Các moment và phân phối chuẩn

Tóm Tắt Đề tài này trình bày khái niệm và làm rõ ý nghĩa của các moment, bàn về phương pháp hiệu chỉnh phương sai Bessel và ứng dụng của độ nhọn và độ đối xứng trong kiểm định phân phối

BỘ Y TẾ

ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Thành Phố Hồ Chí Minh 3/2017

Chủ nhiệm đề tài: Ths BÙI ANH TÚ

CÁC MOMENT VÀ PHÂN PHỐI CHUẨN

Abstract

This subject represents definitions and analysis of Moments In addition, we discuss about Bessel’s correction and applications of kurtosis and skewness in Normality test

Tóm Tắt

Đề tài này trình bày khái niệm và làm rõ ý nghĩa của các moment, bàn về phương pháp hiệu chỉnh phương sai Bessel và ứng dụng của độ nhọn và độ đối xứng trong kiểm định phân phối chuẩn

BỐ CỤC TRÌNH BÀY

Phần 1.1: Giới thiệu các khái niệm về moment thống kê

Phần 1.2: Moment trung tâm bậc 2 - Phương sai và phép hiệu chỉnh

phương sai Bessel

Phần 1.3: Moment trung tâm bậc 3 - Hệ số bất đối xứng Skewness Phần 1.4: Moment trung tâm bậc 4 - Hệ số nhọn Kurtosis

Phần 1.5: Kiểm định phân phối chuẩn, phép kiểm kết hợp

D’Agostino-Pearson

Phần 1.6: Ví dụ thực hành

1.1 Moment thống kê

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một biến ngẫu nhiên, k là một số tự

nhiên, thì đại lượng được gọi là moment bậc

k của X, và đại lượng được gọi là các moment trung tâm bậc k của X

 k , 1, 2,3, 4

E X k 

 

 k , 1, 2,3, 4

Thông thường các moment trung tâm của X thường được

ký hiệu là k  E X  E X k , k  1, 2,3, 4.

Theo định nghĩa, moment bậc 1 của X chính là giá trị kỳ vọng của nó, moment trung tâm bậc 1 của X thì luôn bằng 0, moment trung tâm bậc 2 của X chính là phương sai của nó, và

có thể được biểu diễn qua các moment của X theo công thức:

 

 2  2   2

.

Tương tự, các moment trung tâm bậc cao hơn của X cũng

có thể khai triển dưới dạng đa thức của các moment của X

1.2 Moment trung tâm bậc 2 – Phương sai

Giả sử số số liệu trong toàn bộ dân số là Np, khi đó phương sai của dân số là

 2

2

1

1

,

p

N

i i

p

x N



1

1

.

p

N

i i

p

x N





Trung bình mẫu và phương sai mẫu (cỡ mẫu n):

1

1

,

n i i

n 

1

1

.

n

i i

n 

Phương sai hiệu chỉnh : 2  2

1

1

1

n

i i

Sự điều chỉnh từ thành được gọi là phép hiệu chỉnh Bessel Lý do ở đây là vì

1

n

1 1

n 



 2

2

.

1.3 Moment trung tâm bậc 3 - Hệ số bất đối xứng skewness

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là một biến ngẫu nhiên Khi đó,

hệ số skewness của X là 1 33

2 2

.









Hệ số skewness đo lường mức độ đối xứng của một phân bố xác suất Hệ số skewness có thể âm (negative skew) hoặc dương (positive skew) hoặc bằng 0 Tuy nhiên tất cả các phân phối đối xứng đều có 1  0

Tính Toán

Để ước tính hệ số skewness của toàn bộ dân số, ta dùng hệ

số skewness của mẫu

Cho là một mẫu ngẫu nhiên từ dân số Khi đó

được dùng để ước tính các moment Hệ số skewness mẫu là

1 , 2 , , n

1

1

, 2,3, 4

n

k

i

n 

, 2,3, 4.

k k

2 2

.

m g

m



Tuy nhiên, nếu dùng g1 để ước tính cho hệ số skewness của toàn bộ dân số thì đây là một ước lượng lệch Cramer (1957) sử dụng hệ số skewness mẫu như sau và nó là một ước lượng không lệch dưới điều kiện chuẩn

 

1

2

n n

n





Chiều cao ( inches) X n

Ví dụ: Chiều cao của nam sinh

Ta có: 3

2 2

1,0815.

m g

m

  

Suy ra, hệ số skewness mẫu là  

1

0,1098.

2

n n

n





Hệ số skewness âm và gần 0 điều này chứng tỏ dữ liệu về chiều cao của sinh viên nam hơi lệch xiên về bên trái

Để biết khi nào hệ số skewness của mẫu là quá lớn, chúng ta cần sai số chuẩn (SES) của nó để tiến hành kiểm định thống kê

Công thức trên được Joanes và Gill (1998) đưa ra dưới điều kiện phân phối chuẩn

 

n n





1.4 Moment trung tâm bậc 4 – Hệ số nhọn Kurtosis

4

2

3.







Định nghĩa 1.4.1 Cho X là một biến ngẫu nhiên Khi đó, hệ

số Kurtosis của X là

Kurtosis của một phân bố chuẩn bằng 0 Khi một phân bố xác suất có kurtosis dương (phân bố như vậy gọi là phân bố

leptokurtic hay nhọn vượt chuẩn) thì có nghĩa là nó “nhọn”

hơn phân bố chuẩn có cùng độ lệch chuẩn, còn khi kurtosis âm

(phân bố như vậy gọi là phân bố platykurtic) thì có nghĩa là nó

“bẹt” hơn phân bố chuẩn có cùng độ lệch chuẩn Nếu kurtosis

bằng 0 thì phân bố được gọi là mesokurtic

Cramer (1957) sử dụng hệ số kurtosis mẫu như sau và nó

là một ước lượng không lệch dưới điều kiện chuẩn

Cho là một mẫu ngẫu nhiên từ dân số Hệ số kurtosis của mẫu là

1 , 2 , , n

4

2

3.

m g

m

Tính toán

1

n



2

3 0, 25824.

m g

m

1

1 6 0, 20915.

n



Ví dụ: Với dữ liệu về chiều cao của nam sinh viên ở trên, ta có

Do đó, hệ số kurtosis mẫu là

Suy ra mẫu có độ nhọn dưới chuẩn một ít, nghĩa là đỉnh của

nó thấp hơn một ít so với đỉnh của phân bố chuẩn có cùng độ lệch chuẩn

Dưới điều kiện chuẩn, Joanes và Gill (1998) đưa ra công

thức cho sai số chuẩn (SEK) của G2 như sau:

2 1

n





1.5 Kiểm định phân phối chuẩn

Phép kiểm được D’Agostino và Stephens (1986) đưa ra, có

tên là phép kiểm kết hợp D’Agostino-Pearson Phép kiểm

định này kết hợp cả hai hệ số skewness và kurtosis để tìm ra

giá trị p Với giả thiết là dữ liệu phù hợp với phân phối chuẩn,

khi đó:

,

 

~ 2 ,

s k

trong đó: và 1

SES

s

G

SEK

k

G

Z 

Phép kiểm được khuyến cáo không dùng với cỡ mẫu dưới 20

Ví dụ: Với mẫu chiều cao 100 nam sinh viên ở trên Ta có

0, 455

0, 437

s

k

Z Z

 





 



Do đó: DP  Z s2  Z k2  0,398.

Suy ra p  0,81955  0,05.

Vì không đủ cơ sở bác bỏ giả thiết không, nên ta chấp nhận rằng mẫu chiều cao nam sinh viên ở trên phù hợp với phân phối chuẩn

1.6 Ví dụ thực hành

Kết quả đường huyết (mg%) của 100 người lớn khỏe mạnh

97 100 94 106 103 108 97 92 113 112

88 108 95 101 124 95 119 99 84 93

82 114 88 85 79 90 104 104 109 98

94 89 102 98 93 102 102 102 110 109

94 114 106 109 103 90 93 83 104 106

100 111 101 88 80 91 103 91 91 119

97 116 118 117 95 92 123 81 102 95

106 106 95 103 96 89 94 122 110 104

84 108 104 98 98 97 105 109 98 86

105 97 87 111 107 115 96 94 79 107 Mẫu xét nghiệm đường huyết 100 người lớn khỏe mạnh có kết quả như sau:

Biểu đồ

Nhìn vào biểu đồ trên, ta thấy mẫu đường huyết của 100 người lớn khỏe mạnh có vẻ như tuân theo quy luật của phân

phối chuẩn Tiếp theo, ta sẽ sử dụng phép kiểm D’Agostino-Pearson để kiểm định nhận định trên

Với SPSS, ta được n Valid 100

Missing 0

Std Error of Skewness 241

Std Error of Kurtosis 478

Sử dụng phép kiểm D’Agostino-Pearson, ta có

0, 427

0,925.

0,862

s

s k k

Z

DP Z Z Z







 

 Suy ra p  0,63  0, 05.

Vì không đủ cơ sở bác bỏ giả thiết không, nên ta chấp nhận rằng mẫu đường huyết máu ở trên phù hợp với phân phối chuẩn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Cramer, H 1957 Mathematical methods of statistic Princeton

University Press, Seventh Printing

[2] Cramer, Duncan 1997 Basic Statistics for Social Research

Routledge

[3] D’Agostino, Ralph B., and Michael A Stephens 1986

Goodness-of-Fit Techniques Dekker

[4] Bulmer, M G 1979 Principles of Statistics Dover

[5] Stan Brown 2016 Measures of Shape: Skewness and Kurtosis

BrownMath.com

[6] D N Joanes and C A Gill 1998 Comparing Measures of Sample

Skewness and Kurtosis The Statistician, Vol 47, No 1

[7] Spiegel, Murray R., and Larry J Stephens 1999 Theory and

Problems of Statistics 3d ed McGraw-Hill

[8] Stephen So, PhD, MIEEE 2008 Why is the sample variance a

biased estimator Griffith University, Brisbane, QLD, Australia, 4111

[9] Karl G Jöreskog 1999 Formulas for Skewness and Kurtosis

Papers published on internet

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN QUÝ THÀY CÔ LẮNG NGHE BUỔI TRÌNH BÀY CỦA TÔI

BỘ Y TẾ

ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Thành Phố Hồ Chí Minh 3/2017

Chủ nhiệm đề tài: Ths BÙI ANH TÚ

CÁC MOMENT VÀ PHÂN PHỐI CHUẨN