sau với x, y, z ∈ B: (B1) Tính giao hoán x∨y =y∨x x∧y =y∧x (B2) Tính kết hợp (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) (B3) Tính hấp thụ x ∨ (x ∧ y) = x x ∧ (x ∨ y) = x (B4) Tính phân phối x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) (B5) Tính bù x ∨ ¬x = x ∧ ¬x = Ví dụ 2.4.1 1) Với tập hợp U , tập lũy thừa 2U với hai phép toán hợp ∪, giao ∩ tập hợp phép lấy phần bù c đại số Boole, phần tử tập ∅, phần tử U Đại số Boole gọi đại số Boole tập hợp U 2) Xét B = {0, 1} ⊂ N Trên B ta định nghĩa phép toán ∨, ∧ ¬ sau: x ∨ y = max{x, y}, x ∧ y = min{x, y}, ¬0 = ¬1 = Khi (B, ∨, ∧¬, 0, 1) đại số Boole đại số Boole nhỏ Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 3) Ký hiệu B tập hợp ước nguyên dương 70 Trên B xét ba phép toán: ∀x, y ∈ B, x∨y = BCN N (x, y), x∧y = U CLN (x, y), ¬x = Khi B = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70} đại số Boole với phần tử số phần tử số 70 Định nghĩa 2.4.2 Cho (B, ∨, ∧¬, 0, 1) đại số Boole A ⊆ B đóng phép toán ∪, ∩, ¬ Khi A gọi đại số Boole B với phép toán cảm sinh A lập thành đại số Boole Mệnh đề 2.4.1 Cho (B, ∨, ∧¬, 0, 1) đại số Boole A tập hợp B Khi A đại số Boole B nếu: 1) A = ∅, 2) ∀x, y ∈ A ta có: x ∨ y ∈ A, x ∧ y ∈ A ¬x ∈ A Định nghĩa 2.4.3 1) Một tập thứ tự L = ∅ gọi dàn với cặp x, y L tồn cận (supremum) cận (infimum) kí hiệu x ∨ y x ∧ y 2) Dàn L gọi đầy đủ tập S = ∅ L có cận ∨S cận ∧S S L 3) Dàn L gọi phân phối với x, y, z ∈ L ta có: x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) 4) Dàn L gọi bị chặn tồn a, b ∈ L cho a ≤ c ≤ b với c ∈ L Ví dụ 2.4.2 Tập lũy thừa 2U U với quan hệ bao hàm dàn phân phối, đầy đủ bị chặn, bởi: ◦ Quan hệ bao hàm quan hệ thứ tự U ◦ Với A, B ∈ 2U cận cặp A, B A ∪ B cận A ∩ B ◦ Với tập A = {A|A ⊆ U } ⊆ 2U A= A A∈A A= A A∈A Footer Page 20 of 126 70 x 19 Header Page 21 of 126 ◦ ∅ ⊆ A ⊆ U, với A ∈ 2U Nhận xét 2.4.1 Cho (B, ∨, ∧, ¬, 0, 1) đại số Boole Trên B ta xét quan hệ hai ≤ xác định sau: ∀a, b ∈ B, a ≤ b ⇔ a ∨ b = b Rõ ràng ≤ quan hệ thứ tự B Hơn nữa, ≤ a ≤ với a ∈ B Do vậy, B đại số Boole với quan hệ thứ tự ≤ định nghĩa dàn phân phối bị chặn, gọi dàn liên kết với đại số Boole B, kí hiệu LB Định nghĩa 2.4.4 1) Một phần tử a = dàn L gọi nguyên tố không biểu diễn dạng a = b ∨ c với b, c ∈ L b = a, c = a 2) Dàn L gọi dàn nguyên tố phần tử b khác L tồn nguyên tố a cho a ≤ b 3) Đại số Boole B gọi đại số Boole nguyên tố dàn liên kết LB dàn nguyên tố 4) Đại số Boole B gọi đại số Boole đầy đủ dàn liên kết LB dàn đầy đủ Ví dụ 2.4.3 Xét đại số Boole 2U Khi đó, theo định nghĩa ta có nguyên tố 2U tập phần tử {a} với a ∈ U Hơn nữa, tập X = {a1 , a2 , , an } ⊆ U biểu diễn dạng hợp nguyên tố, tức là: n X = {a1} ∪ {a2} ∪ ∪ {an} = {ai} i=1 Vậy 2U đại số Boole nguyên tố đầy đủ Hơn nữa, với phép toán ∪, ∩ c định nghĩa sau: (X, Y ) ∪ (X , Y ) := (X ∪ X , Y ∪ Y ), (X, Y ) ∩ (X , Y ) := (X ∩ X , Y ∩ Y ), (X, Y )c := (X c, Y c) Ta có tích Descartes 2U × 2U đại số Boole đầy đủ nguyên tố, với tập nguyên tố {({a}, ∅)|a ∈ U } ∪ {(∅, {b})|b ∈ U } Nhận xét 2.4.2 Cho L dàn, L có hai phép toán: Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 x ∨ y = sup{x, y}, x ∧ y = inf {x, y}, ∀x, y ∈ L Một dàn L gọi có bù có phần tử lớn nhất, kí hiệu 1, phần tử nhỏ nhất, kí hiệu ∀a ∈ L, ∃!b ∈ L cho a ∨ b = a ∧ b = Do b theo a nên kí hiệu b := ¬a Với L dàn phân phối, có bù, ta có L với ba phép toán ∨, ∧ ¬ đại số Boole Định lý 2.4.1 Họ tất tập hợp thành Com(U ) không gian xấp xỉ (U, R) đại số Boole nguyên tố đầy đủ Ví dụ 2.4.4 Xét tích trực tiếp Bn = B × B × · · · × B, n−lần B = {0, 1} đại số Boole (Ví dụ 2.4.1, ý 2) Trên Bn ta định nghĩa phép toán sau: (a1, a2, , an) ∨ (b1, b2, , bn) := (a1 ∨ b1, a2 ∨ b2, , an ∨ bn), (a1, a2, , an) ∧ (b1, b2, , bn) := (a1 ∧ b1, a2 ∧ b2, , an ∧ bn), ¬(a1, a2, , an) := (¬a1, ¬a2, , ¬an) Khi đó, Bn với phép toán ∨, ∧, ¬ tạo thành đại số Boole với phần tử nhỏ (0, 0, , 0) phần tử lớn (1, 1, , 1) Xét ánh xạ φ : Bn −→ N xác định sau: n ∀a = (a1, a2, , an) ∈ Bn, φ(a) = i=1 Trên Bn ta xét quan hệ R sau: ∀a, b ∈ Bn, aRb ⇔ φ(a) = φ(b) Khi đó, R quan hệ tương đương Bn tập thương Bn /R có n + phần tử, là: E0 = [(0, 0, , 0)]R , E1 = [(1, 0, , 0)]R , E2 = [(1, 1, 0, , 0)]R , Ei = [(1, , 1, 0, , 0)]R , i−số En = [(1, 1, , 1)]R Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 Như với quan hệ (Bn , R) trở thành không gian xấp xỉ Com(Bn ) đại số Boole nguyên tố đầy đủ với tập nguyên tố tập thương Bn /R Định nghĩa 2.4.5 Cho (B, ∨, ∧, ¬, 0, 1) đại số Boole hữu hạn (B0 , ∨, ∧, ¬, 0, 1) đại số Boole Khi xấp xỉ xấp xỉ phần tử x B sử dụng phần tử B0 sau: i(x) = {y|y ∈ B0, y x} c(x) = {y|y ∈ B0, x y} Ở đây, ∀x, y ∈ B, x y ⇔ x ∨ y = y quan hệ thứ tự B, với phần tử nhỏ lớn B Vì đại số Boole hữu hạn đại số Boole đầy đủ nên định nghĩa hoàn toàn xác định Ngoài ra, toán tử i c thỏa tính chất sau đây: Mệnh đề 2.4.2 (i1) (i2) (i3) (i4) (i5) i(x ∧ y) = i(x) ∧ i(y), i(x) x, i(i(x)) = i(x), i(1) = 1, c(x) = i(c(x)), (c1) (c2) (c3) (c4) (c5) c(x ∨ y) = c(x) ∨ c(y), x c(x), c(c(x)) = c(x), c(0) = 0, i(x) = c(i(x)), Nhận xét 2.4.3 Nếu toán tử c, i : B −→ B thỏa mãn tiên đề (i1) − (i5) (c1) − (c5) {x ∈ B|i(x) = x} = {x ∈ B|c(x) = x} =: B0 Khi B0 đại số Boole B Cho hệ O(B) B thỏa mãn tiên đề sau: (O1) ∈ O(B), ∈ O(B); Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 (O2) Với hệ D O(B), tồn cận SupD thuộc O(B); (O3) ∀x, y ∈ O(B), x ∧ y ∈ O(B) Khi hệ C(B) = {¬x|x ∈ O(B)} thỏa mãn tính chất sau: (C1) ∈ C(B), ∈ C(B); (C2) Với hệ D C(B), tồn cận infD thuộc C(B); (C3) ∀x, y ∈ C(B), x ∨ y ∈ C(B) Định nghĩa 2.4.6 cho hệ O(B) C(B) đại số Boole (B, ∨, ∧, ¬, 0, 1) Khi xấp xỉ xấp xỉ phần tử x B sử dụng O(B) C(B) sau: 2.5 i(x) = {y ∈ O(B)|y x}, c(x) = {y ∈ C(B)|x y} Nghiên cứu đại số thiết lập dựa quan hệ hai hệ Định lý 2.5.1 Giả sử L, H : 2U −→ 2U cặp toán tử đối ngẫu thỏa mãn tiên đề (H1), (H2) Khi U tồn tại: (a) (b) (c) (d) (e) một một quan quan quan quan quan hệ hệ hệ hệ hệ nối tiếp R, phản xạ R, đối xứng R, bắc cầu R, Euclid R cho L(X) = R(X) H(X) = R(X), ∀X ⊆ U H thỏa mãn tiên đề tương ứng sau: (a) (b) (c) (d) (e) (H3) (H4) (H5) (H6) (H7) (H(X c))c ⊆ H(X), X ⊆ H(X), X ⊆ [H((H(X))c)]c, H(H(X)) = H(X), H(X) ⊆ [H((H(X))c)]c Định lý 2.5.2 Giả sử L, H : 2U −→ 2U cặp toán tử xấp xỉ đối ngẫu Khi tồn tôpô Pawlak (U, Com(U )) thỏa L(X) = Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 RP (X) H(X) = RP (X) với X ⊆ U , L H thỏa tính chất sau: (i1) (i2) (i3) (i4) (i5) L(X ∩ Y ) = L(X) ∩ L(Y ), L(X) ⊆ X, L(L(X)) = L(X), L(U ) = U, H(X) ⊆ L(H(X)), (c1) (c2) (c3) (c4) (c5) H(X ∪ Y ) = H(X) ∪ H(Y ), X ⊆ H(X), H(H(X)) = H(X), H(∅) = ∅, H(L(X)) ⊆ L(X), RP RP toán tử xấp xỉ định nghĩa dựa hệ sử dụng tôpô Pawlak (U, Com(U )) Định lý 2.5.3 Giả sử L, H : 2U −→ 2U cặp toán tử xấp xỉ đối ngẫu Khi tồn tôpô (U, O(U )) thỏa L(X) = RT (X) H(X) = RT (X) với X ⊆ U , L H thỏa tính chất từ (i1) − (i4) (c1) − (c4), RT RT toán tử xấp xỉ định nghĩa dựa hệ sử dụng không gian tôpô (U, O(U )) Định lý 2.5.4 Giả sử L, H : 2U −→ 2U cặp toán tử xấp xỉ đối ngẫu Khi tồn hệ bao đóng (U, C(U )) thỏa L(X) = RC (X) H(X) = RC (X) với X ⊆ U , L H thỏa tính chất sau: (j1) Nếu X ⊆ Y, H(X) ⊆ H(Y ), (j2) (j3) X ⊆ H(X), H(H(X)) = H(X), (j1 ) (j2 ) (j3 ) Nếu X ⊆ Y, L(X) ⊆ L(Y ), L(X) ⊆ X, L(L(X)) = L(X), RC RC toán tử định nghĩa dựa hệ sử dụng hệ bao đóng (U, C(U )) Footer Page 25 of 126 24 Header Page 26 of 126 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu lý thuyết tập thô, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: ◦ Tổng quan hệ thống cách đầy đủ vấn đề lý thuyết tập thô cổ điển Trong lý thuyết tập thô, toán tử xấp xỉ đóng vai trò quan trọng Các khái niệm biểu diễn thông qua xấp xỉ xấp xỉ Ở đây, ba cách mô tả toán tử xấp xỉ đề cập đến, là: mô tả theo phần tử, mô tả theo lớp tương đương mô tả theo hệ Tính chất toán tử xấp xỉ khảo sát cách đầy đủ chi tiết Đặc biệt, với việc trang bị hai tập hợp RX (Y ) RX (Y ), tính chất (U 10) (L10) xây dựng cách tổng quát Trên sở toán tử xấp xỉ, khái niệm tập thô đưa phép toán tập thô xây dựng ◦ Trình bày cách đầy đủ kiểu suy rộng tập thô thông qua xấp xỉ xấp xỉ suy rộng: -Suy rộng theo quan hệ hai ngôi; -Suy rộng theo tôpô; -Suy rộng theo hệ bao đóng; -Suy rộng theo hệ đại số Boole Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tài liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu lý thuyết tập thô Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn, chưa nghiên cứu sâu đại số Stone đại số Heyting tập thô Và hướng để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau Footer Page 26 of 126 ... tử xấp xỉ tập thô xây dựng tập thô suy rộng dựa quan hệ hai hệ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài khảo sát cấu trúc đại số tập thô, toán tử xấp xỉ tập thô Đề tài... cập đến tập thô suy rộng dựa quan hệ hai hệ Phương pháp nghiên cứu • Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến lý thuyết tập thô, cụ thể xấp xỉ tập thô, cấu trúc đại số tập thô xây... đó: Chương Tập thô xấp xỉ tập thô Chương Tập thô suy rộng Footer Page of 126 2 Header Page of 126 Chương TẬP THÔ VÀ XẤP XỈ TẬP THÔ 1.1 Không gian xấp xỉ Pawlak Định nghĩa 1.1.1 Cho U tập vũ trụ