Các moment và phân phối chuẩn

BỘ Y TẾ ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CÁC MOMENT VÀ PHÂN PHỐI CHUẨN Chủ nhiệm đề tài: Ths BÙI ANH TÚ Thành Phố Hồ Chí Minh 3/2017 Abstract This subject represents definitions and analysis of Moments In addition, we discuss about Bessel’s correction and applications of kurtosis and skewness in Normality test Tóm Tắt Đề tài trình bày khái niệm làm rõ ý nghĩa moment, bàn phương pháp hiệu chỉnh phương sai Bessel ứng dụng độ nhọn độ đối xứng kiểm định phân phối chuẩn BỐ CỤC TRÌNH BÀY Phần 1.1: Giới thiệu khái niệm moment thống kê Phần 1.2: Moment trung tâm bậc - Phương sai phép hiệu chỉnh phương sai Bessel Phần 1.3: Moment trung tâm bậc - Hệ số bất đối xứng Skewness Phần 1.4: Moment trung tâm bậc - Hệ số nhọn Kurtosis Phần 1.5: Kiểm định phân phối chuẩn, phép kiểm kết hợp D’Agostino-Pearson Phần 1.6: Ví dụ thực hành 1.1 Moment thống kê Định nghĩa 1.1.1 Cho X biến ngẫu nhiên, k số tự nhiên, đại lượng E  X k  , k  1, 2,3, gọi moment bậc k X, đại lượng E  X  E  X  k , k  1, 2,3, gọi moment trung tâm bậc k X Thơng thường moment trung tâm X thường k ký hiệu k  E   X  E  X    , k  1, 2,3, Theo định nghĩa, moment bậc X giá trị kỳ vọng nó, moment trung tâm bậc X ln 0, moment trung tâm bậc X phương sai nó, biểu diễn qua moment X theo cơng thức:  E   X  E  X    E  X    E  X  2 Tương tự, moment trung tâm bậc cao X khai triển dạng đa thức moment X 1.2 Moment trung tâm bậc – Phương sai Giả sử số số liệu tồn dân số Np, phương sai dân số N N 1 2  x     i  , với    xi p p Np Np i 1 i 1 Trung bình mẫu phương sai mẫu (cỡ mẫu n): n x   xi , n i 1 n  S    xi  x  n i 1 n 2 xi  x  Phương sai hiệu chỉnh : S    n  i 1 Sự điều chỉnh từ thành n gọi phép hiệu n 1 chỉnh Bessel Lý    E S   E  S    1.3 Moment trung tâm bậc - Hệ số bất đối xứng skewness Định nghĩa 1.3.1 Cho X biến ngẫu nhiên Khi đó, 3   hệ số skewness X 2 Hệ số skewness đo lường mức độ đối xứng phân bố xác suất Hệ số skewness âm (negative skew) dương (positive skew) Tuy nhiên tất phân phối đối xứng có   Tính Tốn Để ước tính hệ số skewness tồn dân số, ta dùng hệ số skewness mẫu Cho x1 , x2 , , xn mẫu ngẫu nhiên từ dân số Khi k n mk    xi  x  , k  2,3, dùng để ước tính n i 1 m3 moment k , k  2,3,4 Hệ số skewness mẫu g1  m2 Tuy nhiên, dùng g1 để ước tính cho hệ số skewness tồn dân số ước lượng lệch Cramer (1957) sử dụng hệ số skewness mẫu sau ước lượng khơng lệch điều kiện chuẩn n  n  1 G1  g1 n2 (1) Ví dụ: Chiều cao nam sinh Chiều cao ( inches) 59,5 – 62,5 62,5 – 65,5 65,5 – 68,5 68,5 – 71,5 71,5 – 74,5 X 61 64 67 70 73 n 18 42 27 Ta có: g1  m3 m2  1,0815 n  n  1 g1  0,1098 Suy ra, hệ số skewness mẫu G1  n2 Hệ số skewness âm gần điều chứng tỏ liệu chiều cao sinh viên nam lệch xiên bên trái Để biết hệ số skewness mẫu q lớn, cần sai số chuẩn (SES) để tiến hành kiểm định thống kê 6n  n  1 SES   n   n  1 n  3 (2) Cơng thức Joanes Gill (1998) đưa điều kiện phân phối chuẩn 1.4 Moment trung tâm bậc – Hệ số nhọn Kurtosis Định nghĩa 1.4.1 Cho X biến ngẫu nhiên Khi đó, hệ 4 số Kurtosis X    2 Kurtosis phân bố chuẩn Khi phân bố xác suất có kurtosis dương (phân bố gọi phân bố leptokurtic hay nhọn vượt chuẩn) có nghĩa “nhọn” phân bố chuẩn có độ lệch chuẩn, kurtosis âm (phân bố gọi phân bố platykurtic) có nghĩa “bẹt” phân bố chuẩn có độ lệch chuẩn Nếu kurtosis phân bố gọi mesokurtic Tính tốn Cho x1 , x2 , , xn mẫu ngẫu nhiên từ dân số Hệ số kurtosis mẫu g2  m4  m2 Cramer (1957) sử dụng hệ số kurtosis mẫu sau ước lượng khơng lệch điều kiện chuẩn G2  n 1  n  1 g  6   n   n  3 (3) Ví dụ: Với liệu chiều cao nam sinh viên trên, ta có m4 g    0, 25824 m2 Do đó, hệ số kurtosis mẫu n 1 G2   n  1 g  6  0, 20915   n   n  3 Suy mẫu có độ nhọn chuẩn ít, nghĩa đỉnh thấp so với đỉnh phân bố chuẩn có độ lệch chuẩn Dưới điều kiện chuẩn, Joanes Gill (1998) đưa cơng thức cho sai số chuẩn (SEK) G2 sau: n2  SEK  2.SES  n  3 n   (4) , 1.5 Kiểm định phân phối chuẩn Phép kiểm D’Agostino Stephens (1986) đưa ra, có tên phép kiểm kết hợp D’Agostino-Pearson Phép kiểm định kết hợp hai hệ số skewness kurtosis để tìm giá trị p Với giả thiết liệu phù hợp với phân phối chuẩn, đó: DP  Z s  Z k ~    , (5) G2 G1 đó: Z s  Z k  SEK SES Phép kiểm khuyến cáo khơng dùng với cỡ mẫu 20 Ví dụ: Với mẫu chiều cao 100 nam sinh viên Ta có  Z s  0, 455   Z k  0, 437 Do đó: DP  Z s  Z k  0,398 Suy p  0,81955  0,05 Vì khơng đủ sở bác bỏ giả thiết khơng, nên ta chấp nhận mẫu chiều cao nam sinh viên phù hợp với phân phối chuẩn 1.6 Ví dụ thực hành Mẫu xét nghiệm đường huyết 100 người lớn khỏe mạnh có kết sau: Kết đường huyết (mg%) 100 người lớn khỏe mạnh 97 100 94 106 103 108 97 92 113 112 88 108 95 101 124 95 119 99 84 93 82 114 88 85 79 90 104 104 109 98 94 89 102 98 93 102 102 102 110 109 94 114 106 109 103 90 93 83 104 106 100 111 101 88 80 91 103 91 91 119 97 116 118 117 95 92 123 81 102 95 106 106 95 103 96 89 94 122 110 104 84 108 104 98 98 97 105 109 98 86 105 97 87 111 107 115 96 94 79 107 Biểu đồ Nhìn vào biểu đồ trên, ta thấy mẫu đường huyết 100 người lớn khỏe mạnh tn theo quy luật phân phối chuẩn Tiếp theo, ta sử dụng phép kiểm D’AgostinoPearson để kiểm định nhận định Với SPSS, ta n Valid Missing 100 Skewness 103 Std Error of Skewness 241 Kurtosis -.412 Std Error of Kurtosis 478 Sử dụng phép kiểm D’Agostino-Pearson, ta có  Z s  0, 427 2  DP  Z  Z  s k  0,925  Z k  0,862 p  0,63  0,05 Suy Vì khơng đủ sở bác bỏ giả thiết khơng, nên ta chấp nhận mẫu đường huyết máu phù hợp với phân phối chuẩn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cramer, H 1957 Mathematical methods of statistic Princeton University Press, Seventh Printing [2] Cramer, Duncan 1997 Basic Statistics for Social Research Routledge [3] D’Agostino, Ralph B., and Michael A Stephens 1986 Goodness-ofFit Techniques Dekker [4] Bulmer, M G 1979 Principles of Statistics Dover [5] Stan Brown 2016 Measures of Shape: Skewness and Kurtosis BrownMath.com [6] D N Joanes and C A Gill 1998 Comparing Measures of Sample Skewness and Kurtosis The Statistician, Vol 47, No [7] Spiegel, Murray R., and Larry J Stephens 1999 Theory and Problems of Statistics 3d ed McGraw-Hill [8] Stephen So, PhD, MIEEE 2008 Why is the sample variance a biased estimator Griffith University, Brisbane, QLD, Australia, 4111 [9] Karl G Jưreskog 1999 Formulas for Skewness and Kurtosis Papers published on internet XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÝ THÀY CÔ LẮNG NGHE BUỔI TRÌNH BÀY CỦA TÔI BỘ Y TẾ ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CÁC MOMENT VÀ PHÂN PHỐI CHUẨN Chủ nhiệm đề tài: Ths BÙI ANH TÚ Thành Phố Hồ Chí Minh 3/2017 ... Kurtosis phân bố chuẩn Khi phân bố xác suất có kurtosis dương (phân bố gọi phân bố leptokurtic hay nhọn vượt chuẩn) có nghĩa “nhọn” phân bố chuẩn có độ lệch chuẩn, kurtosis âm (phân bố gọi phân bố... CỦA TÔI BỘ Y TẾ ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CÁC MOMENT VÀ PHÂN PHỐI CHUẨN Chủ nhiệm đề tài: Ths BÙI ANH TÚ Thành Phố Hồ Chí Minh 3/2017 ...  n  3 Suy mẫu có độ nhọn chuẩn ít, nghĩa đỉnh thấp so với đỉnh phân bố chuẩn có độ lệch chuẩn Dưới điều kiện chuẩn, Joanes Gill (1998) đưa cơng thức cho sai số chuẩn (SEK) G2 sau: n2  SEK