Quá trình bậc hai dừng và ứng dụng

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN DUY HÀ QUÁ TRÌNH BẬC HAI DỪNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG QUANG TUYẾN Phản biện 1: TS TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12 năm 2013 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học đời sống ngày, thường gặp tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất thống kê sử dụng để tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính toán xác suất tượng ngẫu nhiên Nó công cụ thiếu cần đánh giá may, nguy rủi ro, Nhà toán học Laplace người Pháp kỷ 19 tiên đoán rằng: “Môn khoa học hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức nhân loại Rất nhiều vấn đề quan trọng đời sống thực tế thuộc toán lý thuyết xác suất” Quá trình ngẫu nhiên mô hình toán học tượng ngẫu nhiên theo phát triển thời gian như: Vị trí hạt hệ vật lý, giá cổ phiếu thị trường chứng khoán, Nhiều ứng dụng trình ngẫu nhiên xuất vật lý, kỹ thuật, sinh thái, kinh tế, y khoa lĩnh vực khác giải tích toán học Một trình ngẫu nhiên đặc biệt quan trọng lý thuyết trình ngẫu nhiên “Quá trình bậc hai dừng” Vì tính chất quan trọng ứng dụng rộng rãi nó, chọn đề tài “Quá trình bậc hai dừng” để làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu chuyên khoa hệ thống hóa kiến thức Xây dựng khái niệm từ thấp đến cao dùng nguyên lý suy diễn toán học để trình bày vấn đề cách có hệ thống Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Các tính chất Quá trình ngẫu nhiên bậc hai Footer Page of 126 Header Page of 126 • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trình dừng mà biến ngẫu nhiên có giá trị thực phức có moment bậc Ý nghĩa đề tài • Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức, định nghĩa, tính chất Quá trình ngẫu nhiên bậc hai • Ý nghĩa thực tiễn: Tìm hiểu sâu sắc Quá trình bậc hai dừng ứng dụng chúng để phục vụ cho việc học tập giảng dạy sau Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày chương với cấu trúc sau: • Mở đầu • Chương 1: Cơ sở lý thuyết xác suất Chương trình bày kiến thức lý thuyết xác suất số kiến thức giải tích toán học Đại số σ-đại số, độ đo độ đo xác suất, biến ngẫu nhiên, trình ngẫu nhiên • Chương 2: Quá trình bậc hai dừng Chương trình bày kiến thức lý thuyết trình bậc hai dừng • Chương 3: Ứng dụng Chương đề cập đến ứng dụng trình dừng đời sống thực tế như: Dự báo, phân tích phổ • Kết luận Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Xét không gian xác suất sở (Ω, F , P ), đó: Ω không gian mẫu gồm tất kết cục xảy phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết cục ω ∈ Ω gọi điểm mẫu hay biến cố sơ cấp Mỗi tập A Ω gọi biến cố ngẫu nhiên 1.1.1 Đại số σ-Đại số Định nghĩa 1.1.1 (σ-đại số tập hợp) Cho Ω = ∅ Một họ tập F Ω gọi σ-đại số thỏa mãn điều kiện sau: Ω ∈ F ; Nếu A ∈ F Ω \ A = Ac = A¯ ∈ F ; Nếu A1 , A2 , ∈ F Ai ∩ Aj = ∅(i = j) ∞ n=1 An ∈ F 1.1.2 Độ đo độ đo xác suất Định nghĩa 1.1.2 (Độ đo) Cho F σ-đại số Ω Một hàm tập P : F → R gọi độ đo P thỏa mãn điều kiện: P (∅) = 0; P không âm; P σ-cộng tính Lúc (Ω, F , P ) gọi không gian độ đo Định nghĩa 1.1.3 (Độ đo xác suất) P độ đo xác suất xác định F Tức ánh xạ P : F → R thỏa mãn điều kiện sau: P (A) ≥ với A ∈ F ; P (Ω) = 1; A1 , A2 , ∈ F ∞ Ai ∩ Aj = ∅(i = j) P ( ∞ n=1 ) = n=1 P (An ) 1.1.3 Xác suất tính chất Trên không gian xác suất (Ω, F , P ) ta có: P (∅) = Với A ∈ F ≤ P (A) ≤ Với A ∈ F P (Ac ) = − P (A) Với A, B ∈ F P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) Với A, B ∈ F , A ⊂ B P (A) ≤ P (B) Footer Page of 126 Header Page of 126 1.1.4 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.4 Giả sử (Ω1 , F1 ) (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Xét f : Ω1 → Ω2 Hàm f gọi hàm đo với tập A F2 , tập f −1 (A) = {ω : f (ω ∈ A)} ∈ F1 Định nghĩa 1.1.5 Giả sử (Ω, F ) không gian đo X hàm đo từ (Ω, F ) vào (R, R) (R σ-đại số Borel R) Nếu độ đo xác suất P (Ω, F ) xác định X gọi biến ngẫu nhiên thực xác định không gian xác suất (Ω, F , P ) Định lý 1.1.6 Định lý 1.1.7 Định nghĩa 1.1.8 Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn gọi độc lập, với số thực x1 , x2 , , xn , đẳng thức sau thỏa mãn P (X1 < x1 , X2 < x2 , , Xn < xn ) = P (X1 < x1 )P (X2 < x2 ) P (Xn < xn ) Định nghĩa 1.1.9 Giả sử X1 , X2 , , Xn n biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P ),và Rn σ-đại số Borel Rn Một ánh xạ đo X : (Ω, F ) → (Rn , Rn ), với X(ω) = (X1 (ω), X2 (ω), , Xn (ω)) gọi biến ngẫu nhiên n chiều Định lý 1.1.10 Giả sử X1 (ω), X2 (ω), , Xn (ω) biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P ), A tập Borel Rn Khi {ω ∈ Ω : (X1 (ω), X2 (ω), , Xn (ω)) ∈ A} biến cố Định nghĩa 1.1.11 Giả sử X biến ngẫu nhiên không gian xác suất (Ω, F , P ) Hàm số thực FX xác định sau FX (x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) < x}) , x ∈ R, gọi hàm phân phối xác suất X Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.1.12 Giả sử a = (a1 , a2 , , an ) ∈ Rn X = (X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên n chiều Khi đó, hàm FX (x) = FX (x1 , x2 , , xn ) = P ({ω ∈ Ω : Xi (ω) < xi , i = 1, n}), gọi hàm phân phối xác suất đồng thời X Định nghĩa 1.1.13 Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P ) Biến ngẫu nhiên X gọi rời rạc hàm phân phối hàm đơn giản Định nghĩa 1.1.14 Biến ngẫu nhiên X gọi tuyệt đối liên tục, hàm phân phối FX (x) có dạng FX (x) = x fX (t)dt, ∀x ∈ R, fX (t) hàm không âm −∞ gọi hàm mật độ X 1.1.5 Dãy biến ngẫu nhiên Giả sử {Xn } dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P ) Nếu với ω ∈ Ω với n, Xn+1 (ω) ≥ Xn (ω) Xn (ω) gọi dãy tăng Dãy Xn (ω) gọi dãy giảm −Xn (ω) dãy tăng Nếu dãy Xn (ω) tăng giảm, gọi dãy đơn điệu Định lý 1.1.15 Giả sử Xn dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P ) với biến ngẫu nhiên X(ω) Khi {ω : limx→∞ Xn (ω) tồn } {ω : limx→∞ Xn (ω) = X(ω)} biến ngẫu nhiên Định lý 1.1.16 1.1.6 Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên a Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.17 Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị xi , i ∈ I, I ⊂ N với xác suất tương ứng pi Khi đó, kỳ vọng toán X ký hiệu EX xác định sau EX = i∈I xi pi , chuỗi xi pi hội tụ tuyệt đối i∈I Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.1.18 Giả sử X biến ngẫu nhiên tuyệt đối liên tục xác định không gian xác suất (Ω, F , P ) Khi đó, kỳ vọng biến ngẫu nhiên X xác định sau EX = Ω X(ω)P (dω), tích phân vế phải hội tụ tuyệt đối b Các tính chất kỳ vọng Các tính chất kỳ vọng EX suy từ tính chất tích phân Lebesgue Định lý 1.1.19 (Sự hội tụ đơn điệu) Giả sử {Xn } dãy tăng biến ngẫu nhiên không âm hội tụ đến X Khi EX = limn→∞ EXn Định lý 1.1.20 (Bổ đề Fatou) Giả sử Xn dãy biến ngẫu nhiên tồn biến ngẫu nhiên khả tích X cho Xn (ω) ≥ X(ω), ∀n, ω Khi lim inf n→∞ EXn ≥ E lim inf n→∞ Xn Định nghĩa 1.1.21 (Hàm đặc trưng) Giả sử X = (X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên thực, hàm ϕX (u), u ∈ Rn xác định bởi: n i ϕX (u) = Ee n uk Xk k=1 i = e uk xk k=1 dFX (x) Rn gọi hàm đặc trưng X 1.2 SỰ HỘI TỤ 1.2.1 Hội tụ hầu chắn Định nghĩa 1.2.1 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ hầu chắn đến X tồn tập hợp A cho P (A) = 0, với ω ∈ / A, ta có limn→∞ |Xn (ω) − X(ω)| = a.s Hội tụ hầu chắn ký hiệu Xn −−−→ X hay Xn −−−→ n→∞ n→∞ X a.s Định nghĩa 1.2.2 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi a.s hội tụ hầu chắn tương hỗ supm≥n |Xm − Xn | −−−→ n→∞ Định lý 1.2.3 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } hội tụ hầu chắn hội tụ hầu chắn tương hỗ Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2.2 Hội tụ theo xác suất Định nghĩa 1.2.4 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ X theo xác suất với > cho trước, ta có limn→∞ P (|Xn − X| ≥ ) = Hội tụ theo xác suất ký hiệu P Xn −−−→ X n→∞ Định nghĩa 1.2.5 (Hội tụ tương hỗ theo xác suất) Định lý 1.2.6 1.2.3 Hội tụ theo trung bình bậc r Định nghĩa 1.2.7 (Hội tụ theo trung bình bậc r(r > 0)) Ta nói dãy biến ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo trung bình bậc r(hay không gian định chuẩn) X E|Xn |r < +∞, ∀n limn→∞ E|Xn − X|r = Hội tụ theo trung bình bậc r ký hiệu r.m Xn −−−→ X n→∞ hay limr m Xn = X n→∞ Các trường hợp cần lưu ý: • Nếu r = 1, ta nói Xn hội tụ theo trung bình X • Nếu r = 2, ta nói Xn hội tụ theo trung bình bình phương q.m (bậc 2) X ký hiệu: Xn −−−→ X hay l i mn→∞ Xn = n→∞ X Định nghĩa 1.2.8 (Hội tụ tương hỗ theo trung bình bậc r) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ tương hỗ theo trung a.s bình bậc r(r > 0) supm≥n |Xm − Xn |r −−−→ n→∞ Định lý 1.2.9 1.3 Quá trình ngẫu nhiên 1.3.1 Các khái niệm Xét hàm giá trị thực (hoặc phức) X(ω, t) với ω ∈ Ω t ∈ T Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Nếu cố định t ∈ T ta X(ω, •) biến ngẫu nhiên Khi T ⊆ R người ta gọi X(t) trình ngẫu nhiên với t biến thời gian T tập số thời gian Phân phối hữu hạn chiều trình ngẫu nhiên X(t), t ∈ T xác định sau Ft1 ,t2 , ,tn (x1 , x2 , , xn ) = P (X(t1 ) < x1 , X(t2 ) < x2 , , X(tn ) < xn ) , với n ∈ N, với t1 , t2 , , tn ∈ T với x1 , x2 , , xn ∈ R 1.3.2 Quá trình tách đo Định nghĩa 1.3.1 Quá trình ngẫu nhiên X(t), t ∈ T gọi tách tồn tập đếm S ⊂ T biến cố cố định A có xác suất 0, cho với tập đóng K ⊂ [−∞, +∞] khoảng mở I, hai tập hợp: {ω : Xt (ω) ∈ K, t ∈ I ∩ T } {ω : Xt (ω) ∈ K, t ∈ I ∩ S} khác tập A Định nghĩa 1.3.2 Quá trình ngẫu nhiên X(t), t ∈ T với tập tham số T gọi trình đo Xt (ω) hàm (t, ω)-hàm đo σ-đại số tích L ⊗ C Trong đó, L σ-đại số tập hợp đo Lebesgue T , C σ-đại số không gian xác suất 1.3.3 Quá trình Gauss Định nghĩa 1.3.3 (Biến Gauss) Giả sử Z biến ngẫu nhiên cho EZ < +∞ Giả sử µ = EZ σ = E(Z −µ)2 Biến ngẫu nhiên Z gọi Gauss σ = 0, trường hợp P (Z = µ) = 1, P (Z < α) = a − 12 √ −∞ 2πσ e (z−µ)2 σ2 dz Định nghĩa 1.3.4 (Quá trình Gauss) Một trình ngẫu nhiên {Xt , t ∈ T } gọi trình Gauss tổ hợp tuyến tính hữu hạn Z = N i=1 αi Xti biến ngẫu nhiên Gauss Định lý 1.3.5 Quá trình ngẫu nhiên {Xt , t ∈ T } trình Gauss nếu: Footer Page 10 of 126 10 Header Page 12 of 126 CHƯƠNG QUÁ TRÌNH BẬC DỪNG 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ 2.1.1 Quá trình bậc Định nghĩa 2.1.1 (Quá trình bậc 2) Quá trình ngẫu nhiên {Xt , t ∈ T } gọi trình bậc E|X(t)|2 < +∞, ∀t ∈ T Tập số T R = (−∞, +∞), R+ = [0, +∞), Z = {0, ±1, ±2, }, Z+ = {0, 1, 2, } Định nghĩa 2.1.2 (Hàm trung bình hàm tự tương quan) Giả sử {Xt , t ∈ T } trình ngẫu nhiên bậc Khi đó: • Hàm trung bình µ(t) định nghĩa công thức sau µ(t) = EX(t) • Hàm tự tương quan r(s, t) định nghĩa công thức sau r(s, t) = Cov[X(s), X(t)] = E[Xs Xt ] 2.1.2 Quá trình dừng Định nghĩa 2.1.3 (Quá trình dừng) Giả sử {Xt , t ∈ T } trình bậc X(t) gọi trình dừng hàm trung bình µ(t) số (không phụ thuộc vào t) hàm tự tương quan r(s, t) phụ thuộc vào s − t Định nghĩa 2.1.4 Quá trình {Xt , t ∈ T } trình dừng theo nghĩa hẹp (quá trình dừng mạnh) với h ∈ R, với t1 < t2 < · · · < tn , ti ∈ T , phân phối đồng thời X(t1 + h), X(t2 + h), , X(tn + h) X(t1 ), X(t2 ), , X(tn ) Nói ngắn gọn, trình có họ phân phối hữu hạn chiều bất biến với phép dịch chuyển thời gian Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 Định nghĩa 2.1.5 Quá trình bậc {Xt , t ∈ T } gọi trình dừng theo nghĩa rộng nếu: (i) Hàm kỳ vọng số, (ii) Hàm tự tương quan phụ thuộc vào hiệu thời gian Ví dụ 2.1.6 (Quá trình Wiener) Ví dụ 2.1.7 (Quá trình Poisson) Ví dụ 2.1.8 (Dãy ồn trắng (white noise)) Ví dụ 2.1.9 (Du động ngẫu nhiên) 2.1.3 Các tính chất hàm tự tương quan Định lý 2.1.10 Hàm tự tương quan r(s, t) đối xứng Hermite xác định không âm, tức là: r(s, t) = r(t, s), ∀n ∈ N, ∀t1 , t2 , , tn ∈ T, ∀c1 , c2 , , cn ∈ C n n ci cj r(ti , tj ) ≥ i=1 j=1 Chú ý 2.1.11 Tính chất đối xứng xác định không âm tính chất đặc trưng cho hàm tự tương quan Nếu cho trước hàm r(s, t) đối xứng xác định không âm T × T tồn trình bậc {Xt , t ∈ T } nhận r(s, t) hàm tự tương quan Hơn chọn X(t) trình Gauss a Bất đẳng thức Schwarz Với X, Y biến ngẫu nhiên bậc 2, ta có |EXY | ≤ E|X|2 E|Y |2 Hàm tự tương quan thỏa mãn bất đẳng thức Schwarz |r(s, t)| ≤ r(s, s)r(t, t) b Một số tính chất đóng hàm tự tương quan (i) Tích hai hàm tự tương quan hàm tự tương quan Footer Page 13 of 126 12 Header Page 14 of 126 (ii) Tổng hai hàm tự tương quan hàm tự tương quan (iii) Hằng số dương c hàm tự tương quan (iv) Giả sử r1 (s, t), , rn (s, t) hàm tự tương quan T × T c1 , , cn số dương r(s, t) = n v=1 cv rv (s, t) hàm tự tương quan T × T (v) Giả sử {rv (s, t), v = 1, 2, } dãy hàm tự tương quan T × T hội tụ theo điểm đến r(s, t) điểm T × T , r(s, t) hàm tự tương quan (vi) (Dạng song tuyến tính hàm tự tương quan) Với hàm σ(t) bất kì, σ(t)σ(s) hàm tự tương quan 2.1.4 Tính liên tục trình bậc Định nghĩa 2.1.12 (i) Một trình bậc {Xt , t ∈ T } gọi L2 -liên tục hay liên tục bình phương trung bình (liên tục q.m) t h→0 E|Xt+h − Xt |2 −−−→ Tức limt→t0 E|X(t) − X(t0 )|2 = (ii) Một trình bậc {Xt , t ∈ T } gọi L2 -liên tục liên tục bình phương trung bình điểm t thuộc T Định lý 2.1.13 Quá trình {Xt , t ∈ T } L2 -liên tục hàm trung bình µ(t) hàm tự tương quan r(s, t) liên tục 2.2 KHÔNG GIAN HILBERT CÁC QUÁ TRÌNH DỪNG Định nghĩa 2.2.1 Giả sử {Xt , t ∈ T } trình bậc Một biến ngẫu nhiên Y gọi suy từ phép toán tuyến tính {Xt , t ∈ T } i) Y (ω) = n v=1 αv Xtv (ω), ii) Y giới hạn q.m dãy tổ hợp tuyến tính hữu hạn Trong đó, n số tự nhiên αv số phức Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 2.2.1 Không gian Hilbert HX Giả sử Y biến ngẫu nhiên suy từ phép toán tuyến tính {Xt , t ∈ T } Ta ký hiệu tập hợp tất biến ngẫu nhiên HX Trên HX ta định nghĩa tích sau Y, Z = E(Y Z) Tích xác định chuẩn Y = Y, Y mêtric d(Y, Z) = Y − Z Một dãy {Yn } HX gọi dãy Cauchy m,n→0 Ym − Yn −−−−→ Vì Ym − Yn = E|Ym − Yn |2 , theo định lí (1.1.15) ta suy Yn hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình Nghĩa tồn Y cho n→+∞ E|Yn − Y |2 −−−−−→ hay Yn − Y n→+∞ −−−−−→ 0, n→+∞ Yn −Y −−−−−→ Như vậy, biến ngẫu nhiên Y suy từ phép toán tuyến tính {Xt , t ∈ T } nên Y ∈ HX Vậy dãy Cauchy HX hội tụ Điều chứng tỏ Hx không gian mêtric đầy đủ Vậy Hx không gian Hilbert Mệnh đề 2.2.2 Giả sử (Xn ) dãy đại lượng ngẫu nhiên thỏa mãn E|Xn |2 < +∞ Điều kiện cần đủ để tồn l i m Xn = n→+∞ X là: (i) Tồn lim EXn = EX n→+∞ (ii) Tồn 2.2.2 lim Cov(Xn , Xm ) = Var X n→+∞ m→+∞ Phép tính vi tích phân cho trình bậc a L2 -khả vi Định nghĩa 2.2.3 Quá trình bậc {Xt , t ∈ T } gọi L2 0) khả vi điểm t0 tồn giới hạn l i mh→0 X(t0 +h)−X(t h Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 Giới hạn ký hiệu X (t0 ) gọi L2 -đạo hàm trình X(t) điểm t0 Ta nói trình X(t) L2 -khả vi tồn L2 -đạo hàm X (t) điểm t ∈ T Chú ý 2.2.4 Khi X (t) tồn tại, ta viết sau X (t) = l i mn→+∞ n X(t + n1 ) − X(t) Định lý 2.2.5 Quá trình {Xt , t ∈ T } L2 -khả vi điểm t0 nếu: (i) Hàm trung bình µ(t) khả vi t = t0 (ii) Tồn dới hạn r(t0 +h, t0 +k)−r(t0 +h, t0 )−r(t0 , t0 +k)+r(t0 , t0 ) h→0 hk lim k→0 Định lý 2.2.6 Quá trình {Xt , t ∈ T } L2 -khả vi hàm (s,t) trung bình µ(t) khả vi đạo hàm cấp ∂∂s∂t hàm tự tương quan tồn liên tục Chú ý 2.2.7 Từ định lý ta suy công thức tính hàm trung bình hàm tự tương quan X (t) sau: EX (t) = µ (t) Cov[X (s), X (t)] = ∂ (s, t) ∂(s, t) ; Cov[X (s), X(t)] = ∂s∂t ∂s b L2 -khả tích Giả sử {Xt , t ∈ T } trình bậc đoạn [a, b] Ứng với phép phân hoạch ∆ đoạn [a; b] a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn+1 = b Với |∆| = max(ti+1 − ti ) Ta lập tổng tích phân n X(si )(ti+1 −ti ), si điểm tùy ý thuộc [ti , ti+1 ] S(∆) = i=0 Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 Nếu tồn giới hạn l i m|∆|→0 S(∆) = I, ta nói X(t) L2 b khả tích viết I = a X(t)dt Tích phân có số tính chất tích phân thông thường Định lý 2.2.8 Định lý 2.2.9 Quá trình {Xt , t ∈ T } L2 -khả tích [a, b] hàm trung bình µ(t) hàm tự tương quan r(s, t) khả tích [a, b] × [a, b] Định lý 2.2.10 Giả sử X(t), a ≤ t ≤ b trình L2 khả vi liên tục Khi ta có đánh giá sau b E sup X (t) ≤ C (a) + C (b) + a≤t≤b C(t) = 2.2.3 E|X(t)|2 C1 (t) = C(t)C1 (t)dt, a E|X (t)|2 Khai triển trực giao không gian HX Định nghĩa 2.2.11 Một họ T phần tử HX gọi họ trực chuẩn với hai phần tử phân biệt Y Z T thỏa mãn: Y = = Z , Y, Z = EY Z = Định lý 2.2.12 Giả sử {Xt , t ∈ T } trình L2 -liên tục T khoảng hữu hạn hay vô hạn Khi đó, họ trực chuẩn HX không đếm 2.3 MỘT SỐ DÃY DỪNG QUAN TRỌNG Định lý 2.3.1 Giả sử Wn dãy ồn trắng với tham số σ (hi ), i ∈ Z dãy số thỏa mãn Xn = |hi |2 < +∞ Khi chuỗi i∈Z Xn = hi Wn−i hội tụ bình phương trung bình dãy (Xn ) i∈Z trình dừng với hàm tự tương quan K(h) = σ hi hi+h i∈Z Định nghĩa 2.3.2 (Quá trình trung bình trượt (moving average)) Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 (i) Quá trình (Xn ) có biểu diễn dạng Xn = hi Wn−i i∈Z gọi trung bình trượt hai phía ∞ (ii) Quá trình (Xn ) có biểu diễn dạng Xn = hi Wn−i i∈0 gọi trung bình trượt phía Ký hiệu M A(∞) q (iii) Quá trình (Xn ) có biểu diễn dạng Xn = hi Wn−i i∈0 gọi trung bình trượt cấp q Ký hiệu M A(q) Chú ý 2.3.3 Một trình trung bình trượt phía trình trung bình trượt hai phía với hi = i < nên ta có hàm tự tương quan trình trung bình trượt phía K(h) = σ ∞ hi hi+h i=0 Định lý 2.3.4 Nếu (Xn ) trình q- tương quan với giá trị trung bình trình trung bình trượt cấp q Định lý 2.3.5 Cho (Yn ) trình dừng với trung bình trượt hàm tự tương quan KY (h) Cho dãy số thực (hi ) thỏa mãn i∈Z |hi | < +∞ Khi chuỗi Xn = i∈Z hi Yn−i hội tụ hầu chắn hội tụ bình phương trung bình Dãy (Xn ) trình dừng với hàm tự tương quan K(h) = i∈Z hi hj KY (h+i−j) Ví dụ 2.3.6 Với p số thực cho trước, trình dừng (Xn ) gọi trình dừng tự hồi quy cấp hay AR(1) thỏa mãn phương trình sai phân: Xn = pXn−1 + Wn Nhận xét 2.3.7 Trong ví dụ trên, |p| = tồn dãy AR(1)Xn Ngoài |p| < (Xn ) có ∞ biểu diễn trung bình trượt phía M A(∞): Xn = pi Wn−i i=0 |p| > (Xn ) có biểu diễn trung bình trượt dạng i Xn = −1 i=−∞ (−p )Wn−i Trường hợp |p| = không tồn dãy AR(1) Footer Page 18 of 126 17 Header Page 19 of 126 Định nghĩa 2.3.8 (Quá trình tự hồi quy cấp p) Dãy (Xn ) gọi dãy tự hồi quy cấp p hay dãy AR(p) dãy dừng, quy tâm (có trung bình 0) thỏa mãn phương trình sai phân sau Xn = α1 Xn−1 + α2 Xn−2 + · · · + αp Xn−p + Wn Định lý 2.3.9 Dãy AR(p) tồn và đa thức kết hợp Φ(z) = − α1 z − α2 z − · · · − αp z p , nghiệm đường tròn đơn vị |z| = Định lý 2.3.10 Dãy AR(p) có biễu diễn trung bình trượt phía Xn = ∞ i=1 hi Wn−i , đa thức kết hợp Φ(z) = − α1 z − α2 z − · · · − αp z p , nghiệm vòng tròn đơn vị |z| ≤ Định nghĩa 2.3.11 (Mô hình hỗn hợp tự hồi quy trung bình trượt) Dãy (Xn ) gọi dãy hỗn hợp tự hồi quy trung bình trượt cấp (p, q) hay dãy ARM A(p, q) dãy dừng quy tâm thỏa mãn phương trình sai phân sau q Xn = α1 Xn−1 + α2 Xn−2 + · · · + αp Xn−p + βi Wn−i (2.1) i=1 Nhận xét 2.3.12 Dãy tự hồi quy cấp p AR(p) dãy ARM A(p, 0) dãy trung bình trượt cấp q dãy ARM A(0, q) Định lý 2.3.13 Dãy ARM A(p, q) tồn và đa thức , nghiệm đường tròn đơn vị |z| = Định lý 2.3.14 Dãy ARM A(p, q) có biểu diễn trung bình trượt phía ∞ Xn = hi Wn−i (2.2) i=0 đa thức Φ(z) = − α1 z − α2 z − · · · − αp z p nghiệm vòng tròn đơn vị |z| ≤ Ví dụ 2.3.15 Ví dụ 2.3.16 Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 2.4 ĐỘ ĐO PHỔ VÀ MẬT ĐỘ PHỔ Định lý 2.4.1 (i) (Định lý Herglotz).Trường hợp thời gian rời rạc, T = π einx dµ(x) Z: K(n) = −π (ii) (Định lý Bochner-Khintchine).Trường hợp thời gian liên +∞ tục, T = R: K(t) = eitx dµ(x) −∞ Độ đo µ gọi độ đo phổ trình dừng X(t) Nếu độ đo µ tuyệt đối liên tục, tức dµ = f (x)dx, f (x) = dµ dx gọi hàm mật độ phổ Định lý sau cho ta biết hàm hàm mật độ phổ trình dừng Định lý 2.4.2 Trường hợp thời gian rời rạc, T = Z: f (x) = f (−x), ∀x ∈ π [−π, π] f (x)dx < +∞ −π Trường hợp thời gian liên tục, T = R: f (x) = f (−x), ∀x ∈ +∞ f (x)dx < +∞ R −∞ Định lý 2.4.3 +∞ |K(n)| < +∞ độ đo phổ µ có mật độ f (x) (i) Nếu −∞ f (x) = 2π +∞ e−inx K(n) (2.3) −∞ +∞ |K(t)| < +∞ độ đo phổ µ có mật độ f (x) (ii) Nếu −∞ +∞ f (x) = 2π e−itx K(t)dt −∞ Footer Page 20 of 126 (2.4) 19 Header Page 21 of 126 +∞ |K(h)| < Hệ 2.4.4 Một hàm chẵn K(h) khả tổng tuyệt đối −∞ +∞ hàm tự tương quan dãy dừng f (x) = +∞ e−ihx K(h) ≥ (2.5) −∞ Chú ý 2.4.5 Nếu {Xt , t ∈ T } trình nhận giá trị thực K(n) (hay K(t)) nhận giá trị thực Thành thử ta có +∞ π K(n) = cos nxdµ(x), T = Z; K(t) = −π cos txdµ(x), T = −∞ R 2.5 BIỂU DIỄN PHỔ 2.5.1 Độ đo ngẫu nhiên Giả sử (S, A) không gian đo đó, hàm giá trị thực (hay phức) Z(A) = Z(ω, A) xác định với ω ∈ Ω, A ∈ A gọi độ đo ngẫu nhiên cộng tính hữu hạn nếu: Với A ∈ A ta có E|Z(A)|2 < +∞ Với hai tập A1 , A2 ∈ A rời nhau, A1 ∩ A2 = ∅ Z(A1 ∪ A2 ) = Z(A1 ) + Z(A2 ) (P − a.s) Độ đo ngẫu nhiên cộng tính hữu hạn Z gọi độ đo ngẫu nhiên với dãy tập A1 , A2 , , ∈ A đôi không giao E Z n +∞ Ak − k=1 Z(Ak ) n→+∞ −−−−−→ 0, k=1 Định nghĩa 2.5.1 (Độ đo ngẫu nhiên trực giao) Giả sử (S, A, µ) không gian độ đo Ánh xạ Z : A → L2 (Ω, F , P ) thỏa mãn tính chất sau: (i) Z(A1 ), Z(A2 ) = µ(A1 ∩ A2 ) (ii) Với {An } dãy tập đôi rời thuộc A +∞ Z n=1 Footer Page 21 of 126 +∞ An = Z(An ), n=1 20 Header Page 22 of 126 chuỗi hội tụ q.m gọi độ đo ngẫu nhiên trực giao ứng với độ đo cấu trúc µ 2.5.2 Tích phân ngẫu nhiên Ký hiệu I(f ) = S f (t)dZ(t) gọi tích phân ngẫu nhiên f độ đo ngẫu nhiên trực giao Z Ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên dạng R f (t)dX(t), X(t) trình gia số trực giao sau: Cho X(t) trình gia số trực giao L2 liên tục trái, tức là: Nếu t1 < t2 < t3 < t4 X(t2 ) − X(t1 ), X(t4 ) − X(t3 ) = X(t) → X(t0 ) theo nghĩa bình phương trung bình t → t0 từ bên trái t0 b Định lý 2.5.2 Nếu hàm f (t) liên tục [a, b] f (t)dX(t) a giới hạn bình phương trung bình tổng Rimann n f (si ) [X(ti + 1) − X(ti )] , |∆| → i=0 ∆ phân hoạch tùy ý a = t0 < t1 < · · · < tn+1 = b si điểm tùy ý thuộc [ti , ti+1 ], |∆| = max|ti+1 − ti | 2.5.3 Biểu diễn phổ trình dừng Định lý 2.5.3 (Định lý biểu diễn phổ) (i) Trường hợp thời gian rời rạc, T = Z: Giả sử X(n) trình dừng (giá trị thực phức) Khi tồn độ đo ngẫu nhiên trực giao Z (có thể nhận giá trị π phức) [−π, π] cho X(n) = einλ dZ(λ), ∀n ∈ Z −π (ii) Trường hợp thời gian liên tục, T = R: Giả sử X(t) trình dừng (giá trị thực phức), X(t) L2 -liên tục (có hàm tự tương quan liên tục) Khi tồn độ đo ngẫu nhiên trực giao Z (có thể nhận giá trị phức) +∞ R cho X(t) = −∞ Footer Page 22 of 126 eitλ dZ(λ), ∀n ∈ R 21 Header Page 23 of 126 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA QUÁ TRÌNH DỪNG 3.1 DỰ BÁO 3.1.1 Trường hợp thời gian rời rạc Định nghĩa 3.1.1 (Dự báo tuyến tính) Dự báo tuyến tính X(n + h) X(1), X(2), , X(n) tổ hợp tuyến tính S(a0 , a1 , , an ) = a0 + a1 Xn + · · · + an X1 Dự báo tuyến tính S(a0 , a1 , , an ) gọi tốt sai số bình phương trung bình E X(n + h) − S(a0 , a − 1, , an ) nhỏ Sai số dự báo xác định n E(Xn+h − Pn Xn+h ) = E Xn+h − Yn+1−i i=1 = K(0) − an Kn (h) Ví dụ 3.1.2 Xét trình tự hồi quy cấp Xn = pXn−1 +Wn Sai số dự báo K(0) − an Kn (h) = h σ2 σ (1 − p2h ) h σ p − p = − p2 − p2 − p2 Ví dụ 3.1.3 Xét mô hình tự hồi quy cấp p Xn = α1 Xn−1 + · · · + αp Xn−p + Wn Để làm dự báo trình AR(p) ta cần quan tâm tới giạ trị p − giá trị khứ đủ 3.1.2 Trường hợp thời gian liên tục Xét trình dừng X(t) không giảm tổng quát, giả sử EX(t) = Với T ta ký hiệu H(X, t) không gian L2 (Ω, F , P ) sinh đại lượng ngẫu nhiên {X(u)u ≤ t} Các phần tử H(X, t) giới hạn bình phương trung bình n ci X(si ), si ≤ t Ta gọi H(X, t) tổ hợp tuyến tính dạng i=1 không gian tuyến tính khứ X(t) Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 Cho h > ta muốn tìm dự báo tốt X(t + h) quan sát khứ X(u), với u ≤ t Dự báo tuyến tính tốt X(t + h) quan sát khứ thời điểm t định nghĩa ˆ + h) ∈ H(X, t) cho sai số bình đại lượng ngẫu nhiên X(t ˆ + h) nhỏ so với phương trung bình E X(t + h) − X(t dự báo Y (t + h) ∈ H(X, t) 3.2 PHÂN TÍCH PHỔ Giả sử [−π, π) = A ∪ B, với A B hai tập đo rời Quá trình dừng {Xn } có phân tích phổ hai trình sau: π π e Xn = inλ dZλ = −π π ∅A e −π = Yn(1) inλ dZλ + ∅B einλ dZλ −π (3.1) + Yn(2) (1) (2) Định Đề 3.2.1 Hai trình {Yn } {Yn } trình dừng, trực giao lẫn độ đo phổ chúng đơn giản, xác định ánh xạ thu hẹp dF lên tập hợp A B Định Đề 3.2.2 Giả sử {Xn } trình dừng thỏa mãn (1) (2) (1) (2) (1) (2) Xn = Yn + Yn , với Yn , Yn ∈ M, Yn Yn (1) (2) trình dừng, Yn ⊥Yn với m, n Khi có phân tích [−π, π) = A ∪ B, với A B hai tập đo rời (1) (2) cho Yn Yn thu từ biểu diễn phổ {Yn } có dạng (3.1) Định đề chứng minh đầy đủ với bổ đề đây: π Bổ đề 3.2.3 Nếu hàm số h ∈ L1 (dF ) −π 0, ∀n ∈ Z h(λ) = h.k.n (dF ) Footer Page 24 of 126 h(λ)einλ dF (λ) = 23 Header Page 25 of 126 3.3 PHÂN TÍCH WOLD Ta mở đầu số định nghĩa sau đây, gọi Hn (ξ) = L2 (ξ n ) H(ξ) = L2 (ξ) không gian đóng đa tuyến tính sinh ξ n = ( , ξn−1 , ξn ) ξ = ( , ξn−1 , ξn , ) Đặt ˆ S(ξ) = n Hn (ξ) Với η ∈ H(ξ), ký hiệu π ˆn (η) = E(η|H n (ξ)) hình chiếu η lên không gian Hn (ξ) Mỗi phần tử η ∈ H(ξ) biểu diễn dạng η = π ˆ−∞ (η) + (η − π ˆ−∞ (η)) π ˆ−∞ (η)⊥(η − π ˆ−∞ (η)) Do H(ξ) biểu diễn tổng trực tiếp H(ξ) = S(ξ) ⊕ R(ξ) S(ξ) tập phần tử π ˆ−∞ (η) với η ∈ H(ξ) R(ξ) tập phần tử η − π ˆ−∞ (η) Ta giả sử Eξn = ξn > Khi H(ξ) không tầm thường (tồn phần tử khác 0) Định nghĩa 3.3.1 Một dãy dừng gọi quy (regular) H(ξ) = R(ξ) suy biến (singular) H(ξ) = S(ξ) Định lý 3.3.2 Mọi trình dừng (theo nghĩa rộng) ξ biểu diễn dạng ξn = ξnr + ξns , (3.2) ξ r = (ξnr ) quy ξ s = (ξns ) suy biến Hơn s với n m) nữa, ξ s ξ r trực giao (ξnr ⊥ξm Định nghĩa 3.3.3 (Dãy đổi mới) ξ = ξn trình dừng Một dãy ngẫu nhiên = n gọi dãy đổi (của ξ) thỏa hai điều kiện sau a) = ( n ) có thành phần đôi trực giao E 0, E| |2 = n = b) Hn (ξ) = Hn ( ) với n ∈ Z Định lý 3.3.4 Điều kiện cần đủ để dãy ξ quy tồn ∞ dãy đổi = ( n ) dãy (an ) số phức, n ≥ 0, |an |2 < n=0 +∞ thỏa mãn ∞ ξn = ak k=0 Footer Page 25 of 126 n−k (P − a.s) (3.3) 24 Header Page 26 of 126 Định lý 3.3.5 (Phân tích Wold) Nếu ξ = (ξn ) trình dừng, ∞ ξn = ξns + ak n−k , (3.4) k=0 ∞ |ak |2 < +∞ = ( n ) dãy đổi (của ξ r ) k=0 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết lý thuyết xác suất đại, trình dừng trình bậc dừng cách có hệ thống, chặt chẽ logic Bên cạnh luận văn trình bày thêm số ứng dụng biểu diễn phổ, phân tích phổ, phân tích Wold Cụ thể: • Chương 1: Trình bày kiến thức lý thuyết xác suất đại σ-đại số, độ đo, độ đo xác suất, biến ngẫu nhiên, Chương chương sở, nội dung chương tiền đề cho chương sau • Chương 2: Trình bày lý thuyết trình dừng, trình bậc dừng, không gian Hilbert trình dừng Nội dung chương chủ yếu tập trung vào trình dừng có moment bậc • Chương 3: Trình bày ứng dụng trình dừng dự báo, biểu diễn phổ, phân tích phổ, phân tích Wold dãy đổi Đây phần có giá trị thực tiễn, có khả ứng dụng thực tế Trong chương có trình bày số kết mẻ, có khả mở rộng nghiên cứu sâu sắc đề tài khác Các kiến thức luận văn trình bày có thứ tự, logic Hầu hết định lý, hệ quả, nhận xét chứng minh chi tiết Một số trích dẫn từ tài liệu tham khảo có uy tín, giáo trình giảng dạy trường đại học chuyên ngành sư phạm toán, học viện kỹ thuật quân nước nước Footer Page 26 of 126 ... Chương 2: Trình bày lý thuyết trình dừng, trình bậc dừng, không gian Hilbert trình dừng Nội dung chương chủ yếu tập trung vào trình dừng có moment bậc • Chương 3: Trình bày ứng dụng trình dừng dự... toán học Một trình ngẫu nhiên đặc biệt quan trọng lý thuyết trình ngẫu nhiên Quá trình bậc hai dừng Vì tính chất quan trọng ứng dụng rộng rãi nó, chọn đề tài Quá trình bậc hai dừng để làm... tính chất Quá trình ngẫu nhiên bậc hai • Ý nghĩa thực tiễn: Tìm hiểu sâu sắc Quá trình bậc hai dừng ứng dụng chúng để phục vụ cho việc học tập giảng dạy sau Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày