VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 TẠO TIỀN HẢI MÔN: TOÁN (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (4,5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử: M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 2) Cho a, b, c đôi khác khác Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = a b a b bc ca c 9 a b a b bc ca c 3) Cho A = p4 p số nguyên tố Tìm giá trị p để tổng ước dương A số phương Bài 2: (4,0 điểm) x4 x 8 1) Cho biểu thức P : 1 x 1 x 1 x x 1 (Với x 1) a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình: x 3x Chứng minh rằng: f (x) (x x 1) 2018 (x x 1) 2018 chia hết cho g(x) x x Bài 3: (3,5 điểm) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm (với m tham số) x m x 3 2 x3 xm 2) Giải phương trình: 2x(8x 1) (4x 1) Bài (7,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2AD Trên cạnh AD lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm P cho AM = CP Kẻ BH vuông góc với AC H Gọi Q trung điểm CH, đường thẳng kẻ qua P song song với MQ cắt AC N a) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b) Khi M trung điểm AD Chứng minh BQ vuông góc với NP c) Đường thẳng AP cắt DC điểm F Chứng minh 1 2 AB AP 4AF2 Bài (1,0 điểm): Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 TIỀN HẢI ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN Bài Nội dung Điểm M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 0,75 M = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24 M = (x2 + 7x + 11 - 1)(x2 + 7x + 11 + 1) - 24 0,5 M = (x2 + 7x + 11)2 - 25 M = (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16) 0,25 M = (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16) Các ước dương A 1, p, p2, p3, p4 0,5 Tổng ươc p p p p n (n N ) 0,5 p p p p 4n Ta có p p p 4n p p p p p (2 p p) (2n) (2 p p 2) (2n) (2 p p 1) Do đó: 4 2 p p p p p p p p 1 p p p1 = -1(loại); p2 = 0,25 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Đặt a b bc ca c a b (1) x; y; z ; ; c a b a b x bc y c a z 1 1 ( x y z) x y z 1 0,25 1 yz xz Ta có ( x y z ) y x y z x Ta lại có: 0,5 x y (2) z y z bc ca c b bc ac a c x b a b ab a b a c(a b)(c a b) c(c a b) c 2c (a b c ) 2c ab(a b) ab ab ab x z 2a x y 2b Tương tự ta có ; y bc z ac 1 1 2c 2a 2b 2 ( x y z) 3 ( a b3 c ) ab bc ac abc x y z 0,25 0,25 0,25 Vì a b c a b3 c 3abc 1 1 3abc Do ( x y z ) x y z abc a Với x ta có x x 1 x x4 x x 1 P : 2 ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) x2 x 1 0,5 x x2 x x2 x x x2 2x x2 P : : x x ( x 1)( x x 1) x x ( x 1)( x x 1) 0,5 ( x 3)( x 1) x x x ( x 1)( x x 1) x x 9 Vậy x P x3 x2 0,25 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí b x x suy x = 0,5 x = (loại) Thay x = vào P ta có P 23 2 13 Kết luận với x = P 13 0,25 0,25 Đa thức g ( x) x x x( x 1) có hai nghiệm x = x = 0,5 Ta có f (0) ( 1) 2018 12018 x = nghiệm f(x) 0,25 f(x) chứa thừa số x Ta có f (1) (12 1) 2018 (12 1) 2018 x = nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x- mà thừa số x x - nhân tử chung f(x) chia hết cho x(x - 1) Vậy f ( x) ( x x 1) 2018 ( x x 1) 2018 chia hết cho g ( x) x x ĐKXĐ: x -3; x -m ta có 0,25 0,25 0,5 xm x3 x m x 2( x 3)( x m) x3 xm x m 2( x x 3m mx) 2( m 3) x ( m 3) (1) Với m = (1) có dạng 0,25 0x = Nghiệm x thỏa mãn điều 0,5 kiện x -3; x -m, tập nghiệm phương trình x 3 (m 3) m3 Với m 3 phương trình (1) có nghiệm x 2(m 3) Để giá trị m3 3 x nghiệm phương trình ta phải có: m3 m tức m Vậy m 3 m3 nghiệm Kết luận: với m = -3 S x / x 3 Với m 3 0,5 0,25 0,25 m 3 S VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 0,25 Ta có x(8 x 1) (4 x 1) (64 x 16 x 1)(8 x x) (64 x 16 x 1)(64 x 16 x) 72 (*) Đặt 64x2 -16x = t ta có (*) t(t + 1) – 72 = t = - t = Với t = -9 ta có 64x2 -16x= -9 64x2 -16x + = (8x -1)2 +8 = (vô nghiệm (8x -1)2 + > 0) Với t = ta có 64x2 -16x= 64x2 -16x – = (8x -1)2 -9 = x= 1 x= Vậy nghiệm phương trình x = 1 x= 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 a Chưng minh DH // BK (1) Chứng minh AHD CKB suy DH = BK (2) 1,0 Từ (1) (2) tứ giác MNPQ hình bình hành 0,5 b Gọi 0,5 E trung điểm BK, chứng minh QE đường trung bình KBC nên QE // BC QE AB(vì BC AB) QE 1 BC AD 2 Chứng minh AM = QE AM//QE tứ giác AMQE hình bình hành Chứng minh AE//NP//MQ (3) Xét AQB có BK QE hai đường cao tam giác E trực tâm tam giác nên AE đường cao thứ ba tam giác AE BQ BQ NP 0,5 0,5 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c 0,5 Vẽ tia Ax vuông góc AF Gọi giao Ax với CD G Chứng minh (cùng phụ ) ADG ~ ABP (g.g) AP AB AG AP AG AD Ta có AGF vuông A có AD GF nên AG.AF = AD.GF (= 2S AGF ) AG AF2 AD GF (1) 0,25 0,5 0,5 Ta chia hai vế (1) cho AD AG AF2 Mà AG2 + AF2 = GF2( Định lý pitago) 1 1 2 AD AG AF 4 1 1 2 2 AB AP AF AB AP AF 1 AB 1 AP AF 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z (x, 0,25 y, z số nguyên dương) Ta có xy = 2(x + y + z) (1) x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy z2 = (x + y)2 - 2xy, thay (1) vào ta có: 0,25 z2 = (x + y)2 – 4(x + y + z) z z ( x y )2 4( x y ) z z ( x y )2 4( x y ) ( z 2) ( x y 2) 0,25 z x y z + 2= -x – y + (loại z >0) z x y ; thay vào (1) ta xy = 2(x + y + x + y - 4) xy x y 8 ( x 4)( y 4) 1.8 2.4 từ tìm giá trị x, y, z là: (x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z = 13); (x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10) 0,25