1 Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K56 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K56 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: 1a) Trong không gian chiều có đường từ điểm (0,0,0) đến điểm (25, 35, 55) bước có ba toạ độ tăng lên 1, hai toạ độ lại giữ nguyên 1b) Có đơn đồ thị vô hướng với n đỉnh ? Bài 1: 1a) Trong khơng gian chiều có đường từ điểm (0,0,0) đến điểm (30, 40, 50) bước có ba toạ độ tăng lên 1, hai toạ độ cịn lại giữ ngun 1b) Tính tổng số bậc đơn đồ thị đủ Kn Bài 2: Xét hai mệnh đề (P1): Với số nguyên dương lẻ m, ln tìm số ngun dương n cho 2n – chia hết cho m (P2): Với số nguyên dương m, n, đồ thị hai phía đầy đủ Km,n ln chứa chu trình Hamilton Bài 2: Xét hai mệnh đề (P1): Với số nguyên dương lẻ m, ln tìm số ngun dương n cho 2n – chia hết cho m (P2): Với số nguyên dương m, n, đồ thị hai phía đầy đủ Km,n ln chứa chu trình Hamilton Hãy chứng minh tính đắn đưa phản ví dụ cho mệnh đề Hãy chứng minh tính đắn đưa phản ví dụ cho mệnh đề Bài 3: Trình diễn thuật tốn nhánh cận giải tốn túi biến ngun sau: Bài 3: Trình diễn thuật toán nhánh cận giải toán túi biến nguyên sau: 10 + 17 + 30 + 40 → + + + ≤ 28 ≥ 0, ∈ ℤ, = 1,2,3,4 11 + 18 + 31 + 41 → + + + ≤ 29 ≥ 0, ∈ ℤ, = 1,2,3,4 Bài 4: Cho G=(V,E) đồ thị có hướng mà hai đỉnh u,v ln có cạnh (u,v), cạnh (v,u), không đồng thời có hai Kí hiệu deg+(v) deg-(v) tương ứng bán bậc bán bậc vào đỉnh v Chứng minh với đồ thị G cho, đẳng thức sau đúng: [deg ( )] = ∈ Bài 4: Cho G=(V,E) đồ thị có hướng mà hai đỉnh u,v ln có cạnh (u,v), cạnh (v,u), khơng đồng thời có hai Kí hiệu deg+(v) deg-(v) tương ứng bán bậc bán bậc vào đỉnh v Chứng minh với đồ thị G cho, đẳng thức sau đúng: [deg ( )] ∈ Bài 5: Xét đồ thị có hướng có trọng số đây, trình diễn thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh A đến đỉnh lại: [deg ( )] = ∈ [deg ( )] ∈ Bài 5: Xét đồ thị có hướng có trọng số đây, trình diễn thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh B đến đỉnh cịn lại: Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K55 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: 1a) Tìm số nghiệm nguyên (x,y) bất phương trình: 3| | + | | ≤ , với n số nguyên dương 1b) Một hình lập phương có cạnh 15 chứa 11000 điểm Chứng minh tồn hình cầu bán kính chứa điểm số 11000 điểm cho Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K55 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: 1a) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình: + + ≤ 25 , với điều kiện , ≥ 2, < < 1b) Một hình vng có cạnh chứa 101 điểm Chứng minh có điểm số 101 điểm nói nằm hình trịn bán kính 1/7 Bài 2: Xét hai mệnh đề (P1): Trong đơn đồ thị ln có đỉnh bậc (P2): Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt có toạ độ ngun, ln tìm điểm mà trung điểm đoạn thẳng nối chúng có toạ độ nguyên Bài 2: Xét hai mệnh đề (P1): Trong số 10 người tìm người có tổng số tuổi chia hết cho 16, hiệu số tuổi chia hết cho 16 (P2): Trong khơng gian cho điểm có toạ độ ngun, ln tìm điểm mà đoạn thẳng nối chúng qua điểm có toạ độ nguyên Hãy chứng minh tính đắn đưa phản ví dụ cho mệnh đề Hãy chứng minh tính đắn đưa phản ví dụ cho mệnh đề Bài 3: Sử dụng hàm sinh giải công thức đệ quy: Bài 3: Sử dụng hàm sinh giải công thức đệ quy: = = 4, +2 = 12 + ( ≥ 2) =4 = 2, −4 =5 + ( ≥ 2) Bài 4: Cho G=(V,E) đồ thị có v đỉnh e cạnh m M tương ứng bậc nhỏ bậc lớn đỉnh G Chứng minh hệ bất đẳng thức: Bài 4: Cho G=(V,E) đơn đồ thị hai phía có v đỉnh e cạnh Chứng minh bất đẳng thức sau: ≤ ≤ ≤ Bài 5: Xét đồ thị vơ hướng có trọng số đây, trình diễn thuật tốn Prim tìm khung lớn đồ thị: Bài 5: Xét đồ thị có hướng có trọng số đây, trình diễn thuật tốn Kruskal tìm khung lớn đồ thị: Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K54 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: 1a) Trong tổng số 2504 sinh viên khoa cơng nghệ thơng tin, có 1876 theo học ngơn ngữ Pascal, 999 học môn ngôn ngữ Fortran 345 học mơn ngơn ngữ C Ngồi cịn biết 876 sinh viên học Pascal Fortran, 232 học Fortran C, 290 học Pascal C Nếu 189 sinh viên học ba ngôn ngữ Pascal, Fortran C trường hợp có sinh viên không học môn ngôn ngữ nói 1b) Một vật tham gia thi đấu giành chức vô địch 75 Mỗi thi đấu trận, tồn không thi đấu 125 trận Chứng tỏ rằng, có liên tiếp thi đấu 24 trận Bài 2: Xét mệnh đề sau: “Trong n+1 số nguyên dương, số không vượt 2n, tồn số chia hết cho số khác” Hãy chứng minh tính đắn đưa phản ví dụ cho mệnh đề Bài 3: Trình diễn thuật tốn nhánh cận giải tốn người du lịch với ma trận chi phí (giả sử xuất phát từ A): A B C D E A 55 87 70 76 B 91 81 57 39 C 80 77 81 58 D 99 83 64 89 E 56 91 82 88 Bài 4: Một ngơi chùa linh thiêng có trụ kim cương Người ta đúc dây xích vàng để nối trụ lại với nhau, với điều kiện trụ nối với trụ khác Chứng minh khơng thể tìm cách nối thoả mãn điều kiện Bài 5: Trình diễn thuật tốn Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại lát cắt hẹp mạng sau: Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K54 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: 1a) Hiệu trưởng mời 2n ( ≥ 2) sinh viên giỏi đến dự tiệc Mỗi sinh viên giỏi quen n sinh viên giỏi khác đến dự tiệc Chứng minh ln ln xếp tất sinh viên giỏi ngồi xung quanh bàn tròn, để người ngồi hai người mà sinh viên quen 1b) Đếm số xâu nhị phân 13 bit chứa hai số liên tiếp Bài 2: Xét mệnh đề sau: “Trong 102 người có chiều cao khác đứng thành hàng ln tìm 11 người có chiều cao tăng dần giảm dần mà không cần thay đổi thứ tự họ hàng” Hãy chứng minh tính đắn đưa phản ví dụ cho mệnh đề Bài 3: Trình diễn thuật tốn nhánh cận giải tốn người du lịch với ma trận chi phí (giả sử xuất phát từ A): A B C D E A B C 43 80 81 92 70 77 95 73 17 26 91 82 D 69 58 82 78 E 72 39 43 89 Bài 4: Giả sử đơn đồ thị phẳng liên thơng có đỉnh, đỉnh có bậc Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền ? Bài 5: Trình diễn thuật tốn Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại lát cắt hẹp mạng sau: Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K53 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K53 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: a) Trong tập 2009 số nguyên dương có số khơng chia hết cho số số 11, 13, 15, 17 Bài 1: a) Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7, người ta lập tất số có chữ số (5 chữ số đơi khác nhau) Tính tổng tất số b) Trên lưới ô vuông số nguyên cho hai điểm A(3,2) B(100, 99) Hỏi có đường khác từ A đến B mà không cắt đường thẳng y=x (chỉ cho phép cạnh ô vuông theo chiều sang phải lên trên) ? b) Trong tập A = {1,2,…,30000} có số khơng chia hết cho số số 6, 8, ? Bài 2: Cho G=(V,E) đơn đồ thị vô hướng liên thông Chứng minh rằng: a) Nếu tất đỉnh G có bậc G đồ thị Euler b) Nếu tất cạnh G cầu G Bài 3: Trình diễn thuật tốn nhánh cận giải toán túi: + 15 + 26 + 34 → + + + ≤ 25 ≥ 0, ∈ ℤ, = 1,2,3,4 Bài 4: Giải công thức đệ quy: = 6, = +6 = 42 + ( ≥ 3) Bài 5: Trong mạng G=(V,E) cho luồng f sau: Bài 2: a) Có 20 đội bóng thi đấu giải Mỗi đội phải đấu trận với đội lại Chứng minh ln có hai đội bóng có số trận đấu (tính trường hợp chưa đấu trận nào) b) Chứng minh đồ thị hai phía Bài 3: Trình diễn thuật tốn nhánh cận giải toán túi: 16 + + + → + + + ≤ 17 ≥ 0, ∈ ℤ, = 1,2,3,4 Bài 4: Giải công thức đệ quy: =8 = 1, − 16 =2 + + 2 ( ≥ 2) Bài 5: Trong mạng G=(V,E) cho luồng f sau: a) Xây dựng đồ thị tăng luồng Gf b) Cho biết luồng f có cực đại khơng ? Nếu khơng, thực tìm luồng cực đại lát cắt hẹp mạng a) Xây dựng đồ thị tăng luồng Gf Từ chứng minh f luồng cực đại b) Đưa giá trị luồng cực đại lát cắt hẹp 1 Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K52 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K52 Thời gian: 90 phút (Không sử dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: a) Trường ĐHBKHN tiến hành phát học bổng cho sinh viên Biết có ba loại học bổng, hỏi cần trao học bổng cho sinh viên để chắn số họ có 13 người nhận học bổng loại ? Bài 1: a) Trường ĐHBKHN tiến hành phát học bổng cho sinh viên Biết có năm loại học bổng, hỏi cần trao học bổng cho sinh viên để chắn số họ có 28 người nhận học bổng loại ? b) Tìm số cách đặt dấu ngoặc đơn vào tích n + số … thứ tự phép nhân Ví dụ có cách đặt dấu ngoặc đơn cho tích ) ( ) , ( )( định thứ tự phép nhân: ( , ( ) , ( ( )) b) Một máy bán tem tự động nhận loại tiền xu 1$, tiền giấy 1$ tiền giấy 5$ Tìm số cách đưa 30 $ vào máy (có ý đến thứ tự xu giấy bỏ vào) để xác định để ), Bài 2: Cho đồ thị có hướng G biểu diễn dạng ma trận trọng số: A B C D E F A ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ B ∞ ∞ ∞ ∞ C ∞ ∞ ∞ D ∞ ∞ ∞ E ∞ ∞ F ∞ ∞ ∞ a) Thực thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh C đến đỉnh lại đồ thị G b) Chứng minh G mạng Thực thuật tốn Ford – Fulkerson tìm luồng cực đại lát cắt nhỏ mạng G c) Gọi G’ phiên vô hướng G (tức không xét tới hướng cung G) Thực thuật tốn Prim tìm khung nhỏ đồ thị G’ Bài 3: Giải công thức đệ quy sau: =4 −3 = 1, = + + + 3 ( ≥ 2) Bài 2: Cho đồ thị có hướng G biểu diễn dạng ma trận trọng số: A B C D E F A ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ B ∞ ∞ ∞ C ∞ ∞ ∞ D ∞ ∞ ∞ E ∞ ∞ ∞ F ∞ ∞ ∞ a) Thực thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn từ đỉnh E đến đỉnh lại đồ thị G b) Chứng minh G mạng Thực thuật tốn Ford – Fulkerson tìm luồng cực đại lát cắt nhỏ mạng G c) Gọi G’ phiên vô hướng G (tức không xét tới hướng cung G) Thực thuật tốn Kruskal tìm khung nhỏ đồ thị G’ Bài 3: Giải công thức đệ quy sau: =7 = −2, = 0, − 16 + 12 =5 + ( ≥ 3) ... trụ kim cương Người ta đúc dây xích vàng để nối trụ lại với nhau, với điều ki? ??n trụ nối với trụ khác Chứng minh khơng thể tìm cách nối thoả mãn điều ki? ??n Bài 5: Trình diễn thuật tốn Ford-Fulkerson... dụng tài liệu, nộp lại đề) Bài 1: 1a) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình: + + ≤ 25 , với điều ki? ??n , ≥ 2, < < 1b) Một hình vng có cạnh chứa 101 điểm Chứng minh có điểm số 101 điểm nói nằm hình... đỉnh có bậc Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền ? Bài 5: Trình diễn thuật tốn Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại lát cắt hẹp mạng sau: Đề thi mơn: TỐN RỜI RẠC – K53 Thời gian: 90 phút