Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)

Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)Xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của các tập hợp và các mô tả đối ngẫu tương ứng (LV thạc sĩ)

Trang 1

VIEN TOAN HOC

o0o

XAP Xi BAC NHAT VA BAC HAI CUA CAC TAP HOP

VÀ CÁC MÔ TẢ ĐÔI NGÂU TƯƠNG UNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyén ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Học uiöên thực hiện: Hồng Minh Có

Lớp: Cao học K19

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Đông Yên

Trang 2

Muc luc

Danh mục ký hiệu

Loi m6 dau 2.000000 000000 ee ee

1 Non tiép tuyén và nón pháp tuyến

1.1 Nón tiếp tuyến và đạo hàm

1.11 Ánh xạ đa Wl west tw ws wR Ee we

1.1.2 Nón tiếp tuyến

113 Daoham 0.00000 0004

1.2 Nón pháp tuyến và đối đạo hàm 121 Nón pháp tuyến

1/22 HDướiviphẩn ; ;s : ¿ ¿ sà vẽ 2 62 k3 22v 22

123 Đốiđaohàm c

1.3 Quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 2_ Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai

2.1 Tap tiép xtc bachai 2.2.2 2 00.20.0048 2.2 Tap tiếp xúc bậc hai của tập lồi đa diện

2.3 Tap tiếp xúc bậc hai của tập hợp có biên trơn

2.3.1 Tập hợp có biên trơn 2.3.2 Dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai

Két luan 1

Trang 3

N R Ũ IR" II dist(x, S) (5%) tr | 0 tp 3 @ 2 T(x; Q) 1u(œ; 9) To(; 9) Đ(=;9) ĐŒœ;9) Nữ;9) io() P':X¬Y gph F dom F’ Tập số nguyên dương Tập số thực Tập rỗng

Không gian Puelide ø chiều

Chuan cia

Khoảng cách từ z đến S

Cặp đối ngẫu hoặc tích vơ hướng Dãy số dương ïz hội tụ về 0 Dãy véctơ z„ hội tụ yếu đến z Bao đóng của ©

Nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của 2 tai x Nón tiếp tuyến yếu của © tại z

Nón tiếp tuyến Clarke của Q tai x Nón e-pháp tuyến của Q tai x

Nón pháp tuyến Eréchet của © tại z

Nón pháp tuyến qua giới hạn của 2 tai x

Hàm chỉ của tập © Ánh xạ đa trị

Đồ thị của

Miền hữu hiệu của F Miền ảnh của F

Trang 4

DANH MỤC KÝ HIỆU

DE¿()

DEC)

Dao ham contingent cua F tai z

Dao ham contingent yéu cia F tai z

Đạo hàm Clarke của F tai z

Đối đạo hàm Fréchet của F tai z

Đối đạo hàm Mordukhovich của #' tại z

Dưới vi phân Fréchet của ƒ tai x Dưới vi phân qua giới hạn của ƒ tại z

Độ cong của siêu mặt tại một điểm cho trước

Độ cong trên của siêu mặt tại một điểm cho trước

Trang 5

đến tiếp tuyến của đồ thị Dựa vào phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, người ta có thể xấp xỉ các giá trị của hàm số trong lân cận

điểm đó Mặt khác, đồ thị hàm số đã cho chính là đường bao (envelope) của họ các tiếp tuyến nói trên Như vậy, tiếp tuyến chính là xấp xỉ bậc

nhất của đồ thị, và đồ thị có thể được khôi phục thông qua họ các tiếp tuyên

Sự mở rộng khái niệm tiếp tuyến sang giải tích đa trị gắn liền với nhu

cầu mở rộng khái niệm dao ham Nam 1981, J.-P Aubin (xem [3] va [4])

đề nghị xây dựng đạo hàm của một ánh xạ đa trị F: X = Y, 6 d6 X

và Y là các không gian Banach, tại một điểm z = (z,), € F(x), nhu một ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand-Severi cia tap d6 thi gph F := {(2,y) € X x Y|y € F(a)}

tai z Dé xay dựng khái niệm đạo hàm của ánh xạ đa trị, ngồi nón tiếp

tuyến Bouligand-Severi người ta (xem [4| và [2|) còn sử dụng khái niệm nón tiếp tuyến do F H Clarke đưa ra năm 1973 (xem [7]) Đây là phương

pháp nghiên cứu bằng không gian nền

Song song với sự phát triển lý thuyết vi phân của Clarke, có một lý

thuyết vi phân khác dựa trên các khái niệm do B S Mordukhovich đã đưa

ra năm 1976, đó là các khái niệm nón pháp tuyến không lồi ([nonconvex]

normal cone), đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative), dưới vi

phân không lồi ([nonconvex] subdifferential) Cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu này đã đưa đến những kết quả mới mẻ và sâu sắc, do đó đã

thu hút được sự chú ý ngày càng tăng của các nhà toán học Trong khoảng những năm 1995-1997, B § Mordukhovich và các cộng sự đã công bố một loạt kết quả quan trọng, đưa ra nhiều ý tưởng và kỹ thuật mới, cho phép

hoàn thiện lý thuyết vi phân vô hạn chiều dựa trên các cấu trúc đối ngẫu

Tóm lại, cũng tương tự như vai trò của các khái niệm nón tiếp tuyến trong

Trang 6

LOI MG DAU

lý thuyết vi phân được xây dựng bằng phương pháp không gian nền, nón pháp tuyến khơng lồi, được định nghĩa như giới hạn Painlevé-Kuratowski

của một họ tập lồi mà mỗi tập bao gồm các e-pháp tuyến, là cơ sở của lý thuyết vi phân được xây dựng bằng phương pháp không gian đối ngẫu

Để nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cực trị bậc hai của các bài toán tối ưu, và tính ổn định của các bài toán tối ưu và cân bằng, người ta cần sử dụng các khái niệm tập tiếp xúc bậc hai (xem [5] va [1]) va dưới vi phan bậc hai (xem [9]) Mối quan hệ giữa các nón tiếp tuyến và các nón

pháp tuyến qua giới hạn đã được B S Mordukhovich khảo sát trong [9, Mục 1.1.2, tr 12-18] Mối quan hệ giữa các tập tiếp xúc bậc hai và dưới

vi phân bậc hai qua giới hạn của hàm chỉ của một tập hợp là một vấn đề mới được đặt ra Cụ thể, vào năm 2010, GS Nguyễn Đông Yên đã đề xuất

việc nghiên cứu vấn đề đó, nhưng chưa thu được kết quả cụ thể nào

Luận văn này trình bày các khái niệm cơ bản về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, dưới vi phân, và tập xấp xỉ bậc hai Các mối liên hệ giữa các khái niệm đó cũng được nghiên cứu chi tiết Luận

văn được viết chủ yếu trên cơ sở Chương 1 của cuốn chuyên khảo |9] của B S Mordukhovich, Chương 3 của cuốn giáo trình [10| của A Ruszczynski,

và phần đầu của bài báo [12] Trong luận văn có một số kết quả mới về

mối quan hệ giữa tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ, trong trường hợp tập được xét là tập có biên trơn

Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận và phần Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

Chương 1 “Nón tiếp tuyến uà nón pháp tuyến” trình bày các khái niệm cơ bản về nón tiếp tuyến, nón pháp tuyến, đạo hàm, đối đạo hàm, dưới vi

phân, và mối quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Chương 2 “Tập tiếp zúc bậc hai uà dưới ti phân bậc hai” trình bày khái niệm và các tính chất của tập tiếp xúc bậc hai, mối quan hệ giữa tập tiếp

xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ trong trường hợp tập được xét là tập có biên trơn

Các kết quả ở Mục 2.3 là mới Ý tưởng cơ bản ở đây là sử dụng khái

niệm độ cong của tập hợp được cho dưới dạng tập nghiệm một bất đẳng thức hoặc của tập nghiệm một hệ hữu hạn các đẳng thức để thiết lập mối

Trang 7

chỉ thông qua các bất đẳng thức kép Chúng tôi cho rằng khó có thể thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa tập xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ, theo kiểu những cơng thức tính cái này qua cái kia (như đối

với nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến - chính là dưới vi phân bậc nhất của hàm chỉ)

Luận văn đã được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lãm Khoa

học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn

Đông Yên Tác giả chân thành cảm ơn thầy Yên đã dành nhiều thời gian chỉ dẫn cho tác giả thực hiện đề tài nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các cán bộ công nhân viên trong Viện Toán học đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

và nghiên cứu tại Viện Toán học

Hà Nội, ngày 30 tháng 08 năm 2013 Tác giả

Hoàng Minh Có

Trang 8

Chương 1

Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Nói một cách đơn giản, nón tiếp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp

tại một điểm cho trước Cịn nón pháp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp được viết bằng ngôn ngữ đối ngẫu Như vậy, nón tiếp tuyến là một cấu trúc trong khơng gian nền, cịn nón pháp tuyến là cấu trúc trong không

gian đối ngẫu Khái niệm thứ nhất là cơ sở cho cách tiếp cận bằng không

gian nền (the primal-space approach), còn khái niệm thứ hai là cơ sở cho

cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu (the dual-space approach) Chương

này gồm hai mục Mục thứ nhất trình bày các định nghĩa nón tiếp tuyến,

đạo hàm của ánh xạ đa trị, và một số tính chất Mục thứ hai trình bày khái niệm nón pháp tuyến, đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, và một số tính

chất

1.1 Nón tiếp tuyến và đạo hàm

Khái niệm ánh xạ đa trị là sự mở rộng tự nhiên của ánh xạ đơn trị Với

khái niệm ánh xạ đa trị, ta có thể giải quyết nhiều vấn đề trong toán học nói chung, và trong lý thuyết tối ưu và cân bằng nói riêng

1.1.1 Anh xa da tri

Dinh nghia 1.1 (Xem [2, tr 9-10]) Cho X,Y là hai tập hợp bất kỳ Cho

F:X = Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm tat cả các tap con của Y,

được ký hiệu là 2Ÿ Ta nói Ƒ' là ánh zạ đa trị từ X và Y Như vậy, với

moi z € X, F(x) la mot tập hợp con của Y Không loại trừ khả năng là

Trang 9

Ví dụ 1.1 Xét phương trình đa thức

À" + aỊAPT!Ƒ +} a„ 1À + an = 0, (1) ở đó n € Đ = {1,2, }, a; €IR (¿ = 1,2, ,m) là các số thực Quy tắc

cho tương ứng mỗi véctơ œ = (ø, ,„) € R” với một tập nghiệm của phương trình (1), được ký hiệu bởi F'(ø), cho ta một ánh xạ đa trị

FF: R” 3 C, a=(q, ,an) > F(a),

tit khong gian Euclide R” vao tap s6 phitc C Véi mdi a, F(a) c6 không quá n phan tit O day, ta c6 thé nhting tap F(a) vao R? bing céch déng nhất C véi khong gian Euclide hai chiéu R?

Đối với mỗi ánh xa đa trị F : X = Y, người ta định nghĩa các tập hợp

gph#' = {(z,u)€ X xY|u€ F()},

dom F = {7 € X | F(x) 4 0},

va

reg F = {y © Y|dx eX sao cho y € F(a)}

Các tập hợp đó, lần lượt được gọi là đồ thị, miền hữu hiệu, và miền ảnh

của ánh xạ đa trị F’

1.1.2 Nón tiếp tuyến

Định nghĩa 1.2 (Giới hạn theo Painlevé-Kuratowski, xem [2, tr 63]) Gia sử Ä/ là không gian mêtric, X là không gian định chuẩn Cho {9;};e„; là

họ tập hợp phụ thuộc vao tham sé t € M, Q; C X véi moi £ Với mỗi

to € M, tap hợp

Lim sup) := {x € X : liminf d(x, Q) = 0}, (1.1)

toto tto

ở đó

đ(œ, ©) :—= inf ||z — ul

uEeQ

kí hiệu khoảng cách từ z đến tập Q C X, được gọi là giới hạn trên theo

Painlevé-Kuratowski cha ho {Q:}exr khi t > to Tap hop

Liminf Q¿ := {z€ X: jim d(x, Q,) = 0} tto (1.2)

Trang 10

Chương 1 NÓN TIẾP TUYẾN VÀ NÓN PHAP TUYEN

được gọi là giới hạn dưới theo Painlevé-Kuratowski của họ {©;};car khi t > to

Ro rang

Lim inf Q; C Lim sup );

t>to toto

Có thể chứng minh (|2, tr 64]) rằng các tập giới hạn trên và tập giới hạn dưới đều là các tập đóng Từ (1.1) ta có

z € Limsup 9; âđ (Aftibeen C M,ty to, lim d(œ; 4) = 0) (1.3)

¿—>|

t©to

Do (1.2) ta có

z € Liminf 9, © (khen C M,t, > to, lim d(x,,) = 0) (1.4) toto k-0o0

Vi du 1.2 Cho tap hop M = X = R, va ho tap hep

{-1+t} néut<0O, Q = 4 [-1,1] néut = 0, {1-#} néut>0 Ta có Lim sup 9¿ = [—1, 1] và Lim inf Q: = 0 >

/¬>0

Cho © là tập con trong không gian định chuẩn X và cho # € Ô

Định nghĩa 1.3 (Nón tiếp xúc bậc nhất; xem |9, tr 13]) Tập hợp Q—#

T(%;©) := Lim sup

£10 (1.5)

6 d6 “Lim sup” dugc tinh theo tôpô chuẩn của X, được gọi là nón tiếp tuyến

Bouligand-Seuer¿ của Ô tại z Nêu “Limsup” trong công thức (1.5) được tính theo tơpơ yếu của X, thì ta ký hiệu tập hợp thu được bởi 7T„(#; ©)

Trang 11

Định nghĩa 1.4 (Nón tiếp tuyến Clarke; xem |9, tr 13]) Tập hợp

oe

To(&;Q) := Lim inf, (1.6)

+10, az

ở đó “Liminf' được tính theo tôpô chuẩn của X, được gọi là nón tiếp tuyến

Clarke cia ©) tại Z

Ví dụ 1.3 (Tương tự như Ví dụ 2.2.4 trong [2]) Cho tap hop Q = {z = (øi,#a) € R?|z¿ = |zi|}, và # = (0,0) Ta có T(Z,9) = 9 và

Mệnh đề 1.1 Các tính chất sau nghiệm đúng:

(@) 7(4;©) là hành nón chúa 0, tức là 0 € T{Z;Q) oà Àu € T(ã;©Ị) với moi v € T(%;Q) va uới mỗi A > 0;

(ii) T(Z;Q) = {v € X | A{t,} C Re\{O}, t% > 0, 1.7 A{ug} CX, v4, — 0,# + truy € Q,Vk € Ñ}; (1.7) (ili) T(%;Q) la nén dong; (iv) To(;9) C T(z;©) C Tu(; 9) (1.8)

Bao hàm thúc T(#;©) C Tụ„(%;©) có dấu bằng khi X là không gian hữu hạn chiều

Ching minh (i) Dé thấy rằng 0 € T(z;â) Lay tty Ơ v € T(%;) và À >0 Theo công thức (1.5), tồn tại {zz} C Ô và {£„} C R.\{0}, % > 0,

sao cho —— #k — # v= lim k-00 tk vở 1 Dat th = ye với k € Đ, từ đó ta có #py — ®# Àu = lim ——= k-00 tr

Trang 12

(1đ) Kí hiệu về phải của (1.7) là V Lấy € 7T; ©) bất kỳ, ta cần chứng minh rang v € V Chọn {¿} C R;\{0}, t; + 0 sao cho

d(x + tv, Q

tim “E+ tv) DỤ,

k->oo tụ

d(# + tựu, © ~

Dat e, = art) ta có ey —> Ú* Với mỗi k,

k

1

d(E + tyv,Q) = teen < teen + Re Do đó tồn tại z„ € Q sao cho

= 1 ||(= + t,v) — #;|| < tre, + tức Œ#ụ — # Đặt vz, = , ta có tk

4g — ® KOT cep te 1

lu — vel] = fo - SE -

Vậy 0y —> 0 khi k — co Vì # + fyuy = ø„ € Ô, với mọi k, nên 0 € V

Ngược lại, giả sử ø € V Chọn {f¿}, {0x}, f„ —> 0”, ủy —> 0, sao cho

® + truy € © Ta có

dz + tev, Q) — (E+ tev) — (E+ ternll no Ấ a = Iv — oll — vz|| > 0

Do đó (1.7) nghiệm đúng

(iii) Gia sit {we} C T(%;Q), we > 0œ Với mỗi k € Ñ, do khẳng định (1) ở trên, tồn tai t, € (0, t) và 0 € X sao cho

||; — well < k` E+ tru, EQ

Ta c6 th — OF va

1

Trang 13

(iv) Lấy bất kỳ € 7c(Z;©), ta sẽ chứng minh rằng ø € 7(z;©) Vì 0 €7Tec(z;©) nên với mọi dãy ¿ | 0 và mọi dãy 5 Z ta có

lim d(v, Ti

— tụ )=0

Vì vậy, với dãy ‡„ | 0 được lấy tùy ý và day 7, = Z với mọi k € Đ, ta có

Q-&

jim d(v, ) = 0 Ti day suy ra ring v € 7(z;©)

s—}OO +

Nếu œ > œ thì 0 —> 0 Do đó bao hàm thức 7(Z;©) C 7„(#;©) là hiển nhiên Vì khi X là không gian hữu hạn chiều thì tơpơ yếu của X trùng với tôpô của chuẩn trong X, nén ta c6 T(Z%;Q) = T,,(Z; 0) L]

Tính chất hội tụ yếu của dãy véctơ được đặc trưng như sau

Bồ đề 1.1 Cho {uy} C X Ta có uy 4 v néu va chỉ nếu uới mọi #" € X* (x*, Up) —> (1”,0) khả k — oo

Chứng mmứnh Giả sử rằng {uy} C X, và uẹ —> 0, ta cần chứng minh rằng

lim (a*, 0y) = (3”,0) k->œ

Giả sử phản chứng rằng có tồn tại e > 0 sao cho với mọi k, đều có k“ > k

sao cho

|(z”, 0u) — (œ”,0)| >e (1.9) Xét tập mở yếu V := {€ X| —e< (+*,u— 0) < e} Rõ ràng 0u € V

Vay V là lân cận mở yếu của ø Do (1.9), với mọi k và với mọi k“ > k ta

có œ„ # V Điều này mâu thuẫn với giả thiết œy -> 0

Giả sử rằng với mọi #* € X*, ta có (z*,0;) —> (+*,u) khi k — oo Xét lân cận mở yếu của dưới dạng

Vows ei} = {y € X | \(z7,y— v)| < ey, 4 = 1,m},

6 day x € X* vac; > 0,1 = I,m Lay? € {1, ,m} Vì (+Ƒ,uy) > (x7, v) khi k > oo, nên tồn bại k;, sao cho

(ai, un — v)| <j, Vk > kạ,

Dat k = max{k-,|i = 1,m} Do cach chon k, véi moi k > k ta c6

\(a3,v, —v)|<e;, Vi=1,m

Trang 14

Mệnh đề 1.2 Các tính chất sau nghiệm đúng:

()€ 7„(%;©) khi ồ chỉ khi tồn tại tự | Ú, uà {ay} C X, sao cho

4y —® w

UR t= — Vv

tụ

(ii) v € Ty(%;Q) khi va chi khi ton tai th | 0, va {ay} C X, sao cho tới mợi #ø*€ ÄX* ta có (+”,Uy) > (x*,v), ở đó uy = z, (tk —f)

k

Chitng minh (i) Ta c6 v € T,,(%;Q) khi và chỉ khi tồn tại {f¿} C

R,\{0}, t, > 0, va {v,} C X sao cho

1 IG

ua “vu khik > oo

tk

#y — ® ;

Đặt ủy := 7 , ta GÓ 0y “yu

k

(ii) Ap dung B6 dé 1.1 va khang dinh (i) 6 trén ta suy ra diéu phai

chứng minh L]

Định nghĩa 1.5 Chuẩn Kadec ||.|| của không gian Banach X là chuẩn

sao cho các tôpô cảm sinh từ tôpô yếu và tôpô của chuẩn trên mặt cầu

đơn vị

5x := {z € X |||z|| = 1}

là trùng nhau Tức là, với mọi tập mở trong tôpô của chuẩn, ta có

UN Sx là vét (trace) cia mot tap md yeu W C X nao do trên Sx (điều này có nghĩa là tồn tại tập mở yếu W C X sao cho UN Sy =WN Sy)

Ví dụ 1.4 Nếu X = ï là khơng gian Hilbert thì

1

lzl|:= (œ,#)? = @,+)

là chuẩn Kadec Thật vậy, lấy tùy ý z € H và ø > 0 Ta cần chứng minh

rằng có tồn tại tập mở yếu W C 1 sao cho

Wđ®Sw = B(a,p)N Sz (1.10)

Nếu Ø(z,ø)n Sw = Ú thì (1.10) thỏa mãn với W = Ú Giả sử rằng BŒ,p)n Sw # Ú Ta có u € B(x, p) A Sx khi và chỉ khi ||u|| = 1 và

||u — z|| < ø Bất đẳng thức cuối tương đương với

p? > (u—2,u—2) =1—2(u,2) + fla]?

Trang 15

1

= (uz)>a, 646 a:= sũ + ||*ll? — ø?)

Xét tập W = {u € H|(u,z) > œ} Từ biến đổi ở trên, ta co WN Sp =

B(x, p) 1 5w Vậy (1.10) là đúng

Giả sử U là tập mở bất kì theo tơpơ của chuẩn trong H Khi đó tồn tại họ điểm {z4 }„er, và họ bán kính {ø„}aez, Ï là một tập chỉ số nào đó, sao cho U = Đứa, pa) Vậy

acl

UN Sy = U (Bla; Pa) f1 Su)

acl

Do kết quả chứng minh ở trên, với mỗi œ € I tén tai tap md yéu Wy sao cho (za,ø„)fñ1.9w = Wa Sy Vay

U n8, = (Bas pa) $n) =U (Wa $n) = (Wa) 1 Si

acl

ael ael

Vì W = W là tập mở yếu, diéu do chitng to rang vét UN Sy cha U

acl

trén Sy bằng vết của tập mở yếu W trén Sy Tinh chat Kadec của chuẩn

trong không gian Hilbert đã được chứng minh

Ménh dé 1.3 Chuan trong khong gian Hilbert kha vi Fréchet tai nhitng điểm khác 0

Chứng rnứnh Thật vậy, cho (X, (.,.)) là không gian Hilbert Ta có

#(z) = ||z|| = AI Va € X,

Có định điểm # € X\{0} Đặt z* = — € X = X%*, ta sẽ chứng minh rằng Vụ(Ø) = +* Ta dat f(x) = (2, 1) g(t) = t!/? vdi moi t > 0, và để

ý rằng @ = øo ƒ Ta có Vƒ(#) = 2# Thật vậy, đẳng thức này xảy ra vì

Ƒ(#+u)T— ƒ(Z)T— (@#,u) _ (#+u,z-+u)T— (Z,) — 2(,u)

lim =Ìi

u-3Ũ IBI 90 ll«||

2

= lim —— Null _ = lim ||u|| =0

Trang 16

Chương 1 NÓN TIẾP TUYẾN VÀ NÓN PHÁP TUYẾN

Vì Z # 0 nên ƒ(#) = ||#||? > 0 Vậy g(-) khả vi tại £ := ƒ(#) Áp dụng

quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp cho hàm ¿ = go ƒ ta thu được

1 F %

Vự(#) = g((z)).Vƒ(#) = -ƒ(œ)"!⁄2.2z = 2% =—

Diều đó chứng tỏ rằng Vựụ(Ø) = 2* Oo

Ménh dé 1.4 Néu v € Liminf T(a;Q) thi, vdi moi e > 0, ton tain > 0

2 E

sao cho (0 +eBx)n T(z;©) # Ú uới mỗi z € ON (E+ Bx)

Chứng mmnh Ta sẽ chứng mình mệnh đề bằng phản chứng Giả sử rằng

tồn tại e > 0 sao cho với mỗi r = tk EN, ton tai x, EQN (E+ +Bx) mà (0+eBx)fđn 7(a,;©) = Ú

Vì ø € Liminf7(z+;©) nên, với day 2, *\ ø vừa chọn, với mỗi k € Ñ

tồn tại ø € 7(zz;©) mà 0y — 0 khi & — oo

Do (o+eBx)ff(z;;Q) = f theo cach chon zp, ta phải có ||ux—0|| > £ với mọi k € Ñ Cho k —> œ, từ đó ta có || — 0|| > e Mâu thuẫn này kết

thúc chứng minh mệnh đề O

Dinh ly sau day (xem [9, Theorem 1.9]) là một kết quả sâu sắc; nó chỉ ra những mối quan hệ cơ bản giữa nón tiếp tuyến Clarke với nón tiếp

tuyến Bouligand-Severi và nón tiếp tuyến yếu Điều thú vị là tính chất phản xạ, tính chất Kadec, và tính khả vi của chuẩn tại những điểm khác 0 của không gian Banach được xét đóng vai trị quan trọng trong việc thiết

lập các mối quan hệ đó

Dinh lý 1.1 Cho X là không gian Banach, va cho 9 C X là đóng địa phương quanh ® Khi đó các khẳng định sau nghiệm đúng:

(i)

Lim inf T(@;Q) C 7c(z; ©)

2

LE

(ii) Néu X la khong gian phan xa, thi

Trang 17

(iii) Nếu chuẩn trên X là chuẩn Kadec uà khả vì Fréchet tại những điểm

khác 0, thà

To(%;Q) = Lim inf 7„(x; 9)

Q

ue

Chứng rmữnh (¡) Ta đi chứng mình bao hàm thức thứ nhất trong định lý Lấy bất kỳ ø € Liminf 7+; ©) Khi đó, theo Mệnh đề 1.4, với mỗi e > 0,

oe

ton tai > 0 sao cho (v+eBy) NT(2;Q) ZO voi moi x € NN (F+nBx)

8 n/2 5 aS

Dat v := ———., ta thay rang

(l|ell + 2=)

(z+f(o+2enBx))n9 z ñ (1.11)

VỚI mỌI # € Qn(Œ+2Bx) và £ € (0,z⁄) Từ đó sẽ suy ra rằng ø € 7(Z; ©) Trước tiên ta chứng minh (1.11) là đúng với mọi # € (0,v) That vay, dé

chứng minh điều này, ta xét tập hợp

T; :— {Le (0,1)|(+t(e+ðBx)) n 9 #0}

Ta có 7ÿ là tập trù mật trong (0,1) với mỗi ô € (e,2£) Thực vậy, do cách

chọn 1 ở trên, ta tìm được một dãy „ | 0 sao cho

(z¿ + f„(o+ðBx))n Q9 # 0

với k€ Ñ Do đó 7š # Ú Lấy bất kì r € (0,⁄}\ 7š và đặt t, = sup [Ty N (0,7)], ta có (z +f„(o +ðBx)) n 9 #0 Do cách chọn 1,

+f,(o+ðBx) C#+ 5 Bx + y(|lvl| +5)Bx C F+nBx

Ta có thể chọn một day t; | 0 sao cho

(xp + (t +ty)(v+6Bx)) NQAD véi moi k EN

Diéu nay cé nghia la t, = 7, và do đó 7 1a diém tu cia tap Ts Do ổ € (e, 2£)

và sự lựa chọn bất kì 7 € (0,1) \ 74, nên chúng ta có

(x +t(v + 2enBx)) NQAO với mọi £ € (0,0)

Từ đó ta suy ra rằng ø € 7(Z;©) Vậy bao hàm thức thứ nhất đã được

chứng minh

Trang 18

(1ñ) Giả sử rằng X là không gian phản xạ, ta đi chứng minh bao hàm thức thứ hai trong định lý Lấy tùy ý u € Tc(Z;©) Khi đó, với mọi e > Ú

ta tìm được ? > 0 sao cho véi moi x € (% + nBx) MQ ton tại một dãy

t„ | 0 và day {uy} C (0 +eBy) với z + tuy € O, k © N Do tinh phan xạ của X, hình cầu đóng + ex là compact yếu Vì vậy, ta tìm được Uy € X thỏa mãn „ € ø+eBx và tập chỉ số {k'} C {k} sao cho 0 “> vy

khi k’ > oo Theo định nghĩa của nón tiếp tuyến yéu, vz € Ty (x; 0) Do

ce > 0 được lấy tùy ý, ta có u € Lim inf T,(a;Q) Vay bao ham thitc thứ LTE

hai đã được chứng minh

(iii) Chứng minh phần này có trong Aubin và Frankowska (xem {4, Theorem 4.1.13]) va bai béo của Browein và Strójwas (xem [6, Theorem

3.1]) Oo

Tw Dinh ly 1.1, Vi du 1.4, và Mệnh đề 1.3, ta có hệ qua sau

Hé qua 1.1 Cho X là không gian Banach, Q C X là tập đóng địa phương quanh 2

(i) Néu X là không gian phẩn xa, thi

Lim inf T(2;Q) C To(%;Q) C Lim inf T),, (x; Q) (1.12) (ii) Néu X la khong gian Hilbert thi

Lim inf T(2;Q) C To(%;Q) = Lim inf T,,(2; ©) (1.13)

ae aE

1.1.3 Đạo hàm

Cho X,Y là các không gian định chuẩn, `: X = Y là ánh xạ đa trị

Ba khái niệm đạo hàm sau đây được xây dựng nhờ các cấu trúc hình

học - đó là các nón tiếp tuyến của đồ thị của ánh xạ đa trị được xét tại

một điểm cho trước Dựa vào đạo hàm người ta có thể đặc trưng tính lồi và tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị F thong qua tính đơn điệu và

tính đơn điệu theo nón của các ho anh xa dao ham {DF,(-)}-cepnr va

{CF.(-)}-egpnr Tuong tự như trong giải tích cổ điển, người ta cũng có

Trang 19

mở, hàm an, hàm ngược cho ánh xạ đa trị Các khái niệm đạo hàm này

cũng đã được sử dụng để thiết lập các điều kiện cần và đủ cực trị trong lý

thuyết tối ưu và lý thuyết tối tu véctơ

Định nghĩa 1.6 (2, tr 71]) Dao ham contingent (dao ham Bouligand) DF-):X 3 Y cia F tai diém Z = (Z,ÿ) € gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand-Severi 7'{Z; gph'), tức là

DEF;(u) := {u€ Y |(u,u) €T(Œ;gphF)}, Vu X

Nếu ƑF(+) = {ƒ(+)} với mọi z € X, ở đó ƒ : X — Y là ánh xạ đơn trị,

thì ta viết Dfz(-) thay cho Dz,/(ø))(-)

Nếu sử dụng hình nón tiếp tuyến Bouligand yếu 7„(Z; gphF') thay cho

T(Z;gph#') trong định nghĩa trên, thì ta có khái niệm dao ham sau

Dinh nghia 1.7 Dao ham contingent yếu (dạo hàm Bouligand yéu)

DY FA): X 3 Y cia F tai diém 7 = (%,9) € gphF |a ánh xạ đa

trị có đồ thị trùng với hình nón tiép tuyén Bouligand yéu T,,(Z; gphF),

tức là

D"F;(u) := {o€Y |(u,u) € Tụu(Z;gphF)}, Vu e X

Nếu Ƒ(z) = {ƒ(œ)} với mọi z € X, ở đó ƒ : X -> Y là ánh xạ đơn trị,

thì ta viết D"ƒz(-) thay cho D“tz,;œ)(-)

Định nghĩa 1.8 (|2, tr 71]) Đạo hàm Clarke DF;(-): X — Y của F tại

điểm Z = (Z,ÿ) € gphF' là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp

tuyến Bouligand 7o(Z; gph#'), tức là

CF‡(u) := {o€ Y |(u,) € To(Z;gphF)}, Vu € X

Néu F(x) = {f(x)} voi moi w € X, 6 do f : X > Y là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Œ ƒz(-) thay cho ỞFz gœ)(-)

Vi du 1.5 Xét anh xa da tri F: RR, véi

(0, +00) khi z < 0, F(x) =

[/z,+00) khix > 0

Trang 20

Tai Z = (0,0) € gphF ta cé

To(Z; gphF’) = T7; gphF') = T,,(Z; gpbhF’) = (—co, 0] x Ry Vi vay,

CF,(u) = DF;(u) = D" F,(u) = ‘ toe) neu < 0, Ú nếu + > 0

Ở phần tiếp theo, chúng ta sẽ đề cập đến khái niệm nón pháp tuyến

và đối đạo hàm Đối đạo hàm của một ánh xạ đa trị F : X = Y tai mot

điểm Z = (Z,ÿ) € gphF là một ánh xạ đa trị từ không gian đối ngẫu Y*

vào không gian đối ngẫu X*, lưu giữ các thông tin đã được mã hóa trong ngơn ngữ của các không gian đối ngẫu về tốc độ thay đổi của ánh xạ đa trị trong các không gian nền Đối đạo hàm được xây dựng nhờ các nón

pháp tuyến của đồ thị của ánh xạ đa trị tại một điểm cho trước Cách xây

dựng xấp xỉ bậc nhất của ánh xạ đa trị này là hoàn toàn khác với cách đã

được trình bày trong các Định nghĩa 1.5-1.7 Đối đạo hàm qua giới hạn

(xem Tiểu mục 1.2.3 dưới đây) không nhất thiết là ánh xạ đa trị liên hợp

của một ánh xạ đa trị giữa các không gian nền nào 1.2 Nón pháp tuyến và đối đạo hàm

Trong giai đoạn các năm 1995-1997, B 5 Mordukhovich và các cộng sự đã công bố nhiều bài báo quan trọng đặt nền móng cho lý thuyết vi

phân vô hạn chiều theo lược đồ mà trong đó sử dụng dưới vi phân để định

nghĩa nón pháp tuyến (nói chung là không lồi) của các tập hợp và sử dụng

nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm (coderivative) của

ánh xạ đa trị Vì dưới vi phân và nón pháp tuyến có quan hệ chặt chẽ, nên cũng có thể định nghĩa nón pháp tuyến trước khi định nghĩa dưới vi phân Cách trình bày này đã được B 5 Mordukhovich sử dụng trong cuốn sách

chuyên khảo [9]

1.2.1 Nón pháp tuyến

Định nghĩa 1.9 (Tập véctơ e-pháp tuyến, xem |9, tr 4]) Cho O C X,

Q z Ú Cho z € Ô và e >0, tập hợp các e-pháp tuyến của © tai x dude

Trang 21

cho bởi công thức

N-(x;Q) = {<* € X*| ¬ `" < e} mộ Tai]

Khi e = 0 thì ta sử dụng kí hiệu Ÿ(z;©) thay cho No(z; 9) và gọi tập này

là nón pháp tuyến Fréchet của © tại z Nờu z Â â thì ta quy ước rằng

N.(a;Q) := Ú, với mọi e > 0

Định nghĩa 1.10 (Tập nón pháp tuyến qua giới hạn, xem [9, tr 4]) Cho

QC X,OzJ Choozc€ 9 Khi đó z* € X* được gọi a một phấp tuyển

qua giới hạn của 2 tại Z nếu tồn tại các dãy £y | 0, # 3 %, Và xy, “ +”

với mỗi #j € Nz, (vx; ©), với mọi k € N Tap hop

NŒ;©) := Limsup Đ.(z;©) (1.14)

oe

c0

được gọi là nón pháp tuyến qua giới hạn (hay nón pháp tuyến Mor-

dukhovich) cia Q tại ø Nêu 7 £ Ơ thì ta quy ước rằng W(Z;©) := Ú

1.2.2 Dưới vi phân

Cho tập hợp 9 C X, ở đó X là khơng gian Banach Cho ¿@ : X + R=

[—co, +00] 14 ham nhận giá trị trong tập số thực suy rộng Giả sử rằng + € dom¿ := {z € X ||w@(z)| < +ee}

Định nghĩa 1.11 ((2, tr 108|) Với mỗi e > 0, đặt

> *

8v = {x* € X*| liminf pla) = gla) = hah 2) = VÉ) =& ` >—e} (115) 2)

8 lz — Z|

Tập hợp này được gọi là e-dudi vi phan Fréchet cia ¿ tại # Các phần

tử của tập hợp ở về trái của công thức (1.15) này được gọi là các e-dưới gradient Fréchet cua ¿ tại # Khi e = Ú thì ta sử dụng kí hiệu Øv() thay

cho 8¿(®) và gọi tập này là dưới vi phân Fréchet dưới, hay nói gọn hơn

la dudi vi phan Fréchet của ÿ tại Z

Trang 22

Định nghĩa 1.12 (2, tr 109]) Tập hợp

dy(z) := Lim sup ổ:¿() (1.16)

te

e}0

được gọi là dưới ơi phân qua giới hạn (hay dưới vi phan Mordukhovich)

của ý tại Z

Do đó, z* € Ay(Z) khi và chỉ khi tồn tại các dãy #„ -^*> #, e¿ —> 0Ÿ, và + € Ö;,@(#y), sao cho

+ 1UẺ

1 —> đẺ,

Như vậy, dưới vi phân Mordukhovich Øự() được tính qua các e-dưới vĩ phan Fréchet Ø¿;(+) với e > 0 được lấy đủ bé và z được lấy đủ gần Z

Xét hàm chỉ

o() = 0 nếu ø € Q +oc nếu c€Q

Mệnh đề sau đây cho thấy mối quan hệ giữa dưới vi phân của hàm chỉ

và nón pháp tuyến của © tại Z

Mệnh đề 1.5 Cho QC X là tập hợp khác rỗng Khi đó, uới mọi # € ©,

ta có 7

Oig(Z) = N(&;Q) (1.17)

Nếu X là không gian Asplund va néu Q là đóng quanh # € ©, thà

Oig(%) = N(%;Q) (1.18)

Chitng minh Dé ching minh (1.17), ta nhan xét rằng x* € dig(Z) khi

va chi khi / Số _

lim ing (2) — iaŒ) — @*,z - 3)

mu lz —zl

o(#) — to(®) — (*,œ — 3®)

lz — #|

>0

Đặt A(z,®) = „ ta có

inf { lim A(z;,) : 2% +} >0

k + oo

khi va chi khi

Ve > 0, 4d >0 sao cho A(x, 2) > —e, Vx € X\{F} ma ||x — Z| < 6;

Trang 23

tức là

Ve >0, đổ >0 sao cho ?o(#) — io(#) — (+”,œ& — #) > —el|# — #||, với mọi z € X\{Z} mà ||z — Z|| < ô Do io(#) = 0 và ie() = +œ nếu + #@ Q, nên tính chất cuối có nghĩa là

Ve >0, đỗ >0 sao cho (z”,ø — #) < e||z — || với mọi z € © mà ||z — #|| < 6;

(x*, a — @)

l al < 0 Theo định nghĩa của nón pháp tuyến

L-E

tức là lim sup

aE

Eréchet, điều đó có nghĩa là z* € N(z; Q) Vay cong thite (1.17) da được

chứng minh

Khi X là khơng gian Asplund thì, theo [9, Theorem 2.34], với mọi hàm

nửa liên tục dưới @: X -> R ta có

Øio(u) = Limsup Øïo(z) Vue X (1.19)

# —> tt

Vì Q là đóng nên hàm chỉ ?a(+) là nửa liên tục dưới Từ công thức (1.17)

và (1.19) ta suy ra đẳng thức (1.18) O

1.2.3 Đối đạo hàm

Định nghĩa 1.13 (xem |9, tr 40-41]) Cho ánh xạ đa trị `: X = Y với domF F 9

(i) Cho (x,y) € X x Y¥ vac > 0 Ánh xạ đa trị D*F (x, y)(-) :Y*¬ X”

xác định bởi công thức

DF (x,y)(y*) = {a* © X*|(2*,-y*) e Ñ.((z.w):gphF)} — (120)

được gọi là e-đối đạo hàm của F tai (x,y) € gphF’ Khi e = 0 thì ánh xạ

được cho bởi công thức (1.20) được gọi là đối đạo hàm Fréchet của F tai

(x,y) € gphF, va dugc kí hiệu bởi D*F(cx, ) Ta quy ước rằng với moi e>Ovay* € Y* thi D*tF(x,y)(y") := Q néu nhu (2, y) ¢ gphF

(ii) Anh xa da tri D*F(%,%)(-) : Y* = X* xác định bởi công thức

DˆFŒ.)(w) := {ae X*|(a”,—w”) e N(Œ,ÿ);¡sphf)} (121)

Trang 24

được gọi là đối đạo hàm qua giới hạn (hay đối đạo hàm Mordukhouich) của #' tại (,) € gphF:

Nếu F(z) = {ƒ(z)} với mọi z € X, ở đó ƒ : X — Y là ánh xạ đơn trị, thì ta viết D* f(z) thay cho D* f(z, ƒ@)) và D”ƒ() thay cho

D*ƒ(z ƒ(8))

1.3 Quan hệ giữa nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến

Định lý 1.2 (xem |9, tr 16]) Cho Q C Ä là tập hợp trong không gian

Banach va cho © € YQ Khi đó,

N.(Z;Q) C {x* € X*| (a*,v) < ellul], Vo € T(E;Q)} (1.22)

vdt mote > 0 Ngodi ra, vdi e = 0 ta có

N(z;Q) c {x* € X*|(x*,v) <0, Wu € T,(&;2)} (1.23)

va bao hàm thức nay trỏ thành đẳng thức khi X là không gian phan za Thêm uào đó, bao hàm thức (1.22) trở thành đẳng thức khi X là không

gian hữu hạn chiều

Chứng minh Dễ chứng mình (1.22), ta cố định một véctơ #* € Nz, Q),

ở đó e > 0 được chon tùy ý Ta cần chứng minh rằng

(x*,v) <elloll: Vòc T7;9) (1.24) Nếu ø = 0 thì (1.24) hiển nhiên nghiệm đúng Lấy tùy ý ø € 7(Z;©)\{0}

Do Định nghĩa 1.3, tồn tại f„ | 0 và 0y —> 0 sao cho # + fguy € ©, với mọi

kéNĐ.Vìz* € N.(,©), ta có

Thay thế u = # + fzuy € © vào bất đẳng thức cuối, ta được

4

lim sup (2", UK) <e

k>oo ||oz ||

(x*, Uk)

Vì thế, với mọi ? > 0 ta có < e+n với mọi k đủ lớn Cho & —> œ,

|:

ta nhận được

(@œ*,) € (e+)|||:

Trang 25

Vì > 0 có thể lấy tùy ý, từ đó ta suy ra bất đẳng thức ở (1.24) Vậy bao hầm thức (1.22) đã được chứng minh

Để chứng minh (1.23), ta lấy zø* € ÑŒ, Q) va lấy tùy ý v €

Tu(; 9)\{0} Ta có

lim sup <0 (1.25)

ue

Do v € 7„(#;©)\{0} nên tồn tai t, | 0 va vg v sao cho F + fyuy € © véi moi k Thay thé u = # + fz„ vào về trái của bất đẳng thức ở (1.25)

và đổ ý rằng # + f„u„ —> Z (Do 0y —> ø nên dãy {ø¿} là giới nội Vì f„ | 0 nên từ đó ta có ty —> Öx Vậy # + f„z„ —> Z.) Phép thay thế nói trên cho ta bất đẳng thức sau

*

lim sup ti) <0 1.26

kEsso — [|| Nh Hệ

Chọn ø > 0 sao cho ||0|| < ø với mọi k € Ñ Do (1.26), với mỗi ? > 0 ta có (z*, 0y) < r||ox|| < ạo Với k đủ lớn Cho k —> oo, từ đó ta thu được

(œ*,) < np

(Vi vy, “> v nén theo Bo dé 1.1, (a*, vg) — (2*,v) khi k — 00.) Cho 7 — 0, ta suy ra rang (x*,v) < 0 Vay (1.23) d& được chứng minh

Khi X là không gian phản xạ thì ta có

ĐŒ;©) = {z' € X*| @*,u) <0, Vị € T„(Œ; ©)} (1.27)

Thật vậy, bao hàm thức “C” trong (1.27) suy ra từ (1.23) Ta cần chứng mỉnh rằng khi X là không gian phản xạ thì

{z* € X*|@*,ø) <0, Vò e T„(œ;9)} c ÑG; 9)

Cố định một vộcto 2* Â ẹq: â), ta cần chứng tổ rằng

a* € {u* € X*| (u*,v) <0, Wo € T(z; 9)} (1.28) Vi x* ¢ N (Z;©), nên theo định nghĩa nón pháp tuyến Ftéchet có tồn tại

£ >0 và một day x, 5$ # sao cho

(er tk) es với k đủ lớn IIzz — #||

Trang 26

LE @

Để ý rằng { } là dãy véctơ trong hình cầu đơn vị của X Do X

|lzz — #||

là phản xạ nên hình cầu Zx là compact dãy theo tôpô yếu, tức là từ dãy véctơ bất kỳ trong x ta trích ra được dãy con hội tụ theo tôpô yếu trong X Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử rằng

y4 u a =

jz—-z) vol v € Bx

+

Vì ø„ —> # nên ||+„ — #|| > 0 khi k —> œ Vậy v € Limsup j , ở đó #10

Limsup được lấy theo tôpô yếu Do dé v € T„(;©) Vì inal Su

Lp —

nén (2*, —*——= — (a*,v) khi k — oo Do (it) > ế với

lzz — || ||: — #||

k đủ lớn, nên từ đó ta có (z*,0) > ẽ Vậy tính chất (1.28) nghiệm đúng Đẳng thức (1.27) đã được chứng minh

Bây giờ, giả sử rằng X là không gian hữu hạn chiều Ta cần chứng minh

rằng, với mọi e > 0,

N.(@,Q) = {x* € X*| (x*,v) < ellul], Vo € 7(;©)} (1.29)

Bao hàm thức “C” trong (1.29) được suy ra từ (1.22) Lấy tùy ý z* € X* mà (z*,ø) < e||z|| với mọi ø € 7; ©), ta cần chứng tỏ rằng

lim sup at — 3 <e (1.30)

Qo \|x = z| LT

Giả sử phản chứng: Bất đẳng thức (1.30) là sai Khi đó, tồn tại z 2

sao cho _

tim Fe) yg, (1.31)

Do X là không gian hữu hạn chiều, hình cầu Bx 1a compact Mặt khác,

y —® = 2 5

vi Imaal € Bx với mọi k € Ñ, nên ta có thể giả sử răng

Lp v

Le — #

m——r%, lol] = 1

ll+, — #||

Do ||z„¿ — #|| —> 0, và do z„ € © với mọi &, từ đó ta có

Q-F

= T(F;Q)

v € Limsup +10

Trang 27

Lấy giới hạn ở (1.31) khi k — oo, ta có

#py — *

lim (ax ) > € k-00 , |Ì+; — Z||

Suy ra (+”,ø) > el||o|| với ø € 7(;©); mâu thuẫn với cách chọn ø thỏa mãn (+*,) < e||o|| với mọi ø € 7(;©) Vậy đẳng thức (1.29) đã được

chứng minh L]

Nhận xét 1.1 Khi e = Ú, từ (1.22) ta có

ĐŒœ,O) C {+ e X*| (#*,») <0, Wo c7; ©)} (1.32)

Vì T(;©) C 7„(#;©), bao hàm thức (1.32) chưa đủ để suy ra bao hàm thức (1.23)

Nhận xét 1.2 Nếu X là không gian hữu hạn chiều thì, nhờ vào cơng

thức (1.29), chỉ cần sử dụng nón tiếp tuyến Bouligand-Severi 71; ©) ta có thể tính được tập e-pháp tuyến ĐW.(Z, ©) với mỗi e > 0

Hệ quả 1.2 (Nón đối ngẫu của pháp tuyến Fréchet) Cho X là không gian

phan xa va Q C X Khi đó, nón pháp tuyến Fréchet cia Q tai ® là đối

ngẫu của nón tiếp tuyến yếu của © tại , tức là

(@;Q) := {a* € X* | (z*,v) <0, Wu € Ty (@;9)}

^

N(z;Q) = T,,

1a cũng có

ÑŒœ;9) =T!;9) := {a* € X* | @*,u) <0, Vò c7(;9)}

khi X là không giưn hữu hạn chiều

Chứng minh Khi X là không gian phản xạ thì từ đẳng thức (1.27) trong chứng minh của Định lý 1.2 ta suy ra rằng

Ñ@;9) = Tƒ(s;Q) := {a* € X* | œ*,u) <0, Vò € Tu(E;Q)}

Khi X là hữu hạn chiều thì cũng theo đẳng thức (1.29) trong chứng minh

của Định lý 1.2 ta có

N-(Z,Q) = {2* € X* | (x*,v) <ellul], Vo € T(E; Q)}

Thay e = 0 vào đẳng thức trên ta suy ra điều cần chứng minh L]

Trang 28

Nhận xét 1.3 Ngay cả khi X phản xạ, chưa chắc đã có đẳng thức

Ñ(;O) = T*(œ;O) Như vậy, T„(#;©) có vai trị quan trọng trong việc thiết lập quan hệ đối ngẫu giữa nón pháp tuyến Fréchet và các nón tiếp tuyến

Neo(; Q) = Te; Q),

Trang 29

Tập tiếp xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai

Trong [8], B 5S Mordukhovich đã sử dụng khái niệm dưới vi phân của

các hàm số nhận giá trị trong tập số thực suy rộng để định nghĩa nón pháp

tuyến của các tập hợp (xem [9]) Trong Chương 1, ta đã tìm hiểu mối liên

hệ giữa xấp xỉ bậc nhất và dưới vi phân bậc nhất của hàm chỉ qua các công thức (1.17) và (1.18) Một câu hỏi tương tự được đặt ra là: Liệu có

mối liên hệ nào giữa các tập vấp zỉ bậc hai của một tập hợp vdi dudi vi

phân bậc hai của hàm chỉ của nó hay không?

Chương này gồm 3 mục Mục thứ nhất trình bày khái niệm tập tiếp

xúc bậc hai, và một số tính chất Mục thứ hai xem xét tập tiếp xúc bậc hai của tập hợp lồi đa diện Mục thứ ba trình bày mối liên hệ giữa dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai trong trường hợp tập được xét là tập hợp có biên trơn

Các kết quả ở Mục 2.3 là mới Ý tưởng cơ bản ở đây là sử dụng khái niệm độ cong của biên của tập hợp được cho dưới dạng tập nghiệm của

một bất đẳng thức hoặc tập nghiệm của một hệ hữu hạn các đẳng thức

để thiết lập mối quan hệ gián tiếp giữa tập xúc bậc hai và dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ thông qua các bất đẳng thức kép Chúng tơi cho rằng

khó có thể thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa tập xúc bậc hai và dưới

vi phân bậc hai của hàm chỉ, theo kiểu những công thức tính cái này qua

cái kia (như đối với nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến - chính là dưới vi

phân bậc nhất của hàm chỉ)

Trang 30

Chương 2 TẬP TIẾP XUC BAC HAI VA DUGI VI PHAN BAC HAI

2.1 Tập tiếp xúc bậc hai

Tập tiếp xúc bậc hai của một tập hợp là khái niệm quan trọng, cho

phép đạt được bậc xấp xỉ tốt hơn cho một tập hợp tại mỗi điểm được xét ở lân cận một điểm cho trước Dựa vào tập tiếp xúc bậc hai ta sẽ mô tả được độ cong (curvature) của một tập hợp tại một điểm cho trước

Định nghĩa 2.1 (Xem [10, tr 140|) Cho 2 C X là tập khác rỗng trong

khong gian Banach phản xạ, và # € Q Một hướng œ € X được gọi là tiếp

và f„ —> 0 sao cho

#Ug—# — trS

w= lim —,—

k—œ 5 (tz)? (2.1)

Tập tất cả những véctơ + như trên được ký hiệu bởi 7ã(Z, s) và được

gọi là fập tiếp xúc bậc hai ca â ti đ theo hướng s

Hình 2.1

Nhận xét 2.1 Đặt z(/) = F+ts+ 5t?w, £ 3» 0 Ta có z(0) = 7 vị {a(t) | 3 0} là đường cong bậc hai (dạng parabol) trong X

dist(z(„), 9) = o(), (2.2)

#2

= (E+ tes + Stu) all (23)

Trang 31

Do (2.1), với mọi e > 0 có tồn tại &; € Ñ sao cho

#k — # — ỈrS

a es 3Í:

#k —T — tgs

Do đó tồn tại uy € (0, 1) sao cho TP

ahi, — 10 = 2u; Suy ra

1 1

Sử dụng (2.3), ta có

1 1

0L 08) 0Ó < 5 lel <e£ Vì e >0 được lấy tùy ý, nên (2.2) đã được chứng minh

Nhận xét 2.3 (Mối quan hệ giữa tập tiếp xúc bậc hai và nón tiếp tuyến

bậc nhất của © tại #) Nếu 78(#, s) # thì tồn tại một dãy f¿ | 0 sao cho dist( + f„s,) = O(/7) Do đó, tập tiếp xúc bậc hai bên ngoài 7ã(Z, s) chỉ khác rỗng nếu như s € 7T(Z; ©) Thật vậy, ta nhắc lại rằng

T{(z;Q) = Limsup us

#40 ={s€ X |3, |0, dist(# + f„s, Q) = o(t,)} Gia sit rang T3(Z,s) # Í Lây œ € 7ä(Z, s) Khi đó, tồn tại một dãy

t;, | 0 sao cho

1 :

dist(Z + f„s + athe Q) = o(t?) (2.4) Chú ý rằng tính chất dist(# + f„s, ) = O(#?) có nghĩa là tồn tại hằng số

Œ >0 và một dãy t, | 0 sao cho

Trang 32

Chương 2 TẬP TIẾP XÚC BẬC HAI VÀ DƯỚI VI PHÂN BẬC HAI

Do (2.4) ta có e„ | 0 Với mỗi k vì

" T2 2 2,1»

dist(% + ts + gine Q) = ext, < ent, + rứn

1 1

|Z + tes + ata — Uay|| < ext + Sth i

Do do,

[z-+ts — ul — stile < || + ths + sie — || < ext? + xử

Đuy ra

Ie + tas — ull < (s + 5llell + 2) eB

Dat

C = sup{e,|k € N} + 2l +1

va dé ¥ rang ||% + ths — uz,|| < Ctz Vay voi day t;, | 0 da chon, ta c6

dist(Z + ths,Q) < Ct,

tức là (2.5) nghiệm đúng Khang định thứ nhất đã được chứng minh

Từ (2.5)ta suy ra rằng ưng

dist(Z + f„s, Ô

— k hội tụ đến 0 khi | 0, tức là

< Ctr Do dd, dai lượng

dist(Z + f„s, Q) = o(t,) Vậy s € T(%;Q)

(I) Tâp TãŒ, s) là đóng

(1) Tôp T(œ, s) là thuần nhất dương bậc hai theo biến s, tức là

Trang 33

Ching minh (i) Dé chttng minh 73(Z, s) là tập đóng, ta xét dãy wi C

Tặ(Œ,s) sao cho w' —> t0 Với j = 1,2, , ta chọn tùy ý ej; | 0 Do

|= # — ty Aj) 8 _ wl Siêu

ati nay)”

Do đó ta có

| xjFƯ) — œ— ty a(j)S

3(ti,a(j))”

khi k(j) > oo Suy ra w thoa man Dinh nghia 2.1 véi mdi 7 = 1,2,

Vậy + € T3(%,s) Diéu do ching té rang T3(z, s) là đóng trong X

(ii) Lay w € T8(z, s) Theo Dinh nghia 2.1, ton tai {2*} CO, tz | 0,

thoa man —w| <£;+ ||u# — || +0 k la xv” —# — tụ += ln ——————— Với mọi œ > 0, ta có th k › œ(œ*—®—fys) — —#~ (a3) œ“w = lim i 5 = lim 7 k—y»oo 5 (tk) k- 00 1T) aha tr

Do d6 a?w thỏa mãn Dinh nghĩa 2.1 với hướng as, va {a*} CQ, {^} + 8

L]

0T Vậy ta có a”7ä(Z, s) = Tä(Z, as), với mọi œ > 0

2.2 Tập tiếp xúc bậc hai của tập lồi đa diện Mục này được viết trên cơ sở tài liệu [10, tr 141-142]

Để chứng minh cơng thức tính tập tiếp xúc bậc hai của tập lồi đa diện,

ta cần chứng minh bổ đề sau

6 dé a; € R", a; € R, vdi moit=1,m, va FT EQ Khi dé

T(z; Q) ={s ER" | (a;,s) <0, Wi € I(z)}, (2.8) vdi I(Z) := {i | (a;,%) = œ¡} là tập chỉ số hoạt (the acliue indez set) của hé bat dang thitc (a;,x) < a;, ¡ = 1,m, tại ®

Trang 34

Chương 2 TẬP TIẾP XÚC BẬC HAI VÀ DƯỚI VI PHÂN BẬC HAI

Đặt 7 = {1,2, ,m} và S(Z) = {s € R"|(a,s) <0, V¿ € I{(z)} Lấy

tùy ý s € R" ma

(a;,s) S0, Vi € I(Z) (2.10)

Nếu s = 0 thì hiển nhiên s € T(z%;Q) Xét trudng hop s 4 0 Dat x =

+†s, với t > 0 Do (2.10) ta có

(d;¿, #) = (a;,%) + (a;,ts) = a; + t(ai,s) < ai, (2.11) với mọi ¿ € I() Nếu ¿ € /\J(Z) thì (a;,#) < aj Do do tén tai 6; > 0 ma

(a;,u) <a; với mọi u € ĐŒP, ð;)

Đặt

À= min {ei € nice} với mỗi t € (0, A), thi ta cd

lz — 2|| = tl]s|| < Alls|]| < 6; voi moiz € I\I(Z)

Vậy z € D(, ô;) với mọi ¡ € ƒ\1(Ø) Do đó (œ;,ø) < a; v6i moit € I\I(Z) Kết hợp điều này với (2.11), ta có

(d¡, #) < dị

với mọi ? € Ï; tức là z € @ Do công thức (2.9) nên

s=£!(z—#) e7Œ, 9)

Vậy ta đã chứng minh được rằng 7{Z;©) C S(Z) Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy tùy ý z € ©,£ >0, và đặt s = f( — ) Với mọi ¿ € Ï(Z) ta có

Trang 35

Định lý 2.1 (Xem [10, Lemma 3.43]) Cho X = IR" »à QC X là tập lỗi

TRE, 8) = Treasy(8) (2.12)

To(Z) = {s € R”|s = đu — ), ụ€ 9, 8 > 0},

nếu

Q= {x €R"| (a;,z) < aj, i = 1, m}, 6 dé a; € R", a; € R, i =1,m, thi theo Bs đề 2.1 ta có

T(%;Q) = {s ER" | (ai,s) < 0,7 € I(z)},

với I(Z) := {i|({a¡,®) = o¿} là tập chỉ số hoạt của hệ bất đẳng thức (a;,0) S œ¡, ¡ = 1,m, tại Z

Xét một hướng s € T(, 9) và mot day x(t.) = #+t„s+ 3f# với t„ | 0

dị “

TOO k

cho ||x(t,) — uxl| < 2dg

Vậy trong cả hai trường hợp, đều tồn tai uz, € Q sao cho ||x(t,) — ugl| <

2dy Do cách chọn uy, ta có (d;,uy,) < a; Voi moi i = I,m V6i méi

i € I(Z), ta c6 (a;,Z) = ay, vi vay

(a;,Up —Z) <0 với mọi 7 € I() Do ||a(t,) — ugl| < 2dy, ton tai z, € Ben sao cho

up — X(t) = 2dyzp

Thay thé uz = #(f¿) + 2dyz„ vào bat đẳng thức (œ;,y — #) < 0, ta thu

được

0 > (a¡,z(f„) — # + 2d,z¿) > (ai, z(Œ,) — #) — 2||a¡||.||d¿.z2z |

Trang 36

2 (ai, (te) — %) — 2||ai||d

với mọi ¿ € Ï(Z) Suy ra

(a;, #(t„) — ®) < 2||a¡||d¿ = ø(fÿ) với mọi ¡ € I(®)

Vậy ta có

(a;,#(„) — ®) < o(f3)— với mọi ? € I(?) (2.13) Điều đó tương tương với

tụ

(a¡,s + a1) <o(f¿) với mọi ¡ € I(®) (2.14)

Hai trường hợp sau có thể xảy ra với mỗi ¡ € I(Z):

Trường hợp 1: (a;, s) = 0 Khi đó (2.14) đúng nếu và chỉ nếu œ € IR” thỏa man (a;,w) < 0

Truong hgp 2: (a;,s) < 0 Khi dé (2.14) théa man véi moi w € R” Vậy ta da thay rang néu w € 73(Z, s) thì

(a;,w) <0 vdi moi ¡ € Ï{(Z; s), (2.15) 6 do I(%;s) := {¿ € 1(7) | (a¡, s) = 0} Vì TŒ, ©) được tính bởi cơng thức (2.8) và vì

Tr@.oy(s) = {vu € R"| (a;,v) <0, Vi € I(Z; s)}, (2.16)

nén tit (2.15) ta suy ra rang w € 77øo)(s) Ngược lại, với mỗi œ €

Trea) (s) thi (2.15) được thỏa mãn Do đó, như đã lý luận ở trên, (2.14) nghiệm đúng Suy ra (2.13) nghiệm đúng Từ đó ta có

dist (x(t,), 2) = o(t?)

Tóm lại, cơng thức (2.12) nghiệm đúng L

Nhận xét 2.4 Công thức (2.12) cho phép tính hiển các tập tiếp xúc bậc hai của các tập lồi đa diện

Ví dụ 2.1 Cho tập đa diện lồi

Q= {zcR?|zi >0, z¿ >0, z¡ +za > 1}

Trang 37

Cho # = (1,0) Theo cơng thức (2.8) ta có

Do đó s† := (1,0) € T(;©) và s° := (—1,1) € 7Œ;©) Ta đi tính các tập tiếp xúc bậc hai 78(Z, s!) và 78(Z, s?) Áp dụng công thức (2.12), ta

thu được

Tộ(&,s') = Trgø;e(s”) =R xR.,,

và

Tez, 3") = Trix) (s”) = {w = (wi, we) € R? | w > —w}}

2.3 Tập tiếp xúc bậc hai của tập hợp có biên trơn

2.3.1 Tập hợp có biên trơn

Cho X là khơng gian Banach bất kì Xét tập hợp

Q:= {z € X |ø() =0, ¿ = 1, ,g, g(x) <0,=g+1, ,Đ},

ở đó g; : X —> R, ¡ = T,p là các hàm số khả vi liên tục hai lần Cho # € © Ta nói rằng điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mlangasarian-Fromouitz được

thỏa mãn tại # nếu như

Vø;(2),¿=1, qg, là độc lập tuyến tính,

dh€xX: Vqạ,()h =0, =1, ,q, (2.17)

Vụ,()h < 0, Vi € I(2),

Trang 38

6 dé Vg;(%) ki hiéu dao ham Fréchet cia g;(-) tại # và

I(%) := {¡| g(#) = 0,2 = q+1, ,p}

thỏa mãn điều kiện chính quy Mangasarian-Ftomovitz (2.17) tại #, thì T(,9) ={h€X: Vụ,(®)h=0,¡=1, ,q, (2.18)

Vụ,(®)h < 0, Vi € I(Z)}

Nhờ quy tắc tính tập tiếp xúc bậc hai của tập ảnh ngược ở các công

thức (3.59), (3.60) trong [5, tr 167], ta có thể mô tả công thức tính tốn các tập tiếp xúc bậc hai của © tại # theo hướng h € 7,©) như sau Định lý 2.2 (Xem lỗ, tr 171]) Với mỗi h € T(œ, ©), ta có

T2(E,h) = {wex| V9i(B)w + V2g:(E)(h,h) =0,i=1, ,4,

Vø;(#) + V?g;()(h.h) < 0, ¡ chŒ,h)}, (2.19)

ở đâu V?g,(#) là đạo hàm Iréchet bậc hai của gị tại ® va

hŒ,h) := {¡ € I@)|Vø(œ)h = 0}

Sau đây, chúng ta sẽ sử dụng công thức (2.19) để tính tập tiếp xúc bậc

hai cho một ví dụ cụ thể

Ví dụ 2.2 Xét tập lồi đóng Q = {z = (zi,zs)f € R?|z‡ — #› < 0} tại điểm # = (0,0) Đặt øi(z) = zƒ — z› Khi đó, điều kiện chuẩn hóa

ràng buộc Mangasarian - Eromovitz nghiệm đúng tại z Thật vậy, ta có

Vøi(Z) = (0, —1) là véctơ khác không Lấy ø = (0, 1)”, ta có Vøi(#)0 < 0, ở đó I(Z) = {1} Do (2.18), ta cũng có

T(z, Q) = {h € R”|Vøi(Z) < 0} = {h = (hị, hạ) € R?| hạ > 0}

Tậ(,h) = {uu € R| Vợi(#)» + VỶøi(Z)(h,h) < 0}

= {0 = (u,t+0a) € R?| — øy +2 < 0}

=R x [2, +00)

Trang 39

2.3.2 Dưới vi phân bậc hai và tập tiếp xúc bậc hai

Cho X là không gian Banach véi X* 1a không gian đối ngẫu Cho hàm số

thực j : X -y R hai lần khả vi liên tục (hàm số thuộc lớp Œ”) Xét tập hợp

Œ={zce X|u(z) < 0}, (2.20)

và giả sử rằng # € Œ,(Z) = 0, Vu(z) # 0 Vì Vj(#) # 0, tồn tại 9 € X sao cho (V(Z),0) < 0 Vậy ràng buộc (#) < 0 thỏa mãn điều kiện

chính quy Mangasarian-Fromovitz tại #, và ta có

T(%;Œ) = {uc X|(Vú(®),o) < 0} (2.21) Theo công thức (2.19), với mọi h € 7(Z; Ở), tập tiếp xúc bậc hai của C

tại # theo hướng h được xác định bởi cơng thức

Tư(Œ,h) = {eo € X | (VU(8),0) + (V”0(8)h, h) < 0} 2.22)

Vự()

Hình 2.4

Dưới ui phân bậc hai của hàm chỉ ic(-):

Chúng ta, nhắc lại rằng hàm chỉ của tập Œ được xác định bởi ole) 0 nếu x €C,

ic(x) =

Ta da biét ring N(Z;C) = dic(-)(Z), 6 do N(%; C) 1a non phap tuyến qua

giới hạn của Œ tại Z Ánh xạ đa trị

N(;C): X ¬ X", xe N(z;C),

Trang 40

được gọi là ánh zạ dưới ui phần cia ham chi cia Œ, hay ánh zạ nón pháp

tuyến của C Cho 0 € N(Z;C) Khi dé, do V(x) 4 0, ton tai duy nhất

y* € R sao cho

Dv = Vu(Z)*y* € X* (2.23)

Theo [9, Theorem 1.17], ta có

N(&;C) = {x* € X*|x* = AVY (Z), A > OF (2.24) với mỗi # € ØC := {x € X | v(x) = 0}

Đối đạo hàm của Ä(-; Ở) tại (z,0) là ánh xạ đa trị

D*N(;C)(z.0): X*' ¬ X" (2.25)

được ký hiệu bởi Ø3o(-)(,ð) và được gọi là đưới ơi phân bậc hai của

ham chi ic(-) Theo mot két qua trong [12, tr 211], dưới vi phân bậc hai 9?io(-)(#,ø) của hàm chỉ của tập hợp Ở tại (#,) được cho bởi cơng thức sau

Pic(-)(Z,B)(u)

'V?u(®)*u +RVụ(#) néu y* > 0, (u, Vv(Z)) =0

0 nếu y* > 0, (u, Vw(Z)) #0

_ |R.vu@) na y* =0, (u, Vailz)) >0 (28)

— RVU(®) nếu #* = 0, (u, Vú(#)) = 0 {0} nếu y* = 0, (u, Vw(Z)) < 0

0 néu y* <0

véi moi u € X** Lưu ý rằng ta có thể coi X C X** Vì vậy, công thức (2.26) áp dụng được cho moi phan tit u € X Theo định nghĩa về tính phản

xạ, bao hàm thức X C X** có dấu bằng khi X là không gian Banach phan xạ

Định nghĩa 2.2 (Dộ cong của siêu mặt) Số thực suy rộng

+:= inf {(V*)(®)u,0) |(u, Vú(3)) =0, |u[=1} — 627)

được gọi là độ cong (curvature) của siêu mặt (hypersurface)

M = {x € X| p(x) = 0} tại Z

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	10,65 MB