Cực đại và cực tiểu

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x 0  (a;b). a) V(  ) = (x 0 -  ; x 0 +  ), trong đó  > 0 được gọi là một lân cận của điểm x 0 . b) Điểm x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận V()  (a;b) của điểm x 0 , ta có f(x) < f(x 0 ) (x≠ x 0 ). Kí hiệu f CĐ = f(x 0 ). Điểm M(x 0 ;f(x 0 )) gọi là điểm cực đại của đồ thò hàm số. c) Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu với mọi x thuộc một lân cận V()  (a;b) của điểm x 0 , ta có f(x) > f(x 0 ) (x≠ x 0 ). Kí hiệu f CT = f(x 0 ). Điểm M(x 0 ;f(x 0 )) gọi là điểm cực tiểu của đồ thò hàm số. 1. Đònh nghóa O x y M 1 M 2 x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) a b Hình vẽ dưới mô tả đồ thò của hàm số với điểm cực đại M 1 và điểm cực tiểu M 2 . Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trò.Giá trò của hàm số tại điểm cực trò gọi là cực trò của hàm sốm' target='_blank' alt='điều kiện để hàm số đạt cực đại' title='điều kiện để hàm số đạt cực đại'>hàm số tại điểm cực trò gọi là cực trò của hàm sốarget='_blank' alt='điều kiện để hàm số có cực trị' title='điều kiện để hàm số có cực trị'>hàm số tại điểm cực trò gọi là cực trò của hàm số đã cho. 2. Điều kiện để hàm số cực trò Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm x 0  (a;b). Đònh lí Fecma Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại điểm Đó thì f’(x 0 ) = 0. Ý nghóa hình học của đònh lí Fecma Nếu f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trò tại đó thì tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M(x 0 ; f(x 0 )) song song với trục hoành. Hệ quả. Mọi điểm cực trò của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn của hàm số đó. 3. Điều kiện đủ (dấu hiệu) để hàm số có cực trò Đònh lí 1 . Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm có đạo hàm trên Một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). 1). Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x 0 -  ;x 0 ); f’(x) < 0 trên khoảng (x 0 ;x 0 +  ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). 2). Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x 0 -  ;x 0 ); f’(x) > 0 trên khoảng (x 0 ;x 0 +  ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). x f’(x) x 0 -  x 0 x 0 +  + _ Cực đại x f’(x) f(x) x 0 -  x 0 x 0 +  + Cực tiểu _ f(x) Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x 0 , đạo hàm đổi dấu thì điểm x 0 là điểm cực trò. Qui tắc I để tìm các điểm cực trò của một hàm số. 1) Tìm f’(x) 2) Tìm các điểm tới hạn 3) Xét dấu của đạo hàm 4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò Ví dụ : Tìm các điểm cực trò của hàm số 3 3 5y x x = + + Giải x -  +  0 -1 +1 y’ y 0 0 + _ _ + -1 11 Đònh lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 Tại x 0 và f’(x 0 ) = 0, f’’(x 0 )  0 thì x 0 là một điểm cực trò của hàm số. Hơn nữa, 1) Nếu f’’(x 0 ) > 0 thò x 0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f’’(x 0 ) < 0 thò x 0 là điểm cực đại. Qui tắc II để tìm các điểm cực trò của một hàm số. 1) Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0. Gọi x i (i = 1,2…) là các nghiệm. 2) Tính f’’(x). 3) Từ dấu của f’’(x i ) suy ra tính chất cực trò của điểm x i . Ví dụ. Tìm các điểm cực trò của hàm số 4 2 ( ) 2 6 4 x f x x= − + Giải. Hàm số xác đònh với mọi x R. 1) f’(x) = x 3 – 4x = x(x 2 – 4) = 0  (x 1 = 0, x 2 = -2, x 3 = 2 ) 2) f’’(x) = 3x 2 – 4 3) f’’(2) = 8 > 0  x = 2 là hai điểm cực tiểu. f’’(0) = -4 < 0  x = 0 là điểm cực đại. . đại M 1 và điểm cực tiểu M 2 . Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trò.Giá trò của hàm số tại điểm cực trò gọi là cực trò của hàm số. điểm cực tiểu của đồ thò hàm số. 1. Đònh nghóa O x y M 1 M 2 x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) a b Hình vẽ dưới mô tả đồ thò của hàm số với điểm cực đại M 1 và điểm