Đại số Lie nửa đơn và tiêu chuẩn Cartan

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ TIÊU CHUẨN CARTAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HOC Đà Nẵng – Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1:PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 2:TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 05 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại Học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một lớp đại số Lie nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát lớp đại số Lie nửa đơn Lớp đại số Lie có quan hệ mật thiết với đại số Lie khả quy, lớp đại số Lie mở rộng đại số Lie nửa đơn Đóng vai trò quan trọng cho việc khảo sát tính nửa đơn đại số Lie tiêu chuẩn Cartan, xây dựng từ dạng Killing đại số Lie Với mong muốn tìm hiểu thêm đại số Lie nửa đơn dạng Killing gợi ý PGS.TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Đại số Lie nửa đơn tiêu chuẩn Cartan" làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nhằm nghiên cứu đại số Lie nửa đơn mối liên hệ với đại số Lie khả quy, thể tường minh cho lớp đại số Lie cổ điển ứng dụng tiêu chuẩn Cartan để khảo sát tính giải tính nửa đơn đại số Lie Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu cuả đề tài khảo sát đại số Lie nửa đơn đại số Lie khả quy, thể tường minh cho lớp đại số Lie cổ điển Tiếp đó, sử dụng dạng Killing để xác định Tiêu chuẩn Cartan cho tính giải được, tính nửa đơn thể qua số lớp đại số Lie củ thể Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức học - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học đề tài - Tổng quan đại số Lie nửa đơn đại số Lie khả quy, thể mối liên hệ chúng đại số Lie cụ thể ứng dụng Tiêu chuẩn Cartan để khảo sát tính giải tính nửa đơn đại số Lie Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức sở đại số Lie; Chương 2: Đại số Lie nửa đơn đại số Lie khả quy; Chương 3: Dạng Killing tiêu chuẩn Cartan Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ ĐẠI SỐ LIE Trong chương trình bày số khái niệm tính chất đại số Lie có liên quan đến việc nghiên cứu chương Kiến thức trình bày chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [5] [9] 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa Một không gian vectơ g trường F với phép toán [,]:g×g→g (X, Y ) → [X, Y ] tuyến tính theo biến gọi đại số Đại số g gọi đại số Lie phép toán [ , ] thỏa mãn hai tính chất: a) Tính phản xứng: [X, X] = 0, ∀X ∈ g b) Đồng thức Jacobi: [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g Khi [ , ] gọi tích Lie 1.1.2 Nhận xét a) Từ định nghĩa đại số Lie ta có: [X, Y ] = −[Y, X], ∀X, Y ∈ g b) Đồng thức Jacobi viết lại là: [X, [Y, Z] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X, Z]] Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.3 Định nghĩa Đại số Lie g gọi giao hoán [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g 1.1.4 Ví dụ Ví dụ Đại số kết hợp g = {X = (xij )n×n |xij ∈ F} ma trận vuông cấp n trường F với tích Lie [X, Y ] = XY − Y X đại số Lie kí hiệu gln (F) Ví dụ Không gian vectơ son (F) = {X ∈ gln (F) | X t + X = 0} ma trận phản xứng gln (F) đại số Lie với tích Lie [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ son(F) 1.1.5 Định nghĩa Cho g đại số Lie h không gian vectơ g Khi h gọi đại số Lie g [X, Y ] ∈ h, ∀X, Y ∈ h Ký hiệu [h, h] = {[X, Y ] | X, Y ∈ h} không gian vectơ sinh tập hợp {[X, Y ] | X, Y ∈ h} Ta có điều kiện [X, Y ] ∈ h viết lại [h, h] ⊆ h 1.1.6 Ví dụ Ví dụ Cho g đại số Lie Khi Z(g) = {X ∈ g | [X, Y ] = 0, ∀Y ∈ g} đại số Lie g gọi tâm g 1.1.7 Định nghĩa Cho g đại số Lie h không gian vectơ g Khi h gọi iđêan g [X, Y ] ∈ h, ∀X ∈ h, Y ∈ g Nói cách khác, không gian vectơ h iđêan g [h, g] ⊂ h Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.8 Định nghĩa Cho h iđêan đại số Lie g Khi không gian vectơ thương g/h = {X + h | X ∈ g} trở thành đại số Lie với tích Lie [X + h, Y + h] = [X, Y ] + h, ∀X, Y ∈ g, gọi đại số Lie thương đại số Lie g theo iđêan h 1.2 1.2.1 Đồng cấu đại số Lie Định nghĩa Cho g h hai đại số Lie trường F Khi đó, ánh xạ ϕ : g −→ h gọi đồng cấu đại số Lie a) ϕ ánh xạ tuyến tính; b) ϕ bảo toàn tích Lie Đồng cấu đại số Lie ϕ gọi đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) ϕ đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Hai đại số Lie g h gọi đẳng cấu tồn đẳng cấu đại số Lie từ g lên h, kí hiệu g ∼ = h Nhân đồng cấu ϕ, kí hiệu Kerϕ, tập g gồm phần tử X ∈ g cho ϕ(X) = Ảnh đồng cấu ϕ, kí hiệu Imϕ, tập h gồm phần tử ϕ(X), X ∈ g 1.2.2 Ví dụ Ví dụ Cho g đại số Lie trường F, ta xét ánh xạ: ad : g −→gl(g) X −→ad(X) : g −→g Y −→ad(X)(Y ) = [X, Y ] Khi ad đồng cấu đại số Lie Kerad = Z(g) Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2.3 Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.3.3] Cho ϕ : g −→ h đồng cấu đại số Lie Khi đó: a) Nếu a đại số Lie g ϕ(a) đại số Lie g b) Nếu b iđêan h ϕ−1 (b) iđêan g 1.2.4 Hệ [1, Hệ 1.3.4] a) Kerϕ iđêan g b) Imϕ đại số Lie h 1.2.5 Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.3.5] Cho g h đại số Lie a) Giả sử ϕ : g −→ h đồng cấu đại số Lie Khi đó, g/kerϕ ∼ = Imϕ b) Nếu a, b iđêan g (a + b)/a ∼ = b/(a ∩ b) 1.2.6 Định nghĩa Cho V không gian vectơ trường K g đại số Lie trường F (là trường K) Khi biểu diễn g V F F đồng cấu đại số Lie π : g −→ (EndK V ) , (EndK V ) xét đại số Lie trường F Để đơn giản ta ký hiệu π : g −→ EndK V 1.2.7 Nhận xét 1) Theo định nghĩa tích Lie [,] EndK V, ta có π biểu diễn g V nếu: a) π F tuyến tính b) π([X, Y ]) = π(X)π(Y ) − π(Y )π(X) , ∀ X, Y ∈ g 2) Khi F = R K = C, ta có V không gian vectơ phức Một biểu diễn đại số Lie thực g V đồng cấu từ g vào EndC V, R EndC V xét đại số Lie thực (EndC V ) Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2.8 Ví dụ Ví dụ Cho π biểu diễn g không gian vectơ hữu hạn chiều V U ⊆ V không gian bất biến Khi π ∗ : g −→ EndK V /U X −→ π ∗(X) : V /U −→ V /U v + U −→ π ∗(X)(v + U ) = π(X)v + U biểu diễn g V /U gọi biểu diễn thương g V /U 1.3 1.3.1 Đại số Lie giải Định nghĩa Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Ta xác định dãy g0 = g, g1 = [g, g], g2 = [g1, g1], , gk = [gk−1, gk−1], Đại số Lie g gọi giải tồn k cho gk = Khi đó, dãy giảm g = g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ⊇ gk ⊇ gọi chuỗi dẫn xuất g 1.3.2 Nhận xét a) Mỗi gk iđêan g b)Một đại số Lie giải g khác có iđêan khác gk−1 (nếu gk = 0) 1.3.3 Ví dụ Ví dụ Đại số Lie g = a b a c 0    a, b, c ∈ R  giải Thật vậy, xét g1 = [g, g] Khi đó, với X = Footer Page of 126 a1 b1 a1 c 0 ,Y = a2 b2 a2 c2 0 ∈ g, ta có Header Page of 126 [X, Y ] = 0 a1 b2 − a2 b1 0 a1c2 − a2c1 Vậy g1 = 0 0 b 0 c 0 0 b2 0 b1 0 c2 0 c ,Y = Xét g = [g , g ] Với X = 0 0 0 ta có [X, Y ] = XY − Y X = Từ suy g2 = Vậy g đại số Lie giải 1.3.4 1    a, b, c ∈ R  ∈ g1 Mệnh đề [9, Proposition 1.10] Bất kỳ đại số Lie đại số Lie thương đại số Lie giải giải 1.3.5 Mệnh đề [9, Proposition 1.11] Cho g đại số Lie a iđêan g Khi g đại số Lie giải a g/a giải 1.3.6 Mệnh đề [9, Proposition 1.12] Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó, tồn iđêan giải R g chứa tất iđêan giải g gọi g thường ký hiệu R = rad(g) 1.3.7 Mệnh đề [9, Proposition 1.23] Một đại số Lie n-chiều g giải tồn dãy đại số g = a0 ⊇ a1 ⊇ a2 ⊇ · · · ⊇ an = cho ai+1 iđêan , ∀i = 0, n − dim(ai /ai+1 ) = 1.3.8 Định nghĩa Nếu g đại số Lie, π : g −→ EndF V biểu diễn g, λ ∈ g∗ không gian Vλg = {v ∈ V|π(X)v = λ(X)v, ∀X ∈ g} gọi không gian riêng g ứng với λ Định lý Lie cho ta đặc trưng đại số Lie giải Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 1.3.9 Định lý Lie [9, Theorem 1.25] Cho g đại số Lie giải được, V = không gian vectơ hữu hạn chiều trường F, π : g −→ EndF V biểu diễn g V Nếu F đóng đại số tồn vectơ riêng v = cho phần tử π(g) Tổng quát (đối với F) tồn vectơ riêng cho phần tử π(g) giá trị riêng π(X) với X ∈ g thuộc vào F 1.3.10 Hệ [9, Corollary 1.29] Cho g, V, π F giả thiết định lý Lie Khi tồn dãy không gian con: V = V0 ⊇ V1 ⊇ ⊇ Vm = cho Vi ổn định qua tác động π(g) dim(Vi /Vi+1 ) = Từ suy V có sở cho ma trận tương ứng phần tử thuộc π(g) có dạng tam giác 1.3.11 Định nghĩa Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi ta định nghĩa: g0 = g, g1 = [g0, g], g2 = [g1, g], g3 = [g2, g], gk = [gk−1, g], Dãy giảm g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ g3 ⊇ ⊇ gk ⊇ gọi chuỗi tâm g Đại số Lie g gọi lũy linh tồn k ∈ N cho gk = 1.3.12 Nhận xét a) Mỗi gk , k ∈ N iđêan g b) Với k ∈ N : gk ⊆ gk Từ nhận xét suy g đại số Lie lũy linh g đại số Lie giải Footer Page 10 of 126 10 Header Page 12 of 126 Chương ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN VÀ ĐẠI SỐ LIE KHẢ QUY Trong chương khảo sát đại số Lie nửa đơn mối tương quan với đại số Lie khả quy ứng dụng để xác định đại số Lie nửa đơn cổ điển gồm ma trận vuông cấp n hệ số thực, phức quaternion Các khái niệm kết chủ yếu tham khảo tài liệu [5], [9] 2.1 2.1.1 Đại số Lie nửa đơn Định nghĩa Cho g đại số Lie hữu hạn chiều a) g gọi đại số Lie đơn g không giao hoán g không chứa iđêan thật khác b) g gọi đại số Lie nửa đơn g không chứa iđêan giải khác 2.1.2 Nhận xét a) Mỗi iđêan đại số Lie nên ta có khái niệm iđêan đơn b) Nếu g đại số Lie đơn g có tâm tầm thường c) Mỗi đại số Lie đơn nửa đơn Đảo lại nói chung không 2.1.3 Mệnh đề [9, Proposition 1.14] Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Khi g/rad g nửa đơn Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 2.1.4 Nhận xét Nếu g nửa đơn tâm g biểu diễn liên hợp g đơn ánh Kết cho ta đặc trưng đại số Lie số chiều bé 2.1.5 Mệnh đề Mỗi đại số Lie chiều đơn giải 2.1.6 Ví dụ Ví dụ Xét đại số Lie chiều g=  a b  −a c  a, b, c ∈ R −b −c  = so3(R) Do [g, g] = g nên g không giải Do g đơn Chú ý tính nửa đơn đại số Lie bảo toàn qua phép toán tích Descartes 2.1.7 Mệnh đề [5, Proposition 1.5.5] Cho g1 , g2 , , gn đại số Lie Khi đó, g1 × g2 × × gn nửa đơn g1 , g2 , , gn nửa đơn Bây ta khảo sát mối liên hệ đại số Lie đơn đại số Lie nửa đơn thể kết sau: 2.1.8 Định lý [5, Theorem 1.5.12] Đại số Lie g nửa đơn g tích trực tiếp đại số Lie đơn 2.1.9 Mệnh đề [5, Proposition 1.5.13] Cho g1 , g2 , , gn đại số Lie đơn g = g1 × g2 × × gn Khi iđêan g tích số đại số Lie gi Hơn nữa, với i = 1, , n, đại số Lie đơn gi iđêan cực tiểu không tầm thường g Footer Page 13 of 126 12 Header Page 14 of 126 2.1.10 Định nghĩa Cho ρ biểu diễn hữu hạn chiều g không gian vectơ V a) Biểu diễn ρ gọi đơn (hay bất khả quy) V = V có hai không gian ổn định V Khi g-môđun V gọi đơn b) Biểu diễn ρ gọi nửa đơn (hay khả quy đầy đủ) ρ tổng trực tiếp biểu diễn đơn Khi g-môđun V gọi nửa đơn biểu thị dạng tổng trực tiếp g-môđun đơn c) Với x, y ∈ g, ta đặt B(x, y) = tr(ρ(x).ρ(y)) Khi B dạng song tuyến tính đối xứng g gọi dạng song tuyến tính kết hợp ρ 2.1.11 Bổ đề [5, Lemma 1.6.2] Cho g nửa đơn, V không gian vectơ hữu hạn chiều, ρ biểu diễn g V , f ánh xạ tuyến tính từ g vào V Các điều kiện sau tương đương: a) f ([x, y]) = ρ(x)f (y) − ρ(y)f (x), với x, y ∈ g b) Tồn v ∈ V cho f (x) = ρv , với x ∈ g 2.1.12 Định lý [5, Theorem 1.6.3] Cho g nửa đơn, V không gian vectơ hữu hạn chiều, ρ biểu diễn g V Khi ρ nửa đơn 2.2 2.2.1 Đại số Lie khả quy Định nghĩa Đại số Lie g gọi khả quy iđêan a g tồn iđêan b g cho g = a ⊕ b Nhận xét Mỗi đại số Lie nửa đơn khả quy Điều ngược lại nói chung không Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 Kết cho thấy đại số Lie khả quy xác định từ đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán 2.2.2 Mệnh đề Tổng trực tiếp đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán khả quy 2.2.3 Mệnh đề [9, Corollary 1.56] Mỗi đại số Lie g khả quy có dạng phân tích g = [g, g] ⊕ Z(g), [g, g] nửa đơn Z(g) giao hoán 2.2.4 Định lý [5, Proposition 1.7.1] Cho ρ biểu diễn g Cho a1 giao hạt nhân biểu diễn đơn hữu hạn chiều g Đặt a2 giao iđêan lũy linh lớn biểu diễn hữu hạn chiều g Khi đó, a) a1 = a2 = [g, g] ∩ ρ = [g, ρ] b) Iđêan a1 lũy linh c) Đặc biệt, g giải [g, g] lũy linh 2.2.5 Định nghĩa Iđêan a1 định lý gọi lũy linh g Chú ý g giải a1 = [g, g] Từ Mệnh đề ta suy đại số Lie g khả quy g tổng trực tiếp đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán 2.2.6 Mệnh đề [5, Proposition 1.7.3] Cho R g τ lũy linh g Các điều kiện sau tương đương: a) Biểu diễn liên hợp g nửa đơn Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 b) g tích đại số Lie nửa đơn đại số Lie giao hoán c) Tồn biểu diễn hữu hạn chiều g cho dạng song tuyến tính kết hợp không suy biến d) Tồn biểu diễn đơn ánh nửa đơn hữu hạn chiều g e) τ = f) R tâm g 2.2.7 Mệnh đề Cho g đại số Lie khả quy Khi g nửa đơn Z(g) = 2.3 Các đại số Lie nửa đơn cổ điển Dựa vào mối liên hệ đại số Lie khả qui đại số Lie nửa đơn ta xác định cấu trúc nửa đơn lớp đại số Lie thực gồm ma trận trường số thực R, trường số phức C trường quaternion H, với H đại số chia R có sở 1, i, j, k cho i2 = j = k = −1, ij = k, jk = i, ki = j ji = −k, kj = −i, ik = −j Lớp đại số Lie nửa đơn thường gọi đại số Lie nửa đơn cổ điển Trước hết xét đại số Lie thực gl(n, R) gl(n, C) gồm tất ma trận vuông thực phức cấp n Khi đại số Lie khả quy không nửa đơn chúng có tâm gồm ma trận vô hướng nên khác không Tương tự, đại số Lie thực gl(n, H) gồm tất ma trận vuông cấp n H khả quy không nửa đơn có tâm khác không Bây xét tiêu chuẩn tính khả quy cho đại số Lie thực ma trận hệ số thực, phức quaternion dựa vào phép toán lấy liên hợp chuyển vị ma trận, tức phép toán cho ứng với ma trận X = (xij )n ma trận X ∗ chuyển vị ma trận liên hợp (xij )n, sau: Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 2.3.1 Mệnh đề [9, Proposition 1.59] Cho g đại số Lie thực gồm ma trận R, C H Khi g đóng qua phép toán lấy liên hợp chuyển vị ma trận g khả quy 2.3.2 Mệnh đề [9, Section 8] Xét đại số Lie sau đây: so(n) = {X ∈ gl(n, R)|X + X ∗ = 0} ; u(n) = {X ∈ gl(n, C)|X + X ∗ = 0} ; su(n) = {X ∈ gl(n, C)|X + X ∗ = 0, T rX = 0} ; sp(n) = {X ∈ gl(n, H)|X + X ∗ = 0} Khi ta có: a) so(n) nửa đơn với n ≥ sp(n) nửa đơn với n ≥ b) u(n) không nửa đơn với n ≥ su(n) nửa đơn với n ≥ Lý luận tương tự Mệnh đề ta thu đại số Lie nửa đơn sau: 2.3.3 Mệnh đề [9, Section 8] Các đại số Lie sau đại số Lie nửa đơn: sl(n, C) = {X ∈ gl(n, C)|X + X t = 0} so(n, C) = {X ∈ gl(n, C)|T rX = 0} sp(n, C) = {X ∈ gl(2n, C)|X tJ + JX = 0} với n ≥ 2; với n ≥ 3; với n ≥ 1; J = Jn,n ma trận vuông cấp 2n xác định J = Footer Page 17 of 126 I −I 16 Header Page 18 of 126 2.3.4 Mệnh đề [9, Section 8] Các đại số Lie sau đại số Lie nửa đơn: sl(n, R) = {X ∈ gl(n, R)|T rX = 0} với n ≥ 2; sl(n, H) = {X ∈ gl(n, H)|ReT rX = 0} với n ≥ 1; so(m, n) = {X ∈ gl(m + n, R)|X ∗Im,n + Im,nX = 0} với m + n ≥ 3; su(m, n) = {X ∈ sl(m + n, C)|X ∗Im,n + Im,nX = 0} với m + n ≥ 2; sp(m, n) = {X ∈ gl(m + n, H)|X ∗Im,n + Im,nX = 0} với m + n ≥ 1; sp(n, R) = {X ∈ gl(2n, R)|X tJn,n + Jn,nX = 0} với n ≥ 1; so∗(2n) = {X ∈ su(n, n)|X tIn,nJn,n + In,nJn,nX = 0} với n ≥ 2; J = Jn,n ma trận vuông cấp 2n xác định Mệnh đề ma trận Im,n , In,n Jn,n xác định bởi: Im,n = Footer Page 18 of 126 m n 0 −1 m ; n In,nJn,n = n n n n 17 Header Page 19 of 126 Chương DẠNG KILLING VÀ TIÊU CHUẨN CARTAN Trong chương ứng dụng Tiêu chuẩn Cartan xây dựng từ dạng Killing đại số Lie để khảo sát tính giải tính nửa đơn số đại số Lie cụ thể Các khái niệm kết chủ yếu tham khảo tài liệu [5], [9] 3.1 3.1.1 Dạng Killing đại số Lie Định nghĩa Cho g đại số Lie trường F, ánh xạ B : g × g −→ g (X, Y ) −→ B(X, Y ) = T r(adX ◦ adY ) gọi dạng Killing g 3.1.2 Nhận xét a) Dạng Killing B dạng song tuyến tính b) B([X, Y ], Z]) = −B(Y, [X, Z]) hay B(adX(Y ), Z) = −B(Y, adX(Z)) c) Dạng Killing bất biến qua tự đẳng cấu g, nghĩa Bϕ = B hay B(ϕ(X), ϕ(Y )) = B(X, Y ) d) Cho a ⊂ g iđêan Khi hạn chế dạng Killing g lên a dạng Killing a Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 3.1.3 Định nghĩa Cho g đại số Lie hữu hạn chiều, B dạng Killing tương ứng Ký hiệu radB = {X ∈ g|B(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ g} iđêan g Dạng Killing B gọi không suy biến radB = {0} 3.1.4 Hệ 3.1.5 Ứng dụng 1.Tìm dạng Killing đại số Lie sau: g=    t, x, y ∈ R  t x t y 0 Lời giải: Ta có sở đại số Lie g là: A1 = 0 , A2 = 0 0 0 , A3 = 0 0 0 0 0 Tính toán ta thấy: [A1 , A2 ] = A2 , [A1 , A3 ] = A3 , [A2 , A3 ] = Xét X ∈ g, ta có X = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 , với x1 , x2 , x3 ∈ R Suy adX = x1 adA1 + x2 adA2 + x3 adA3 Ta có adX(A1) = x1adA1(A1) + x2adA2(A1) + x3adA3(A1) = x1[A1, A1] + x2[A2, A1] + x3[A3, A1] = −x2A2 − x3A3, adX(A2) = x1adA1(A2) + x2adA2(A2) + x3adA3(A2) = x1[A1, A2] + x2[A2, A2] + x3[A3, A2] = x1A2, adX(A3) = x1adA1(A3) + x2adA2(A3) + x3adA3(A3) = x1[A1, A3] + x2[A2, A3] + x3[A3, A3] = x1A3 Footer Page 20 of 126 19 Header Page 21 of 126 Vậy ánh xạ adX có ma trận là: 0 −x2 x1 −x3 x1 MX = Tương tự xét Y ∈ g với Y = y1 A1 +y2 A2 +y3 A3 , y1 , y2 , y3 ∈ R ánh xạ adY có ma trận biểu diễn là: 0 −y2 y1 −y3 y1 MY = Suy adX ◦ adY có ma trận là: MX MY = 0 −x1y2 x1y1 −x1y3 x1y1 Đại số Lie g có dạng Killing là: B = T r(adX ◦ adY ) = x1y1 + x1y1 = 2x1y1 có ma trận là: MB = 3.2 3.2.1 0 0 0 Tiêu chuẩn Cartan cho đại số Lie giải Bổ đề [9, Lemma 1.42] Cho V không gian vectơ trường C, g ⊂ gl(V) đại số Lie cho T r(X ◦ Y ) = 0, ∀X, Y ∈ g g = [g, g] lũy linh Kết cho đặc trưng tính giải đại số Lie dựa vào dạng Killing gọi Tiêu chuẩn Cartan thứ 3.2.2 Định lý [9, Proposition 1.46] Đại số Lie g giải dạng Killing B thoả mãn B(X, Y ) = 0, ∀X ∈ g ∀Y ∈ [g, g] Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 3.2.3 Ứng dụng: Kiểm tra tính giải đại số Lie sau: t x t y 0 g=    t, x, y ∈ R  Lời giải: Xét sở đại số Lie g là: A1 = 0 , A2 = 0 0 0 , A3 = 0 0 0 0 0 Xét X, Y, Z ∈ g X = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 , Y = y1A1 + y2A2 + y3A3, Z = z1A1 + z2A2 + z3A3 Theo ứng dụng 3.1.5 adX có ma trận là: MX = 0 −x2 x1 −x3 x1 Ta tính toán ad[Y, Z] có ma trận là: M[Y,Z] = 0 y2z1 − y1z2 0 y3z1 − y1z3 0 Suy adX ◦ ad[Y, Z] có ma trận biểu diễn là: MX M[Y,Z] = 0 x1(y2z1 − y1z2) 0 x1(y3z1 − y1z3) 0 Từ ta có B(X, [Y, Z]) = T r(adX ◦ ad[Y, Z]) = 0, ∀X, Y, Z ∈ g, suy B(g, g ) = nên theo Tiêu chuẩn Cartan thứ I suy g giải 3.3 3.3.1 Tiêu chuẩn Cartan cho đại số Lie nửa đơn Định nghĩa Cho dạng song tuyến tính η : V × V −→ K, ta có Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 a) Ker η = {x ∈ V|η(x, y) = 0, ∀y ∈ V} b) Dạng toàn phương η gọi không suy biến Ker η = Bây ta khảo sát Tiêu chuẩn Cartan cho đại số Lie nửa đơn dựa vào dạng Killing gọi Tiêu chuẩn Cartan thứ hai 3.3.2 Định lý [9, Proposition 1.45] Đại số Lie g nửa đơn dạng Killing g không suy biến 3.3.3 Ứng dụng: Kiểm tra tính nửa đơn đại số Lie sau: g = so3(R) =  a b  −a c  a, b, c ∈ R −b −c  Lời giải: Xét sở g sau: A1 = −1 0 , A2 = 0 0 0 , A3 = −1 0 0 0 −1 Xét X, Y ∈ g X = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 , Y = y1 A1 + y2 A2 + y3A3 Tính toán ta có ma trận adX, adY là: MX = x3 −x2 −x3 x1 , MY = x2 −x1 0 y3 −y2 −y3 y1 y2 −y1 Suy adX ◦ adY có ma trận là: MX MY = Footer Page 23 of 126 −x3y3 − x2y2 x2 y1 x3 y1 x1 y2 −x3y3 − x1y1 x3 y − x1 y − −x2y3 −x2y2 − x1y1 22 Header Page 24 of 126 Vậy B(X, Y ) = T r(adX ◦ adY ) = −2(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ), dạng Killing g có ma trận là: MB = −2 0 −2 0 −2 detMB = −8 = 0, nên theo Tiên chuẩn Cartan thứ II ta suy g nửa đơn 3.4 Một số kết liên quan Trong phần giới thiệu số kết liên quan đến ứng dụng Tiêu chuẩn Cartan đại số khả quy 3.4.1 Định lý [9, Theorem 1.54] Đại số Lie g nửa đơn g = g1 ⊕ g2 ⊕ · · · ⊕ gn với iđêan gj đại số Lie đơn Sự phân tích iđêan g tổng số hạng tử gj Từ Định lý ta thu Hệ sau: 3.4.2 Hệ [9, Corollary 1.55 ] Cho g đại số Lie nửa đơn trường F Khi [g, g] = g Giả sử a Ideal g đặt a⊥ = {X ∈ g | K(X, Y ) = 0, ∀Y ∈ a} Ta có a⊥ Ideal g g = a ⊕ a⊥ 3.4.3 Mệnh đề [9, Corollary 1.53] i) Nếu gC phức hóa đại số Lie thực g g nửa đơn gC nửa đơn ii) Cho g đại số Lie phức gR dạng thực g g nửa đơn gR nửa đơn Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 3.4.4 Định nghĩa Gọi h đại số Lie g Ta gọi h khả quy g biểu diễn x → adg x, ∀x ∈ h nửa đơn Khi biểu diễn x → adg x h nửa đơn nên suy h nửa đơn 3.4.5 Mệnh đề [5, Proposition 1.7.6] Cho g đại số Lie nửa đơn, B dạng Killing g m đại số Lie g thỏa mãn điều kiện sau: i) B|m×m không suy biến ii) Nếu x ∈ m thành phần nửa đơn lũy linh x tương ứng với g thuộc vào m Khi đó, m khả quy g 3.4.6 Mệnh đề [5, Proposition 1.7.7] Cho g đại số Lie nửa đơn a đại số Lie khả quy tương ứng với g Gọi m tâm hóa a g B dạng Killing g Khi ta có i) B|m×m không suy biến ii) Nếu x ∈ m thành phần nửa đơn lũy linh x tương ứng với g thuộc vào m iii) m khả quy g iv) g = m ⊕ [a, g] [a, g] không gian trực giao m 3.4.7 Hệ Cho g đại số Lie hữu hạn chiều, B dạng Killing tương ứng Khi rad B ⊂ rad g Footer Page 25 of 126 24 Header Page 26 of 126 KẾT LUẬN Luận văn cho tổng quan đại số Lie nửa đơn đại số Lie khả quy, thể mối liên hệ chúng đại số Lie cụ thể ứng dụng Tiêu chuẩn Cartan để khảo sát tính giải tính nửa đơn đại số Lie Kết đạt chủ yếu luận văn thể Chương Chương cụ thể sau: 1) Trong chương 2, khảo sát đại số Lie nửa đơn mối tương quan với đại số Lie khả quy, từ ứng dụng để xác định đại số Lie nửa đơn cổ điển gồm ma trận vuông cấp n hệ số thực, phức quaternion 2) Trong Chương 3, ứng dụng Tiêu chuẩn Cartan xây dựng từ dạng Killing đại số Lie để khảo sát tính chất giải nửa đơn số đại số Lie cụ thể Các kết đạt luận văn chưa nhiều dừng lại mức tổng quan giúp cho thân hiểu biết thêm cấu trúc đại số Lie nửa đơn đại số Lie khả quy số khái niệm kết liên quan Footer Page 26 of 126 ... đơn đại số Lie tiêu chuẩn Cartan, xây dựng từ dạng Killing đại số Lie Với mong muốn tìm hiểu thêm đại số Lie nửa đơn dạng Killing gợi ý PGS.TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Đại số Lie nửa đơn tiêu. .. số Lie Khi đó, g1 × g2 × × gn nửa đơn g1 , g2 , , gn nửa đơn Bây ta khảo sát mối liên hệ đại số Lie đơn đại số Lie nửa đơn thể kết sau: 2.1.8 Định lý [5, Theorem 1.5.12] Đại số Lie g nửa đơn. .. Cho g đại số Lie khả quy Khi g nửa đơn Z(g) = 2.3 Các đại số Lie nửa đơn cổ điển Dựa vào mối liên hệ đại số Lie khả qui đại số Lie nửa đơn ta xác định cấu trúc nửa đơn lớp đại số Lie thực gồm