PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ NHẤT MÔN THI: TOÁN LỚP NĂM HỌC: 2016 – 2017 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian đề) Câu 1: ( , điểm ) Cho biểu thức: A =: a) Rút gọn biểu thức A? b) Chứng minh rằng: | P | = P với x -1 ? Câu 2: ( , điểm ) Cho N = 1.3.5….2001 Chứng minh ba số nguyên liên tiếp 2N – 1, 2N, 2N + khơng có số số chình phương Câu 3: ( , điểm ) a) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình sau: + = ( p số nguyên tố ) b) Giải biện luận phương trình sau: + + + = Câu 4: ( , điểm ) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, lấy điểm M thuộc cạnh BC cho = 90 ( I M khơng trùng đỉnh hình vng ) a) Chứng minh tam giác BIO tam giác CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Gọi N giao điểm tia AM tia DC, K giao điểm tia BN tia OM Chứng minh tứ giác IMNB hình thang ? Câu 5: ( , điểm ) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: + + = Chứng minh rằng: ? Câu 6: ( , điểm ) Cho A B hai tập hợp Ta gọi tập tích A B A x B = {(a, b): a A, b B}, (a, b) cặp hai phần tử có thứ tự Kí hiệu A2 = A x A Nếu C = {0; 1} D = {1; 0} Tìm : a) C x D ; b) D x C ; c) C -HẾT ( Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm ) Họ tên thí sinh: …………………………… Số báo danh:…………………………………… Chữ ký giám thị 1: ……………………… Chữ ký giám thị 2: ………………………… ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Trong làm bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm 3) Đối với hình học, học sinh khơng vẽ vẽ sai hình khơng tính điểm 4) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm khơng làm trịn II) Đáp án thang điểm: Câu 1: a) Rút gọn đúng: A = ( ĐKXĐ: x -1 , x 0, x ) (1 điểm) b) Với x -1 x + > ( khơng xảy dấu “ = ” x + ), mà x + > nên A > Suy | A | = A ( điểm ) Câu 2: 2N số chẵn không chia hết không số phương (0,5 điểm) • Một số phương khơng chia hết cho chia dư Mà 2N – chia dư nên khơng số phương (0,5 điểm) • Giả sử 2N + = K2 ( K số lẻ ) 2N = ( K – )( K + ) chia hết cho 4, suy N số chẵn, vô lý ( điểm) Vậy số 2N – 1, 2N, 2N + số số phương Câu 3: a) Do x, y số tự nhiên nên đẳng thức cho tương đương với (x - p)(y - p) = p (0,25 điểm) Vì p nguyên tố x, y > p nên xảy trường hợp: +) x – p = 1; y – p = p2 suy x = p + y = p2 + p (0,25 điểm) + ) x – p = p2; y – p = suy x = p2 + p y = p + (0,25 điểm) +) x – p = p; y – p = p suy x = y = 2p (0,25 điểm) • b) + + + = ( ĐKXĐ: a 0) + + =4– (a + b + c – x ) = (0,5 điểm) • Nếu phương trình cho có tập nghiệm S = { a + b + c }.(0,25 đ) • Nếu phương trình nghiệm với x R (0,25 điểm) Câu 4: a) BIO = CMO ( g.c.g ) (0,5 điểm ) SBIO = SCMO, mà SBMOI = SBOI + SBMO nên SBMOI = SCMO + SBMO SBOC = SABCD = a2 (0,5 điểm) b) BI = CM (BIO = CMO) BM = AI (0,25 điểm ) Vì CN // AB nên = = IM // BN IMNB hình thang.(0,5 điểm) Vì OI = OM (BIO = CMO ) IOM cân O = 45 (0,25 điểm) Vì IM // BN IM // BK ( so le ), suy : (0,5đ ) Câu 5: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho cặp số dương (a;1;3) (1;a;3) ta có: (1) (0,15 điểm) Ta có: > = 4a2 +4a +1 > 2a2 + 3a +1 = (a + 1)(2a + 1) = [( (0,15 điểm ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho cặp số dương () (;1) ta có: [( hay (a + 1)(2a + 1) (0,15 đ) Do đó: (2) Từ (1) (2) ta có: Lại có: 2a suy ra: (0,15 điểm) Chứng minh tương tự, ta có: ; (0,2 điểm) Do đó: = = (0,2 điểm) Câu 6: a) Ta có: C x D = {(0;1); (0;0); (1;1); (1;0)}.(0,2 điểm) b) Ta có: D x C = {(1;0); (1;1); (0;0); (0;1)}.(0,2 điểm) c) Ta có: C2 = {(0;0); (0;1); (1;0); (1;1)} (0,1 điểm) ...2) Trong làm bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm 3) Đối với hình học, học sinh khơng vẽ vẽ sai hình khơng tính điểm 4) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm khơng làm trịn II)... dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho cặp số dương (a;1;3) (1;a;3) ta có: (1) (0,15 điểm) Ta có: > = 4a2 +4a +1 > 2a2 + 3a +1 = (a + 1)(2a + 1) = [( (0,15 điểm ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski... lý ( điểm) Vậy số 2N – 1, 2N, 2N + khơng có số số phương Câu 3: a) Do x, y số tự nhiên nên đẳng thức cho tương đương với (x - p)(y - p) = p (0,25 điểm) Vì p nguyên tố x, y > p nên xảy trường hợp: