phương pháp giải các dạng bài toán 11 học kỳ 2 nguyễn tiến đạt

SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) MỤC LỤC MỤC LỤC Phần 1: ĐẠI SỐ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY  un  CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN DẠNG 1: u n phân thức hữu tỉ dạng u n  P n Qn ( P  n  ,Q  n  hai đa thức n) DẠNG 2: u n phân thức hữu tỉ dạng u n  P n Qn ( P  n  ,Q  n  biểu thức chứa n) DẠNG 3: u n phân thức hữu tỉ dạng u n  P n Qn ( P  n  ,Q  n  biểu thức chứa hàm mũ a n , bn ,c n ,… Chia tử mẫu cho a n với a số lớn ) DẠNG : Nhân lượng liên hợp: GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 11 CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH DẠNG 1: Hàm số f  x   P x Q x 0 (Dạng thường gặp x  x0 ) 13 P  x  ,Q  x  đa thức theo biến x 13 DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP 16 GIỚI HẠN KHI x TIẾN TỚI VÔ CỰC 18 GIỚI HẠN MỘT BÊN 19 HÀM SỐ LIÊN TỤC 19 ĐẾM SỐ NGHIỆM 23 SỬ DỤNG MÁY TÍNH: TÍNH GIỚI HẠN 25 PHẦN 2: HÌNH HỌC 92 THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 92 DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 96 DẠNG 3: GÓC GIỮA MẶT PHẲNG 100 THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Phần 1: ĐẠI SỐ CHUYỀN ĐỀ 1: GIỚI HẠN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY  un  CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN DẠNG 1: un phân thức hữu tỉ dạng P  n  ,Q  n  un  P n Qn ( hai đa thức n) Phương pháp: Chia tử mẫu cho n k với n k lũy thừa có số mũ lớn P  n  Q  n  ( rút n k lũy thừa có số mũ lớn P  n  Q  n  làm nhân tử) sau áp dụng định lý giới hạn Ví dụ: Tìm giới hạn dãy  u n  biết: 2n  3n  a) u n  b) u n  5n  2n  3n  n  4n  n c) u n  2n  3n  n  2n  11  3n   2n  1 LỜI GIẢI a) Ta thấy n lũy thừa cao tử mẫu, nên chia tử mẫu u n cho n được: un  2n  3n  5n  2n  3n  n 5n    n2 lim u n   3 n n2 Ta có lim  0, lim  lim  nên n n n 5 n 2 200  50 b) Dễ dàng thấy n lũy thừa cao tử mẫu, nên chia tử mẫu u n cho n được: un  2n  3n  n  4n  n 2n  3n   n  n  4n  n n4    4 n n2 n4 Ta có lim  0, lim  0, lim  , lim  n n n n 1  n n THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU lim n ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT)  Do lim u n  000 0 1   2n  3n  n  4 c) Có 2n  3n  n  n    n 2     n n n      2n    1  , 2n   n    n2   , n  n        3n  1   2 2n  2  3n  n   n  2n   n    n    Từ      n n n        n      n4     n4     2  n n n n n     n   Vì un      2  1    1  1 1  4 n                  n   n  3 n 2   n n n  n n  n n   n  n        lim 1 200  , lim  , lim  lim  Nên lim u n   n n (2  0)(0  3)(2  0) n n DẠNG 2: un phân thức hữu tỉ dạng un  P n Qn ( P  n  ,Q  n  biểu thức chứa n) Ví dụ: Tìm giới hạn dãy  u n  biết: a) u n  4n  n   n 2n   n  b) u n  9n  3n 4n  LỜI GIẢI a) u n  lim n 9n  3n  0, lim b) u n  lim 4n  n   n   4n  n   n2    n  n2    9n  3n  n2    n2    Nên lim u n  n 2n   n  4n   n 4  1  n n n2 n 9 0  1 90  2n   n3 n   n  n    n   4n   n   n    n 4  1  1 n n2 9 n Vì có lim  0, n 3  n 1 n n  n  n n  2  1 n n Vì có 4 n  0, lim  lim  n n n THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU Từ có lim u n  ĐỀ CƯƠNG TỐN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT)   1 40 DẠNG 3: 1  phân thức hữu tỉ dạng un un  P n Q n ( P  n  ,Q  n  biểu thức chứa hàm mũ a n , bn ,cn ,… Chia tử mẫu cho a n với a số lớn ) Ví dụ: Tìm giới hạn dãy  u n  biết: a) u n  n  4n b) u n  n  3n a).Ta có u n  2n  4n n 3 n 2n  4n n 4n  4n n n 3  c) u n  5.4 n  6.5 n 2n 4n lim u n  3.2 n  n 4n   4n 4n 3n 4n n   n 1 5n 1  2.6 n  n 2 n n   1 2 3    n Ta có lim    lim    Nên 4 4 3 1   4 01  1 b) Ta có u n  3.2 n  5n 3.2 n  5n n 5.4  6.5  n n 5n  5n n n 5.4  6.5 5.4 5n Do lim u n  c) Ta có u n  3.2 n 5n   5n 5n 6.5 n 5n n 2 3   n n 2 4   n Ta có lim    lim    5 5 4 5   5 3.0  1  5.0  6 n   n 1 5n 1  2.6 n   n.4  6n n 51  2.6n n  n  n 6n 6n  5n 51  2.6 n n.51 6n 6n   n 6n 2.6 n 6n n  4 42    6 n n 5    2.6   1  Do lim u n  n 4 5 Ta có lim    lim    6 6 2.0  1  2.6  72 THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) DẠNG : Nhân lượng liên hợp: PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng công thức nhân lượng liên hợp sau:  a  b   a  b2   a  b  a  b     a  b    ab    a  b3 a  ab  b2 a b  ab a b  3   3 a  b  a a  b  a 2 3 2  b    b  b a a3  b  a b   b 2 3  a b   b 3 3 2 3 3 3 3 2 ab   a   a b   b     a   a b   b   a  a3b   a3  b   a   a b   b     a   a b   b   a 2 3 3  a b   b    b  b a  a b   a3b    3 a  a  3 a  a a3b  3 a3b  a  ab  b2   a   a.b  b  ab   a   a.b  b  a   a.b  b  a b    a3 b  3  a3 b  a  b3   a   a.b  b  ab   a   a b  b  a   a.b  b  a b    a  b2 ab a  b2 ab 3  a b   b ab  a b   b Ví dụ 1: Tìm giới hạn dãy  u n  biết: THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) a) u n  n  3n   n c) u n  n  3n  n b) u n  9n  3n   3n  d) u n  8n  4n   2n  LỜI GIẢI  n  3n   n   n  3n   n       a) Ta có u n  n  3n   n   n  3n   n 3n   3n    5 3n   n    n    n n     n  3n   n Và có  n  3n   n  3n   n    n 1    n n n    5 n3  3 n 5  n Do u n   , lim  0, lim  lim  Nên lim u n  n n n 5 n 1   n 1  1 n n n n NHẬN XÉT : Tại phải nhân lượng liên hợp ? Quay lại ví dụ a) thơng thường ta đặt n k làm nhân tử chung lại phải nhân lượng liên hợp Bây ta thử làm lại câu a) theo phương pháp đặt n k thức thử xem ,và sau rút nhận xét    n  3n   5 Ta có u n  n  3n   n  n    n  n    n  n      Vì     n n n n n     lim   5  lim  nên lim       lim n   lim u n  .0 (đây dạng vô   n n n n   định) Nên cách làm không không rồi, ta phải sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để khử vô định sau cách làm hồn tồn dạng Dấu hiệu nhận biết nhân lượng liên hợp : Để nhận biết tập có nhân lượng liên hợp hay khơng bạn ý tới n có mũ cao sau đưa ngồi dấu thức, chúng trừ ta phải nhân lượng liên hợp Cụ thể ta làm lại câu a) u n  n  3n   n biểu thức thức có n cao ta quan tâm đến « », thừa số sau bỏ hết có nghĩa xem u n  n  n  n  n  (nên bạn phải nhân lượng liên hợp) Chúng ta xem thử có nhân lượng liên hợp hay không u n  2n  3n   n quan tâm đến số hạng có chứa mũ có 2n , có nghĩa u n viết lại u n  2n  n  n  n  n    ta có   nên làm trực tiếp không cần nhân lượng liên hợp Cụ thể ta làm sau THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT)    2n  3n   5 u n  2n  3n   n  n    n  n    n  n          n n n n n     lim   5  lim  nên lim        lim n   lim u n     n n n n        (cụ thể bạn xem phương pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vơ cực)  9n  3n   3n   9n  3n   3n       2 b) u n  9n  3n   3n     9n  3n   3n 3n   3n    2 có 3n   n    n    n n      2 n3   n   un  2  n    3n n n 30 lim u n  900 3  c) u n  n  3n  n    Ta  9n  3n   9n  3n   n    n   Từ suy   n n n   2 n  , lim  0, lim  lim  Nên n n n 9  3 n n 2  n  3n  n   n  3n   n n  3n  n             n  3n   n n  3n  n      n  3n   n.3 n  3n  n     3n  n2    n  9n  3n   3n 3 3n un  2    n   n  n  Ta có   n  3n n  3n  n   n3    1  n     1 1  n     n.3  Do  n  , ta có lim  Nên lim u n  n d) u n  8n  4n   2n    8n  4n   2n   8n  4n    2n 8n  4n   4n             8n  4n    2n 8n  4n   4n     THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 3 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU  ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) 4n  2  8n  4n    2n 8n  4n   4n     Ta có un  lim 3  8n  4n   8n  4n   n    n   Do   n n n     n2    n    n2     n n     2n    4n  n n  4   3 8   n n  2 n2        n n  Vì lim n2  0,  lim  Nên lim u n  n n THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 10 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Cách (Đổi đỉnh): Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách: Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nhiều trường hợp qui tốn thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách dựa vào công thức:  h 3V : V, S, h thể tích, diện tích đáy chiều cao hình chóp S  h V : V, S, h thể tích, diện tích đáy chiều cao hình lăng trụ S Phương pháp áp dụng trường hợp sau: Giả sử qui tốn tìm khoảng cách tốn tìm chiều cao hình chóp (hoặc lăng trụ) Dĩ nhiên, chiều cao thường khơng tính trực tiếp cách sử dụng phương pháp thơng thường định lí Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, khối đa diện lại dễ dàng tính thể tích diện tích đáy Như vậy, chiều cao xác định cơng thức đơn giản Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD  2a ; SA vng góc với đáy SA  a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  A 3a B 2a Trong  SAD  , kẻ AH  SD ,  H  SD  C 2a D 3a Lời giải: CD  AD AH SAD   CD   SAD   CD  AH Vì  CD  SA  AH  SD  AH   SCD  Vì   AH  CD SA.AD a.2a  d A ,  SCD   AH   SA2  AD2 a  4a 2a  d A ,  SCD    Chọn đáp án C Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 2a chiều cao a Khoảng cách từ tâm O đáy ABC đến mặt bên     A a B 2a C a 10 D a Lời giải: THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 108 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Vì O tâm đáy hình chóp tam giác S.ABC nên SO   ABC   SO  a Gọi M trung điểm BC  AM  BC  Vì ABC cạnh a   2a AM   a   Khi OM  a AM  3  BC  AM  BC   SAM    SBC    SAM  Vì   BC  SO Trong  SAM  , kẻ OH  SM ,  H  SM   SAM    SBC   Vì  SAM    SBC   SM  OH   SBC   d O ,  SBC   OH   SAM   OH  SM Xét SOM vng O có đường cao OH , ta có:    d O , SBC   OH  OS.OM OS  OM   a a  a 3 a 3      a  Chọn đáp án C 10 Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Khoảng cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên A a B a C 2a D a Lời giải: THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 109 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Vì O tâm đáy hình chóp tứ giác S.ABCD nên SO   ABCD   SO  a OM  CD  Gọi M trung điểm CD   BC a OM   Trong  SOM  , kẻ OH  SM ,  H  SM     OH   SCD   d O , SCD   OH    Vậy d O , SCD   a a  a a   2  OS.OM OS2  OM a  Chọn đáp án B Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD  2a, AB  a SAD tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SHB  B a A a C a D a Lời giải: Gọi H trung điểm AD  SH  AD  SAD    ABCD   Vì  SAD    ABCD   AD  SH   ABCD    SAD   SH  AD Dễ thấy ABH vuông cân A và CDH vuông cân D   CHD   45  BHC   90  CH  HB  AHB CH  HB   SH   ABCD    CH   SHB  Vì    CH  SH     CH  ABCD         2 Suy d C ,  SHB   CH  CD  DH  a  Chọn đáp án A THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 110 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT)   30 , Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , ABC tam giác SBC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  A a 39 26 B a 39 13 C a 13 13 D a 13 26 Lời giải: Gọi H trung điểm  SBC    ABC   Vì  SBC    ABC   BC  SH   ABC    SBC   SH  BC    CB  d  H ,  SAB   HB  d  C ,  SAB    d  H ,  SAB   d C ,  SAB  Vì CH   SAB   B  E Gọi trung AB  HE // AC  HE  AB Trong  SHE  , kẻ HK  SE ,  K  SE  điểm  1 HK   SHE   AB  HE  AB   SHE    AB  HK Vì   AB  SH  2 Từ  1    HK   SAB   d  H ,  SAB    HK  a SH   Ta có:   a AC BC.sin ABC    HE   Xét SHE vuông H có đường cao HK , ta có: HK      Vậy d C ,  SAB   2d H ,  SAB   HK  THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SH HE SH  HE  a 39 26 a 39  Chọn đáp án B 13 111 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , AD  2a ; cạnh bên SA  a vng góc với đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  A 2a B 2a 2a C D a Lời giải: Trong  ABCD  , kẻ AE  BD ,  E  BD  Trong  ABCD  , kẻ AH  SE ,  H  SE   1  BD  SA  BD   SAE   BD  AH Vì  BD  AE   2   Từ  1    AH   SBD   d A ,  SBD   AH Xét ABD vng A có đường cao AE , ta có: AB.AD a.2a 2a AE    AB2  AD2 a2  4a Xét SAE vng A có đường cao AH , ta có: 2a a SA AE 2a AH    SA  AE  2a  a2     5 2a Vậy d A ,  SBD   AH   Chọn đáp án B   Ví dụ [Trích Đề Minh Họa – 2017]: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAD cân S mặt bên  SAD  vng góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD phẳng  SCD  A h  a B h  a THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN a Tính khoảng cách h từ B đến mặt C h  a Lời giải: D h  a 112 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Gọi I trung điểm AD, SAD cân S nên SI  AD  SI   ABCD   VS ABCD  SI SABCD 3VS ABCD 3 a  SI    2a SABCD a   Trong  SAD  , dựng IH  SD ,  H  SD  CD  AD  CD   SAD   CD  IH Vì  CD  SI   IH  SD  IH   SCD   d I ,  SCD   IH Vì   IH  CD AI   SCD    D AD AB //  SCD   d  B ,  SCD    d  A ,  SCD    d  I ,  SCD    IH HD Xét SID vng I có đường cao IH , ta có:  IH   a 2a ID.IS ID.IS 2a    2 2 ID  IS ID  IS a  4a2 4a  Chọn đáp án B Bình luận: Thơng thường tính khoảng cách từ điểm đến mặt ta có hướng chính: Đổi điểm, đổi đỉnh đổi sang hình học tọa độ khơng gian (phương pháp tọa độ hóa) Nếu theo hướng giải đổi điểm đổi gián tiếp từ B sang A sang H (như lời giải trên) nhiều thời gian không đáp ứng yêu cầu tốc độ thi theo hình thức trắc nghiệm Đồng thời nhận đề cho thể tích V khối chóp S.ABCD cho trước bạn nên dùng phương pháp đổi đỉnh phù hợp Cụ thể: VS ABCD a 3VS BCD 4a2 4a d B, SCD       1 SSCD a 2 SD.CD a SI  ID 2  2a    2         Vậy d B ,  SCD   IH  THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 113 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Ví dụ 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA  a , AB  a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách từ A tới mặt phẳng  A BC  A a 21 2a B C a 21 D a 21 21 Lời giải:  AI  BC  Gọi I trung điểm BC   AB a   AI   2 Trong  AAI  , kẻ AH  A I ,  H  A I   BC  AI  BC   AAI    ABC    AAI  Vì   BC  AA   ABC    AAI   Vì  ABC    AAI   AI  AH   ABC    AAI   AH  AI    d A ,  ABC   AH  AA.AI AA  AI 2  a a a 3 a2        a 21  Chọn đáp án C   60 Ví dụ 9: Hình hộp đứng ABCD.ABC D có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD đồng thời AA  a Gọi G trọng tâm tam giác BCD Khoảng cách từ G tới mặt phẳng  A BD  A a 21 B 2a C a 21 D a 21 21 Lời giải: THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 114 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT)    GO  d  A ,  ABD   AO  d  G ,  ABD    d  A ,  ABD   Vì AG   ABD   O  d G ,  ABD   BD  AC  BD   AAO    ABD    AAO  Vì   BD  AA  Trong  AA O  , kẻ AH  AO ,  H  A O   ABD    AAO   Vì  ABD    AAO   AO  AH   ABD    AAO   AH  AO  AA.AO   d A,  ABD   AH  AA2  AO   60   ABD có cạnh a  AO  a Tam giác ABD cân có BAD   Vậy d G ,  ABD    d A,  ABD   AA.AO AA2  AO a  a a 3 a      2  a 21 21  Chọn đáp án D 3a ; trùng với trung điểm H cạnh AB Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SD  hình chiếu vng góc S  ABCD  Khi đó, tỉ số A  d H ,  SDC  a  B C D 3 Lời giải: THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 115 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Theo đề bài, ta có: SH   ABCD   HI  a Gọi I trung điểm CD    HI  CD CD  HI  CD   SHI    SCD    SHI  Vì  CD  SH  Trong  SHI  , kẻ HK  SI ,  K  SI   SCD    SHI   Vì  SCD    SHI   SI  HK   SCD    SHI   HK  SI   Suy ra: d H ,  SCD   HK  SH.HI SH  HI a 5a2 Ta có: HD  AH  AD     a  2 2 2  3a  5a  SH  SD  HD      a     Do đó: d H , SCD   HK  Vậy  d H ,  SDC  a  SH HI SH  HI  a.a a2  a2  a a 2   Chọn đáp án A a THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 116 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp a) Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Đường thẳng  cắt hai đường thẳng a, b vng góc với đường gọi đường vng góc chung a b Đoạn thẳng MN gọi đoạn vng góc chung a b b) Một số hướng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo TH1: Khi a, b chéo a  b P chứa b + Bước 1: Dựng mặt phẳng + vng góc với a M Bước 2: Trong  P  dựng MN  b N + Bước 3: Đoạn MN đoạn vng góc chung   a b  d a , b  MN TH2: Khi a, b chéo a  b Mục tiêu: Chuyển khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ đường đến mặt phẳng  Bước 1: Dựng mặt phẳng  P  chứa b song song với a  a//  P  Bước 2: d  a , b   d a ,  P  b  P  Ma  d M ,  P     THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 117 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT)  Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách mặt phẳng song song  Bước 1: Dựng hai mặt phẳng  P  ,  Q  cho a   P  //  Q   b  Bước 2: Khi    d  a , b   d  P  , Q   d M , Q   Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Khoảng cách hai đường thẳng SB CD A a Vì CD //  SAB  B a  C a Lời giải   D 2a   d  CD ,SB   d CD ,  SAB   d D ,  SAB  Vì  DA  AB  DA   SAB   d D ,  SAB   DA  a  DA  SA    Vậy d  CD ,SB   d  D ,  SAB    a  Chọn đáp án A Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD A a B a C a D a Lời giải THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 118 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Gọi M , N trung điểm AB CD Vì BCD ACD tam giác cạnh  AN  CD a a nên AN  BN   *   BN  CD MN   ABN   *   CD   ABN   CD  MN  1 Mặt khác, AN  BN  ABN cân N  MN  AB   Từ  1    MN đoạn vng góc chung AB CD Do đó: d  AB , CD   MN  AN  AM 2  a   a 2 a            Vậy d  AB , CD   a  Chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu S  ABC  trùng với trung điểm BC Biết SA hợp với đáy góc 300 Khi đó, khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a B a C a D 2a Lời giải THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 119 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Gọi H trung điểm BC  SH   ABC   SH  BC  1  AH  BC    Vì ABC   a  AH   Từ  1    BC   SAH  Trong  SAH  , kẻ HK  SA ,  K  SA   3  BC   SAH   BC  HK   Vì  HK  SAH    Từ      HK đoạn vng góc chung SA BC  d  SA , BC   HK Vì SH   ABC   HA hình chiếu SA  ABC     300  SA,  ABC    SA, HA   SAH    Xét AHK vng K , ta có: sin HAK  Vậy d  SA , BC   HK  HK   a  HK  AH sin HAK AH a  Chọn đáp án B Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD  AB  2a , cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  SB tạo với mặt phẳng đáy  ABCD  góc 600 Khoảng cách hai đường thẳng AB SC A a 21 B a 21 C a 21 14 D a 21 21 Lời giải Vì AB //  SCD   d  AB , SC   d  AB ,  SCD     d A ,  SCD   Trong  SAD  , kẻ AH  SD ,  H  SD  CD  AD  CD   SAD   CD  AH Vì  CD  SA  AH  SD  AH   SCD   d A ,  SCD   AH Vì   AH  CD  THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN  120 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT)    Ta có: SB,  ABCD    SB, AB   SBA  60   SA   a.tan 60  a  SA  AB.tan SBA AB a.a a 21   Chọn đáp án B 2 a  3a  Xét SAB vng A , ta có: tan SBA Vậy d  AB , SC   AH  SA AD SA  AD  Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác vuông A với 3d  AA, BC   BC  a , AB  a Khi đó, tỉ số A B a Vì AA  //  BBC C   C D Lời giải     d  AA ,BC    d AA  ,  BBC C   d A ,  BBC C  Trong  ABC  , kẻ AH  BC ,  H  BC   AH  BC  AH   BBC C  Vì   AH  BB AB.AC  d A,  BBCC   AH  AB2  AC   Ta có: AC  BC  AB  a  a  a  AB AC   d A ,  BBC C   Vậy 3d  AA, BC  a AB  AC    a.a a  3a 3d A ,  BBCC  a THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN   a a   Chọn đáp án B a 121 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.ABC D có cạnh a Gọi M , N a d  MN , AC  trung điểm AB CD Khi đó, tỉ số V A ABC D A B C D Lời giải 1 Ta có: V A ABC D  AA.SABC D  a.a  a 3 Vì MN //  ABC   d  MN , AC   d MN ,  ABC     d  M ,  ABC   d  M ,  ABC   MB   Vì AM   ABC   B  d  A,  ABC   AB    d M ,  ABC   d A ,  ABC     BC   AABB   BC  AH Trong  AABB  , kẻ AH  AB ,  H  AB  Vì    AH  AA B B     AH  AB  AH   ABC   d A ,  ABC   AH  AB2  BH Vì  AH  BC    a 2 AB a a   AH  a2     Ta có: BH    2     Khi đó: d  MN , AC   d M ,  ABC   Vậy a d  MN , AC  V A ABC D  1 a d A ,  ABC   AH  2   a   Chọn đáp án C a a2 THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 122 ...  2. 2    x   2? ??x  x   x  y  lim  lim   x   x 0 x x  x 0 x Ta có f ''    lim Cách 2: lim x? ?2 f  x  f ? ?2? ?? x? ?2 2x  x   11 2x  x  10  lim x ? ?2 x? ?2 x? ?2 x? ?2. .. 25 PHẦN 2: HÌNH HỌC 92 THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI LIỆU MẬT) DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 92 DẠNG 2: GÓC... Áp dụng ? ?2  x  2? ??x 2 2x /  x 2? ??x cos  x  u  , với u  sin x  2x / THẦY GIÁO: ĐẠT NGUYỄN TIẾN 38 SỐ NGÕ 17 TẠ QUANG BỬU  sin x  2x  y''  / sin x  2x  ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 GIỮA KỲ (TÀI