Đề thi Đại học môn toán có lời giải

XIN CHÀO CÁCBẠNỈ Một phưcmg pháp ôn thi hiệu mà THỦ KHOA áp dụng ôn tập làm theo đề thi thức Vì làm nó, bạn làm quen với dạng đề phong cách thi th ậ t Bản thân chúng tôi, thành viên CLB Kỹ Năng Sống Thanh Niên Hà Nội áp dụng phương pháp học tập thành công kỳ thi tố t nghiệp đại học Chúng muốn chia sẻ điều đến bạn Xin g iớ i th iêu v i ba n bô tà i liêu ĐẨCBIÊT: • • • • • • Tuyển tập Tuyển tập Tuyển tập Tuyển tập Tuyển tập Tuyển tập 15 đề thi Đại Học môn Vật Lý 15 đề thi Đại Học môn Hóa Học 30 đề thi Đại Học môn Toán 30 đề thi Đại Học môn Tiếng Anh đề thi Đại Học môn Sinh Học 0 -2 đề thi Đại Học - Cao Đẳng thức 2008 - 2014 Khối c Chúng biên soạn tài liệu vòng năm liên tiếp Chắc chắn ỉà tài liệu vô hữu ích cho bạn tron trình ôn thi, giúp tiết kiệm thời gian, công sức chi phí tìm kiếm, in ấn cho bạn! Chúc bạn học tập ôn thi hiệu quả! Hẹn gặp lại giảng đường đại học! NHÓM BIÊN TẬP CLB K Ỹ NĂNG SỐNG THANH NIÊN Liên h ệ t vấn: M s Vân A nh 0167.656.2750 M ỤC LỤC Phân /; Tuyển tập đề thi môn Toán Đ ề số l Đề số Đ ềsố3 Đề s ố Đ ềsố5 Đê s ố Đề số Đề số Đề số Đề số 10 Đề số 11 Đề số 12 X ß e số Ị Đề số 14 Đề số 15 Đ ề số lố Đề SỐ 17 f Đ ề s ố l8 Đề số í Đề s ố 20 Đ lsố21 Đề số 22 Đề số 23 Đề s ố 24 Đề s ố 25 Đề s ố 26 Đè s ố 27 Đề số 28 Đ ềsố29 Đề s ố 30 10 16 22 28 33 39 44 52 59 67 73 78 84 91 99 105 111 116 123 130 136 144 150 156 163 171 178 185 192 Phần II: Lời giải & h n g dẫn chi tiế t Đề số Đề số Đê số Đề số Đề số Đề số K Đê số 'y^Đềsố8 bề số Đề số 10 Đề số 11 Đề số 12 XĐề số 13 Đề số 14 Đề SỐ 15 Đề số 16 Đề số 17 I Đề số 18 Đề số 19 Đề s ố 20 Đề số 21 Đề s ố 22 Đ ềsố23 Đề số 24 £>ềsố25 Đề s ố 26 Đề s ố 27 Đề S Ổ 28 Đề s ố 29 11 17 24 29 34 40 45 53 60 68 74 79 85 92 100 106 112 117 124 131 138 145 151 157 165 173 180 187 194 Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán ĐÈ SÓ I (A - 2009) PHẦN CHUNG CHO TẮT CẢ TH Í SINH (7,0 điểm): Câu 1(2,0 điểm) Cho hàm số y = - + ^ (l) 2x+3 v ' Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ( 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ o Cau II (2,0 điềm) Giâi phượng trinh ( l + s in x )(l- s in x ) Giải phương trình > /3 x -2 + -\/6 -5 x -8 = ( x e R ) Câu r a (1,0 điểm) — Tính tích phân I = J (cos3x - 1) cos2x.dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60° Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương X, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: (x + y )3+ (x + z )3+ (x + y )(x + z )(y + z ) < ( y + z ) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh ỉàm m ột hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VLa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm 1(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M (l; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng A :x + y - = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( p ) : x - y - z - = mặt cầu ( s ) : x + y + z - x - y - z - l l = Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn Câu v il.a (1,0 điểm) Gọi Z\ Z2 hai nghiệm phức phương trình z + 2z + 10 = tính giá trị biểu thức A = ịzỊ\3 + ịz2ị3: B Theo chương trình Nâng cao Câu V l.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (c): X2 + y + 4x + y +6 = đường thẳng A : x + m y - 2m +3 = , với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn (C) Tìm m để A cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( p ) : X - 2y + 2z -1 = hai đường = —- Z- - ;A2 —ỉ- = ——- = 7^ - Xác định toạ độ điểm M thuộc đường 1 —2 ^ I câ u Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên thẳng A, Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán thẳng Aj cho khoảng cách từ M đến đường thẳng À2 khoăng cách từ M đến mặt phậng (P) C âu vn.b (1,0 điểm) Iog2(x z + y 2) = r+ ĩog2 (xy) Giải hệ phương trinh % 3*2- W =81 Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên (x ,y e R ) Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán GIẢI ĐÈ SỐ Câu I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tập xác định: X * " -1 y ’ = -—T - c O V x * -— (2 x + )2 Tiệm cận: Vì X“1“2 X“h lim _ = +oo; lim — ■ — =-00 nên tiệm cận đứng X: lY 2x+ ^ ip x + *-(0 Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy Ịo ;—j cắt Ox (-2 ; 0) j ị'câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống' 'T^ iiĩaniiiL,"]NfiêiaM ị u> Vì lim x + ^ = —nên tiệm cận ngang y = — ~»2x+3 e * * 2 Ta có y '= - ỉ—J nên phương trinh tiếp tuyển (2x+3) X = x (với x * - y - f ( x 0) = f ( x 0) ( x - x 0) y= 2xổ + 8x +6 A X (2x„+ )2 + (2x„+3)2 Do tiếp tuyến cắt Ox A( 2xg + 8x + ;0) cắt Oy B(0; 2xổ + 8x + ) (2x +3 )2 Tam giác OAB cân OA = OB (vởi OA > 0) ^ K \ = |yB| ^ |2x0+8x0 = x ổ + 8x 0+6 (2x +3) (2x0 + )2 = l« > x 0+3 = ± l o 'x = - l ( L ) X0 = -2 (T M ) Với x = - ta có tiếp tuyến y = D xũ □ C âun Ị_ X * - —+ k i;x * —^ + k j t 6 Điều kiện xác định: • n s in x ^ l x * —+2ht s in x ^ t- Phương trình cosx - 2sinxcosx = -73 (1 - SŨ1X+ 2sinx - 2sin 2x) cosx - sin2x = -7-5 + -73 sinx - -73 sin2x o —73 sinx + cosx = sin2x + -73 (1 - 2sin2x) = sin2x + V3 Cơs2x y/3 _ Ị _ sinx+—cosx = -rSĨn 2X+-2—cos2x 2 2 Sít 5n _ 7t _ n sin X cos— + cos X sin — = sin 2x.cos—+ cos 2x.sin— 6 3 o sin fx + — ì = sinÍ2x+—ì 5ĩt _ n x + — = 2x + —+ m2n 5tĩ „ 71 „ X H—- = ĩ - x - —+n27t Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên to I u> Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán n - x - - —+m2n n x = —-m n K 2k 3x = - —+n2jt X = — — + n —- 18 Kết hợp với điều kiện xác định ta có họ nghiệm phương trình là: _ 7Ĩ 2tc / I—J \ X = — — + n — (n e O ) 18 v ' Điều kiện xác định: - x > X < — (* ) -2 u íu s = 3x - [2 u + v = v= \u = yj3x—2 Đặt < ( v > 0) =>t =>í , , =>< I v = V 6-5X [v2 = - x [5u3 +3v2 = 5u + 3v = => 15u3+64— 32u + 4u2— 24 = 15u3+ 4u2- 32u + 40 = o (u + 2)(15u2- 26u + 20) = u = -2 °|_15u2-26u+20 = vô n0doA’= 132-15.20 X = -2 (tm) Vậy phương trình có tập nghiệm S={-2} C âu III Jt n 2 = cos5x.dx - | cos2x.dx 0 n n n f ; Ta có: Ỉ2 = I cos2x.dx = —J (1 + cos2x).dx = — X + — sin2x J0 ^ ị2 ị n n 2 Mặt khác xét li = I cos5x.dx =J cos4x.cosx.dx 0 n = I (1 - sin 2x) 2d(sin x) = Vậy I = li - 12 = — 15 í l < sin3x ^ -+sinx u ■sm X — )0 15 Câu IV Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI _L(ABCD) Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán T acó IB = a VJ; BC = aV5;IC = aV Ï; - /7 Hạ IH B C tính IH = ^ - ; ,0 3aVĨ5 Trong tam giác vuông SIH có SI=IH tan 60 = S ABCD = S aecd + S ebc = a + a = a (E l t r u n g đ i ể m c ủ a A B ) C âu V Từ giả thiết ta có: X2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz Đ ặta = x + y v b = x + z Ta có: (a - b )2 = (y - z )2 ab = 4yz Mặt khác a3 + b = (a + b) (a2 - ab + b )2 < \¡2(a2 + b 2) ^ ( a - b )2 + a b j = yj2 [(a - b )2 + 2ab] Ị^(a - b )2 + abj = ^ [ ( y - z )2 + y z ] [ ( y - z )2 + y z] = ^ [ ( y + z ) + y z ] ( y + z )2 < V4(y+z)2 (y+ z)2 = (y + z )2 (1) Ta lại có: I Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán nO/nO Tính giá trị biểu thức A = L ^2011 18 Ị z °2011 kạc Bộ Kỹ Năng Sống Thanh Niên Ị L (~i2 /}3x-*3 ^2011 z ^2011 + x = 0, jc = ±1 Hàm sổ đồng biến khoảng (-1; 0) (1; + 00) Hàm sổ nghịch biến khoảng (- 00; -1) (0; 1) b) Cực trị: Hàm số đạt cực đại X = 0; Ỵcđ = y(0) = Hàm số đạt cực tiểu X = ± 1; yct = y( ± ) : c) Giới hạn vô cực: Lìm(x4 - x 2) =+00 X -+ ± o o d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên 50 +® +® -1 3) Đồ thị: Câu 1: 2) điểm y' = o 4x3 —4(/tt —l)x = Ặ - (m -1 )] = T H I: Nếu ra- < o Hàm số đồng biến khoảng (0; + 00) Vậy m < thoả mãn ycbt TH 2: m -1 > m> y' = Hàm số đồng biến khoảng (- X = 0, X m < = ± V m -1 1; ) ( J m - Ì ; +oo) Để hàm số đồng biến khoảng (1; ) 7/71-1 sinxcosx = -—— Phương trình trở thành t2 + 4t - = t = 1; t = -5 (loại) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán V it = o o sin ( l s i n x - co sx = o -J ĩs in Ị x - — n n ' _ k ĩt 4 ĩt 37t , x —— = — + k2n 4 X - — = —+ 4; x = — + klTĩ x = ĩt + k lĩĩ Câu : (1 điểm) X2 -3x(y-l) + y2 + y(x-3) = (x-y)2 + 3(x-y) - + X- y = X - y = —4 ịx —y = Với X- y = l,tacỏ < X= 1; y = x= -1; y = -2 [ x -x y - y =l V ix - y = -4 ta c ó 1* ^ (H êPT vô nghiệm) [jc- xy - 2y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) —(-1; -2) Câu :1 (1 điểm) •Ị x(l + Inx) -Ị Ta có \ d x - e - \ \ 2- , lnx -dx -Ị' x(l + lnx) Tính J = f — — dx ' x(l + lnx) Đăt t = + Inx J = Ị — ±dt= J ( l- - ) < * = ( t - l n | í | ) = l - l n Vậy I = e - - ( - ln2) = e -3 + 21n2 C âu : (1 điểm) Do vai trò a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết < a < b < c Khi đ ó < l + a + b < + a + c < + b + c < + a < + b < + c Ta có ^ ^ ( 1 V 2+ư 2+ b + c ^ l + + ố 1+6 + c + c + ữ ^ _ ¿>-1 c -ĩ a -1 > _ (2 + a)(l + a + 6) (2 + 6)(l + + c) (2 + c)(l + a + c) c —1 (2 + c)(l + + c) > -1 ■ (2 + c)(l + + c) a -1 _ a+6+c-3 > (2 + c)(l + + c ) ~ (2 + c)(l + + c) “ 3\Jabc - _Q (2 + c)(l + + c) “ Vậy ỉ + -+ - < —!— + —!—+ —í— l+a+6 1+6+c 1+ c + ữ 2+a 2+6 2+c Câu 4: Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)nên giao tuyến chúng s o -L (.ABCD) Diện tích đáy S ABCD = - AC.BD = J3a2 Ị g g Ị c â u Lạc Bộ Kỹ Năng sổng Thanh Niên V sabcd = —S O S a b c d Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán Ta có tam giác ABO vuông o AO = ứ-y/3 ; BO = a , ABD = 60° => tam giác ABD Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có D H L AB vkD H = a-J3 ; O K //D H OK = - D H = — => O K ±AB= > AB±(SO K) 2 Gọi I hình chiếu o lên SK ta có OI X SK; A B ± => OI ± (SAB) , hay OI khoảng cách từ o đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông o, OI đường cao => 1 a —-7 = ——=■+ - —7 => SO = — OI OK2 SO2 Đường cao hình chóp s o = — Thể tích khối chóp S.ABCD: V s.A B C O ~ ^A B C D s o — •v/ĩa3 Câu 5a: (1 điểm) Gọi c = (c; 3c - 9) với M trung điểm BC => M(m; 1-m) sũy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c) m —c + - m —3c Gọi I trung điểm AB, ta có I( ) 2 ; Vì I nằm đường thẳng 3x - y - = nên 3(— —c +-~) - (——— ——) - = => m = => M(2; -1) Phương trình BC: X - y - 3=0 _ _ Í3x —y —9 = fjt = _ , _ Ta có c nghiêm hê: •! >= 2x3—3x2+ l TXĐ: □ X = y ' = 6x2- x ; y ' = o x 2- x = O o ; y,0) =1, y {l) = Hàm số nghịch biến ừên khoảng (0; 1) Hàm số đồng biến hên khoảng (-oo; ) ; (l;+QO ) Hàm số đạt cực tiểu x = 1, ycr - hàm số đạt cực đại x = 0, yco = Giới hạn: lim >’ = -00 ; lim y = +oo JC— >— ao “ * ■— Bảng biến thiên: tâm đốí xứng Câu 1: Xác định m để điểm M (2mì ;m) tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số (1) tam giác có diện tích nhỏ Tacó:>>' = 6;c2 —6Ọ.m+\)x+6m(m+\)‘, y ' = 0x = m;x = m + l => V m e ũ , hàm số có CĐ, CT Tọa độ điểm CĐ, CT đồ thị A(m ; 2m3 + 3m2 +1), B (m +1; m3 + 3m2) Suyra AB - \Ỉ2 phương trình đường thẳng AB : x + y - m ì -3 m —m - l - Do đó, tam giác MAB có diện tích nhỏ chi khoảng cách từ M tới AB nhỏ Ta có: d(M , AB) = 3”^-+1 => d(M ; AB)>-j=z=> d(M; AB) = — đạt m = C âu :1 Giải phương trình: sin2 2xcos6x+ sin23x = —sin2xsin8x Phương trình cho tương đương với: ( - c o s x ) c o s jc + - c o s x , - , , , _ , -— = —sin 2x sin x o l - cos 4x cos 6x = sin 2xsin 8x 2 1- —(cos x + cos lOx) = —(cos 6x - cos lOx) o> cos x + cos x - = 4 cos3 2x - cos 2x - = (cos 2x - 1)(2 cos2 x + cos x +1) = cos 2x = X = kn, k& ũ C âu 2: Giải hệ phương trình: x+ y—y[xỹ = V 5x+ 3+ V sỹ+ 3= Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sông Thanh Niên (x,>>eD) Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán Ịx>0 Cách 1: Đk: Từ hệ suy đk I Hệ cho tương đương với: x+ y-2 y[xỹ = 4-ự5x+ 3+ 4^5y+ 3= l6 x+ y -2 ,J x ỹ —2 < x+ -4 yl5 x+ + + y+ -4 yj5 y+ + + x—2y[xỹ+y = x+ 6y-2~Ịxỹ = « Ụ 5x+ - j + Ụ x + -2 Ị + {4 x -y [ỹ ^ = x+ y—2y[xỹ = 'j5x+3 = rr Ạ y + 3=2 x = y = — Vậy hệ phương trình có nghiệm GM) 'Jx= yỊỹ Cách 2: Hệ cho tương đương với 5y) 5yfxỹ = Í ( x + - 3(5x+ 5y) - 5-y/xỹ = 5 ị5 x +5 y + ^3 (5 * + 5y ) + 25xy + = [5x+ 5y + 27(5x+3)(5ỹ+3) + = 16 Đặt « = x + Sy, Í w - V = V= SyỊxỹ ĐK: u > 0, V > Hệ trở thành: jv \ u + 2sỊ3u + v + = Ị « = + w — ^ |v M + Õ « - j ĩ + = —< « < Do Đ K củau,V nên (*) o ■/5 = 2^1 (7 + m)2 20 m + 7m + = /n = —1:m = - Vậy phương trình CD: X - 2y - = 0; X - 2y - = Câu 6a: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng A qua điểm M (l;-1;0), cắt đường thẳng (d): ——- = —= z + ^ tạo với mặt phẳng (P): x - y - z + = góc 30° Gọi N = (d)r^A=> N(2+2t;t;~2+t) Tacó: M N - (l+ í;í + l ; - + í ) vàm p(P)có vtpt « = (2;—1;-1) (d) tao với (P) góc 30° nên: sin30° = |cosÍAfiV,n) _ \2+4t t 1+ t\ _ j_ 1 } -y/(l+ 2í)2 + ( í + 1)2 + ( t - 2)2.y[6 7Ệ ^ẳ - l ĩ 10r-18í = o í = 0; t = ^ tz + 2t + V2 x - l _ y +1 _ z + Với t = 0, phương trình A : ~ r~ ~ r~ ^2 o A: X —1 _ y + _ 23 14 + Với t = —, phương trình z -1 Câu 7a: Tìm số phức z thỏa mãn z + Z2 = Giả sử z = x+ yi, (x,y e ũ ) Ta có: z —1+ i z —2i = + z2 +Z2 =6 o ( x + y i ) + ( x -y i) = 6x2 - y = Z-1 + Z z —2i = l < ^ |( x - l ) + + l)ỉ| = |x + (y -2 )/| V (x -l)2 + + 1)2 =yjx2+ (y -2 )z « ■ x -3 y + l = Câu Lạc Bộ Kỹ Năng sống Thanh Niên Tuyển tập 30 đề thi Đại Học môn Toán ị* -ỷ ì Giải phương trình: ■< |x - y + l = ịx -ìy-ĩ _ Vậy lv -3 y -l =0 x =~ , y =~ z = 2+i; z — 4 C âu 6b: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (7): (x - l)2 + (y + 2)2 = hai điểm £(1;4), C(-3; 2) Tìm tọa độ điểm Ả thuộc (7) cho tam giác ABC có diện tích 19 Giả sử A(x; y) € (C) => ( x - l)2 + (y + 2)2 = 10 Ta có: BC = 2V5 phương trình BC: X 2y + = — - / d(A,BC) = \X~ 2y+ 7\ Diện tích tam giác ABC: SABC = -B C d (A ,B Q = 19 v5 >/5 THI: X= |_x = y - 2y + 12 vào (1), ta 5y2 + y +115 = y = -5 ; y = —— , 23 _ 14 +y = ———=> x = — 5 TH2: x = y -2 th ế v o (1), tađượcSy2- 104y+723 = (vônghiệm) Vậy A(2;- 5); + y = - 5=>x = 15 ) Câu 6b: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm 4(13; -1 ; 0), B{2; 1; -2), C (l; 2; 2) mặt cầu ( s ): X2 + y2 + z2 - x - y —6 z -6 = Viết phương trình mặt phẳng (p ) qua A, song song với BC tiếp xúc mặt cầu (5) (S) có tâm 1(1; 2; 3) bán kính R = Giả sử (P) co vtpt n = (A ;B ;Q , (A2 +B2 + c * 0) (P) // BC nên ĩỉ X BC = (-1; 1; 4) => iĨBC = o A = B + 4C => n = (B + 4C; B\ Q (P) qua A(13; -1 ; 0) phương trình (P): (B + C )x + B y + C z -Ì2 B - 52 c = , |B + C + + C - -5 C | (P) tiếp xúc (S) o / , ( P ) ] = ? o i y • • ■■:■■■ 1= yj(B+4C)2 +B2+ c